线性规划案例

线性规划的应用线性规划是运筹学中一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。

广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。

如：经济管理、交通运输、工农业生为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。

线性规划作为运筹学的一个研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的重要分支，它在日常生活中的典型应用主要有：1合理利用线材问题：如何下料使用材最少2配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润3投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大4产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大5劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要6运输问题：如何制定调动方案，使总运费最小其实，也就是说，线性规划在运筹学中的研究对象主要是在有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高和在某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。

例如：某公司现有三条生产线来生产两种新产品，其主要数据如表1.1所示。

请问如何生产可以让公司每周利润最大？表1 产品组合问题的数据表此问题是在生产线可利用时间受到限制的情形下寻求每周利润最大化的产品组合问题。

在建立产品组合模型的过程中，以下问题需要得到回答：（1）要做出什么决策？（2）做出的决策会有哪些条件限制？（3）这些决策的全部评价标准是什么？（1）变量的确定要做出的决策是两种新产品的生产水平，记x1为每周生产产品甲的产量，x2为每周生产产品乙的产量。

一般情况下，在实际问题中常常称为变量（决策变量）。

（2）约束条件求目标函数极值时的某些限制称为约束条件。

如两种产品在相应生产线上每周生产时间不能超过每条生产线的可得时间，对于生产线一，有x1≤4，类似地，其它生产线也有不等式约束。

（3）目标函数对这些决策的评价标准是这两种产品的总利润，即目标函数是要求每周的生产利润（可记为z，以百元为计量单位）为最大这样，可以把产品组合问题抽象地归结为一个数学模型：max z = 3x1+5x2s.t. x1 ≤42x2 ≤123x1+ 2x2 ≤18x1≥0，x2 ≥0。

即根据所估计的数据，韦德玻璃制品公司的最优新产品生产方案为每周生产2扇门，6扇窗，此时可获利3600元。

因为目前这些产品均为投产，管理科学小组通过分析来自于现行的同类产品的数据，而后根据新产品的特性，做出的些变动和预测，获得了这些数据，但是公司相关人员指出这些数据是很粗略的。

下面我们计算估计的单位利润改变，对产品的组合产生怎样的影响，以及估计单位利润在怎样的范围之内变动不会影响最后的最优解。

单位利润的改变，即为和的改变，假设门的利润增加Δ，窗的利润增加
Δ，因和均为基变量，因此导致了的改变，原单纯形表中的检验数和最
优值都会发生改变。

检验数λ
4=C4-B-1 P4=（0,0）-（0,500+Δ，300+Δ
=-150-Δ+Δ
λ5=C5-B-1 P5=（0,0）-（0,500+Δ，300+Δ）
=-100-Δ
C’B-1b= (0.500+Δ300+Δ) =3600+6Δ+2Δ
要保证检验数,小于0，即
-150-Δ+Δ<0
-100-Δ<0
因此，可以得出结论：当门窗的利润变化在上式要求变化之内，最优解不变。

而从MAXZ=3600+6Δ+2Δ可以看出，当Δ、Δ为正数，即门、窗的利润中有一
者或全部增加时，可获得的最大利润会相应增加。

且当门的利润增加1单位，总利润可以增加6单位，窗的利润增加1单位，总利润可增加2个单位。

线性规划经典例题【问题描述】某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要2小时的生产时间，产品B每件需要3小时的生产时间。

产品A的利润为200元/件，产品B的利润为300元/件。

每天的生产量不能超过100件。

工厂希翼最大化每天的利润。

【数学建模】设工厂每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

根据题目条件，可以得到以下数学模型：目标函数：最大化利润Maximize Z = 200x + 300y约束条件：1. 生产时间限制：2x + 3y ≤ 82. 产量限制：x + y ≤ 1003. 非负性约束：x ≥ 0，y ≥ 0【求解过程】将目标函数和约束条件转化为标准形式，得到如下线性规划模型：Maximize Z = 200x + 300ysubject to2x + 3y ≤ 8x + y ≤ 100x ≥ 0，y ≥ 0使用线性规划求解器进行求解，得到最优解。

【求解结果】经过计算，得到最优解为：x = 50（产品A的件数）y = 16.67（产品B的件数，近似值）此时，工厂每天的最大利润为：Z = 200 * 50 + 300 * 16.67 = 33333.33 元（近似值）【结果分析】根据最优解，工厂每天应该生产50件产品A和16.67件产品B，以达到每天最大利润33333.33元。

由于生产时间和产量限制，工厂无法达到每天生产更多的产品。

【结论】根据线性规划模型的最优解，工厂每天生产50件产品A和16.67件产品B，可以获得每天最大利润33333.33元。

这个结果可以作为工厂生产计划的参考，以实现最大化利润的目标。

【备注】以上的数学模型和求解结果仅为示例，实际问题中的数值和约束条件可能有所不同。

为了得到准确的结果，需要根据具体情况进行调整和求解。

2020/8/1
多个资源系数同时变动分析
例如，将 1 个小时的用工时间从3车间移到2车间，对总利润 产生什么影响？
总利润增加 3650 - 3600 = 50 元， 而目标系数未变，所以最优解肯定 发生变化，
2020/8/1
百分之百法则
如果约束右端值同时变动，计算出每一变动占允许变动量的 的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子 价格依然有效；否则，就无法确定。
2020/8/1
灵敏度分析的概念
LP 问题的系数有 aij、bi 、 cj，这些系数往往是估计值 或预测值。
市场条件变化， cj 值就会变化；工艺条件和技术水平改 变， aij 就变化； bi 是根据资源投入后的经济效果决定的一种 选择，市场供应条件发生变化时，亦会改变。
提出问题:
• 当 LP 问题的系数有一个或几个发生变化时，已求得的最优 解会有什么变化； • 这些系数在什么范围内变化时，LP 问题的最优解不会变化。
再改变参数
最优解变了
2020/8/1
那么，保持最优解不变的价值系数允许 变化范围？
改变最优解的临界值是什么呢？
敏感性报告
在“规划求解结果”中 选定“敏感性报告”。 得到一个工作表：
2020/8/1
敏感性报告
最优解
目标函数系数
“递减成本” --- 表示目标函数的系数必须改变多少，才能使 决策变量有正数解。 “允许的增量”和“允许的减量” --- 给出最优解不变的范围。 如门的系数范围： 0≤c1≤750；窗的系数范围：c2≥200
2020/8/1
资源数量变化的分析
考虑只有一个右段值 bi 改变：2 车间可用工时由原来的 12小 时增加到 13 小时，最优解如何变化呢？再变化呢？

问题描述：某电视机工厂生产四种型号的特用电视机：Ⅰ型——轻便黑白，Ⅱ型——正规黑白，Ⅲ型——轻便彩色，Ⅳ型——正规彩色。

各型号每台所需组装时间、调试时间、销售收入以及该厂组装调试能力如表2.47所示。

表2.47但现在显像管紧缺，每月最多只能进货180只，其中彩色显像管不超过100只。

令1x 、2x 、3x 、4x 一次表示各型号每月计划产量。

现工厂需拟定使目标总销售收入z 为最大的生产计划。

（1）写出该问题的数字模型，对于约束条件依下列次序：组装时间、调试时间、显像管数、彩色显像管数，并引入松弛变量，使之为等式。

（2）用单纯形法求解得终表如图2.48所示。

表2.48BCBXbB 1-4 6 8 10 0 0 0 01x 2x3x 4x5x6x7x8x0 8x50 -0.2 0 0.2 0 0.1 -0.50 1 6 2x 125 0.51 00 0.25 -0.750 0 0 7x5 0.3 0 0.2 0 -0.15 0.25 1 0 104x 500.2 0 0.8 1 -0.1 0.5 0 0jσ-10 -0.5-0.5试分别回答：（1）最优生产是什么？是否还有其他最优生产计划？为什么？ （2）组装时间的影子价格是多少？（3）若外厂可调剂增加80小时的调试时间，但每小时需付0.4（百元），这样Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 工厂能力（h ）组装时间 调试时间 8 2 10 2 12 4 15 5 2000 500 售 价（百元）46810的调剂值得吗？能增加多少收入？（4）若Ⅰ型机售价由4（百元）增加到4.5（百元），最优计划会改变吗？如果增加到5.5（百元）呢？说明理由。

（5）写出本问题的对偶模型，并指出其最优解。

解：建立模型：由该问题，可建立如下模型：设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型、Ⅳ型分别生产1x 台、2x 台、3x 台、4x 台，则可列出目标函数及线性约束条件： MaxZ=41x +62x +83x +104x81x +102x +123x +154x ≤200021x +22x +43x +54x ≤5001x +2x +3x +4x ≤1803x +4x ≤100ix ≥0 （i=1、2、3、4）将该模型进行标准化，则引入松弛变量5x 、6x 、7x 、8x ，则变为：MaxZ=41x +62x +83x +104x81x +102x +123x +154x +5x ≤200021x +22x +43x +54x +6x ≤5001x +2x +3x +4x +7x ≤1803x +4x +8x ≤100ix ≥0 （i=1、2、3、4、……7、8）第1步：启动子程序“Linear and Integer Programming ”。

线性规划实际案例
线性规划（LinearProgramming）是一种模型化工具，它可以帮
助我们更好地解决有限资源最大化利用的计算问题。

线性规划可以找出给定问题的最优解，这使得其在商业决策中受到越来越多的重视。

本文将介绍线性规划的一些实际案例，并阐述其优势以及在商业决策中的应用。

首先，我们从最简单的线性规划开始讨论。

在一组普通工作面前，线性规划可以让我们避免“最小化最大值”方面的问题，从而更容易找出最佳解决方案。

例如，假设我们正在解决以下简单的问题：有两种产品A和B，要在有限的资源内生产尽可能多的产品，并获得最大的利润。

在这种情况下，我们可以使用简单的线性规划，通过计算生产各种产品所消耗的资源，并将此类资源最大化利用以获得最大利润，最终找到最优解决方案。

其次，我们可以将线性规划作为其他更复杂问题的解决方案。

例如，我们可以使用线性规划来求解众多变量相互影响之间的最优解决方案。

它可以解决各种复杂的组合优化问题，例如投资组合优化、产品组合优化、成本优化等。

另外，它也可以用来解决货币及其它各种金融上的优化问题。

最后，线性规划可以用来解决各种决策问题。

例如，对于一个商业决策，管理者往往希望尽可能地实现最大的预期价值，以及尽可能最小的风险，这也是线性规划的一个典型应用场景。

同样，我们也可以使用线性规划来进行企业资源调度、供应链调度等各种决策，最终
获得最佳的结果。

综上所述，线性规划可以应用于众多场景，其优势是可以快速找出最优解决方案，在商业决策中可以起到非常有效的作用。

以上是本文介绍的关于线性规划实际案例，欢迎各位读者积极探索这一领域，为商业决策及其它工作增加价值。

1. 在一个金属板加工车间内，要从尺寸为48分米⨯96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。

此车间接到订单要求生产8块大小为36分米⨯50分米的矩形金属板，13块大小为24分米⨯36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米⨯30分米的矩形金属板。

这些金属板都需要从现有的大金属板上切割下来。

为了生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大金属板？ 列出该问题的线性规划模型。

2. 某县级市正在研究引进公交系统以减轻市内自驾车引起的烟尘污染。

这项研究的目标是寻求满足运输所需要的最少公交车数。

在收集了必要的信息之后，市政工程师注意到，每天所需的最少公交车数随一天中的时间不同而变化，而且所需的最少公交车数在若干连续的4小时间隔内可以近似看成一个常数。

图1描述了工程师的发现，为了完成公交车所需的日常维护，每辆公交车一天只能连续运行8小时，问该市至少需要多少量公交车？列出该问题的线性规划模型。

0:004:008:0012:0016:0020:0024:00481248107124图13. 某银行正在制订一项总额可达6000万元的贷款策略，表1提供了各类贷款的相关数据。

表1贷款类型 利率 坏账比率 个人 0.140 0.10 汽车 0.130 0.07 住房 0.120 0.03 农业 0.125 0.05 商业0.1000.02其中，坏账不可收回且不产生利息收入。

为了与其它金融机构竞争，要求银行把至少40%的资金分配给农业和商业贷款。

为扶持当地的住房产业，住房贷款至少要等于个人、汽车和住房贷款总额的50%。

银行还有一项明确的政策，不允许坏账的总比例超过全部贷款的4%。

试寻求一种最佳贷款策略，使得银行的净收益达到最大。

建立此问题的线性规划模型。

4.某种产品在未来4个季度的需求量分别是300，400，450，250件，每件的价格在第1季度以20元开始，其随后的每个季度增加2元。

供应商在任一季度最多可以提供产品400件。

一个关于市场营销的运筹学案例
演讲者：物流工程 20133046 王思聪
比格斯百货公司连锁店雇用了一家广告 公司来确定为它的店投资哪种和多大的广告 量，3种广告形式是电视、商业电台、报纸。 零售商想知道每种广告的购买量，以达 到最好的宣传效果。 根据估计每种广告或商业宣传的受众影 响面和成本如表所示：
S.t.
用Excel 进行计算机求解
线性规划问题
整数线性规划
解的分析
线性规划结果：
决策变量 电视广告数量x1 电台广告数量x2 报纸广告数量x3
目标函数Z=
1.81818181
整数规划结果：
决策变量 电视广告数量x1 电台广告数量x2 2 9
报纸广告数量x3
目标函数Z=
4
184000
谢谢大家 ！
影响面（人）
成本（美元）
电视广告 电台广告 报纸广告
20000 12000 9000
15000 6000 4000
公司需要考虑如下的资源约束：
1.广告的预算是100000美元
2.电视台只有播出4个商业宣传的时间
3.电台有播出10个商业宣传的时间
4.报纸的版面可以做7个广告
5.广告代理商只有制作15个商业宣传或广告 的人员和时间
9000x3
—— 可以看到报纸广告的人数
模型约束条件：
15000x1+6000x2+4000x3 ≤100000美元
X1 ≤ 4个电视广告
x2 ≤10个电台广告
x3 ≤ 7个报纸广告
X1+x2+x3 ≤15个商业广告和宣传
模型综述：
Max Z =20000 x1 + 12000 x2 + 9000 x3

线性规划经典例题一、问题描述：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每件需要1小时的加工时间，产品B每件需要2小时的加工时间。

公司每天的总加工时间不能超过8小时。

产品A的利润为100元/件，产品B的利润为200元/件。

公司希望最大化每天的利润。

二、数学建模：设公司每天生产的产品A的件数为x，产品B的件数为y。

则目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：1. 生产时间约束：x + 2y ≤ 82. 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0三、线性规划模型：Maximize Z = 100x + 200ySubject to:x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0四、求解方法：可以使用线性规划求解器进行求解，例如使用单纯形法或内点法等。

以下是使用单纯形法求解的步骤：1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：Maximize Z = 100x + 200y约束条件：x + 2y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 02. 引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束：x + 2y + s1 = 8x ≥ 0y ≥ 0s1 ≥ 03. 构建初始单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | 0 | 0-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 84. 进行单纯形法迭代计算：a. 选择进入变量：选择目标函数系数最大的非基变量，即选择y进入基变量。

b. 选择离开变量：计算各个约束条件的最小比值，选择比值最小的非基变量对应的约束条件的基变量离开基变量。

在本例中，计算得到最小比值为4，对应的约束条件为x ≥ 0，所以x对应的基变量离开基变量。

c. 更新单纯形表：基变量 | x | y | s1 | 常数项-----------------------------Z | 0 | 0 | -2 | -400-----------------------------s1 | 1 | 2 | 1 | 8d. 继续迭代计算，直到目标函数系数均为负数或零，达到最优解。

3
层次分析法和德尔菲法
哈尔滨城市综合承载力评价指标体系构建
城市综合承载力的评价实质上就是判定该城市现有的承载力能否支撑目前
的人口规模及人类各种经济社会活动的规模和强度。衡量城市综合承载力需
要考虑以下几个方面： 1)环境承载力2)资源承载力3)基础设施承载力4)生态系统承载力5)安全承载 力6)公共服务承载力7)科学技术承载力8)社会文化承载力 通过德尔菲法和参考已有的研究成果等初步确立了1个一级指标，8个二级 指标，49个三级指标，本次参与德尔菲法的专家组由15位专家组成，包括住 建部城市建设司人员3人、城乡规划司人员2人、哈尔滨城乡规划局人员4人 、哈尔滨市政府人员2人、哈尔滨社会研究所人员4人，所有专家都具有多年 的工作经历和丰富的实践经验，充分了解城市发展历程和城市发展动力所在 。应用sPss软件对城市综合承载力评价指标进行相关性检验等一系列优化处
5.采用时间尺度分析的方法，提取交通流的时间一尺度耦合特征考虑到每个网格站点的负载量，得到时间一尺 度耦合元线性回归
基于一元线性回归分析的公路工程企业定额消耗量 推算方法研究
在公路工程施工过程中影响人工消耗量的因素很多，大致可以分为生产条件方面、技术条件方面、组织条件方面三类。而 这些影响条件根据其影响因素变化规律的不同又可分为连续性因素和间断性因素。连续性影响因素的特点是影响因素对于人 工消耗的影响变化是呈连续性渐变的。对于此类问题而言，一元线性回归分析方法是一种很好的分析影响因素带来影响大小 的方法。
3.在上述网络模型分析的基础上，采用 Small—World模型模拟交通拥堵在复杂 路网中的动态演进过程，如图。
1
线性回归
基于线性规划的城市交通流优化调度模型
4.在上述交通路网模型构建的基础上，进行交通流信息特征提取， 信息特征提取之前，采用线性规划方案，对交通网络路网结构进行 线性分割，分割结果，如图

简单的线性规划典型例题篇一：典型例题：简单的线性规划问题典型例题【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验． 3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)①二元一次不等式Ax+By+C>0（或②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

11




Matlab程序： C=[1,1,1,1,1]'; b1=[-100,-100,-100,0,0,0,0,0]; A1=[-1,-2,0,-1,0;0,0,-2,-2,-1;-3,-1,-2,0,-3;1,0,0,0,0;0,-1,0,0,0;0,0,-1,0,0;0,0,0,1,0;0,0,0,0,-1]; [x,fv]=linprog(C',A1,b1)
项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但 规定最大投资额不能超过80万元； 项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但 规定最大投资额不能超过100万元。
24
问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五 年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）据测定每万元每次投资的风险指数如下表： 应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五 年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得 其投资总的风险系数为最小？
目标函数： Min
4

Matlab求解线性规划基本模型
函数调用格式：
[ x, fv] linprog (C , A1, b1, A2, b2, x1, x2)
'
5


Matlab程序：
C=[1,1,1,1,1,1]'; A1=[-1,0,0,0,0,-1; -1,-1,0,0,0,0; 0,-1,-1,0,0,0; 0,0,-1,-1,0,0; 0,0,0,-1,-1,0; 0,0,0,0,-1,-1;]; b1=[-60,-70,-60,-50,-20,-30]; [x,fv]=linprog(C',A1,b1)
(供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3;投资问题

用单纯形法求得的最优下料方案为： 方案Ⅰ—30根，方案Ⅱ—10根，方案Ⅳ—50根。 即只需90根原材料，就可以制造出100套钢筋架子。 余料16米。
进一步讨论： 5 1.将目标函数变为所用原材料“根数最少”，即minz x j 约束条件不变，利用LINGO软件计算， 用Lingo求解 最优解为：方案Ⅱ下40根，方案Ⅲ下30根，方案Ⅳ下20根。 2.约束条件的改进及完善 m i nz 0.1 x 2 0.2 x 3 0.3 x4 0.8 x5 x1 2 x 2 x4 100 在求解线性规划问题时，若约束条件为等式约束， 则容易产生无可行解。 2 x 3 2 x4 x5 100 因此在建模的时候，尽量避免使用等式约束。 3 x1 x 2 2 x 3 3 x5 100 对于此例，如果条件改为“要求制作 x j 0( j 1, ,5) 29套”钢筋架子， 目标函数仍然用“余料最少”，则相应的模型为：
方案Ⅳ用 x4 根，方案Ⅴ用 x5 根。
则线性规划模型为：
m i nz 0.1 x 2 0.2 x 3 0.3 x4 0.8 x5 x4 100 x1 2 x 2 2 x 3 2 x4 x5 100 3 x5 100 3 x1 x 2 2 x 3 x j 0( j 1, ,5)
min z x2 x3 x4 x5 x1 2 x2 x4 111 2 x 2 x x 111 4 5 3 3 x1 x2 2 x3 3 x5 111 x j 0且为整数( j 1, ,5)
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结果为： 方案Ⅰ下32根， 方案Ⅱ下12根，
用Lingo求解
无可行解

1、基金使用计划某校基金会有一笔数额为M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。

当前银行存款及各期国库券的利率见下表。

假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。

取款政策参考银行的现行政策。

校基金会计划在n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n 年末仍保留原基金数额。

校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券。

3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

2、面试顺序问题有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。

由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表所示。

这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。

假定现在时间是早晨8：00，请问他们最早何时能离开公司？面试时间要求会议筹备问题某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。

由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。

为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。

筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。

根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。

从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。

一、研究目的（一）、理解线性规划原理并能采用线性规划模型为如何有效的利用现有的人力物力完成更多的任务提供一个或几个合理的方案；（二）、学会针对实际问题建立数学模型；（三）、掌握用LINDO软件求解线性规划问题；（四）、为普朗医疗器械公司12月份如何安排小型X光机PLX101D和高频数字化诊断X射线机PLD6000生产建立数学模型并进行求解。

二、问题的描述随着生活水平的提高，人们对医疗设备的性能要求越来越高。

普朗医疗器械公司从一些客户得知关于小型X光机PLX101D和高频数字化医用诊断X射线机PLD6000的信息，为拓展本公司的产品品种范围，提升产品档次，满足客户对产品性能和质量的更高要求，决定下月生产小型X光机PLX101D和高频数字化医用诊断X射线机PLD6000，但根据市场调查，成产这两种产品的原材料涨价，12月份对高频数字化医用诊断X射线机PLD6000的需求量不大于10台。

该公司生产该两种X射线机的利润、消耗的主要原材料和劳动力和下个月可提供的原材料和劳动力如下表所示。

为获得最大的总利润，普朗医疗器械公司该如何安排生产？注：数据来源于普朗医疗器械公司官方网、百度三、方法选择（一）、求解的方法和软件分别是：线性规划模型、LINDO（二）、选择线性规划模型和利用LINDO软件进行求解的原因：线性规划方法是企业进行总产量计划时常用的一种定量方法。

线性规划是运筹学的一个重要分支，主要用于研究有限资源的最佳分配问题。

LINDO是美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包。

LINDO软件的最大特色在于可以允许优化模型中的决策变量是整数，而且执行速度很快。

（三）、求解过程：1、建模:设下个月小型X光机PLX101D和高频数字化医用诊断X射线机PLD6000的生产量分别为X1（台）和X2（台），则可列出如下线性规划模型：max Z=10X1+15X2s．t． 282X1+400X2≤2000 原材料约束4X1+40X2≤140 劳动力约束X2≤10 需求约束X1、X2≥0,且为整数2、线性整数规划模型的LINDO软件求解过程：第一步：打开LINDO软件第二步：在打开的LINDO软件页面中，输入数据模型如下面截图所示：第三步：点击按钮“Solve”—“Solve”，如下截图所示第四步：在出来的页面中，再点击按钮“否”和“Close”，即可得到问题的最优解。