13.4《课题学习最短路径问题》第1课时PPT课件人教版数学八年级上册

1 13.4 课题学习 最短路径问题

第1课时 课题学习 最短路径问题（1）

【教学目标】

1.掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.

2.能利用轴对称和平移解决实际问题中路径最短的问题.

【重点难点】

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”.

难点：最短路径问题的解决思路及证明方法.

┃教学过程设计┃

教学过程 设计意图

一、直接导入

利用轴对称不但可以设计出美丽的图案，而且在解决现实生活中的某些问题时其作用也是神奇的.前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“饮马问题”. 开门见山直接导入，用问题激起学生探究的兴趣.

二、师生互动，探究新知

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问题1：要在公路上修建一个泵站C，分别向公路两侧A，B两镇供气，泵站修在什么地方，可使泵站C到A，B两镇所用的输气管线最短？

教师提出问题：“这是个实际问题，你打算首先做什么呢？”

学生回答：“将A，B两镇抽象成两个点，将公路抽象为一条直线”.

继而教师提出问题：“为什么交点到两端点的距离之和最小呢？”

学生会非常自然地想到“两点之间，线段最短”的理论来证明.

教师再次提问：“如果另取一点C′，你能证明此时的距离超过了刚才的距离吗？”学生会想到连接AC′，BC′，用“三角形两边之和大于第三边”去证明.

问题2：“饮马问题”.

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河流l边饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

让学生经历简单数学建模的过程，并引导学生根据已有的生活和知识经验找到点C是线段AB与公路的交点.

让学生初步尝试了“最值问题”的证明方法，起到了分散难点的作用.

3 此题是课本例题，引导学生把实际问题转化为数学问题，即把A，B两地抽象为两点，将河流l抽象成为一条直线，再让学生用自己的语言说明这个问题的意思.

13．4 课题学习 最短路径问题

1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点)

2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点)

一、情境导入

相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

二、合作探究

探究点：最短路径问题

【类型一】

两点的所有连线中，线段最短

如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)

解析：利用两点之间线段最短得出答案．

解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．

方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

【类型二】

运用轴对称解决距离最短问题

在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．

解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．

解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点．

方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．

【类型三】

最短路径选址问题

如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)?

(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．

13.4 课题学习 最短路径问题

基础题

知识点 最短路径问题

1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．

2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.

(1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短；

(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．

3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小．

4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

中档题

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．

6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.

(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；

(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．

7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．

(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．

(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．

8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．

综合题

9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.

(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；

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课题：13.4课题学习 最短路径问题

教学内容 最短路径问题

教学

目标

知识与技能：

通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.

过程与方法：

让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想和方法.

情感、态度与价值观：

在数学教学活动中获得成功的体验,树立自信心,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联系.

教学重点 应用所学知识解决最短路径问题.

教学难点 选择合理的方法解决问题.

教学方法 合作交流，讲练结合.

教学准备 多媒体课件，三角板.

教学过程设计 设计意图

教学过程 一、复习引入

(1)两点所连的线中, 最短.

(2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中,

最短.

我们研究过以上这两个问题,我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用所学知识选择最短路径.(揭示课题)

二、新知探究

问题1

首先我们来研究河边饮马问题.

(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?

现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短?

连接AB,与直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求.

【思考】 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该如何解决? 复习旧知，为新课学习提供理论依据.

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讨论交流.

(1)牧马人到笔直的河边饮马,河边可以近似看成一条直线,假设到C点饮马,要保证所走的路径最短和哪些线段有关?

(2)要利用我们学过的哪些知识?要经过怎样的图形变换转移到一条线段上?

分组交流合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演.

幻灯片演示画法,指导学生证明AB'=AC+BC.(B,B'两点关于直线l对称)