函数定义域概念

函数定义域的应用

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积s与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

s=（50-x）

故函数关系式为：s=（50-x）．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量

的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量 取负数或不小于50的数时，s的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量 的范围：

即：函数关系式为：s=（50-x） （0＜x＜50 ）

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：

例2：求函数y=4x-5+的值域．

错解：令t=则2x=t2+3

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2（t+）2+≥ 故所求的函数值域是[+∞] ．

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1．

故所求的函数值域是[1, +∞）．

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f（x）=1og2（x2+2x）的单调区间．

解：先求定义域：

∵x2+2x＞0 ∴x＞0或x＜-2

∴函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）．

令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，

在x∈（0，+∞）上时， u为增函数。

又∵f（x）=log2u在[0，+∞]是增函数．

∴函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。

中学1对1课外辅导专家

成功不是凭梦想和希望，而是凭努力和实践

1 学科培训师辅导讲义

学员编号 年 级 高一 课时数 2

学员姓名 辅导科目 数学 学科培训师 周老师

课 题 函数定义域、值域

备课时间 2014年07月25日 授课时间 2014年07月26日

教学内容

知识点三：函数的定义域

一、课前检测

1. （2008全国）函数()1fxxxx的定义域是____________. 答案：1xx

2.函数()fx的定义域为[1,1]，则(1fx）的定义域为____________. 答案：0,2x

3．函数1()lg4xfxx的定义域为（ ）

.A(14)， .B[14)， .C(1)(4)，， .D (1](4)，，

二、知识梳理

1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 答案：有意义的自变量的取值

2．常见的三种题型确定定义域：

（1） 已知函数的解析式，就是 . 答案：解不等式（组）

如：①)()(xgxfy，则 ； ②)()(*2Nnxfyn，则 ；

③0)]([xfy，则 ； ④)(log)(xgyxf，则 ；

⑤tanyx，则 ； ⑥()fx是整式时，定义域是全体实数。

（2） 复合函数f [g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的

域.

（3）实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.

三、典型例题分析

例1。求下列函数的定义域

(1)2112yx|x|； 答案：112xxxx或且

求定义域的五种方法

1.根号下要求非负数,即大于等于0.如√(x-1) ,则x-1≥0

2. 分母不能为0,如1/x,x≠0

3. 对数函数中真数要大于0,如lgx,x>0函数的定义域

4. 根式(开偶次方)被开方式≥0

5.真数大于零 底数大于零且不等于1

组合函数:由若干个基本函数通过四则运算形成的函数，其定义域为使得每一部分都有意义的公共部分。

原则：（1）分式的分母不能为零；（2）偶次方根的内部必须非负即大于等于零；（3）对数的真数为正，对数的底数大于零且不等于1；（4）x0中，x≠0。

复合函数:若y=发（u），u=g（x），则y=f[g(x)]就叫做f和g的复合函数。其中y=f(U)叫做外函数，u=g（x）叫做内函数。

求函数定义域一般原则

①如果为整式，其定义域为实数集；

①如果为分时，其定义域是是分母不为0的实数集合；

①如果是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；

①如果是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各个式子都有意义的实数集合。

努力的你，未来可期!

拼搏的你，背影很美！ 第4节 函数的定义域

【基础知识】

1. 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.

2．求函数定义域的步骤：①写出使函数有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）

【规律技巧】

1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1；④含0()yfx，则()0fx；⑤含tan()yfx，则

(),2fxkkZ.

2.对于复合函数求定义域问题，若已知()fx的定义域[,]ab，则复合函数(())fgx的定义域由不等式()agxb得到.

3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.

4.与定义域有关的几类问题

第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；

第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；

第三类是不给出函数的解析式，而由()fx的定义域确定函数)]([xgf的定义域或由)]([xgf的定义域确定函数()fx的定义域．

第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．

【典例讲解】

例1、(1)函数y＝x＋－x2－3x＋4的定义域为______________．

(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝fxx－1的定义域是 ( )

A．[0,1] B．[0,1)

C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1) 努力的你，未来可期!

拼搏的你，背影很美！ 【拓展提高】

(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．

(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．