【全国百强校】江苏省海安高级中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题
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【全国百强校】江苏省海安高级中学【最新】高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，{|1}A x x =>，2{|1}B x x =>，那么()UA B 等于（ ）A ．{|11}x x -<≤B ．{|11}x x -<<C ．{|1}x x <-D ．{|1}x x ≤-2．直线30()x m m R ++=∈的倾斜角为( ) A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．已知非零向量m ，n 的夹角为3π，且(2)n m n ⊥-+，则||||m n =（ ） A ．2B ．1C ．12D ．134．已知函数f (x )={log 2x,x >0x 2,x ≤0 ，若f(4)=2f(a),则实数a 的值为（）A ．-1或2B ．2C ．-1D ．-25．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，a b ==，60A =，则B =( )A ．45B ．60C ．120D ．1356．如图，为测量A,C 两点间的距离,选取同一平面上的B,D 两点,测出四边形ABCD 各边的长度(单位:km)分别为AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，若A ，B ，C ，D 四点共圆，则AC 的长为（）A ．5 kmB ．6 kmC ．7 kmD ．8 km7．关于直线,,a b l 以及平面,αβ，下面命题中正确的是（ ） A ．若//,//a b αα，则//a b B ．若//,a b a α⊥，则b α⊥ C ．若,//a a αβ⊥，则αβ⊥D ．若,a b αα⊂⊂，且,l a l b ⊥⊥，则l α⊥ 8．已知函数f(x)=Asin(x ωϕ+ )(A>0，ω>0，22ππϕ-<<)的部分图象如图所示.若横坐标分别为-1、1、5的三点M,N,P 都在函数f(x)的图象上,则sin ∠MNP 的值为（ ）A ．35B ．35C ．45-D ．459．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．△QEF 的面积10．如图所示，已知PA ⊥面ABC ，AD BC ⊥于D ，1BC CD AD ===，令PD x =，BPC θ∠=，则（ ）A ．2tan 2xx θ=+ B ．2tan 1x x θ=+ C ．21tan 2x θ=+D ．21tan 1x θ=+二、填空题11．若tan(2)2αβ+=，tan 3β=-，则tan()αβ+=__________．12．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为________cm 3．13．已知ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且5tanB =6ac a 2+c 2−b 2，则sinB 的值是___．14．已知()()74,1,1xa x a x f x a x ⎧--<=⎨≥⎩是-∞+∞（，）上的增函数，那么a 的取值范围是______．15．已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是______．16．在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且01k <<），(BD l l =为定长），则ABC ∆的面积最大值为_______．三、解答题17．三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，且a 2+c 2=b 2+ac ． （1）若cosA ＝13，求sinC 的值；（2）若b ＝√7，a ＝3c ，求三角形ABC 的面积．18．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中， 11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥ 1AC ；（3）设点E,F,H,G 分别是111111,,,B C AA A B B C 的中点，试判断,,,E F H G 四点是否共面，并说明理由．19．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //．（1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．20．已知函数f(x)=4x +a ⋅2x ,x ∈[−1,2] （1）若f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围； （2）若f(x)的最小值为−1，求a 的值．21．如图，两座建筑物,AB CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角45CAD ∠=︒．（1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点(P 点P 与点,B C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,APB DPC αβ∠=∠=问点P 在何处时，αβ+最小？22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()P 0,1且互相垂直的两条直线分别与圆22O :x y 4+=交于点A ，B ，与圆()()22M :x 2y 11-+-=交于点C ，D ．（1）若AB ＝372，求CD 的长； （2）若直线AB 斜率为2，求ABM ∆的面积； （3）若CD 的中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．参考答案1．C 【解析】 【分析】可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【详解】由题得{|1B x x =<-或1}x >， {|1}UA x x =，(){|1}U A B x x ∴=<-.故选：C 【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．C 【分析】先根据直线方程得斜率，再求倾斜角. 【详解】因为直线30x m ++=，所以直线斜率为=120︒，选C. 【点睛】本题考查直线斜率以及倾斜角，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．B 【详解】∵()2n m n ⊥-+，∴()20nm n -+=即220n m n -=，又非零向量,m n 的夹角为3π ∴20n m n -=，∴1m n=故选B4．A 【解析】 【分析】利用分段函数对a 讨论，列出方程求解即可． 【详解】函数f （x ）={log 2x ，x ＞0x 2，x ≤0，则f （4）＝2，当a ＞0时，f （4）＝2f （a ）＝2，解得a ＝2． 当a ≤0时，f （4）＝2f （a ），2a 2＝2，解得a ＝﹣1， 综上a ＝﹣1或2． 故选：A ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 5．A 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】3a b =>= ,B A B ∴<为锐角，由正弦定理可得，sin sin 2b AB a===，所以45B =，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 6．C【分析】利用余弦定理，结合∠B+∠D＝π，即可求出AC的长．【详解】∵A、B、C、D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π．∴∠B+∠D＝π，∴由余弦定理可得AC2＝52+32﹣2•5•3•cos D＝34﹣30cos D，AC2＝52+82﹣2•5•8•cos B＝89﹣80cos B，∵∠B+∠D＝π，即cos B＝﹣cos D，∴22 34893080AC AC---=，∴可解得AC＝7．故选C【点睛】本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于基本知识的考查．7．C【分析】利用正方体模型，举出A、B、D三项的反例，得出A、B、D三项均为假命题，通过排除法可得C选项为正确答案．【详解】以正方体为例对于A选项，设下底面ABCD为平面α，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a、b都平行于平面α，但直线a、b不平行，故A项不对（如图1）对于B选项，设下底面ABCD为平面α，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面α的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面α不垂直，故B选项不对（如对于D 选项，设下底面ABCD 为平面α，直线AB 、CD 所在直线分别为a 、b ，AD 1所在直线为l ．可见直线a 、b 是平面α内的平行线，虽然直线a 、b 都与直线l 垂直，但直线l 与平面α不垂直，故D 选项不对（如图3） 由A 、B 、D 都不对，得应该选择C 选项．故选C 【点睛】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决问题． 8．D 【解析】 【分析】根据图象，可得函数的最小正周期T ＝8，结合周期公式得ω4π=．再根据f （1）＝1是函数的最大值，列式可解出φ的值，得到函数f （x ）的解析式进而得出M 、N 、P 三点的坐标，结合两点的距离公式得到MN 、PN 、PM 的长，用余弦定理算出cos ∠MNP 的值，最后用同角三角函数平方关系，可得sin ∠MNP 的值． 【详解】由图可知，最小正周期T ＝（3﹣1）×4＝8，所以ω24T ππ==． 又∵当x ＝1时，f （x ）有最大值为1，∴f （1）＝sin （4π+φ）＝1，得4π+φ2π=+2k π，k ∈Z ∵2π-＜φ2π＜，∴取k ＝0，得φ4π=．所以函数的解析式为f （x ）＝sin （4πx 4π+）．∵f （﹣1）＝0，f （1）＝1且f （5）＝sin （4π⨯54π+）＝﹣1．∴三点坐标分别为M （﹣1，0），N （1，1），P （5，﹣1），由两点的距离公式，得|MN |=|PN |＝|MP |=∴根据余弦定理，得cos ∠MNP 35==-．∵∠MNP ∈（0，π）∴sin ∠MNP 是正数，得sin ∠MNP 45== 故选D 【点睛】本题函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象和解析式，着重考查了三角函数的图象与性质、余弦定理和同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题． 9．B 【详解】试题分析：将平面QEF 延展到平面11CDA B 如下图所示，由图可知，P 到平面11CDA B 的距离为定值.由于四边形11CDA B 为矩形，故三角形QEF 的面积为定值，进而三棱锥P QEF -的体积为定值.故A ，C ，D 选项为真命题，B 为假命题.考点：空间点线面位置关系.10．A【分析】由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ．【详解】因为PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，所以AC AB PA===，PC BP==在△PBC中，根据余弦定理可得2222cos2PB PC BCBP PCθ+-==⨯所以()()()()222222222141tan11cos22x x xx xθθ++=-=-=++所以2tan2xxθ=+所以选A【点睛】本题考查直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．11．-1【分析】根据()2αβαββ+=+-,利用两角差的正切公式计算即可得结果.【详解】()()tan tan 2αβαββ⎡⎤+=+-⎣⎦ ()()231123--==-+⨯-.【点睛】该题考查的是有关角的正切值的求解，涉及到的知识点有两角差的正切公式，属于简单题目. 12【解析】 由题意知，弧长为4π×8=2π， 即围成圆锥形容器底面周长为2π， 所以圆锥底面半径为r=1， 可得圆锥高， 所以容积V=13πr 2×h=13πcm 3；13．35【解析】试题分析:因,故由5tanB =6aca 2+c 2−b 2可得,即.故应填答案35.考点：余弦定理及同角关系得的运用．14．776⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】 【分析】根据题意，由分段函数的单调性分析可得()70174a a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）()7411x a x a x a x ⎧--=⎨≥⎩，＜，是（﹣∞，+∞）上的增函数， 必有()70174a a a a a⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞，解可得76≤a ＜7，即a 的取值范围为：776⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故答案为776⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质，注意三点：第一段单调性，第二段单调性，断点处的函数值的比较，属于中档题. 15．5⎡⎣【分析】根据题意，将直线变形为()()2420m x y n y ---=，分析可得该直线恒过点()4,2，设()4,2Q ，进而分析可得点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，直线()2420mx m n y n -++=，即()()2420m x y n y ---=，则有2402x y y -=⎧⎨=⎩，解可得42x y =⎧⎨=⎩，则直线l 恒过点()4,2．设()4,2Q ，又由MP 与直线垂直，且M 为垂足，则点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，其方程为()()22345x y -+-=，所以55OM ≤≤；即OM的取值范围是5⎡⎣；故答案为5⎡⎣．【点睛】此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆； （2）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧．特别地，当2A π=，则A 的轨迹为圆（除去,B C ）；（3）如果,A B 为定点，且动点M 满足22MA MB λ+=(λ为正常数)，则动点M 的轨迹为圆；16．222(1)l k -【解析】 【分析】如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，设A （x ，y ），y ＞0，根据题意得到AD ＝kAB ，两边平方得到关系式，利用勾股定理化简后表示出y 2，变形后利用二次函数的性质求出y 的最大值，进而确定出三角形ABD 面积的最大值，根据AD ＝kAC 即可得出三角形ABC 面积的最大值． 【详解】如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，设A （x ，y ），y ＞0， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝kAC ＝kAB ，即AD 2＝k 2AB 2， ∴（x ﹣l ）2+y 2＝k 2（x 2+y 2），整理得：y2()()2222222222222221()121111(1)l k l k x k x lx l k lk k kk k ---+--+---==≤---， ∴y max 21klk =-， ∵BD ＝l ，∴（S △ABD ）max ()2221kl k =-，则（S △ABC ）max 1k=（S △ABD ）max ()2221l k =-．故答案为()2221l k -【点睛】此题考查了二次函数的性质，坐标与图形性质，弄清题意是解本题的关键．17．（1）√3+2√26； （2）3√34.【解析】 【分析】（1）根据a 2+c 2＝b 2+ac ．由余弦定理求出cos B ，cos A =13，再求解sin A ，sin B ，根据sin C ＝sin （B +A ）打开即可求解．（2）由a 2+c 2＝b 2+ac ．b =√7，a ＝3c ，根据余弦定理求解a ，c 的值，即可求出三角形ABC 的面积． 【详解】（1）由余弦定理，cosB =a 2+c 2−b 22ac=ac 2ac =12．又B 为三角形内角，则B ＝π3 ．因为cosA ＝13，且A 为三角形内角，则sinA ＝2√23， 故sinC ＝sin(B ＋A)＝sin(π3＋A)＝ √32cosA ＋12sinA ＝√3+2√26．（2）由a ＝3c ，由余弦定理知：b 2＝ a 2＋c 2－2accosB ，则7＝9c 2＋c 2－3c 2，解得c ＝1，则a ＝3．面积S ＝12acsinB ＝3√34．【点睛】本题考查了余弦定理的运用和三角形ABC 的面积的计算．属于基础题． 18．（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明BC ∥平面AB 1C 1；（2）先证明AB ⊥平面BB 1C 1C ，得AB ⊥B 1C ，再证明B 1C ⊥平面ABC 1，得出B 1C ⊥AC 1；（3）先证明平面EHG ∥平面11AAC C ，由 F ∈平面11AAC C ，得 F ∉平面EHG ，即,,,E F H G 四点不共面．（1）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C ． 因为 BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ，所以 //BC 平面11AB C ．（2）在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥． 因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ， 平面11AA B B平面111BB C C BB =，AB平面11ABB A ，所以 AB ⊥平面11BB C C ． 故 1AB B C ⊥在菱形11BB C C 中， 111,,B C BC AB BC B ⊥⋂= 故1B C ⊥ 面1ABC ， 1AC ⊂面1ABC ,故1B C ⊥ 1AC ；（3）四点不共面． 理由如下： 因为E,G 分别是111,B C B C 的中点， 所以 GE ∥1CC ． 同理可证：GH ∥11C A ． 因为 GE平面11BB C C ，GH ⊂平面EHG ，GEGHG ，1CC ⊂平面11AAC C ，11A C ⊂平面11AAC C ，所以 平面EHG ∥平面11AAC C ． 因为 F ∈平面11AAC C ，所以 F ∉平面EHG ，即,,,E F H G 四点不共面． 【点睛】本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目．19．（12）22x (y 1)5++=．【解析】()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程． 【详解】 解：()121l //l ，a 28a211+∴=≠，解得a 4=，1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l的距离d ===． ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--， 从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-． 由()1知C所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 20．（1）(−∞,−4]（2）-2 【解析】 【分析】(1)通过f(x)≤0恒成立，得到4x +a ⋅2x ≤0，x ∈[−1,2]，利用分离a 转化求解即可． (2)令t =2x ，则t ∈[12,4]，g(t)=t 2+at 开口向上，对称轴为直线t =−a2，通过a 的范围转化求解函数的最值推出结果． 【详解】(1)因为f(x)≤0恒成立，所以4x +a ⋅2x ≤0，x ∈[−1,2]， 化得a ≤−2x ，所以(−2x )min =−22≤−4，所以a ≤−4，即a 的取值范围为(−∞,−4].(2)令t =2x ，则t ∈[12,4]，g(t)=t 2+at 开口向上，对称轴为直线t =−a2， ①当−a2<12，即a >−1时，f(x)min =g(12)=14+a2=−1，则a =−52，不满足条件； ②当12≤−a2≤4，即−8≤a ≤−1时，f(x)min =g(−a2)=a 24−a 22=−1，则a =−2；③当−a 2>4，即a <−8时，f(x)min =g(4)=16+4a =−1，则a =−174，不满足条件． 综上所述，a 的值为−2. 【点睛】本题考查二次函数的最值，不等式恒成立问题，易错点是讨论对称轴与区间的关系分类不全． 21．（1）18 （2）当BP为27)m 时，αβ+取得最小值 【解析】试题分析：（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，在已知三角形ACD 中将所求的BC 边与已知的AB ，CD 用三角形内角45的三角函数值联系起来，得到所求边的方程，从而求解边长值；（2）求角的大小一般转化为先求角的三角函数值的大小，借助于得到的BC 边长将两角的正切值用已知三边表示即得到了角与边长的三角函数关系，从而转化为求函数值域问题，当函数式较复杂时可考虑函数导数工具求值域试题解析：（1）作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =， 则tan tan tan tan()1tan tan CAE DAECAD CAE DAE CAE DAE∠∠∠=∠∠=-∠⨯∠++961961x x x x==-⋅+，化简得215540x x --=，解之得，18x =或3x =-（舍） 答：BC 的长度为18m ．（2）设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，2291516266(27)18tan()9151813518135118t t t t t t t t t tαβ-===-----⋅-++++++．设227()18135tf t t t =--++，222542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当27)t ∈时，()0f t '<，()f t是减函数；当27,18)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，12分 因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2αβπ∈π+， 因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值． 答：当BP为27)m 时，αβ+取得最小值． 考点：1．三角函数基本公式；2．函数导数求值域 22．(1)(2)(3) ,42⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【分析】（1）分析直线斜率是否存在，当斜率存在时，利用圆中半弦长，半径，弦心距构成直角三角形求解即可（2）直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为210x y -+=，求出弦长，点M 到直线的距离,利用三角形面积公式求解即可（3）表示出△ABE 的面积S ＝12AB·d ＝2214t k =+>，换元后根据二次函数求最值即可.【详解】(1) 由题可知，直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线AB ：y ＝kx ＋1. 因为O 点到直线AB 的距离d 1，∴22AB ⎛⎫⎪⎝⎭+2⎛⎫＝4，∴AB ＝由k 2＝15. 因为直线AB 与直线CD 互相垂直，则直线CD ：y ＝1k-x ＋1，∴M 点到直线CD 的距离d 2211-+-，∴22CD ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1－2211⎛⎫⎪-+-，CD ＝. (2) 直线AB 斜率为2，则直线AB 方程为210x y -+=O ∴到直线AB距离为5M 到直线AB距离为5d =AB ∴==1·2ABM S AB d ∆∴== (3)当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S ＝12×4×2＝4； 当直线AB 的斜率存在时，设为k ，则直线AB ：y ＝kx ＋1，k≠0，直线CD ：y ＝－1kx ＋1.<1得k 2>3， 所以k ∈(－∞∪∞)．因为22AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2⎛⎫＝4，所以AB ＝因为E 点到直线AB 的距离即M 点到直线AB 的距离d，所以△ABE 的面积S ＝12AB·d ＝令214t k=+>，则S＝=41104t t >∴<<S ∴∈4⎫⎪⎪⎝⎭.综上，△ABE面积的取值范围是4⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了圆中弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形，换元法，二次函数求最值，属于难题.。
