江苏省2019～2020学年度高三年级第一学期南通联考(二)模拟考试数学试卷及参考答案
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第 1 页 共 10 页 2019～2020学年度高三年级第一学期南通联考（二）模拟考试
数 学 Ⅰ
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填在答题纸对应的横线上．）
1． 若(a＋bi)(3－4i)＝25 (a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b的值为 ▲ ．
2． 若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝ ▲ ．
3． 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用
分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为
▲ ．
4． 记函数243fxxx的定义域为D．若在区间[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率
为 ▲ ．
5． 已知函数32fxxx，若11log30aff(0a且1a)，则实数a的取值范围是 ▲ ．
6． 已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，右焦点与抛物线y2＝16x的焦点重合，则双曲
线C的顶点到渐近线的距离为 ▲ ．
7． 在△ABC中，若BC→·BA→＋2AC→·AB→＝CA→·CB→，则ac的值为 ▲ ．
8． 将函数y＝sinπ23x的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，恰好得到函数y＝cos 2x的图象，则φ的
最小值为 ▲ ．
9． 已知直线l：y＝kx＋3与圆C：x2＋y2－2y＝0无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P
使得PAPB＝1，则直线l的斜率k的取值范围是 ▲ ．
10．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，存在过左焦点F的直线与椭圆C交于A、B两点，满足AF＝
2BF，则椭圆C离心率的最小值是 ▲ ．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知P为函数y＝2ln x的图象与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它
们在点P处的切线重合．若二次函数y＝f(x)的图象经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为 ▲ ．
12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，以AB为直径
在△ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，
若AB→·AQ→＝83，则AQ→·CP→的最小值为 ▲ ．
第 2 页 共 10 页 13．已知函数f(x)＝2010xmxxx，，，≥，其中m＞0．若函数y＝f(f(x))－1有3个
不同的零点，则m的取值范围是 ▲ ．
14．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，S为△ABC的面积．若不等式kS≤3b2+3c2-a2
恒成立，则实数k的最大值为 ▲ ．
二、解答题（本大题6题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．）
15．（本小题共14分）
已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)．
（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后
抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a·b＜0的概率；
（2）若x，y∈[1，6]，求满足a·b＜0的概率．
16．（本小题共14分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin 2C＝csin B．
（1）求角C的大小；
（2）若sinπ3B＝35，求sin A的值．
17．（本小题共14分）
如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经
济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋
转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是π6ECF，点E，F在直径AB上，且π6ABC．
（1）若13EC，求AE的长；
（2）设ACE，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积． 第 3 页 共 10 页
18．（本小题共16分）
已知两个定点A(0，4)，B(0，1)，动点P满足PA＝2PB．设动点P的轨迹为曲线E，直线l：
y＝kx－4．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD＝120°（O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，
求证：直线MN恒过定点．
19．（本小题共16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，且过点3，12，点P
在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△PCD面积的最大值．
C
A E B
F
（第17题图） α 第 4 页 共 10 页
20．（本小题共16分）
已知函数f(x)＝alnx－bx(a，b∈R)．
（1）若a＝1，b＝1，求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间；
（3）若b＝1，已知函数y＝f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，不等式a＜
(1－m)x1＋mx2(m＞0)恒成立，求实数m的取值范围．
第 5 页 共 10 页
答案
1. 答案：7
2. 答案：{0，2}
3. 答案：16
4. 答案：12
5. 答案：0,13,
6. 【答案】 3
7. 2
8. π12
9. 答案：（- ，-1]∪[1， ）
10. 【答案】
11. 解析：设P(x0，y0)，则由y′＝2x，得2x0·kPM＝－1⇒2x0·y0x0－3＝－1⇒y0＝－12x0(x0－3)．而二次函数y＝－12x(x－3)正好过O，P，M三点，所以f(x)＝－12x(x－3)≤98.本题主要考查导数的几何意义、直线垂直、以及二次函数最值等内容．本题属于中等题．
12. 【答案】 －253
13. 【答案】(0，1)
14. 【答案】
15. 解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，
由a·b＜0得－2x＋y＜0，
所以满足a·b＜0的基本事件为(1，1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共27个，
故满足a·b＜0的概率为2736＝34．
(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}， 第 6 页 共 10 页 满足a·b<0的基本事件的结果为
A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．
画出图形如图，
矩形的面积为S矩形＝25，
阴影部分的面积为S阴影＝25－12×2×4＝21，
故满足a·b<0的概率为2125.
16. 解：(1) 由bsin 2C＝csin B，根据正弦定理，得2sin Bsin Ccos C＝sin Csin B，(2分)
因为sin B＞0，sin C＞0，所以cos C＝12.(4分)
又C∈(0，π)，所以C＝π3.(6分)
(2) 因为C＝π3，所以B∈0，2π3，
所以B－π3∈－π3，π3.
又sinB－π3＝35，
所以cosB－π3＝1－sin2B－π3＝45.(8分)
又A＋B＝2π3，即A＝2π3－B，
所以sin A＝sin2π3－B＝sinπ3－B－π3
＝sin π3cosB－π3－cos π3sinB－π3(12分)
＝32×45－12×35＝43－310.
17. （1）连结AC，已知点C在以AB为直径的半圆周上，所以ABC为直角三角形，
因为8AB，6ABC，所以3BAC，4AC，
在ACE中由余弦定理2222cosCEACAEACAEA，且13CE，所以213164AEAE，解得1AE或3AE，
（2）因为2ACB，6ECF，所以ACE[0,]3， 第 7 页 共 10 页 所以362AFCAACF，
在ACF中由正弦定理得sinsincossin()2CFACACACACFA，所以23cosCF，
在ACE中，由正弦定理得：sinsinsin()3CEACACAAEC，所以23sin()3CE ，
若产生最大经济效益，则CEF的面积ECFSD最大，
1312sin2sin()cos2sin(2)333ECFSCECFECF，
因为[0,]3，所以0sin(2)13≤≤.
所以当=3时，ECFSD取最大值为43，此时该地块产生的经济价值最大．
18.
（1）设点 的坐标为
由 可得， ，
整理可得
所以曲线 的轨迹方程为 .
（2）依题意， ，且∠ °，则点 到 边的距离为
即点 到直线 的距离
，解得
所以直线 的斜率为 .
（3）依题意， ，则 ， 都在以 为直径的圆 上
是直线 上的动点，设
则圆 的圆心为
，且经过坐标原点
即圆的方程为 ，
又因为 在曲线 上
由
，可得
即直线 的方程为
由 且 可得，
解得
所以直线 是过定点 .
