垂径定理练习题汇总

一．选择题（共7小题）

1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）

A． cm B． cm C． cm或cm D． cm或cm

2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）

A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

3．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）

A． 6 B． 5

C． 4 D． 3

4．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（

）

A． OE=BE B． =

C． △BOC是等边三角形 D． 四边形ODBC是菱形

5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（ ）

A． 40cm B． 60cm C． 80cm D． 100cm

6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ） 优质文档

相信能就一定能

A． B． 1 C． 2 D． 2

7．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（ ）

A． （5，4） B． （4，5） C． （5，3） D． （3，5）

二．解答题（共7小题）

8．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．

9．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，

（1）求AB的长；

（2）求⊙O的半径．

10．（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．

（1）求证：OC=OF；

（2）求证：AB=DE． 优质文档

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11．（2009•浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

12．（2008•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．

（1）求证：四边形AEOF为菱形；

（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．

13．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．

14．（2007•青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径． 优质文档

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参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）

A． cm B． cm C． cm或cm D． cm或cm

考点： 垂径定理；勾股定理．

专题： 分类讨论．

分析： 先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．

解答： 解：连接AC，AO，

∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，

∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，

当C点位置如图1所示时，

∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，

∴OM===3cm，

∴CM=OC+OM=5+3=8cm，

∴AC===4cm；

当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，

∵OC=5cm，

∴MC=5﹣3=2cm，

在Rt△AMC中，AC===2cm．

故选：C．

点评： 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ） 优质文档

相信能就一定能

A． 2 B． 4 C． 6 D． 8

考点： 垂径定理；勾股定理．

专题： 计算题．

分析： 根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．

解答： 解：∵CE=2，DE=8，

∴OB=5，

∴OE=3，

∵AB⊥CD，

∴在△OBE中，得BE=4，

∴AB=2BE=8．

故选：D．

点评： 本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．

3．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）

A． 6 B． 5 C． 4 D． 3

考点： 垂径定理；勾股定理．

分析： 过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．

解答： 解：过O作OC⊥AB于C，

∵OC过O，

∴AC=BC=AB=12，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．

故选：B．

点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．

4．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ） 优质文档

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A． OE=BE B． =

C． △BOC是等边三角形 D．

四边形ODBC是菱形

考点： 垂径定理．

分析： 根据垂径定理判断即可．

解答： 解：∵AB⊥CD，AB过O，

∴DE=CE，=，

根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．

故选：B．

点评： 本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．

5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（ ）

A． 40cm B． 60cm C． 80cm D． 100cm

考点： 垂径定理的应用；勾股定理．

分析： 连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．

解答： 解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，

∵直径为200cm，AB=160cm，

∴OA=OE=100cm，AM=80cm，

∴OM===60cm，

∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．

故选：A．

点评： 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ） 优质文档

相信能就一定能

A． B． 1 C． 2 D． 2

考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．

分析： 作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′=OA，即为PA+PB的最小值．

解答： 解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，

则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，

∵∠AMN=30°，

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，

∵点B为劣弧AN的中点，

∴∠BON=∠AON=×60°=30°，

由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，

∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，

∴△AOB′是等腰直角三角形，

∴AB′=OA=×1=，

即PA+PB的最小值=．

故选：A．

点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△AOB′是等腰直角三角形是解题的关键．

7．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（ ）

A． （5，4） B． （4，5） C． （5，3） D． （3，5）