2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(4)(2月份)(含答案解析)

2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(4)(2月份)

一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 已知全集𝑈={0,1，2，3，4，5}，集合𝐴={2,5}，𝐵={0,1，5}，则(∁𝑈𝐴)∩𝐵等于( )

A. {0,1，5} B. {1,5} C. {0,1} D. ⌀

2. 若x，y满足不等式组{𝑥−𝑦≥1𝑥+𝑦≤1𝑦≥−1，则𝑧=𝑥−2𝑦的最小值为( )

A. −4 B. 1 C. 2 D. 4

3. 直线𝑥−√3𝑦+𝑎=0(𝑎为常数)的倾斜角𝛼为( )

A. 𝜋6 B. 𝜋3 C. 23𝜋 D. 56𝜋

4. 如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是选项图中的( )

A.

B.

C.

D.

5. 设𝑎⃗ 、𝑏⃗ 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使𝑎⃗

|𝑎⃗ |+𝑏⃗

|𝑏⃗ |=0⃗ 成立的是( )

A. 𝑎⃗ =−2𝑏⃗ B. 𝑎⃗ =2𝑏⃗ C. D.

6. 已知函数𝑓(𝑥)={𝑥2+4𝑥,𝑥<0,ln(𝑥+2),𝑥≥0,若方程|𝑓(𝑥)|−𝑎=0有四个不同的解，则a的取值范围是( )

A. (0,4) B. [0,4) C. [ln2,4) D. (ln2,4]

7. 从0，1，2，3，4五个数中选四个数字，组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )

A. 36 B. 60 C. 72 D. 96

8. 如图，ABCD为正四面体，𝐴𝐷⊥面𝛼于点A，点B、C、D均在平面𝛼外，且在平面𝛼的同一侧，线段BC的中点为E，则直线AE与平面𝛼所成角的正弦值为( )

A. √33

B. √32 C.

√22

D.

12

9. 函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−1𝑥在(0,+∞)的最小值为( )

A. −1 B. 1 C. −2 D. 2

10. 数列{𝑎𝑛}中，已知𝑎61=2 000，且𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+𝑛，则𝑎1等于( )

A. 168 B. 169 C. 170 D. 171

二、填空题（本大题共4小题，共18.0分）

11. 若复数𝑧=4+3𝑖，其中i是虚数单位，则复数z的模为______ ，1+𝑖𝑧的值为______ ．

12. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为__________．

13. 已知抛物线𝑦2=4𝑥的焦点为F，过F点做直线l相交抛物线于A，B两点，则16|𝐴𝐹|−|𝐵𝐹|的最大值为_________．

14. 设点p是曲线上的任意一点，则p到直线𝑥+𝑦+2=0的距离的最小值为_________ ．

三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）

15. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，𝑎=√5，𝑏=3，𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑠𝑖𝑛𝐴，则𝑠𝑖𝑛𝐴= (1) ；设D为AB边上一点，且𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△𝐵𝐶𝐷的面积为 (2)

16. 若直线3𝑥+4𝑦+𝑘=0与圆𝑥2+𝑦2−6𝑥+5=0相切，则k的值等于 ，若圆关于直线3𝑥+4𝑦+𝑘=0对称，则k的值等于 . 17. 在△𝐴𝐵𝐶中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足𝑏=𝑐，𝑏𝑐𝑜𝑠 𝐴=𝑎−𝑎𝑐𝑜𝑠 𝐵.如图所示，O是△𝐴𝐵𝐶外一点，∠𝐴𝑂𝐵=𝛾(0<𝛾<𝜋)，𝑂𝐴=√3，𝑂𝐵=2，则△𝐴𝐵𝐶是 (1)

三角形，平面四边形OACB面积的最大值是 (2) .

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

18. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D在BC边上，∠𝐶𝐴𝐷=𝜋4，cos∠𝐶=35．

(Ⅰ)求sin∠𝐴𝐷𝐵的值；

(Ⅱ)若𝐵𝐷=2𝐷𝐶=5，求△𝐴𝐵𝐷的面积．

19. 在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，M、N、P分别是和的中点，求证：

(1)；

(2)平面𝑀𝑁𝑃//平面𝐶𝐶1𝐷1𝐷．

20. 已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑎11，3𝑆𝑛+1是6与2𝑆𝑛的等差中项(𝑛∈𝑁∗)．

(1)证明数列{𝑆𝑛−32}为等比数列；

(2)𝑏𝑛=log3𝑎𝑛，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑇𝑛．

21. 已知以点𝐶(𝑎,2𝑎)(𝑎∈𝑅,𝑎≠0)为圆心的圆与x轴相交于O，A两点，与y轴相交于O，B两点，其中O为原点．

(1)当𝑎=2时，求圆C的标准方程．

(2)当a变化时，△𝑂𝐴𝐵的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

(3)设直线l：2𝑥+𝑦−4=0与圆C相交于M，N两点，且|𝑂𝑀|=|𝑂𝑁|，求|𝑀𝑁|的值．

22. 设函数，𝑎∈𝑅．

(Ⅰ)求函数𝑓(𝑥)的单调区间；

(Ⅱ)设𝑔(𝑥)=𝑥𝑒1−𝑥，若对于任意给定的𝑥0∈(0,𝑒]，若关于x的方程𝑓(𝑥)+1=𝑔(𝑥0)在(0,𝑒]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．

根据补集与交集的定义，计算即可．

解：全集𝑈={0,1，2，3，4，5}，集合𝐴={2,5}，𝐵={0,1，5}，

则∁𝑈𝐴={0,1，3，4}，

∴(∁𝑈𝐴)∩𝐵={0,1}．

故选：C．

2.答案：B

解析：解：由约束条件{𝑥−𝑦≥1𝑥+𝑦≤1𝑦≥−1作出可行域如图，

化目标函数𝑧=𝑥−2𝑦为𝑦=𝑥2−𝑧2，

由图可得，当直线𝑦=𝑥2−𝑧2过点𝐴(1,0)时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为1．

故选：B．

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

3.答案：A

解析：

本题考查直线的倾斜角的求解，属于容易题．

由直线的一般方程求得斜率由斜率与倾斜角的关系求解．

解：∵𝑘=𝑡𝑎𝑛𝛼=√33， ∴𝛼=𝜋6．

故选A．

4.答案：C

解析：

本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，熟练掌握基本空间图形的三视图形状是解答的关键，属于基础题目．

根据直观图，结合三视图规则，可得该几何体的俯视图．

解：根据直观图，结合三视图规则，可得该几何体的俯视图是，

故选C．

5.答案：A

解析：

本题主要考查了向量共线定理的应用，属于基础题．

根据向量共线定理，可得若𝑎⃗

|𝑎⃗ |+𝑏⃗

|𝑏⃗ |=0⃗ 成立，则向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 共线且方向相反，对照各个选项即可得出结论．

解：由𝑎⃗

|𝑎⃗ |+𝑏⃗

|𝑏⃗ |=0⃗ ，

得𝑏⃗

|𝑏⃗ |=−𝑎⃗

|𝑎⃗ |，即𝑏⃗ =−|𝑏⃗ ||𝑎⃗ |⋅𝑎⃗ ，

则向量𝑎⃗ 、𝑏⃗

共线且方向相反，

因此当向量𝑎⃗ 、𝑏⃗

共线且方向相反时，

能使𝑎⃗

|𝑎⃗ |+𝑏⃗

|𝑏⃗ |=0⃗ 成立，

对照各个选项，可得B项中向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 的方向相同，

C项中向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 的方向相同或相反，

D项中向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 的方向互相垂直，

只有A项能确定向量𝑎⃗ 、𝑏⃗ 共线且方向相反．

故选A． 6.答案：C

解析：

本题考查函数图象的应用、函数的零点与方程根的关系.作出函数𝑦=|𝑓(𝑥)|与𝑦=𝑎的图象，结合图形即可求出结果．

解：，

作出函数𝑦=|𝑓(𝑥)|与𝑦=𝑎的图象，如图所示：

由图象可知，a的取值范围为．

故选C．

7.答案：B

解析：

本题考查分类加法计数原理的应用，解题时要注意数字0的特殊性，进而分2种情况进行讨论．

根据题意，分析可得四位数的个位数字为0、2、4之一，进而分2种情况讨论，①个位是0，②个位是2或4，由排列数公式计算得到每种情况下的四位数的个数，最后由分类加法计数原理计算可得答案．

解：根据题意，要求组成的是无重复数字的四位偶数，则个位数字为0、2、4之一，

分2种情况讨论，

①个位是0，则其他三位从剩余的4个数中任取3个数作排列，有𝐴43=24种；

②若个位是2或4，有2种情况，

千位数字有3种选择，

百位和十位，有𝐴32=6种，

因此个位非零时，共有2×3×6=36， 综合可得，共有24+36=60个无重复数字的四位偶数，

故选B．

8.答案：A

解析：解：如图，

∵四面体ABCD为正四面体，设正四面体ABCD的棱长为a，

则△𝐴𝐵𝐶为边长为a的正三角形，又E为BC边的中点，∴𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，

在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐵中，𝐴𝐸=√𝐴𝐵2−𝐵𝐸2=√𝑎2−(𝑎2)2=√32𝑎．

取AD的中点M，连接BM、CM，

∵四面体ABCD为正四面体，∴𝐵𝑀⊥𝐴𝐷，𝐶𝑀⊥𝐴𝐷，

又𝐵𝑀∩𝐶𝑀=𝑀，

由线面垂直的判定定理知，𝐴𝐷⊥平面BCM，

故平面𝐵𝐶𝑀//平面𝛼，

∴平面BCM到平面𝛼的距离为𝑎2，

∴𝐸到平面𝛼的距离为𝑎2．

则直线AE与平面𝛼所成角的正弦值𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑎2𝐴𝐸=𝑎2√32𝑎=√33．

故选：A．

设出正四面体ABCD的棱长，由𝐴𝐷⊥平面𝛼于A，点B、C、D均在平面𝛼外，且在平面𝛼同一侧，若取AD的中点M，易证𝐴𝐷⊥平面BCM，故平面𝐵𝐶𝑀//平面𝛼，将求点E到平面𝛼距离的问题转化为两平面间距离的问题求解，则直线AE与平面𝛼所成角的正弦值为E到平面𝛼距离除以AE．

本题考查了直线与平面所成的角，考查了数学转化思想方法，在解答此题的过程中，将点到面的距离转化为面面间的距离，是中档题．

9.答案：B