人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)

人教版义务教育教科书◎数学八年级上册

13.4 课题学习 最短路径问题

教学目标

1．了解将军饮马及造桥选址两个常见类型．

2．会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题．

3．能初步应用将军饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目．

教学重点难点

1．将实际问题抽象为数学问题．

2．解答最短路径问题．

课时安排

2课时．

教案A、B

第1课时

教学内容

将军饮马．

教学过程

一、导入新课

问题1 如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

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二、探究新知

1．将实际问题抽象为数学问题

师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．

（1）把A、B两地抽象为两个点；

（2）把河边l近似地看成一条直线（下图），C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．

2．尝试解决数学问题

（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？

利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求．

（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？

（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决．

（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？

学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：

作出点B关于l 的对称点 B′，利用轴对称的性质，可以得到 CB′＝CB（下右图）．连接AB′，则AB′与l 的交点即为所求．

梯子网试题库：?source=fromwk

1、

如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（ ）

A．50

B．50

C．50﹣50

D．50+50

D

过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．

解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，

过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．

MK=40+10=50，

作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．

∵LN=AS==40．

∴KN=60+40=100．

∴MN==50．

梯子网试题库：?source=fromwk

∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．

∴四边形PABQ的周长=50+50．

故选D．

2、

如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）

A．（﹣2，0）

B．（4，0）

C．（2，0）

D．（0，0）

C

梯子网试题库：?source=fromwk

作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入求出解析式是y=x﹣2，把y=0代入求出x即可．

解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，

则此时AP+PB最小，

即此时点P到点A和点B的距离之和最小，

中垂（角平分）线与等腰三角形联手巧解题

角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线,遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．

一、角平分线与等腰三角形

例1、如图1，在△ABC中，∠BAC,∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE∥AC，分别交AB,BC于点D，E．试猜想线段AD，CE，DE的数量关系，并说明你的猜想理由．

分析:当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．由于OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，DE∥AC，可得△ADO和△CEO均是等腰三角形，则DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DE。

解:AD+CE＝DE．理由如下：OA,OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠OAC=∠DAO,∠OCA=∠OCE，因为DE∥AC,所以∠DOA=∠OAC,∠EOC=∠OCA，所以∠DOA=∠DAO，∠EOC=∠OCE，所以DO＝DA,EC＝EO，故AD+CE＝DO+EO=DE。．

例2、如图2，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC,交BA的延长线于点E,垂足为点F．说明:AE＝AP．

分析:要说明AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD 平分∠BAC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以AD∥EF，所以可得到△AEP是等腰三角形，故AE＝AP．

解：作AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD，因为AB=AC,所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以∠ADC=∠EFC=90°，所以AD∥EF，所以∠BAD=∠E,∠CAD=∠APE，所以∠E=∠APE,所以AE=AP.

二、中垂线与等腰三角形

例3、如图3，在RtABC△中,90C，DE是AB的垂直平分线，

交BC于D，E是垂足，∠CA D∶∠CAB＝1∶3 ，求∠B的度数．

分析：由DE是AB的垂直平分线,得DA＝DB，从而DABB,

13.4 课题学习 最短路径问题

1．最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：

证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

所以直线l是线段BB′的垂直平分线．

因为点C与C′在直线l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，

所以AC＋BC＜AC′＋C′B.

【例1】 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．

解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；

(2)连接AB′交直线l于点M.

(3)则点M即为所求的点．

点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．