人教版数学八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课件(共27张PPT)

13.4 课题学习 最短路径问题

一、教课方案理念

最短路径问题在现实生活中常常碰到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连结

直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、

平移、旋转等变化进行研究。

本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体睁开对“最短

路径问题” 的课题研究， 让学生经历将实质问题转变为数学识题， 利用轴对称、平移等变化

再把数学识题转变为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短” （或“三角形两边之和

大于第三边”）解决问题，表现了数学化的过程和转变思想。

最短路径问题从实质上说是最值问题，作为初中生，此前极少在几何中接触最值问题，

解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题，更会感觉陌生，

无从下手．解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如安在直线 l 上找到点 C，使 AC 与 CB

的和最小”，需要将其转变为“在直线 l 异侧两点的线段和最小值问题”，为何需要这样

转变、如何经过轴对称、平移变化实 现转变，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明

作法的合理性时，需要在直线上任取点 (与所求作的点不重合 )，证明所连线段和大于所求作

的线段和， 这种思路、方法，一些学生想不到．因此在讲堂上特别对这几个问题进行了针对

性的设计。

二、教课对象剖析

八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。

向来以来， 学生对多媒体环境下的几何研究都十分感兴趣， 有较强的好奇心， 在学习上有较

强的求知欲念，学习投入程度大。他们察看、操作、猜想能力较强，但演绎推理、概括、运

用数学意识的思想比较单薄，思想的广阔性、 矫捷性、灵巧性比较短缺，自主研究和合作学

习能力也需要在讲堂教课中进一步增强和指引。 学生在数学识题的提出和解决上有必定的方

法，但不够深入和全面， 需要教师的指引和帮助， 学生自己拥有必定的研究精神和合作意识，

13．4 课题学习 最短路径问题

1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点)

2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点)

一、情境导入

相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

二、合作探究

探究点：最短路径问题

【类型一】

两点的所有连线中，线段最短

如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)

解析：利用两点之间线段最短得出答案．

解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．

方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

【类型二】

运用轴对称解决距离最短问题

在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．

解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点．

方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．

【类型三】

最短路径选址问题

如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?

(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．

13.4 课题学习 最短路径问题

基础题

知识点 最短路径问题

1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．

2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.

(1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短；

(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．

3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小．

4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

中档题

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．

6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.

(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；

(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．

7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．

(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．

(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．

8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．

综合题

9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.

(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；

人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题练习题

一、选择题

1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）

A． B．

C． D．

2．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）

A． B． C．6 D．3

3．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．4 D．3

4．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（m，m﹣2），则AB+OB的最小值是（ ）

A．2 B．4 C．2 D．2

5．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

6．在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，3），B（1，0），C是y轴上的一个动点，当△ABC的周长最小时，则△ABC的面积为（ ）

A．2 B． C．3+ D．

7．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）

A．6 B．12 C．16 D．20

8．已知两点M（3，2），N（﹣1，3），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为（ ）

A．（，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（﹣，0）

9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）