2020届江苏省南通市高考数学模拟试卷(一)(含解析)
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2020届江苏省南通市高考数学模拟试卷(一)
一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）
1. 已知集合𝐴={1,2，4，5，6}，𝐵={2,3，4}，则𝐴∩𝐵=______．
2. 下列命题(为虚数单位)中正确的是
①𝑎，𝑏∈𝑅，若𝑎>𝑏，则𝑎+𝑖>𝑏+𝑖；
②当z是非零实数时，|𝑧+1𝑧|≥2恒成立；
③复数𝑧=(1−𝑖)3的实部和虚部都是−2；
④如果|𝑎+2𝑖|<|−2+𝑖|，则实数a的取值范围是−1<𝑎<1；
⑤复数𝑧1，𝑧2与复平面的两个向量𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相对应，则𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑧1⋅𝑧2
其中正确的命题的序号是______ .(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．
3. 已知一组数据按从小到大顺序排列，得到−1，0，4，x，7，14中位数为5，求这组数据的方差为______ ．
4. 如图的伪代码中，当𝑛=5时执行后输出的结果是______ ．
5. 已知函数𝑓(𝑥)的定义域[0,1)，则函数𝑓(𝑐𝑜𝑠𝑥)的定义域是______ ．
6. 从如图所示的长方形区域内任取一个点𝑀(𝑥,𝑦)，则点M取自阴影部分的概率为________．
7. 在平面直角坐标系xOy中，以直线𝑦=±2𝑥为渐近线，且经过椭圆𝑥2+𝑦24=1右顶点的双曲线的方程是______．
8. 一个球的外切正方体的表面积等于6，则此球的表面积为______ ．
9. (1)设复数z 的共轭复数为𝑧，若𝑧=1−𝑖(𝑖为虚数单位)，则𝑧𝑧+𝑧2的虚部为__________ (2)设实数x，y满足约束条件{ 3𝑥−𝑦−6≤0𝑥−𝑦+2≥0𝑥≥0𝑦≥0，若目标函数𝑧=𝑎𝑥+𝑏𝑦(𝑎>0,𝑏>0)的最大值为10，则𝑎2+𝑏2 的最小值为__________
(3)设{𝑎𝑛}{𝑏𝑛}都是正项等比数列，𝑆𝑛、𝑇𝑛分别为数列{lg𝑎𝑛}与{lg𝑏𝑛}的前n项和，且𝑆𝑛𝑇𝑛=𝑛2𝑛+1，则log𝑏5𝑎5=__________
(4)定义域为R的函数𝑓(𝑥)={1|𝑥−1|(𝑥≠1)1(𝑥=1)，若关于x的方程ℎ(𝑥)=[𝑓(𝑥)]2+𝑏𝑓(𝑥)+12𝑏2−58有五个不同的零点𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5，设𝑥1<𝑥2<𝑥3<𝑥4<𝑥5且𝑥1，𝑥2，𝑥3，𝑥4，𝑥5构成一个等差数列的前五项，则该数列的前10项和为_________
10. (坐标系与参数方程)在极坐标系中，定点，动点在直线上运动，则线段的最短长度为 ．
11. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑙𝑛𝑥|，若𝑓(𝑥)=𝑘有两个不相等的实数根𝛼，𝛽(𝛼<𝛽)，则4𝛼−𝛽的取值范围是______．
12. 已知𝑎⃗ =(1,2)，𝑏⃗ =(2,−1)，则向量𝑏⃗ 在𝑎⃗ −𝑏⃗ 方向上的投影为______．
13. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑏=2，𝑐=√3，△𝐴𝐵𝐶的面积为32，则角𝐴= ______ ．
14. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥，若𝑓(𝑎+3)>𝑓(2𝑎)，则a的范围是______ ．
二、解答题（本大题共11小题，共144.0分） 15. (本小题满分12分) 如图，三棱柱ABC− A 1 B 1 C 1中，平面ABB 1 A 1⊥底面ABC，，∠ A 1 AB=120°，D、E分别是BC、A 1 C 1的中点．
(Ⅰ)试在棱AB上找一点F，使DE//平面A 1CF；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角A−A 1C−F的余弦值．
16. 已知为锐角，且
求．
17. 如图，棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，
(1)求证：𝐴𝐶⊥平面𝐵1𝐷1𝐷𝐵；
(2)求三棱锥𝐵−𝐶𝐷1𝐵1的体积．
18. 圆𝑥2+𝑦2=2与x轴交于𝐹1、𝐹2两点，P为圆上一点．椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)以𝐹1、𝐹2为焦点且过点P．
(Ⅰ)当P点坐标为(𝑥0,√22)(𝑥0>0)时，求𝑥0的值及椭圆方程；
(Ⅱ)若直线1与(Ⅰ)中所求的椭圆交于A、B不同的两点，且点𝐶(0,−1)，|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |，求直线l在y轴上截距b的取值范围．
19. 自20世纪以来，战争灾害、自然灾害给人类带来巨大损失．某地为解决重大紧急情况时人群疏散的需要，对一矩形ABMN广场区域进行改造，其中AB的长为60米，AN的长为120
米．现设计从边BM上一点C处，将CB沿着直线𝐶𝐸(点E在边AB上)折叠，使点B落在边AD上点F处，其中△𝐶𝐸𝐹区域建在地上，△𝐶𝐵𝐸区域往地下开挖并和其他区域相通，分地上地下用于疏散人群，令∠𝐵𝐶𝐸=𝜃．
(1)求𝜃的取值范围；
(2)若CE的长最小时，人群疏散效果最佳，求人群疏散效果最佳时线段CE的长．
20. 已知{𝑎𝑛}是正数组成的数列，𝑎1=1，且点(√𝑎𝑛,𝑎𝑛+1)(𝑛∈𝑁∗)在函数𝑦=𝑥2+1的图象上．
(Ⅰ)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛=2𝑛−1𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛．
21. 已知矩阵𝑀=[−1252𝑥]的一个特征值为−2，求𝑀2．
22. 已知A、B两点相距12，动点M满足|𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=36，求点M的轨迹的极坐标方程．
23. 已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−1|+|𝑥+5|．
(Ⅰ)求不等式𝑓(𝑥)>7的解集；
(Ⅱ)若函数𝑓(𝑥)的最小值为𝑚+32，求证：∀𝑝，𝑞∈(0,+∞)，1𝑝+1𝑞≥𝑚𝑝+𝑞恒成立．
24. 随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.中华技术有限公司拟对“麒麟”于机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入𝑥(亿元)与科技升级直接收益𝑦(亿元)的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 13 22 31 42 50 56 58 68.5 38 37.5 66 66
当0<𝑥≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：𝑦̂=4.1𝑥+11.8：模型②：𝑦̂=21.3√𝑥−14.4；当𝑥>17时，确定y与x满足的线性回归方程为𝑦^=−0.7𝑥+𝑎．
(1)根据下列表格中的数据，比较当0<𝑥≤17时模型①、②的相关指数𝑅2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益 回归模型 模型① 模型②
回归方程 𝑦̂=4.1𝑥+11.8 𝑦̂=21.3√𝑥−14.4
∑(7𝑖=1𝑦𝑖−𝑦̂𝑖)2 182.4 79.2
(附：刻画回归效果的相关指数𝑅2=1−∑(𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑦̂𝑖)2∑(𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑦−)2,√17≈4.1)
(2)为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
(附：用最小二乘法求线性回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎的系数公式𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥−⋅𝑦−∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥−2=∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥−)(𝑦𝑖−𝑦−)∑(𝑛𝑖=1𝑥𝑖−𝑥−)2；𝑎=𝑦−−𝑏̂𝑥−)
(3)科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布𝑁(0.52,0012).公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%但不超过53%，每部芯片奖励2元：若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励，求𝐸(𝑌)(精确到0.01)．
(附：若随机变量𝑋～𝑁(𝜇,𝜎2)(𝜎>0)，则𝑃(𝜇−𝜎<𝑋<𝜇+𝜎)=0.6827，𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋<𝜇+2𝜎)=0.9545)
25. 在平面直角坐标系xOy中，过点(0,4)的直线l与抛物线C：𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为⊙𝑀．
(Ⅰ)若⊙𝑀与抛物线C的准线始终相切，求抛物线C的方程；
(Ⅱ)过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求𝑆△𝐴𝐵𝑁的取值范围．
