收敛定理的证明

§3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明．(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题． ——————————————————————————Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(1++=-++∑∞= , 其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++1. sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们 要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.1 写出)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1sin cos 2的简缩形式. ⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分,2 利用该表示式, 式2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -=2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t t n t x f 2sin2212sin)(1 =2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f +2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin)(1ππdt t t n t x f , 于是把问题归结为证明[∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f ]0=,[∞→n lim 2)0(-x f ⎰-++-02sin2212sin)(1ππdt t t n t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 1为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n 建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分,即把 2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分2)0(+x f =⎰++ππ02sin2212sin)0(1dt t t n x f . 于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n lim 2)0(+x f ⎰++-ππ02sin2212sin)(1dt t t n t x f ]=∞→=n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 2 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式, 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f . 3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→πϕπ0021sin )(1limtdt n t n .为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1) ( 2n n n dx x f b a a πππ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理 ) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n , ⎰-∞→=ππ0sin )(limnxdx x f n .推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰=+∞→π0)21sin()(limxdx n x f n ,⎰-∞→=+00)21sin()(limπxdx n x f n .预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 且在区间] , [ππ-上可积, 则函数)(x f 的Fourier 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(. 当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim0+=+→n t tn t 来确定.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin 212sin 1dt t t n . 证 由三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n⇒⎰=+ππ2sin 212sin 1dt t t n ⎰-=+πππdt t tn 2sin2212sin 1 (ϕϕϕπππn cos 2cos cos 211++++=⎰- )dt 1=.三维空间中 k a j a i a r 321++=则∑=≤iir r r a22),( (1)将此结论推广到 n 维空间, 即为若 ),1,,0(,2211=+++=i n n e e a e a e a r ,则22),(r r r aii=≤∑对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f 自然应有 ⎰∑-=≤++πππdx x f f f b a a nn n )(1),()(222220这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval 等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数)(x f 的Fourie 级 数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 证法一 注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n nb a a . 现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 事实上, 令)(x S n =∑=++nk k k kx b kx a a 1, )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f , 对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 122222)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k k b a a 12220)(2. 令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有 )(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 综上即得所证 .证法二 由)(x S n 一致收敛于)(x f , ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k nb a a dx x f dx x S x f 1222022)(2)(1)()(1.因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k kb a a 12220)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup 1x S x f n ()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n .由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f=><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π=⎰-∞→∞→==><=ππππdx x Sx S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式的意义：设在幺正系} , sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰-==ππππdx x f x f A )(21)21, )((02 )(122022a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-；⎰-===πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1)cos, )((22 n n a A π=；同理有 22 n n b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是 ,Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ11222022202) (2)(n n n n nnB A A b a a dx x f.注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=12222)(n n n B A A x f ,这是勾股定理的推广, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理.Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为:若三角级数 nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n n nx是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n n n 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n n nx不是Fourier 级数.例 证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n n nx α在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数 . 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(1 1212.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由∑∞=⇒≤<121, 120n nαα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.一个三角级数是否为Fourier 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Perron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier 级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用 维尔斯特拉斯逼近定理 定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续, 则对任意给定的0>ε,存在多项式)(x P n 对一切 ],[b a x ∈, 成立ε<-|)()(|x P x f n傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。

§3 收敛定理的证明(一) 教学目的：了解收敛定理的证明．(二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明．(1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题．——————————————————————————Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(10++=-++∑∞= ,其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数.证明思路: 设)(x f ～∑∞=++10 . sin cos 2n n nnx b nx aa 对每个∈x ] , [ππ-, 我们要证明)(→x S n 2)0()0(-++x f x f . 即证明0 2)0()0(lim =⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→n n S x f x f .方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零.1 写出)(x S n =∑=++nk k kkx b kx aa 10 sin cos 2的简缩形式.⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(.称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分,2 利用该表示式, 式2)0()0(-++x f x f )(x S n -可化为2)0()0(-++x f x f )(x S n -=2)0()0(-++x f x f ⎰-++-πππdt t t n t x f 2sin2212sin)(1=2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dt t t n t x f+2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdt t tn t x f ,于是把问题归结为证明[∞→n lim2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dtt t n t x f ]0=,[∞→n lim2)0(-x f ⎰-++-2sin2212sin)(1ππdtt t n t x f ]0=.这两式的证明是相同的, 只证第一式. 1为证上述第一式, 先利用三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n建立所谓Dirichlet 积分⎰=+ππ12sin212sin1dt t tn , 利用该式把2)0(+x f 表示为积分,即把2)0(+x f 表示为Dirichlet 积分2)0(+x f =⎰++ππ2sin2212sin)0(1dt t t n x f .于是又把上述1中所指的第一式左端化为[∞→n lim2)0(+x f ⎰++-ππ2sin2212sin)(1dtt t n t x f ]=∞→=n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f .2 利用所谓Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明Bessel 不等式, 再建立Riemann — Lebesgue 定理, 然后把以上最后的式子化为∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f .3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令] , 0( , 2sin2)0()()(πϕ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=t t tt x f t x f t , 则 ∞→n lim[]⎰++-+ππ2sin2212sin)()0(1dt t t n t x f x f⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=→πϕπ21sin )(1limtdt n t n . 为使最后这一极限等于零, 由Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数)(t ϕ在区间] , 0 [π上可积. 因此希望)00(+ϕ存在. 由函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 可以验证)00(+ϕ存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其推论. 预备定理1 ( Bessel 不等式) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有Bessel 不等式∑⎰∞=-≤++122220)(1) ( 2n n n dx x f b a a πππ,其中n a 和n b 为函数f 的Fourier 系数.推论1 ( Riemann — Lebesgue 定理 ) 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰-∞→=ππ0cos )(lim nxdx x f n , ⎰-∞→=ππ0sin )(limnxdx x f n .推论2 若函数f 在区间] , [ππ-上可积, 则有 ⎰=+∞→π0)21sin()(limxdx n x f n ,⎰-∞→=+0)21sin()(limπxdx n x f n .预备定理2 若)(x f 是以π 2为周期的周期函数, 且在区间] , [ππ-上可积, 则函数)(x f 的Fourier 级数部分和)(x S n 有积分表示式⎰-++=πππdt t t n t x f x S n 2sin2212sin)(1)(.当0=t 时, 被积函数中的不定式由极限212sin2)21sin(lim 0+=+→n t t n t来确定.Dirichlet 积分:⎰=+ππ12sin212sin1dt t tn .证 由三角公式2sin2212sincos 2cos cos 21ϕϕϕϕϕ+=++++n n⇒⎰=+ππ2sin212sin1dt t t n ⎰-=+πππdt t t n 2sin2212sin1(ϕϕϕπππn cos 2cos cos 211++++=⎰- )dt1=.三维空间中 k a j a i a r 321++=则∑=≤ii r r r a 22),( (1)将此结论推广到 n 维空间, 即为若 ),1,,0(,2211=+++=i n n e e a e a e a r ,则 22),(r r r a ii =≤∑对于无穷维空间向量表示的傅里叶级数∑∞=++=10)sin cos (2)(n n nnx b nx aa x f自然应有 ⎰∑-=≤++πππdx x f f f b aa nnn)(1),()(22222这就是有名的Bessel 不等式, 其证明和三维空间中 (1) 式的证明思路完全一样, 都是利用坐标系的正交性.1. Parseval 等式 ( 或称Ляпинов等式 ) 设可积函数)(x f 的Fourie 级 数在区间] , [ππ-上一致收敛于)(x f , 则成立Parseval 等式⎰-=πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .证法一 注意到此时函数)(x f 在区间] , [ππ-可积 , 由Bessel 不等式, 有⎰-≥πππdx x f )(12∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .现证对0 >∀ε, 有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .事实上, 令)(x S n =∑=++nk k kkx b kx aa 10 , )sin cos (2由)(x S n 一致收敛于)(x f ,对N n N , , 0 ≥∃>∀ε对x ∀∈] , [ππ-, 有 2|)()(|ε<-x S x f n , 因此 ,[]⎰⎰⎰∑---=+--=-≥ππππππππεnk k k n b a a dx x f dx x S x f dx 122222)(2)()()( 2.即当N n ≥时有)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑=++nk k kb aa 12220)(2.令∞→n , ⇒)(12⎰-≤-ππεπdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . 由0 >ε的任意性, 有)(12⎰-≤πππdx x f ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a .综上即得所证 .证法二 由)(x S n 一致收敛于)(x f , ⇒ 0|)()(|sup lim ],[=--∞→x S x f n n ππ.而()⎰⎰∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-ππππππnk k k n b a a dx x f dx x S x f 1222022)(2)(1)()(1. 因此, ⎰--≤πππdx x f )(102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk k k b a a 1222)(2≤()⎰--πππ2|)()(|sup1x S x f n()) ( , 0|)()(|sup 22∞→→-=n x S x f n . 由两边夹原则, 即得所证等式 .证法三 利用内积的连续性( 可参阅一般泛函书 ) , 有⎰-><=ππππ)( , )(1)(12x f x f dx x f=><∞→∞→)(lim , )(lim 1x S x S n n n n π=⎰-∞→∞→==><=ππππdx x Sx S x S nn n n n )(1lim)( , )( lim 12=∞→n lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑=nk kk b a a 12220)(2= ∑∞=++12220 ) ( 2n n n b a a . Parseval 等式的意义：设在幺正系}, sin , cos , , sin , cos, 21{ πππππnxnx x x *)下函数)(x f 的Fourier 系数为n A 和n B ，可见⎰-==ππππdx x f x f A )(21)21, )((02 )(1220220a dx x f A πππππ=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰-； ⎰-===πππππn n a nxdx x f nxx f A cos )(1)cos, )((22 n n a A π=；同理有 22 n n b B π=; 其中n a 和n b 为函数)(x f 的通常Fourier 系数.于是 ,Parseval 等式即成为()⎰∑∑-∞=∞=++=++=πππππ1122202222) (2)(n n n n nnB A A b aa dx x f .注意到⎰-=><=ππ22)( )( , )( )(x f x f x f dx x f , 就有()∑∞=++=122202)(n n n B AA x f ,这是勾股定理的推广, 可称Parseval 等式是无穷维空间中的勾股定理.Fourier 级数与三角级数: Fourier 级数与三角级数的区别：Fourier 级数是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积函数的Fourier 级数.一个三角级数是Fourier 级数( 即是某个可积函数的Fourier 级数 ) 的必要条件为: 若三角级数nx b nx a a n n n sin cos 210++∑∞=为Fourier 级数, 则数项级数∑∞=1n n nb 收敛.( 参阅复旦大学编《数学分析》下册P116—117 ). 比如正弦级数∑∞=2ln sin n nnx 是收敛的三角级数(利用Dirichlet 判别法), 由级数∑∞=2ln 1n nn 发散, 正弦级数∑∞=2ln sin n nnx 不是Fourier 级数.例 证明: 当210≤<α时, 三角级数∑∞=1sin n nnx α在R 内收敛, 但其和函数)(x f 在区间] , [ππ-上不是( R )可积的 .证 由Dirichlet 判别法, 可得该级数在) , (∞+∞-内收敛. 反设和函数)(x f 在区间在] , [ππ-上( R )可积, 则该三角级数是函数)(x f 的Fourier 级数 . 由于)(2x f 也在] , [ππ-上( R )可积 , 则有Bessel 不等式⎰∑-∞=≤ππαπdx x f nn )(11212.即有上式左端的正项级数收敛 . 但由∑∞=⇒≤<121 , 120n nαα+∞=, 矛盾. 可见, 函数)(x f 在区间在] , [ππ-上不是( R )可积的 . 因此, 本例中的三角级数不是Fourier 级数.一个三角级数是否为Fourier 级数, 与所用积分有关. 在某种积分意义下不是Fourier 级数, 或许在另一种积分意义下是Fourier 级数. 近代或现代有些积分的建立, 其动因就是为了使某些三角级数在该积分意义下成为Fourier 级数. 最新的一个研究结果是: 在所谓SCP 积分( Symmetric Cesaro Perron 积分 ) 意义下, 上例中的三角级数是Fourier 级数.利用傅里叶级数的一致收敛性定理, 我们很容易导出有广泛应用 维尔斯特拉斯逼近定理 定理 ( 维尔斯特拉斯逼近定理) 若函数)(x f 在闭区间 ],[b a 上连续, 则对任意给定的0>ε,存在多项式)(x P n 对一切 ],[b a x ∈, 成立ε<-|)()(|x P x f n傅里叶 ( J.B.J.Fourier 1768.3.21-1830.3.16)法国数学家，出生在一个裁缝家庭，家境贫寒，八岁时成为孤儿，由于才华出众，1790年成为巴黎工科大学教授。

Dvoretzky’s 收敛定理一、概述Dvoretzky’s 收敛定理是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量序列的收敛性质，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。

本文将对Dvoretzky’s 收敛定理进行深入剖析，旨在帮助读者全面了解该定理的内容、证明过程和应用领域。

二、Dvoretzky’s 收敛定理的表述Dvoretzky’s 收敛定理描述了随机变量序列的收敛性质，在正式表述如下：对于一个随机变量序列X1, X2, …, Xn，在满足一定条件下，这个序列可以在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。

具体而言，若满足以下条件：1. 随机变量序列的方差有界：存在一个正数C，使得对于所有的n，有Var(Xn) <= C。

2. 随机变量序列的"距离"有限：对于任意的i≠j，有E|Xi - Xj| <=d(i,j)，其中d(i,j)是一个随机变量序列的"距离"函数。

那么，这个随机变量序列在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。

三、Dvoretzky’s 收敛定理的证明Dvoretzky’s 收敛定理的证明是通过利用概率论和数学分析的方法来完成的。

主要思路是采用刻画随机变量序列的距离函数，配合方差有界的条件，最终利用概率的收敛性质来推断序列的收敛性。

具体证明过程如下：1. 定义随机变量序列的距离函数d(i,j)，并使得该距离函数满足E|Xi - Xj| <= d(i,j)。

2. 利用方差有界的条件，推导出随机变量序列的均值序列收敛到一个常数。

3. 利用概率的性质，证明了随机变量序列在概率意义下的收敛性。

四、Dvoretzky’s 收敛定理的应用Dvoretzky’s 收敛定理在概率论和统计学中有着广泛的应用。

主要体现在以下几个方面：1. 随机变量序列的收敛性分析：Dvoretzky’s 收敛定理可以用来分析随机变量序列的收敛性，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。

数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明.doc傅里叶级数收敛定理是数学分析中的重要定理之一，它可以用于研究周期函数的展开。

下面给出傅里叶级数收敛定理的证明。

设f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，即∫[0,2π]|f(x)|dx < ∞。

我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)。

设f(x)的傅里叶级数为：f(x) = a0 + ∑[n=1,∞] (an cos(nx) + bn sin(nx))其中a0, an, bn分别为f(x)的傅里叶系数。

我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)，即要证明对于任意的x，有f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))为了证明这个结论，我们需要用到以下两个引理：引理1：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn其中bn为f(x)的傅里叶系数。

引理2：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an其中a0, an为f(x)的傅里叶系数。

现在我们来证明傅里叶级数收敛定理。

首先，我们使用引理1和引理2，将f(x)的傅里叶级数展开，并对其进行部分和的计算：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn = ∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx根据正弦函数的正交性质，我们知道∫[0,2π] sin(Nx)sin(Mx)dx = 0，其中N≠M。

因此，上式中的交叉项∫[0,2π] ansin(Nx)sin(Mx)dx = 0。

所以，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] a0sin(Nx)dx + ∑[n=1,N] ∫[0,2π] ansin(Nx)dx同理，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an现在，我们来证明f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))。

收敛性定理引理1：迭代1(*)()(1())()()[]()t t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+。

假设*1()(1())()()[]()t t t t t Q x a x Q x a x P Q x +=-+ 产生的{()}t Q x 序列以概率1收敛到*Q 。

其中t P 为映射:Q Q t P →。

如果下面的条件满足：0<γ<1和序列{|0}t t λλ≥以概率1收敛到0。

若**t t t P Q P Q Q Q γλ-≤-+P P P P 对Q Q ∀∈成立，且()t a x 满足01t a ≤<(x)，0()ti a x ∞==∞∑，20()t i a x ∞=<∞∑，则迭代(*)产生的序列{()}t Q x 当t →∞时，以概率1收敛到*()Q x 。

定理1：贝尔曼方程虽然直接，但状态的数量通常会很巨大（随问题维度指数增加），所以迭代全空间来精确求解Bellman 方程是不可行的。

所以一般会采用近似的方法，采用Q Learning -算法去求解。

经典的Q Learning -方程： '1(,)(1)(,)[(,)max (,)]t t t t t a Q s a Q s a r s a Q s a ααγ+=-++产生的序列{(,)}t Q s a 收敛到*(,)Q s a 对s S ∀∈，a A ∀∈成立。

其中 '*''(,)(,)(|,)()s Q s a r s a p s s a V s γ=+∑证明：定义'(,)(,)max (,)]t t aPQ s a r s a Q s a γ=+。

有**max (,)(,)t s SPQ PQ PQ s a PQ s a ∈-≤-P P 。

其中P 是空间Q 到Q 的映射。

同理有**'(,)(,)max (,)aPQ s a r s a Q s a γ=+。

Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。

Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。

Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。

这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。

下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。

一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。

给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。

Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。

二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。

Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。

级数绝对值收敛则本身收敛证明一、引言在数学中，级数绝对值收敛是一种重要的性质。

当一个级数的每一项都取绝对值并求和后得到的数列是收敛的，那么我们可以称这个级数为绝对值收敛。

绝对值收敛的性质被广泛应用于分析学、实分析和复分析等领域中，对于理解和解决一些复杂的问题起着至关重要的作用。

二、级数绝对值收敛的定义设有一个级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} a_{n}$，其中$\displaystyle a_{n}$代表级数的第$\displaystyle n$项。

如果级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} \left| a_{n}\right|$收敛，即$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} \left| a_{n}\right| =L$，其中$\displaystyle L$为有限数，则我们称级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$为绝对值收敛。

三、级数绝对值收敛则本身收敛的证明要证明级数绝对值收敛，则本身收敛，我们可以利用级数收敛的判别法之一——柯西判别法。

柯西判别法的核心思想是分解级数为一个新的级数，借助新级数的性质来推导原级数的收敛性。

我们将原级数按照柯西判别法的要求进行分组，构造一个新的级数。

具体步骤如下：步骤 1：定义新级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} b_{n}$，其中$\displaystyle b_{n} =\sqrt[n]{\left| a_{n}\right|}$。

步骤 2：通过求解新级数$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}b_{n}$的极限$\displaystyle L$，判断其收敛性。

步骤 3：根据新级数的收敛性，得出原级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$的收敛性。

迪利克雷收敛定理摘要：一、迪利克雷收敛定理的简介二、迪利克雷收敛定理的数学表述三、迪利克雷收敛定理的证明四、迪利克雷收敛定理的应用正文：迪利克雷收敛定理是数学分析中的一个重要定理，它涉及到级数的收敛性。

该定理是由英国数学家乔治·迪利克雷在19 世纪提出的。

一、迪利克雷收敛定理的简介迪利克雷收敛定理，又称“狄氏定理”，主要研究了级数收敛性的判断。

该定理告诉我们，如果一个级数满足一定的条件，那么它就收敛。

这个条件是：对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N 时，级数各项的绝对值之和小于ε。

二、迪利克雷收敛定理的数学表述迪利克雷收敛定理的数学表述为：设{a_n}为各项非负的级数，若对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N 时，有|a_n|<ε，则级数{a_n}收敛。

三、迪利克雷收敛定理的证明迪利克雷收敛定理的证明方法有很多，这里我们介绍一种常用的证明方法。

首先，我们需要证明如果级数{a_n}收敛，那么它满足迪利克雷条件。

这个证明过程是显然的，因为如果级数收敛，那么对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N 时，有|a_n|<ε。

接下来，我们需要证明如果级数{a_n}满足迪利克雷条件，那么它收敛。

我们可以采用反证法。

假设级数{a_n}发散，那么存在一个正数ε，对于任意正整数N，总存在一个大于N 的整数m，使得|a_m|≥ε。

根据迪利克雷条件，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N 时，有|a_n|<ε。

这与假设矛盾，因此假设不成立，即级数{a_n}收敛。

四、迪利克雷收敛定理的应用迪利克雷收敛定理在数学分析中有着广泛的应用，例如判断级数的收敛性、求和等。

此外，该定理还可以推广到更一般的情形，如广义迪利克雷收敛定理和单调有界定理等。

证明cauchy收敛原理证明Cauchy收敛原理是数学分析中一个基本的定理，它给出了判断一个数列是否收敛的必要条件。

具体来说，如果一个数列满足Cauchy收敛原理，那么它就是收敛的。

该定理的证明可以按照如下步骤进行：1. 假设数列{an}是一个Cauchy数列，即对于任意的ε>0，存在一个正整数N，使得当m>n>N时，有|am-an|<ε。

2. 由于数列{an}是Cauchy数列，因此它是有界的。

具体来说，对于任意的n∈N，有|an|≤M，其中M是一个正实数。

3. 由Weierstrass定理可知，由{an}中任意选取的子序列都包含一个收敛的子序列。

因此，我们可以选取一个收敛的子序列{an(k)}，满足limk→∞an(k)=L。

4. 现在我们需要证明，数列{an}也收敛于L。

由于{an(k)}收敛于L，因此对于任意的ε>0，存在一个正整数K，使得当k>K时，有|an(k)-L|<ε/2。

5. 另一方面，由于{an}是Cauchy数列，因此对于上述的ε/2，存在一个正整数N，使得当m>n>N时，有|am-an|<ε/2。

6. 综合上述两个不等式，对于任意的m>n>max{N,K}，我们有： |am-L|≤|am-an(k)|+|an(k)-L|<ε/2+ε/2=ε。

因此，我们证明了对于任意的ε>0，都存在一个正整数N，使得当n>N时，有|an-L|<ε，即数列{an}收敛于L。

综上所述，我们证明了Cauchy收敛原理的必要性，即如果一个数列满足Cauchy收敛原理，那么它就是收敛的。

柯西收敛准则证明级数收敛柯西收敛定理是级数收敛的一个重要准则，在实际应用中经常被使用。

下面这篇文章将详细说明柯西收敛定理的证明过程。

一、柯西收敛定理的表述柯西收敛定理是指，如果一个级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$满足柯西准则，那么该级数收敛。

柯西准则是指，对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正整数$N$，当$n>m>N$时，有$$|a_{m}+a_{m+1}+...+a_{n}|<\epsilon$$证明柯西收敛定理的过程分为两个部分，第一个部分是证明任意一个Cauchy序列都确实是有界的，第二个部分是利用这个结论证明柯西收敛定理。

接下来我们将详细说明这两个部分的证明过程。

1.任意一个Cauchy序列都是有界的我们可以直接从定义出发，令$\epsilon=1$，则存在一个正整数$N$，对于所有的$m,n>N$，都有$|a_{m}-a_{n}|<1$。

在这个序列中，我们可以找到一个最小的下标$N$，使得对于所有的$m,n>N$都有$|a_{m}-a_{n}|<1$。

因为$N$是最小的，所以对于任意的$k\geq 1$，总存在$m,n>N$，使得$|a_{m}-a_{n}|<1/k$。

因此，我们可以找到一组下标$m_{k},n_{k}>N$，满足$|a_{m_{k}}-a_{n_{k}}|<1/k$。

现在我们引入一个不失一般性的假设，即$a_{N}$是绝对值最大的项，即$|a_{N}|\geq |a_{n}|$，对于所有的$n$。

这个假设是不失一般性的，因为如果$a_{n}$中存在一个项的绝对值比$a_{N}$大，那么我们可以将$a_{n}$和$a_{N}$交换，然后继续进行后续推导。

接下来我们将证明，对于所有的$k\geq 1$，都有$|a_{n_{k}}|\leq |a_{N}|+1/k$。

迪利克雷收敛定理
（原创实用版）
目录
1.迪利克雷收敛定理的定义
2.迪利克雷收敛定理的证明方法
3.迪利克雷收敛定理的应用
正文
迪利克雷收敛定理是实数域上的一种收敛定理，主要用于判断一系列的和式是否收敛。

该定理是由 19 世纪德国数学家迪利克雷提出的，它是实数域上收敛性判断的重要工具之一。

一、迪利克雷收敛定理的定义
迪利克雷收敛定理的定义如下：设{an}是一个实数数列，如果存在一个正实数 M，使得对于任意的正实数ε，总存在正整数 N，使得当 n>N 时，|an+1 - an| < ε，则称数列{an}是迪利克雷收敛的。

换句话说，就是当数列的各项差距越来越小时，该数列就是收敛的。

二、迪利克雷收敛定理的证明方法
迪利克雷收敛定理的证明方法比较复杂，需要引入一些高级的数学概念，如实数的完备性、极限等。

具体证明过程需要涉及到实数的完备性定理和极限的定义，涉及到的数学知识较为深奥。

三、迪利克雷收敛定理的应用
迪利克雷收敛定理在数学中有广泛的应用，主要用于判断一系列的和式是否收敛。

例如，著名的交错级数“1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...”就是通过迪利克雷收敛定理来证明它是收敛的。

此外，迪利克雷收敛定理还可以用来证明一些数学公式的正确性，以及一些数学问题的解的存在性和唯一性等。

§3 收敛定理的证明为了证明傅里叶级数 的收敛定理 ，先证明下面两个预备定理．预备定理1（贝塞耳（Bessel ）不等式） 若函数f 在],[ππ-上可积，则()⎰∑-∞=≤++πππdx x f b a a n n n )(12212220 (1)其中n a ，n b 为f 的傅里叶系数.(1)式称为贝塞耳不等式．证 令()∑=++=mn n n m nx b nx a a x S 1sin cos 2)( .考察积分⎰⎰⎰⎰----+-=-ππππππππdx x S dx x S x f dx x f dx x S x f m m m )()()(2)()]()([222． (2)由于)sin )(cos )(()(2)()(10⎰∑⎰⎰⎰-=---++=ππππππππnxdx x f b nxdx x f a dx x f a dx x S x f n m n n m ． 根据傅里叶系数公式(§1(10))可得∑⎰=-++=mn n n m b a a dx x S x f 12220)(2)()(ππππ.(3)对于)(2x S m 的积分,应用三角函数的正交性,有⎰-ππdx x S m)(2=()dx nx b nx a a m n n n 210sin cos 2⎰∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππ=⎰∑⎰⎰-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππππmn n n nxdx b nxdx a dx a 1222222sin cos 2=∑=++mn n n b a a 1222)(2ππ.(4)将(3),(4)代入(2),可得 []⎰∑⎰-=-+--=-≤ππππππmn n n m b a a dx x f dxx S x f 1222022).(2)()()(0因而[],)(1)(2122222∑⎰=-≤++m n n n n dx x f b a f a πππ它对任何正整数m 成立.而[],)(12dx x f ⎰-πππ为有限值,所以正项级数∑∞=++122.20)(2n n n b a a的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式(1)成立． □ 推论1 若f 为可积函数,则⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰-∞→-∞→ππππ,0s i n )(lim ,0cos )(lim nxdx x f nxdx x f n n(5)因为(1)的左边级数收敛,所以当∞→n 时,通项,022→+n n b a 亦即有0→n a 与0→n b 这就是(5)式.这个推论也称为黎曼—勒贝格定理．推论2 若f 为可积函数,则⎪⎭⎪⎬⎫=+=+⎰⎰-∞→∞→00.0)21sin()(lim ,0)21sin()(lim ππxdx n x f xdx n x f n n (6)证 由于,cos 2sin sin 2cos )21sin(nx xnx x x n +=+所以,cos )(sin )(cos ]2sin )([sin ]2cos )([)21sin()(21000nxdx x F nxdx x F nxdx x x f nxdx x x f xdx n x f ⎰⎰⎰⎰⎰--+=+=+πππππππ （7）其中⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤=.0,0,0,2sin )()(,0,0,0,2cos )()(21x x x x f x F x x x x f x F ππππ显见1F 与2F 和f 一样在],[ππ-上可积．由推论1，(7)式右端两积分的极限在∞→n 时都等于零，所以左边的极限为零．同样可以证明⎰-∞→=+0.0)21sin()(lim πxdx n x f n□预备定理 2 若)(x f 是以π2为周期的函数,且在],[ππ-上可积,则它的傅里叶级数部分和)(x S n 可写成dt t tn t x f x S n ⎰-++=πππ2sin2)21sin()(1)(，（8）当0=t 时,被积函数中的不定式有极限212sin 2)21sin(lim+=+→n t tn t 来确定．证 在傅里叶级数部分和kx b kx a a x S nk k k n ∑=++=1sin cos 2)(中，用傅里叶系数公式代入，可得.du )]x u (k cos )[u (f du])kx sin ku sin kx cos ku (cos )[u (f ]kx sin )kudu sin )u (f (kx cos )kudu cos )u (f [(du )u (f )x (S nk nk nk n -+=++=++=⎰∑⎰∑∑⎰⎰⎰-=-==---ππππππππππππππ111211211121 令t x u +=,得dt kt t x f x S nk x x n ]cos 21[)(1)(1∑⎰=---++=πππ有上面这个积分看到，被积函数是周期为π2的函数，因此在],[x x ---ππ上的积分等于],[ππ-上的积分，再由第十二章§3,(21)式，即,2sin2)21sin(cos 211t t n kt nk +=+∑= （9） 就得到dt t tn t x f x S n ⎰-++=πππ2sin2)21sin()(1)( . □(8)式也称为f 的傅里叶级数部分和的积分表示式．现在证明定理15.3(收敛定理),重述如下：若以π2为周期的函数f 在],[ππ-上按段光滑,则在每一点],[ππ-∈x ,f 的傅里叶级数（§1，（12））收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值,即,s i n c o s 22)0()0(10nx b nx a a x f x f nn n n ∑=++=-++其中n a ，n b 为f 的傅里叶级数．证 只要证明在每一点x 处下述极限成立：,0)](2)0()0([lim =--++∞→x S x f x f n n 即,0]2sin2)21sin()(12)0()0([lim =++--++⎰-∞→dt t tn t x f x f x f n πππ 或证明同时有,0]2s i n2)21s i n ()(12)0([lim 0=++-+⎰∞→dt t t n t x f x f n ππ (10) 与,0]2sin2)21sin()(12)0([lim 0=++--⎰-∞→dt t tn t x f x f n ππ (11)现在先证明(10)式,对(9)式积分有1)c o s 21(12s i n2)21s i n (11=+=+⎰∑⎰-=-dx kx dx x x n n k ππππππ. 由于上式左边为偶函数,由此两边乘以)0(+x f 后得到dt t tn x f x f ⎰++=+ππ02sin2)21sin()0(12)0(从而(10)式可以改为02s i n2)21s i n ()]()0([1lim 0=++++⎰∞→dt tt n t x f x f n ππ. （12） 令(]πϕ,0,s i n])0()([s i n 2)0()()(222∈+-+-=+-+-=t t x f t x f x f t x f t ttt ． 由§1(13)式得)0(1)0()(l i m ''0+-=⋅+-=+→x f x f t t ϕ． 再令)0()0('+-=x f ϕ，则函数ϕ在点0=t 右连续,因为ϕ在],0[π上至多只有有限个第一类间断点,所以ϕ在],0[π上可积，根据预备定理1的推论20)21s i n ()(1lim 2sin2)21sin()]()0([1lim 00=+=++-+⎰⎰∞→∞→tdt n t dt ttn t x f x f n n ππϕππ．这就证得(12)式成立，从而(10)式成立． 用同样方法可证(11)也成立．作业布置：Ｐ８３ ２．。