第一章 鞅 第四节 离散鞅的收敛定理

鞅收敛定理鞅收敛定理，在概率论领域中具有重要地位。

在许多概率论的定理和应用中，鞅的概念及其收敛都是十分重要的。

该定理表明，由一系列随机变量构成的鞅在一定条件下，能够收敛于一个确定的极限值。

鞅收敛定理是鞅理论中的核心定理之一，可以用于解决很多实际中的问题。

一、鞅的定义与性质鞅是一种非常重要的概率过程，它涉及到许多重要的概率定理和实际应用。

鞅的定义相对比较简单，如果一个随机过程M = {M_n}是一列随机变量的序列，并且满足以下三个条件：1）M_n是一个可测的随机变量；2）对于n≥0，E[M_n] < ∞；3）对于n≥0，E[M_n+1 | M_0,M_1,...,M_n] = M_n则我们称之为鞅。

上面的第一个条件保证了鞅可以被测量，第二个条件保证了内部的随机性，第三个条件保证了鞅的期望性质。

鞅有许多重要的性质：1）鞅是一种无偏的估计，即E[M_n] = E[M_0]，其中M_0是鞅的起始点，通常为0；2）鞅通常用来表示一种刻意的结构，以反映出随时间的增长或下降的模式；3）鞅满足马尔科夫性质，即在给定M_n的条件下，未来的发展只取决于M_n，而与之前的结果无关。

二、鞅的收敛与鞅收敛定理由于鞅是一个任意序列的条件期望，因此它可能会收敛到一个确定的极限值。

鞅收敛定理指出，当一个鞅满足Lim E[M_n] < ∞时，则它在一定的条件下可以收敛。

鞅收敛定理有两种形式，分别是条件收敛和几乎处处收敛。

条件收敛是指，在一定的概率空间中，鞅以一定的概率收敛于一个值。

而几乎处处收敛是指，在概率空间上几乎每次试验，鞅以概率1收敛于一个值。

在鞅的收敛过程中，我们需要关注以下两点：1）鞅序列的逐点有界性；2）鞅序列的逐点收敛性。

对于一系列的随机变量构成的鞅序列，若能满足上述两点条件，那么在某些条件下，鞅可以达到收敛。

其中最常见的条件就是马尔科夫条件。

马尔科夫条件是指，鞅的未来值仅仅取决于当前的值，而并不取决于它的过去值。

第四章 条件期望与鞅§4.4 鞅的收敛定理及应用本节的内容也都是在固定的完备概率空间(,,)P ΩF 上讨论的，而且还假定存在的子F σ域流{,}n n =∈N F F ，{}0,1,2,=N 。

以后大部分内容也还是在带流概率空间(,,,)P ΩF F 上讨论的。

第四章 条件期望与鞅§4.4 鞅的收敛定理及应用4.4.1 收敛定理设{},n X X n =∈N 为适应随机变量序列，a b <为两个任意实数，令00T =，{}1inf :n T n X a =≤，{}12inf :,n n b T T n X >=≥，(4.4.1) ………………{}2122inf :,j n j n T T n X a −−=>≤， {}221inf :,j n ，(4.4.2) j n T T n X b −>≥=在此规定。

inf ∅=+∞由命题3.4.1，{},0k T k ≥都是停时。

{}1inf :n T n X a =≤表示{},n X X n =∈N 的轨道首次小于等于的时刻，a {}21inf :,n T n n T Xb =>≥为之后1T X 的轨道首次达到或超过的时刻。

b 若，则2T <∞X 自到的轨道穿越了1T 2T [],a b 一次。

21T −是22j j T −后X 的轨道首次小于等于的时刻， a 若，则2j T <∞X 自12−到2j T 的轨道进入[],a b 并穿越了T j[],a b一次，称之为上穿。

()1,,n X X 完成上穿[],a b 的次数，则若以表示(),b aU X n (){}{}2,n b a k U X n k T n ≥=∈≤F ， (){}{}222,b a k k n U X n k T n T +=≤<∈=F 。

命题 4.4.1(上穿不等式) 设{},n X X n =∈N 为下鞅，则其上穿次数满足：(),ba U X n ()[]()1,1ba n n E U X n E X ab a EX a b a ++⎡⎤≤−⎣⎦−≤+−。

鞅(上鞅,下鞅)的L_1收敛性
杨新建
【期刊名称】《湖南师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】1999(22)4
【摘要】讨论一鞅（上鞅，下鞅）的Ｌ１收敛性，得到了几个更为简单的充分必要条件．
【总页数】3页(P6-8)
【关键词】鞅;L1收敛性;绝对连续性;上鞅;下鞅
【作者】杨新建
【作者单位】湖南师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O211.6
【相关文献】
1.集值拟终下鞅的收敛性与Riesz分解 [J], 李高明
2.离散参数集值序下鞅的Riesz分解及收敛性 [J], 薛红;王拉省
3.非凸集值上鞅的收敛性 [J], 赵辉;李高明
4.连续参数集值上鞅的收敛性 [J], 李高明;惠莉萍
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

离散时间鞅的例子-概述说明以及解释1.引言1.1 概述离散时间鞅是概率论中的一个重要概念，是指在离散时间上具有平均值为零的随机过程。

离散时间鞅的研究在概率论、统计学、金融工程等领域具有广泛的应用。

随机过程是指在随机变量的序列上描述的一类随机现象。

离散时间鞅是离散时间上的随机过程，它在每一时刻的条件期望值等于该时刻的值，即具有无条件期望均值为零的特性。

离散时间鞅的研究往往涉及到以下几个方面的内容：首先是鞅的定义，即如何描述离散时间鞅的特性；其次是鞅的性质，包括条件期望的性质、停时和鞅的关系等；最后是鞅的应用，如在金融工程中对离散时间鞅的研究可以用于期权定价、风险管理等方面。

本文将围绕离散时间鞅的定义和性质展开详细的论述。

首先，我们将介绍离散时间鞅的定义，包括正向鞅、反向鞅以及鞅的条件性质。

接着，我们将讨论鞅的性质，包括鞅的停时性质和鞅与停时的关系。

最后，我们将探讨离散时间鞅在实际应用中的一些例子和相关的理论结果。

通过对离散时间鞅的研究，我们可以更好地理解随机过程和随机现象，并将其应用到实际问题中。

通过本文的阅读，读者将对离散时间鞅有一个清晰的认知，并了解其在概率论和相关领域的重要性。

同时，读者也可以通过本文所提供的例子和相关理论结果，将离散时间鞅的概念运用到实际问题中，提升问题的解决能力和分析思维。

1.2 文章结构文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构。

本文的结构按照以下几个部分展开：1. 引言部分：在引言部分，首先对离散时间鞅的概念进行概述，介绍离散时间鞅的基本定义和特点。

随后，给出文章的整体结构和每个部分的内容摘要，并明确阐述本文的目的，即为读者提供关于离散时间鞅的例子和应用。

2. 正文部分：正文部分主要分为两个小节。

首先，在2.1节中详细介绍离散时间鞅的定义，包括离散时间鞅的概念、鞅的条件以及离散时间鞅的数学表达形式。

然后，在2.2节中探讨离散时间鞅的性质，如鞅的停时性质、条件期望性质和可变鞅性质。

离散鞅的停时定理引言在概率论中，鞅（martingale ）是一种随机过程，它具有无记忆性的特点。

离散鞅是一种离散时间的鞅，它在数学和统计学中有着广泛的应用。

离散鞅的停时定理是研究离散鞅收敛性质和停止时间之间关系的重要结果。

本文将详细介绍离散鞅的概念、停时的定义和性质，并阐述离散鞅的停时定理及其证明过程。

离散鞅的定义与性质离散鞅的定义设(X n )n≥0是一列随机变量序列，(ℱn )n≥0是一个满足ℱ0⊂ℱ1⊂⋯条件的σ-代数序列，则称(X n ,ℱn )n≥0为一个离散鞅，如果对于任意n ，都有E (|X n |)<∞且E (X n+1|ℱn )=X n 成立。

停时的定义与性质停时是一种随机变量，它表示了某个随机过程第一次达到某个状态的时刻。

具体地，设(X n )n≥0是一个随机过程，(ℱn )n≥0是相应的σ-代数序列，则一个随机变量T:Ω→ℕ0∪{∞}称为一个停时，如果对于任意n ，事件{T =n}∈ℱn 。

停时的性质如下：•对于任意n ，事件{T ≤n}=⋃k=0n {T =k}∈ℱn 。

•对于任意n ，事件{T >n}=(⋃k=0n {T =k})c =(⋂k=0n ({T =k})c )∈ℱn 。

• 对于任意n ，事件{min (T,n )=m}=({T =m,m ≤n})∪({T >n,m =n +1,…,∞})∈ℱm 。

离散鞅的停时定理离散鞅的停时定理是关于离散鞅和停时之间关系的重要结果。

具体地，在给定一列随机变量(X n )n≥0和一个停时T 的情况下，离散鞅的停时定理可以表述为：若存在正数c 使得对于任意n ，有E(|X n+1−X n |⋅I (T >n ))≤c 成立，则有E (X T )=E (X 0)。

其中I (⋅)是指示函数。

离散鞅的停时定理的证明离散鞅的停时定理可以通过条件期望的性质来证明。

具体地，我们需要使用以下两个性质：•对于任意两个随机变量Y,Z 和一个σ-代数G ，有E(Y ⋅I (Z ∈G ))=E(E (Y|G )⋅I (Z ∈G ))。

一致可积离散时间鞅一定满足鞅收敛定理一、引言鞅论是概率论中的重要分支，研究了随机过程中的均值演化规律。

鞅收敛定理是鞅论中的重要结果之一，它描述了一类特殊的随机过程在一定条件下的收敛性质。

本文将着重介绍一致可积离散时间鞅，并证明其满足鞅收敛定理。

二、一致可积离散时间鞅的概念在介绍一致可积离散时间鞅之前，我们先回顾一下鞅的定义。

设{X_n, n≥0}是一个随机过程，若对于任意的n≥0，有E(|X_n|)<∞，并且对于任意的0≤m≤n，有E(X_n|F_m)=X_m ，其中{F_n, n≥0}是一个滤过过程，那么{X_n, n≥0}就是一个鞅。

一致可积离散时间鞅是指在一定条件下，鞅序列{X_n, n≥0}满足一致可积性。

一致可积性是指存在一个常数M，使得对于任意的n≥0，有E(|X_n|)三、一致可积离散时间鞅的性质一致可积离散时间鞅具有以下性质：1. 一致可积离散时间鞅的条件期望是有界的，即对于任意的n≥0，有|E(X_n|F_{n-1})|2. 一致可积离散时间鞅的差分序列是一个平方可积序列，即对于任意的n≥1，有E((X_n-X_{n-1})^2|F_{n-1})3. 一致可积离散时间鞅的差分序列是一个零均值序列，即对于任意的n≥1，有E(X_n-X_{n-1}|F_{n-1})=0。

四、一致可积离散时间鞅的收敛定理鞅收敛定理是鞅论中的重要结果之一，它描述了一类特殊的随机过程在一定条件下的收敛性质。

对于一致可积离散时间鞅，我们有以下鞅收敛定理：如果{X_n, n≥0}是一个一致可积离散时间鞅，并且存在一个随机变量X，使得对于任意的n ≥0，有E(|X_n-X|)0，有lim_{n→∞}P(|X_n-X|≥ε)=0。

五、实例分析为了更好地理解一致可积离散时间鞅和鞅收敛定理，我们以赌博游戏为例进行实例分析。

假设有一个赌博游戏，每轮游戏中，参与者可以抛掷一枚硬币，正面朝上则赢得1元，反面朝上则输掉1元。

一致可积离散时间鞅一定满足鞅收敛定理鞅收敛定理是概率论中的重要定理之一，它描述了一致可积离散时间鞅的收敛性质。

在本文中，我们将详细讨论一致可积离散时间鞅的收敛定理，并探讨其应用和与其他相关概念的关系。

让我们回顾一下鞅的定义。

离散时间鞅是一个随机过程，它满足以下三个性质：1.可测性：对于每个时刻t，鞅的值X_t是随机变量，与之前的时刻的信息相关，并且是可测的。

2.无偏性：对于每个时刻t，鞅的期望E[X_t]等于其之前的时刻的值的期望E[X_s]，其中s≤t。

3.有界增量性：对于每个时刻t，鞅的增量X_t - X_{t-1}是有界的。

一致可积离散时间鞅是指它的各个时刻的绝对值的期望是有界的，即E[|X_t|] < ∞。

现在我们来描述一致可积离散时间鞅的收敛定理。

设{X_t}是一致可积离散时间鞅，并设X_t的极限存在，即存在随机变量X，满足lim_{t→∞} X_t = X，几乎处处成立。

那么，X是一致可积离散时间鞅的极限。

证明一致可积离散时间鞅的收敛定理可以分为两步。

首先，我们需要证明序列{X_t}是依测度收敛的。

换句话说，对于任意的ε>0，我们有lim_{t→∞} P(|X_t - X| > ε) = 0，即随着t趋于无穷，随机变量X_t以概率1趋于X。

为了证明这一步骤，我们可以使用鞅的增量性质。

具体来说，我们可以选择一个足够大的时刻T，使得对于任意的t>T，我们有E[|X_t - X_{t-1}|] < ε。

然后我们可以使用切比雪夫不等式，将这一条件转化为概率的形式，从而得到序列{X_t}的依测度收敛性。

接下来，我们需要证明极限X是一致可积离散时间鞅的性质。

具体来说，我们需要证明X满足可测性、无偏性和有界增量性。

对于可测性，我们可以使用极限的依测度收敛性，以及鞅的可测性性质得到。

对于无偏性和有界增量性，我们可以使用鞅的无偏性和有界增量性在极限中得到。

因此，我们可以得出结论，极限X满足一致可积离散时间鞅的性质。

离散鞅论及应用离散鞅论及应用一、 基础定义设(,,)P ΩF 为概率空间，整数集合{,1,0,1,}Q =-L L ，I 表示Q 的一个“区间”，指Q 的不间断子集，比如：{1,2,,}I n =L ，{1,2,3,}I =L 等。

定义1：设(),n n I ∈F 为单调上升（或下降），指n m ⊂F F ，,,n m I n m ∀∈≤（或n m ⊃F F ）。

设{},n Z n I ∈为随机变量序列，若n Z 关于n F 可测，n I ∈，称{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量。

定义2：设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，若下两条满足：1. ()n E Z <∞，2. (|),,,n m m E Z Z n m n m I =>∈F 。

则称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅。

若2改写成(|)()n m m m E Z Z Z ≥≤F ，称{},,n n Z n I ∈F 为下鞅（上鞅），合称为半鞅。

定义3设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量，{}n F 下降，若()n E Z <∞，n I ∈且(|),,,n m m E Z Z n m n m I =∀<∈F ，则称{},,n n Z n I ∈F 为一个反鞅。

命题 1.对于区间{1,2,,}I n =L ,{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，则{},,1i i Z i n ≤≤F 为一个鞅，当且仅当{}11,,1n i n i Z i n -+-+≤≤F 为一个反鞅。

定义 4 设{},,n n Z n I ∈F 为适可测随机变量列，()n E Z <∞，n I ∈，若(|)0,,,n m E Z n m n m I =∀>∈F ，称{},,n n Z n I ∈F 为一个鞅差。

命题2 设{},1n n ≥F 为上升σ域（列），下两条成立：（1） 若{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，则{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，其中1n n n X Z Z -=-（2） 若{},,1n n X n ≥F 为一个鞅差，则{},,1n n Z n ≥F 为一个鞅，其中1nn i i Z X ==∑。

第六节 连续参数鞅的样本函数的性质和收敛定理一、样本函数的性质以下，记),0(),,0[+∞=+∞=+T T对一个给定的随机过程};{T t x t ∈，指定T 的一个可列子集},,{21 t t D =记},,,{21n n t t t U =为D 的前n 个元素，将n U 的元素按大小重新排列，设n t t t ααα<<< 21用)(n b a U V 表示n t t t x x x ααα,,,21严格上穿区间],[b a 的次数。

这里严格上穿指的是nt t t x x x ααα,,,21的值由小于a 变到大于b ，比如b x a x t t ><21,αα，就称严格上穿区间一次。

显然)()(1+≤n b a n b a U V U V记)(lim )(n b a n b a U V D V ∞→=则)(D V b a 是};{D t x t ∈严格上穿区间],[b a 的次数。

定理1-6-1 设},,{T t x t t ∈F 是下鞅，D 是T 中的一个可列子集，又设s r T s r <∈,,，设],[b a 为任意区间，令0>λ，于是有 （1）|)|(1)(1])},[({a Ex ab a x E a b s r D V E s s b a +-≤--≤++ （2）||)sup (],[s t s r D t x E x P ≤≥∈λλ证明：（1）设},,,,{],[21 n t t t s r D =},,,{21n n t t t U =为简单起见，设n t t t <<< 21，则s t n ≤，由定理4—1+--≤)(1)(a x E ab U EV n t n b a 因为+-)(a x E t 也是下鞅，所以++-≤-)()(a x E a x E s t n+--≤)(1)(a x E ab U EV s n b a 由单调收敛定理知()|)|(1)(1],[)](lim [)(lim a x E ab a x E a b s r D EV U V E U EV s s ban b a n n b a n +-≤--≤==++∞→∞→ （2）由定理3-3⎰≥∈∈≤≥}sup {)sup (λλλt nU t nnx t t U t dP x x P令⎩⎨⎧≥≥=若上面的集合是空集,},;min{n x n k k k t λτ 记}x sup {w;M t U t nλ≥=∈，则τ为停时，且在M 上，λτ≥x 。