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案例分析1 降低自助食堂的成本——线性规划All-State 大学的自助食堂每个星期四的中午准时提供一道特殊的菜。
这种想来十分美味的菜是一种炖菜，包含有炒过的洋葱、煮熟的土豆片、绿豆和蘑菇汤。
不幸的是学生们没有能够看到这道菜的特殊质量。
他们为这道菜起了一个令人讨厌的名字，杀手炖菜。
学生们很不情愿吃这道菜，但是自助食堂对星期四的午餐只提供了有限的选择（也就是炖菜）。
自助食堂的经理Maria Gonzalez 希望明年可以降低成本。
她相信降低成本的一种当然的方法是购买较为便宜而质量可能比较低的配料。
由于这种炖菜是每星期自助食堂菜单中的重要组成部分，因此她认为如果她能够降低为制作这种炖菜所购买的配料的成本，整个自助食堂的营运成本将大大降低。
因此她决定花一些时间看看在保持营养和口味要求的情况下如何将成本降到最低。
Maria 集中研究降低这种炖菜的两种主要配料的成本，土豆和绿豆。
这两种配料占据了大多数的成本和营养成分，是影响口味的主要因素。
Maria 每星期从一个批发商那里购买土豆和绿豆。
土豆的成本是每磅0.4 美元，绿豆的成本是每磅1 美元。
All-Sate 大学规定了每一个自助食堂的主菜都必须达到的营养要求。
这道菜必须包含180克的蛋白质、80 毫克的铁、1050 毫克的维生素C ( 1 磅相当于454 克，1 克等于1000毫克）。
为了简化计划，Maria 假设这道炖菜中只有土豆和绿豆提供了营养。
它们的营养成分信息如下表所示：( 1 盎司相当于31.1 克）Edson Branner 是自助食堂的厨师，非常注重于口味。
她告诉Maria 为了使得炖菜可口，土豆和绿豆的总量比至少应当是6 : 5 。
在得到了在自助食堂就餐的学生数之后，Maria 得知她必须购买足够数量的土豆和绿豆，为每星期至少10 公斤的炖菜做好准备。
（1 公斤等于1000克。
）为了简化计划，她假设只有土豆和绿豆决定了能够准备的炖菜的数量。
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
食用调和油生产计划案例1.问题的提出调和油又称高合油，它是根据使用需要，将两种以上经精炼的油脂（香味油除外）按比例调配制成的食用油。
其原料常选用精炼大豆油、菜籽油、花生油、葵花籽油、棉籽油等，还可配有精炼过的米糠油、玉米胚油、油茶籽油、红花籽油、小麦胚油等特种油酯。
调和油是是目前市场上比较常见的食用油类之一，以其油色澄清、透明，味道香醇可口，营养较纯种食用油更加丰富均衡，逐渐成为市场上的主流。
在调和油制作成本上，厂家可根据配方，以一定的加工工艺将几种油脂混合配制，取代了传统的纯种油脂，从而大大降低了成本和市面价格，更加迎合消费者追求“物美价廉”的消费心理，为企业带来了效益。
但在调和油的生产过程中，伴随着原料的采购、贮存、加工，都必然要有一定资金和设备上的投入。
当然，除了这些必须具备的，以为了保证调和油质量的程序外，如何降低相关原料和设备所受社会和市场因素引起的价格升高，原料过长时间保养带来的负经济利润，从而实现企业生产成本降低，成为生产厂家不得不考虑的一个问题。
2.问题分析在上述的问题中，存在着一个不争的事实。
价格会随着社会和市场的因素的影响而产生变化，其关系即为“经济函数”（通过广泛地进行市场调查并且采集足够的统计资料，分析确定各宗经济变量之间的函数关系）。
而大量低价采购原料又会带来贮存和保鲜方面成本的升高。
相应关系式可概括为：生产成本=原料价格*数量+贮存保鲜费用+加工费（加工成本+工人工资）+机器折损费+产品维护费用。
3.题目要求食油厂精炼两种类型的原料油——菜籽油和花生油，并将精制油混合得到一种调和油产品。
生产流程如下图所示：菜籽油原料油来自两个产地，而花生原料油来自另外三个产地。
据预测，这5种原料油菜籽油1採購菜籽油2採購花生油1採購花生油2採購花生油3採購的价格从一至六月分别为：表1 五种原料油的价格（元/吨）成品调和油售价为11000元/吨。
菜籽油和花生油需要由不同的生产线来精炼。
线性规划应用案例线性规划是一种在约束条件下寻找最优解的数学优化方法。
它在实际应用中广泛使用，涉及许多领域和行业。
本文将介绍两个典型的线性规划应用案例：运输问题和产能规划问题。
一、运输问题运输问题是线性规划最早发展起来的一个领域，它是指如何在各个供应地和需求地之间运输商品，以使得总运输成本最小。
一个典型的运输问题可以描述为：有m个供应地和n个需求地，每个供应地和需求地之间有一个固定的运输成本和一个固定的供应和需求量。
问题是如何确定每对供需地之间的运输量，以使得总运输成本最小。
举例来说，假设有三个供应地A、B、C，三个需求地X、Y、Z。
运输成本如下表所示：\begin{array}{ c c c c c c }&X&Y&Z&供应量\\A&10&12&8&100\\B&6&8&7&200\\C&9&10&11&300\\需求量&150&175&125&\\\end{array}求解此问题的线性规划模型如下：目标函数：minimize \quad Z = 10x_{11} + 12x_{12} + 8x_{13} + 6x_{21} + 8x_{22} + 7x_{23} + 9x_{31} + 10x_{32} + 11x_{33}约束条件：x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 100x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 200x_{31} + x_{32} + x_{33} \leq 300x_{11} + x_{21} + x_{31} \geq 150x_{12} + x_{22} + x_{32} \geq 175x_{13} + x_{23} + x_{33} \geq 125x_{ij} \geq 0, i = 1,2,3 \quad j = 1,2,3其中x_{ij}表示从供应地i到需求地j的运输量。
问题描述：
靠近某河流有两个化工厂(见图1-1)，流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
化工厂1每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，化工厂2每天排放的工业污水为1.4万立方米。
从化工厂1排出的污水流到化工厂2前，有20%可自然净化。
根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。
因此两个工厂都需处理一部分工业污水。
化工厂1处理污水的成本是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元/万立方米。
问:
在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使两个工厂处理工业污水的总费用最小。
线性规划案例研究韦德玻璃制品公司新产品生产问题李克很兴奋，他领导的小组获得了显著的成功。
作为韦德玻璃制品公司发展部经理，李克凭着自己领导的小组开发的创新产品，使公司取得了相当大的增长，公司总裁吴总已公开表示过李克在公司近来的成功中所起的关键作用。
事情是这样的，吴总在6个月之前要求李克小组开发了下列新产品：2米的铝矿玻璃门；1米*1.5米的双把木框窗尽管这些规格的门窗产品其他几家公司已有生产，吴总还是认为李克能施展他惯用的魔法在产品中引入使人兴奋异常的新特征，而这些新特征将会建立新的工业标准。
现在李克真是喜不自禁，因为他们已经开发出新产品了。
背景韦德玻璃制品公司生产高质量的玻璃制品，包括工艺精湛的窗和玻璃门。
尽管这些产品昂贵，但它们是为客户提供的行业中最高质量的产品。
公司有三个工厂：工厂1：生产铝矿和五金件工厂2：生产木框工厂3：生产玻璃和组装窗与门由于某些产品销售量的下降，高层管理部门决定调整公司的产品线。
如果征得管理部门的同意，不盈利的产品要停止生产并撤出生产能力来生产李克小组开发的两个新产品。
此外，韦德公司的生产计划是以周为单位制定的。
收到李克所写的两个新产品的备忘录，吴总召集了一次会议来讨论当前的问题。
包括吴总、李克，制造副总裁老毕和营销副总裁安娜参加了会议。
李克介绍了了产品的特性。
他认为玻璃门有三个特性能够引起消费者的驻足和注意。
一是玻璃门的隔热价值，它比市场上现有的任何一个玻璃门都要高得多。
开发人员采用了三种方式来实现这个特性：第一种是两面上光；第二种是在两面玻璃之间充入惰性气体；第三种是使用了特殊涂层和色料。
第二个特性是李克所使用的玻璃比一般的玻璃有更佳的紫外线防护能力，第三个特性是这种玻璃很难打破，用大锤都不容易打碎它，有人在玻璃上行走或者一只鸟撞向玻璃，它都不会破碎。
双把木框窗所用的玻璃与玻璃门相同。
此外，木材的精细加工使其保存极为长久，而且窗还有一个专门机关，使得它比一般的窗更容易滑动。
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
饮食规划问题分析摘要本案例旨在解决一个与饮食规划相关的管理问题。
通过应用线性规划方法，我们将建立一个模型来帮助一个人根据营养需求和食材成本，制定最佳的饮食计划。
问题描述希望根据自己的营养需求，在预算限制下制定每日的饮食计划。
1确保摄入足够的蛋白质、碳水化合物、脂肪和维生素，并且希望最小化食材的总成本。
2已知不同食材的营养含量和价格，确定每种食材的最佳购买量，以满足所需的营养需求并节约成本。
模型的构建1. 变量定义：- Xi：购买的食材i的数量（单位：克）2. 目标函数：Minimize: ∑(i) Pi * Xi其中，Pi表示食材i的价格（单位：货币单位/克）3. 约束条件：蛋白质约束：∑(i) Ni * Xi ≥P碳水化合物约束：∑(i) Ci * Xi ≥C脂肪约束：∑(i) Fi * Xi ≥ F维生素约束：∑(i) Vi * Xi ≥V预算约束：∑(i) Pi * Xi ≤ B非负约束：Xi ≥0为了模拟数据，我们将使用一个简化的饮食规划问题来说明。
假设我们有以下食材和相关参数：4 变量确定鸡胸肉：价格0.3 货币单位/克，蛋白质含量20g/100g，碳水化合物含量0g/100g，脂肪含量2g/100g，维生素含量0g/100g米饭：价格0.1 货币单位/克，蛋白质含量7g/100g，碳水化合物含量28g/100g，脂肪含量0.3g/100g，维生素含量0g/100g鸡蛋：价格0.2 货币单位/克，蛋白质含量13g/100g，碳水化合物含量1.1g/100g，脂肪含量10g/100g，维生素含量0.2g/100g个人营养需求：蛋白质需求：每日需要摄入至少50g碳水化合物需求：每日需要摄入至少150g脂肪需求：每日需要摄入至少30g维生素需求：每日需要摄入至少0.5g预算限制：每日食材购买总成本不超过10 货币单位5建立线性规划模型（1）变量定义：X1：购买的鸡胸肉数量（单位：克）X2：购买的米饭数量（单位：克）X3：购买的鸡蛋数量（单位：克）（2）目标函数：Minimize: 0.3 * X1 + 0.1 * X2 + 0.2 * X3（3）约束条件：蛋白质约束：20/100 * X1 + 7/100 * X2 + 13/100 * X3 ≥50碳水化合物约束：0/100 * X1 + 28/100 * X2 + 1.1/100 * X3 ≥150脂肪约束：2/100 * X1 + 0.3/100 * X2 + 10/100 * X3 ≥30维生素约束：0/100 * X1 + 0/100 * X2 + 0.2/100 * X3 ≥0.5预算约束：0.3 * X1 + 0.1 * X2 + 0.2 * X3 ≤10非负约束：X1 ≥0, X2 ≥0, X3 ≥06 模型的spss求解与分析我们将根据上述数据和模型构建的线性规划模型来进行分析。
