曲线与方程

／　曲线与方程在教材中着墨虽不多，却是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高．试　／　／题重在考查同学们的逻辑思维、运算、分析和解决问题的能力．其衍生出来的一些题型往往需要依赖于其　／　………　基本原理才能得到解答．求曲线方程的题目若出现在主观题中，则综合性强；若出现在客观题中，则可以利　／…　／　用圆锥曲线的定义解题，为容易题．　／　曲线与方程　

重点：（１）正确理解方程的曲线　与曲线的方程的对应关系，会用解　析几何的基本思想和坐标法研究几　何问题．用方程的观点实现几何问　题代数化解决．　…………………・……………………・・磁　。江苏东海高级中学熊如佐　

（２）掌握求曲线（轨迹）方程的　基本步骤，能用直接法、定义法、待　定系数法、相关点法和参数法求曲　线方程．　难点：（１）求出轨迹方程后要注　意检验．多余的点要扣除，遗漏的点　要补上．　（２）能根据圆锥曲线的性质，拟　定具体的解题方法，如参数的选取、　相关点变化的规律及限制条件等．　

１．一个核心　通过坐标法．由已知条件求轨迹　方程，通过对方程的研究，明确曲线　的位置、形状以及性质是解析几何需　要完成的两大任务，是解析几何的核　心问题，也是高考的热点之一．　２．五个方法　求轨迹方程的常用方法：　（１）直接法：直接利用条件建立　，ｙ之间的关系Ｆ（ｘ，＇，）＿０．　（２）待定系数法：若已知所求曲　线的类型，求其方程，则先设出所求　曲线的方程，再由条件确定方程中　的待定系数．　（３）定义法：先根据条件得出动　点的轨迹是某种已知曲线．再由曲线　的定义直接写出动点的轨迹方程．　（４）相关点法：动点Ｐ（ｘ，ｙ）依赖　于另一动点ｐ（铷，ｙｏ）的变化而变化，　并且Ｑ（　。，ｙ０）又在某已知曲线上，则　可先用　，Ｙ的代数式表示　Ｙｏ，再将　。，ｙ０代入已知曲线求得动点ｐ（ｘ，Ｙ）　的轨迹方程．　（５）参数法：当动点Ｐ（　，Ｙ）坐标　之间的关系不易直接找到，也没有　相关动点可用时，可考虑将　，ｙ均用　一中间变量（参数）表示，得参数方　程，再消去参数得普通方程．　３．失误与防范　（１）求轨迹方程时，要注意曲线　上的点与方程的解是一一对应关系．　检验可从以下两个方面进行：一是　方程的化简是不是同解变形：二是　方程是否符合题目的实际意义．　（２）求点的轨迹与轨迹方程是不　同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方　程，然后根据方程说明轨迹的形状、　位置、大小等．　

1 / 4

2.1.1《曲线与方程与求曲线的轨迹方程》教学案教学目标：

(一)知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．

(二)能力训练点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力.

(三)学科渗透点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下结壮的基础．

教材分析：

1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．

(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．

2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．

(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．

教具准备：与教材内容相关的资料.

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严格的学习态度，培养积极进取的精神．

教学过程：

学生探究过程：

(一)复习引入

大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：

(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

2 / 4

(2)通过方程，研究平面曲线的性质．

我们已经对多见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的多见技巧与方法进行系统分析．

(二)几种多见求轨迹方程的方法

1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．

对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．

222

即x+y2=4R或x+y2=0．

龙源期刊网

曲线与方程

作者：章少川

来源：《数学金刊·高中版》2012年第01期

１． 曲线与方程的重点

①理解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，掌握求曲线的（轨迹）方程的基本步骤，能用直接法或定义法求曲线方程；

②能够运用数形结合的思想把研究两曲线关系的问题转化为方程组解的问题；

③在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法．

２． 曲线与方程的难点

求曲线的轨迹方程除了考查圆锥曲线的定义、性质等基础知识外，还充分考查各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，求解时要注意轨迹的纯粹性和完备性．

1． 两曲线的交点问题

①两曲线的交点问题，实际上是研究它们组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，可用根的判别式来判断，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．

②当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系．

2． 曲线（轨迹）方程的求法

（1）求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验．具体操作时还应注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等．

（2）常见的求轨迹方程的方法有：

①单动点的轨迹问题——直接法（五部曲）+待定系数法（定义法）；

②双动点的轨迹问题——代入法；③多动点的轨迹问题——参数法+交轨法． 龙源期刊网

1 一、轨迹问题

1、直接法（五个基本步骤）

建系设点

列出条件

带入坐标

整理化简

限制说明

典型例题

1、已知点(20)(30)AB，，，，动点()Pxy，满足2PAPBx·，求点P的轨迹方程____

______________

2、一条线段AB 的长等于2a，两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB

中点P的轨迹方程______________

3、动点()Pxy，到两定点A(30)2P，和B(3,0)的距离的比等于，求动点的轨迹方程____

________________

4、动点,)xyM（到定点(1，1)的距离与M到定直线10xy的距离相等，则动点M的轨迹方程为

5、已知点M到点F(0，1)和直线l: =1y的距离相等，则M的轨迹方程为__________

6、动点M到x轴的距离与到点A(0,5)的距离相等，则动点M的轨迹方程为___________

7、已知动点P,)xy（,点A(4,-2),B(-2，6),且,PAPB则点P的轨迹方程为____________

2、待定系数法

椭圆

22(1)1(>0,B>0,AB)AxByA给椭圆的两点，可设方程

2222222222(2)11(,)+kxyxykmknmnmnk与椭圆共焦点的椭圆可设

22222212222222(3)1(0)xyxyyxabkkababab与椭圆有相同离心率的椭圆可设为或典型例题

1、焦点坐标为(3, 0 ), 短轴的长等于8的椭圆标准方程是_____________

2、椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求的椭圆的标准方程是_____________

2 3、焦距为8, a =17, 焦点在y轴上的椭圆标准方程是_____________

4、离心率为21, b = 3的椭圆标准方程是_____________