曲线与方程

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2.1.1《曲线与方程与求曲线的轨迹方程》教学案教学目标：

(一)知识教学点

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．

(二)能力训练点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力.

(三)学科渗透点

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下结壮的基础．

教材分析：

1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．

(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．

2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．

(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．

教具准备：与教材内容相关的资料.

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严格的学习态度，培养积极进取的精神．

教学过程：

学生探究过程：

(一)复习引入

大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：

(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；

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(2)通过方程，研究平面曲线的性质．

我们已经对多见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的多见技巧与方法进行系统分析．

(二)几种多见求轨迹方程的方法

1．直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；

(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．

对(1)分析：

动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．

解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．

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即x+y2=4R或x+y2=0．

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课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）

(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节)

一、内容和内容解析

1．教学内容

《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程．本课时为第一小节内容．

2．地位与作用

本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用．

二、目标和目标解析

本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下：

1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系；

2．初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义；

3．通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力；

4．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．

三、教学问题诊断分析

1．问题诊断

学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：

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. 龙文教育个性化辅导授课案

教师: 刘 娇 学生: 日期: 星期: 时段:

课 题 曲线与方程

学情分析

教学目标与

考点分析 1．考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系．

2．利用直接法或定义法求轨迹方程．

3．结合平面向量知识能确定动点轨迹，并会研究轨迹的有关性质．

教学重点

难点 正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。

教学过程

1．曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．

(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．

(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0.

(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

3．两曲线的交点

(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点．

(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．

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. 四个步骤

对于中点弦问题，常有的解题方法是点差法，其解题步骤为：

①设点：即设出弦的两端点坐标；

②代入：即代入圆锥曲线方程；

③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；

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曲线与方程

作者：章少川

来源：《数学金刊·高中版》2012年第01期

１． 曲线与方程的重点

①理解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，掌握求曲线的（轨迹）方程的基本步骤，能用直接法或定义法求曲线方程；

②能够运用数形结合的思想把研究两曲线关系的问题转化为方程组解的问题；

③在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法．

２． 曲线与方程的难点

求曲线的轨迹方程除了考查圆锥曲线的定义、性质等基础知识外，还充分考查各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，求解时要注意轨迹的纯粹性和完备性．

1． 两曲线的交点问题

①两曲线的交点问题，实际上是研究它们组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，可用根的判别式来判断，要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．

②当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系．

2． 曲线（轨迹）方程的求法

（1）求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、代入、化简、检验．具体操作时还应注意：①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式；③验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等．

（2）常见的求轨迹方程的方法有：

①单动点的轨迹问题——直接法（五部曲）+待定系数法（定义法）；

②双动点的轨迹问题——代入法；③多动点的轨迹问题——参数法+交轨法． 龙源期刊网