函数定义域值域

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1 函数的定义域、值域

知识要点：函数定义域、值域的意义与求法。

1. 定义：A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。记为y=f(x)

函数与映射：对于A、B两个集合，A中的每一个元素按照一定的对应法则在B中都有唯一的元素与之对应。A中不可以有剩余，B中可以有剩余。

注意：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，构成函数的两个集合A、B必需是数集。

2. 三要素：定义域、值域、对应法则。

注意:①认为“函数就是解析式”的想法是不够全面的,还应该考虑到定义域等,在解函数题时, 换元思想、方程思

想、紧密结合图像。②解 f[g(x)] 类型题时，应遵循先内后外的顺序③判断两个函数是否相同，要判断定义域和解析式是否都相同。 如：y = x 与 y =2()x，不是相同的函数。因为y =2()x 的定义域为[0,+∞）.

3. 函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。

4. 定义域和值域：函数f（x）中，x称为自变量，f（x）称为变量x的函数。全体x值组成的集合叫做定义域，函数值组成的集合叫做值域。

5. 求定义域的依据:

当f(x) 是整式时，定义域为R。

当f(x) 是分式，且x在分母上时，使分母不为零的x的解集。

当f(x) 是偶数次根式，且x在根式里面时，使被开方非负的x的解集。

当f(x) 是幂函数时，使底数非零或大于0的x的解集。

当f(x) 是对数函数时，使真数大于0的x的解集。

若已知 f(x) 的定义域Z，求复合函数f[g(x)] 的定义域。则定义域为g(x) ∈Z的解集。

若已知复合函数f[g(x)] 的定义域Z，求f(x) 的定义域。定义域为g(x) 的值域 (x∈Z)。

在实际问题中，除以上的之外，还应考虑实际情况中自变量的取值。

对于分段函数，定义域是各段x取值范围的并集。

当f(x) 是正切函数时，x≠2k，k∈Z。为余切函数是x≠k，k∈Z。

例1：函数21()34fxxx的定义域为A，函数()2gxxa的定义域为B，若A∩B= ，则实数a的取值范围是（ ） A. 12a B. 12a C. 21a D.

21a

例2．函数2ln(1)34xyxx的定义域为（ ） A (4,1) B．(4,1) C．(1,1)

D．(1,1]

例3：若121log21fxx,则fx的定义域为（ ）A. 1,02 B. 1,02 C. 1,2 D. 保持努力

2 0,

例4：函数f（x）的定义域为[-2,4],则函数g（x）=f（x）+f（-x）的定义域是

例5：已知函数f（x）的定义域为（a,b）,则函数g（x）=f（3x-1）+f（3x+1）的定义域是

例6：函数1615222xxxy的定义域为

含参数的定义域，例如：xxbay （a>0,a≠1,b>0,b≠1）

复合函数 例如f(x)、g(x),则有复合函数f[g(x)]、g[f(x)]。通常，它们不相等。

例题：已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)]=9x+4,求f(x) 表达式.

例题：已知56)23(xxf，求f(x)表达式.

例题：已知xxxf2)(，求f(x)表达式，已知xxxf2)1(求fx表达式.

抽象函数的定义域

已知函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1) 的定义域是_________

已知函数()fx的定义域为[0,1],函数2()fx的定义域为:___________

6. 求函数值域的常用方法。

闭区间上二次函数的最值（求最值时，应注意自变量的取值范围）

二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处

取得。具体如下：

A．当a>0时，若qpabx,2，则minmaxmax()(),()(),()2bfxffxfpfqa；

若qpabx,2，maxmax()(),()fxfpfq，minmin()(),()fxfpfq.

B．当a<0时，若qpabx,2，则min()min(),()fxfpfq，f(x)max=f(-b/2a)

若qpabx,2，则max()max(),()fxfpfq，min()min(),()fxfpfq

例题：当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值.最大值

，最小值

例题：当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。最大值 ，最小值

①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数求值域．

如：y=x+1的值域为

y=x2+1 的值域为 ，y=2x的值域为 。

函数x1y的值域

函数x3y的值域

对于分段函数，值域是各段函数值范围的并集。

②配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次 保持努力

3 函数型的值域的方法求函数的值域．

③判别式法：自变量x最高次为二次时，将函数y=f（x）视为关于自变量x的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数，无理函数等．使用此法要特别注意自变量的取值范围．

注意：若限定了自变量x所在的区间，则不能使用该方法。

例1：求函数21xxy的值域。 例2：求函数21xxy的值域。

④换元法：通过对函数解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域．例如：求函数21yxx的值域．（换元法：令1(≥0)　xtt）

⑤利用函数的单调性，结合函数图象求解

例题：求函数)10x2(1xlog2y35x的值域。 例题：求函数1x1xy的值域。

⑥配凑法 a. 对于分子、分母均含自变量的分式（分离系数法） 例如：求函数123xxy的值域。

b．对于分式与一次项的和的值域的求法。 例如：求函数x121xy的值域。

⑦不等式法：利用均值不等式。注意使用条件，必须非负。 例如：求函数111xxy的值域。

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4

例题：若函数y=x2-3x-4的定义域是[0,m],值域为[254,-4],求m的取值范围。

例题：已知函数243yxax值域为(-∞, 72],求a的值。

例题：若函数aaxaxy12的定义域是R，求实数a 的取值范围

例题：对实数a和b，定义运算“”：,1,,1.aababbab 设函数22()2,.fxxxxxR若函数()yfxc的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）

A．3,21,2 B．3,21,4 C．111,,44

D．311,,44

一．求定义域： 1. 求函数735432xxxy的定义域 2.求f(x)=xxxx||)2(lg2的定义域

3.求函数2|1|)43(432xxxy的定义域 4. 求函数的定义域。

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5

5. 已知f(x+1)的定义域为[-2，3），求的定义域。6. 求函数11232yxxx的定义域

7. 已知g(x)的定义域为[0,1],求g(x+a)+g(x-a)的定义域

8. 函数1122xxy的定义域为 9. 函数|3|12xxy的定义域为

二.求值域1.求函数5222xxy )32(x的值域 2.求函数 )32(x的值域。

3. 求函数 )32(x的值域。 ４．求函数的值域。

5．求函数的值域。 6. 求函数222121xxy的值域。 7.求函数xxy21的值域。

8.分别求函数221xxy和22xxy的值域。

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6 三．1. 在矩形荒地ABCD中，AB=10，CD=6，在边上分别取EFGH四点，如图所示，且AE=AH=CF=CG，建一个花园，如何设计可使花园面积最大

2. 某市现从事第二产业的人有100万人，平均每人每年创造产值a万元，现在决定从中分流出x万人去加强第三产业，分流后继续从事第二产业的人平均每人每年创造产值可增加2x%，而分流从事第三产业的人员每年创造产值1.2a万元，在保证第三产业产值不减少的情况下，分流出多少人，才能使二三产业总产值增加最多？

3. 已知函数32,2()(1),2xfxxxx若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,求k的取值范围

5. 已知：一次函数的图象交y轴于点（0，-1），交抛物线y=x2+bx+c于顶点和另一点（2，5），试求这个一次函数的解析式和b、c的值。

6．已知函数)cos(sinlog)(2xxxf，（1）求它的定义域和值域；

（2）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期；（3）求它的单调递减区间。