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第七章实数的完备性1. 教学框架与内容教学目标①掌握实数集完备性的基本定理内容．②掌握实数集完备性的基本定理等价性证明．③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.教学内容①实数完备性基本定理内容及其之间的相互等价性．②有界闭区间上连续函数性质的证明.2. 重点和难点①正确理解基本定理的含义及适用范围.②基本定理等价性证明.③利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.3. 研究性学习选题● 完备性基本定理的应用, 以区间套定理和有限覆盖定理为例.小组进行一次交流：叙述实数完备性基本定理的应用.●举例用不同完备性定理证明同一命题, 体会不同完备性定理的奥妙之处. 进行一次研讨：举一例说明不同完备性定理的不同应用.4. 综合性选题, 写读书笔记■整理完备性定理等价性证明.■整理每个完备性定理适用范围.5. 评价方法◎课后作业，计10分.◎研究性学习布置的两个选题合计30分.●完备性基本定理的应用（计15分）●用不同完备性定理证明同一命题（计15分）◎读书笔记计60分.●完备性定理等价性证明总结（计30分）●完备性定理适用范围总结（计30分）§1 实数基本定理的陈述一、确界原理定理1 非空有上(下)界数集必有上(下)确界.二、单调有界原理定理2 单调有界数列必收敛.例 1 确界原理⇒单调有界原理.三、闭区间套定理1、 区间套设{[,]}n n a b 是一闭区间序列，若满足条件1) 对任意n ，有11[,][,]n n n n a b a b ++⊂，即11n n n n a a b b ++≤≤≤，2) lim 0n n n b a →∞-=，即n →∞时，区间长度趋于0， 则称该闭区间序列为一个(递缩)闭区间套，简称为区间套，区间套还可表示为1221n n a a a b b b ≤≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤≤.注 1 区间套{[,]}n n a b 涉及两个数列{},{}n n a b ，其中{}n a 递增，{}n b 递减且{}n a 有 上界1b , {}n b 有下界1a ，从而由单调有界原理{},{}n n a b 均收敛，不妨设n a a →，n b b →. 故a b ≤且由0n n a b -→有b a =.2、区间套定理定理3 若{[,]}n n a b 是一个区间套，则存在唯一R ξ∈，使得n N ∀∈，[,]n n a b ξ∈，即区间套必有唯一的公共点.例 2 单调有界定理⇒区间套定理. (注意唯一性)注 2 若区间套{[,]}n n a b ，n n b a -→0，则应有何结论……推论 设ξ为区间套{[,]}n n a b 所确定的点，则对任给0ε>，存在N ，使得n N >时， [,](,)n n a b U ξε⊂.注 3 区间套定理中，区间套均为闭区间，而对开区间套未必成立，如11{(0,)}n n∞=. 例 设{(,)}n n a b 是一个严格开区间套，即1221n n a a a b b b <<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<⋅⋅⋅<<,且lim 0n n n b a →∞-=，证明: 存在唯一的R ξ∈，使得(,)n n a b ξ∈,n N ∀∈.四、Cauchy 收敛准则1、基本列 (Cauchy 列)若数列{}n a 满足0ε∀>，存在N ∈N ，使得,m n N ≥时m n a a ε-<, 则称{}n a 为基本列或Cauchy 列.注 3 {}n a 为Cauchy 列0,,,,n p n N n N p a a εε+⇔∀>∃∈N >∀∈N -<.例 证明 1) 20.9sin0.90.90.9n n x =+为Cauchy 列 2) 22211112n a n=++⋅⋅⋅+为Cauchy 列. 例 不用Cauchy 准则证明:1) Cauchy 列必为有界列.2) 若Cauchy 列有收敛子列,则其本身必收敛.2、Cauchy 收敛准则定理 4 数列{}n a 收敛⇔{}n a 为Cauchy 列例3 区间套定理⇒Cauchy 收敛准则.1、聚点设S R ⊂为数集，ξ为定点(ξ可能属于S ，可能不属于S )，若ξ的任何 邻域内均含有S 的无穷多个点，则ξ称为S 的一个聚点.例 1) 1{,}E n N n=∈有唯一聚点0. 2) [0,1)的聚点集为[0,1].3) [0,1)中的有理数的聚点集[0,1].4) 有限点集无聚点.2、聚点等价条件ξ为S 的聚点00,(,)S εξε⇔∀>≠∅(ξ的任何邻域内中有S 中异于ξ的点);⇔S 中存在异于ξ的点列{}n a ，n a ξ→;⇔S 中存在互不相同的点列{}n a ，n a ξ→.例 设S 为有上界集，sup S S ∉，则{},sup n n a S a S ∃⊂→.[sup S S ∉，则sup S 为S 的一个聚点]定理5 (Weierstrass定理)实数中任一有界无限点集S至少有一个聚点. 例 4区间套定理⇒聚点定理.推论有界数列必有收敛子列----致密性定理.六、致密性定理定理6有界数列必有收敛子列.例 5致密性定理⇒Cauchy收敛准则.七、(Heine Borel -)有限覆盖定理1、开覆盖设开区间族{(,),}G I a b λλλλ==∈∧(∧为一指标集)，设S 为一数集，若对任,x S λ∈∃∈∧，使x I λ∈，则称区间族G 覆盖了S ，或称区间族G 是数集S 的一个覆盖，记作(,)S a b λλλ∈∧⊂.若∧为有(无)限集，则称覆盖为有(无)限覆盖S .若∑为的∧子集，且{(,),}a b λλλ∈∑也覆盖S ，则称{(,),}a b λλλ∈∑为G 的一个子覆盖. 特别地，若∑是有限集, 则称为G 的一个有限子覆盖.例 1) {(,),(0,1)}22x x G x x x =-+∈覆盖了区间(0,1)，但其不能覆盖[0,1]？ 2) 若f 在(,)a b 上连续，则0ε∀>，对每一个(,)x a b ∈都存在正数 (,)0x x δδε=>，使得当'(,)(,)x x x x U x x x δδδ∈=-+有(')()f x f x ε-<， 从而开区间族{(,x G x x δ=-),(,)}x x a b δ+∈就为(,)a b 上的一个无限开覆盖.一般称(,)x I x x x x δδ∈⋃-+为I 上的一个自然覆盖.2、有限覆盖定理定理7 设G 为闭区间[,]a b 的一个(无限)开覆盖，则可从G 中选中有限子覆盖来覆盖[,]a b .例 6 闭区间套定理⇒有限覆盖定理.§2 完备性定理等价性证明确界原理 ?⇐ Cauchy 收敛准则 ⇐ 致密性定理⇓ ⇑ ⇑单调有界定理 ⇒ 区间套定理 ⇒ 聚点定理⇓ ?⇑有限覆盖定理 ⇒例 7 Cauchy 收敛准则 ⇒ 确界原理.例 8 有限覆盖定理⇒聚点定理.例 9 聚点定理⇒区间套定理.例 10 Cauchy 收敛准则 ⇒ 有界单调定理.实数完备性命题都可以用于确定某个具有某种性质的点.1、 单调有界定理与Cauchy 收敛准则通常用于判断数列的收敛性. (即收敛数列的极限点).2、 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点.3、 致密性定理是同聚点原理一般将数列过渡到子列(可要求子列具有某种收敛性).4、 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点性质(局部性质).方法是 假设I 具有某种性质P ，对分I ，得到两个子区间，可要求其一必须仍满足性质P ，如此可得到区间套{}n I 及公共点α，由α的任一邻域必包含某n I ，则得到的任一邻域具有性质P .5、 有限覆盖定理主要在于把局部性质扩展成整体性质。
第七章 实数的完备性§1关于实数集完备性的基本定理前面我们学习了：戴德金切割原理、确界原理、单调有界定理、致密性定理、柯西收敛准则，这些命题都是从不同方式反映实数集的一种特性，通常称为实数的完备性或实数的连续性公理。
本节再学习见个实数的完备性公理，即区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理。
最后我们要证明这些命题都是等价的。
一、区间套定理]}定义1 设闭区间列具有如下性质： [{n n b a ,（i） []n n b a ,[]11,++⊃n n b a ， ,2,1=n ； （ii） 0)(lim =-∞→n n n a b ，则称为闭区间套，或简称区间套。
[{n n b a ,]} 这里性质（¡）表明，构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个，即各闭区间的端点满足如下不等式：.1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ （1） 左端点{}n a 是单调递增的点列，右端点{}n b 是单调递减的点列。
定理1 （区间套定理） 若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点[{n n b a ,]}ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，，即,2,1=n ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 （由柯西收敛准则证明）设是一区间套.下面证明[{n n b a ,]}{}n a 是基本点列。
设，由区间套的条件（i）得m n >()()()()m n m n m m n n m m a a b a b a b a b a -=---≤---再由区间套的条件（ii ），易知{}n a 是基本点列。
按Cauchy 收敛准则，{}n a 有极限，记为ξ。
于是()lim lim ()lim n n n n n n n n b b a a a ξ→∞→∞→∞=-+==由{}n a 单调递增，{}n b 单调递减，易知ξ≤n a n b ≤，.,2,1 =n下面再证明满足（2）的ξ是唯一的。
實數的完備性楊維哲實數的完備性在教學上是有些麻煩，這是相當「概念」的東西；今天講這個題目是因為這裡面有些要注意的小地方，提出來供大家參考。
在小時候我們學數系都從數手指頭開始，這就是自然數系，在自然數系N 之後，有正有理數系（分數），然後推廣到負數，因此有了整數全體，從整數再推廣就是所有的有理數，這要如何介紹呢？一開始先有自然數，然後有分數，分數就是因為除不盡而產生的，也可說是為了要解如5x=3 的方程式而產生，負數的出現是因為要解如x+7= 的方程式，亦即是要作2-7=-5 的運算，因為要使運算成為可能就必須慢慢地把數系擴展，不擴展就沒有辦法，這是發展整個數系的一個動機。
在運算上，從加減乘除一直做到有理數就完備了，因為加減乘除在有理數中都可以自由運算下去。
再下去的說法，大家都曉得。
「為什麼會出現R 是因為x2 =2 這個方程式在有理數系中沒有解，可見有理數系是不夠用的，所以出現了無理數」；當然也因為x2+1 在實數系中不夠解，所以出現了i ，因此我們可以擴展到複數系。
在從N 擴展到有理數系Q 是為了要使四則運算不受限制，解方程式是一個很重要的主題。
但由Q 再擴展下去是否還是為了解方程式的理由？我先強調這一點：無理數的出現，不只是為了代數上的動機，其實在數學上還有其他種種理由配合起來的。
在初中，你可能用純粹代數的理由來擴展數系，到了高中就不是了！到了高中，擴大數學的題材，研究種種的函數，如三角函數，指數、對數函數……等，這是一個主題：但在高中，還有一個重要的主題，即解析幾何，我的意思不是項武義、黃武雄的向量(Vector) 幾何，這不太合乎原來解析幾何的意思。
真正的解析幾何是笛卡爾與費馬所發明的座標幾何：用座標的方法來做幾何問題，所有幾何問題都用座標來解。
他們這個辦法與今天所談的題目有密切的關係，它是數與圖形的配合，就是代數與幾何結合在一起。
在平面解析幾何中用兩個數(x,y) 來表一點，立體解析幾何用三個數(x,y,z) 來代表一點，將來可以推廣到n 維空間，但最基本的還是在一維空間的圖形，即一直線上的座標化，因為兩維、三維……均可類推，這一維空間的情形牽涉很廣，如測量問題，即幾何與代數的聯繫，這非常重要，它與實數的完備性有密切的關係，在數學史上量長度與座標化是在直線上取0 為原點，1 為單位長，我們就可以在直線上點出2、3……還有「幾分之幾」。
第七章 实数的完备性§1 实数完备性的基本定理1． 验证 数集},2,11)1{(L =+−n n n有且只有两个聚点11−=ξ和12=ξ 解 因{1+}21n 是{(-1)n+n 1}的所有偶数项组成的子列,且,1)211(lim =+∞→nn 故12=ξ是数集},2,11)1{(L =+−n n n的一个聚点.由于}1211{−+−n 是原数集的所有奇数项组成的子列,且,1)1211(lim −=−+−∞→n n 因而11−=ξ也是原数集的聚点.下证该数集再无其它聚点. 时，有则当取001}21,21min{,1εϕϕεϕ>−+=±≠∀n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−+−−=−−−为奇数为偶数为奇数，为偶数）（n n n n n n n n n n ,11.1111,1111ϕϕϕϕϕ.1200εε>−≥n故ϕ不是该数集的聚点.这就证明原数集只有两个聚点,即1+与1−. 2．证明:任何有限数集都没有聚点.证 设S 是有限数集,则对任一S R a 因,1,0=∃∈ε是有限数集,故领域),(0εa U 内至多 有S 中的有限个点,故a 不是S 的聚点,由a 的任意性知,S 无聚点.3．设)},{(n n b a 是一严格开区间套,即1221b b b a a a n n <<<<<<<<L L L , 且.0)(lim =−∞→n n n a b 证明存在唯一一点ξ,有L ,2,1,=<<n b a n n ξ证 作闭区间列]},{[n n y x , 其中L ,2,1,2,211=+=+=++n b b y a a x n n n n n n ，由于),(,11N n b y b a x a n n n n n n ∈∀<<<<++ 故有(1) ))(,(],[),(11N n b a y x b a n n n n n n ∈∀⊂⊂++，从而L ,2,1],,[],[11=⊂++n y x y x n n n n(2) )(0N n a b x y n n n n ∈∀−<−<从而由]},{[.0)(lim ,0)(lim n n n n n n n n y x x y a b 所以得=−=−∞→∞→为闭区间套.由区间套定理知,存在一点).,2,1()1().,2,1](,[L L =<<=∈n b a n y x n n n n ξξ有由满足条件),2,1(L =<<n b a n n ξ的点ξ的唯一性的证明与区间套定理的证明相同.4．试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立。
实数完备性的证明第一部分 七个定理的证明1.单调有界定理→区间套定理证明：已知n a ≤1+n a （∀n ）， n a ≤n b ≤1b ，∴由单调有界定理知{n a }存在极限，设∞→n limna = r ，同理可知{n b }存在极限，设∞→n lim n b =r ' ，由∞→n lim （nna b-）=0得r r '-=0即r r '=∀n ，有n a ≤n b ，令∞→n ，有n a ≤r r '=≤n b ，∴∀n ，有n a ≤r ≤n b 。
下面证明唯一性。
用反证法。
如果不然。
则∃ 21r r ≠，同时对任意 A a ∈，1r a ≤，2r a ≤对任意b 有1r b ≥ 2r b ≥，不妨设21r r <，令221'r r r +=显然2'1r r r <<⇒A r ∈'，B r ∈'，这与B A |是R 的一个分划矛盾。
唯一性得证。
定理证完。
2.区间套定理→确界定理证明：由数集A 非空，知∃A a ∈，不妨设a 不是A 的上界，另外，知∃b 是A 的上界，记[1a ，1b ]=[a ，b ]，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a+是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[1a ，211b a+]；如果211b a+不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[211b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点222b a+二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，便得区间套[na ，nb ]。
其中n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
由区间套定理可得，∃唯一的 ∞=∈1],[n n nb ar ，使∞→n lim n a =∞→n limn b = r 。
A x ∈∀，由≤x n b （n=1，2，……）， 令∞→n ，≤x ∞→n lim n b = r ∴ r是A 的上界。
实数完备性的六大基本定理的相互证明共个实数完备性的六大基本定理是实分析中的重要结果，其中包括单调有界原理、上确界原理、下确界原理、戴德金（Dedekind）分割原理、稳定原理和柯西（Cauchy）收敛准则。
这些定理互相独立，但可以相互推导和证明。
下面我将按照给定的字数要求，大致叙述这些定理之间的证明关系。
1.单调有界原理→上确界原理首先我们证明单调有界原理蕴含上确界原理。
假设存在一个非空有上界的实数集合A，我们可以定义一个从A到R （实数集）的单调递增序列。
考虑一个函数f：N→A，其中N是自然数集合。
我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令An={a∈A，a≤f(n)}；2.由于A有上界，所以An也有上界；3.根据单调有界原理，An存在上确界。
令f(n)为An的上确界。
现在我们可以看出，这个序列f(n)是一个单调递增的序列，并且对于任意a∈A，存在一个自然数n使得a≤f(n)。
因此f(n)就是A的上确界。
2.上确界原理→下确界原理接下来我们证明上确界原理蕴含下确界原理。
假设存在一个非空有下界的实数集合B，我们可以定义一个从B到R （实数集）的单调递减序列。
考虑一个函数g：N→B，其中N是自然数集合。
我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令Bn={b∈B，g(n)≤b}；2.由于B有下界，所以Bn也有下界；3.根据上确界原理，Bn存在下确界。
令g(n)为Bn的下确界。
现在我们可以看出，这个序列g(n)是一个单调递减的序列，并且对于任意b∈B，存在一个自然数n使得g(n)≤b。
因此g(n)就是B的下确界。
3.戴德金分割原理→单调有界原理接下来我们证明戴德金分割原理蕴含单调有界原理。
假设存在一个非空无上界的实数集合C，我们可以定义一个从C到R （实数集）的单调递增序列。
考虑一个函数h：N→C，其中N是自然数集合。
我们可以通过以下方法生成这个序列：1.对于每个n∈N，令Cn={c∈C，h(n)≤c}；2.C没有上界，因此Cn也没有上界；3.根据戴德金分割原理，Cn的上确界不存在。
