2.1曲线与方程

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2.1 曲线与方程

1. 求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：

步 骤 含 义 说 明

1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。 建立适当的直角坐标系，用(,)xy表示曲线上任意一点M的坐标。 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。

没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。

2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。 写出适合条件P的点M的集合{|()}PMPM 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。

3、“代”：代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程()0fx 常常用到一些公式。

4、“化”：化简 化方程()0fx为最简形式。 要注意同解变形。

5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。

这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”

2：性质

1.求曲线方程应注意：（1）.先要判断题干是否给出坐标系；（2）.求出的方程是否与题干的条件等

价要验证.

2.掌握几种常见的求轨迹方程的方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、待定系数法。

直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。

代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。

定义法：运用解析几何中一些常用定义，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程。

当堂训练

一、选择题

1．下列各组方程中表示相同曲线的是( )

A．x2＋y＝0与xy＝0

B.x＋y＝0与x2－y2＝0

C．y＝lgx2与y＝2lgx

D．x－y＝0与y＝lg10x

2．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条曲线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k＝( )

1 2.1 曲线与方程

一、曲线与方程

（一）曲线与方程：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线．．C．（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一元二次方程．．．．．．．．．．f(x．．．，．y)．．＝．0．的实数解．．．．建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．解为坐标的点都是曲线上的点．．．．．．．．．．．．．。那么这个方程叫做曲线的方程．．．．．，．这个曲线叫方程的曲线．．．．．。．

注意：（1）定义中①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有点的都符合这个条件；（2）定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上。

例1：“以方程f(x、y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是f(x、y)＝0”的（ ）

A：充分不必要条件 B：必要不充分条件 C：充要条件 D：既不充分也不必要条件

【解析】：B

例2：方程xxxy表示的曲线是是（

）

【解析】：D

变式练习1：如下图形的方程与图中曲线的方程对应正确的是（ ）

2 A：x2＋y2＝1 B：x2－y2＝0 C：lgx＋lgy＝1 D：y＝｜x｜

【解析】：D

变式练习2：方程y＝xxcos12sin表示的曲线大致为（ ）

【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当x时，0y，排除D；当1x时，sin201cos2y，排除A.故选C.

（二）从集合角度看：曲线可以看作是由满足某些条件的点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F；那么定义中的关系①指点集C是点集F的子集，关系②指点集F是点集C的子集。即CF且FC，F＝C。

二、求曲线方程的基本方法

（一）步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②写出适合条件P的点M的集合P＝{M｜P (M) }；③用坐标表示条件P (M)，列出方程f(x，y)＝0；④化简方程f(x，y)＝0为最简形式【必须得等价变形】；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

1 O x y

r 00(,)Mxy2.1.1 曲线与方程的概念(预习案)

班级________姓名________

时间：2011-11-16

一、复习回顾

1、在数学2“平面解析几何初步”一章的学习中，我们学习过坐标法，用这种方法我们在坐标系中研究了直线和圆的方程，并用方程研究直线和圆的几何性质.

用坐标法研究图形性质的基本思路是借助于坐标系，把_______________联系起来，从而达到_________的结合；再通过_____对曲线的几何性质进行研究，把____问题转化为____问题来解决。

2、我们研究了直线和圆的方程，回答：

（1）经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为____________

（2）在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________

（3）圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为_______________________.

二、思考与讨论（1）

圆及其方程的意义

（1） ⊙（O，r）的方程是如何得到的？其

方程是 ①；

（2）如果有序实数对

是方程一个解，则以这个有序实数对

为坐标的点M一定在 ；如果 不是方程①的解，则 。

结论：⊙（O，r）上的点与方程 的解是 的关系。

思考与讨论（2）

⊙（O，r）可以看成一个动点M运动的 ，当动点M运动时，点M的坐标（x,y）随着M的运动而变化，其运动轨迹可以用方程 来表达。

2.1.1曲线与方程教案

课题：2.1.1曲线与方程 第1课时

课型：新授

教学目标：

1

知识与技能: ①了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系。

②领会在平面直角坐标系中“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理。

③进一步渗透数形结合的数学思想。

2 过程与方法：

①通过曲线和方程概念的知识形成过程，进一步明白坐标系是沟通曲线与方程的基本工具，坐标法是解析几何的基本方法。

②在师生活动过程中，培养学生思维能力的严密性品质。

3 情感、态度、价值观：渗透联系的辩证唯物主义观点。

教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.

教学难点：对“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念的理解.

教学过程：

一、知识回顾：

1、曲线是由什么构成的？____点______

2、二元方程f(x,y)=0的实数解是什么？_一对有序实数对__

3、“点”与“解”在直角坐标系中可以建立一一对应关系。

二、新知探究：

1、设曲线C表示直角坐标系中平分第一、三象限的直线.解答下列问题：

1.1如果点M（x0，y0）是曲线C上任意一点， 点M的坐标是方程x－y=0的解吗？（ ）

可以从集合观点找出它们之间的关系吗? ________________________

1.2如果x0，y0是方程x－y＝0的解， 那么点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？（ ）

可以从集合观点找出它们之间的关系吗?__________________________

图1 图2 图3

结论：方程x-y=0是曲线C的方程；

曲线C是方程x-y=0的曲线.

1.3曲线C上的点的坐标都是方程|x|＝|y|的解吗？（ ）

可以从集合观点找出它们之间的关系吗?__________________________ 以方程|x|＝|y|的解为坐标的点都在曲线C上吗？（ ）