八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题课件 (新

课题 13.4课题学习：最短路径——造桥选址问题 主备人 汪前进

授课人 汪前进 课 型 综合问题解决课 授课时间 2017、4、3

教学

目标 教学知识点

能利用平移解决造桥选址问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用;感悟转化思想。

能力训练要求

在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力培养学生的创新意识及应用意识。

情感与价值观要求

通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,培养学生乐于探索的学习态度，体现人人都学有所用的数学。

重点 利用平移变换解决造桥选址问题并利用“两点之间，线段最短”公理进行证明

难点 利用平移变换解决问题

关键 平移变换将折线转化为直线

教学

环节 教师有效问题设计 学生活动设计 设计意图

一、情境引入（5分钟）

1、旧知回顾：

师：上节课我们探究了最短路径问题，请你用所学知识解决下面的问题。

问题：要在公路m旁建一所小学，到A村和B村的距离和最小？应该建在什么位置？为什么？

（1）

（2）

2、导入：

在现实生活中还有很多涉及到选择最短路径的问题,本节我们将再利

用数学知识来探究 数学中有名的“造桥选址问题”

出示问题：

造桥选址问题：

回顾第一课时内容，思考问题，并回答问题

（抽学生回答，教师出示作图课件）

对问题的探索做准备，

激发学生兴趣

二、自主探究、

合作交流

A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)

教师出示引导分析：

先将实际问题抽象为几何模型，

1、直接连接AB行吗？为什么？

2、路径是哪些线段之和？

3、桥的位置发生变化后，路径中哪些线段是不变的，哪些在变？

4、路径最短就是哪些线段之和最小？

5、路径中的线段可以转化吗？

课件演示：将直线L一分为二，上面部分向上平移变为如图，再将上面部分向下平移回到直线异侧两点的情况。

13．4 课题学习 最短路径问题

1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点)

2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点)

一、情境导入

相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

二、合作探究

探究点：最短路径问题

【类型一】

两点的所有连线中，线段最短

如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)

解析：利用两点之间线段最短得出答案．

解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．

方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

【类型二】

运用轴对称解决距离最短问题

在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．

解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点．

方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．

【类型三】

最短路径选址问题

如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?

(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．

13.4 课题学习 最短路径问题

基础题

知识点 最短路径问题

1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．

2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.

(1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短；

(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．

3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小．

4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

中档题

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．

6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.

(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；

(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．

7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．

(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．

(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．

8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．

综合题

9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.

(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；

人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题练习题

一、选择题

1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）

A． B．

C． D．

2．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）

A． B． C．6 D．3

3．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝8，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．4 D．3

4．在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（m，m﹣2），则AB+OB的最小值是（ ）

A．2 B．4 C．2 D．2

5．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12

6．在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，3），B（1，0），C是y轴上的一个动点，当△ABC的周长最小时，则△ABC的面积为（ ）

A．2 B． C．3+ D．

7．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）

A．6 B．12 C．16 D．20

8．已知两点M（3，2），N（﹣1，3），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为（ ）

A．（，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（﹣，0）

9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）