江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数学试题(含答案解析)

S 第 1 页 （共15页） 开始

输出n 输入p

结束 n←1, S←0

S < p

n←n + 1 S←S + 2n N

Y

（第5题） 江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试

数 学 试 题

2020.05

(总分160分，考试时间120分钟)

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合1,2,3,4A，2log(1)2Bxx，则ABI

▲ ．

2．设复数2(2i)z（i为虚数单位），则z的共轭复数为 ▲ ．

3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线2x﹣y﹣1＝0上方的概率为 ．

4．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线22(0)xpyp上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ．

5．执行右边的程序框图，若p＝14，则输出的n的值

为 ▲ ．

6．函数22log(32)yxx的值域为

▲ ．

7．等差数列}{na中，若100119753aaaaa， 则1393aa ▲ ．

8．现用一半径为10 cm，面积为80 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲

cm3．

9．已知 0 ，，，且1tan2，1tan5，则tan的值为 ▲ ． S 第 2 页 （共15页） 10．已知实数,xy满足40210440xyxyxy≤≥≥，则3zxy的取值范围是 ▲ ．

11．若函数ππ()sin3sin63fxaxx是偶函数，则实数a的值为 ▲ ．

12．在△ABC中，cos2sinsinABC，tantan2BC，则tanA的值为 ▲ ．

13．已知函数2210()0xxmxxefxemxx，，，，若函数()fx有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 ▲ ．

14．已知0,2，若关于k的不等式33sincossincosk在,2上恒成立，则的取值范围为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

已知31sincos2，ππ44，．

（1）求的值；

（2）设函数22()sinsinfxxx，xR，求函数()fx的单调增区间．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，//CDAB，2ABCD， AC交BD

于O，锐角PAD所在平面PAD⊥底面ABCD，PABD，点Q在侧棱PC上，且2PQQC．

（1）求证：//PA平面QBD；

（2）求证：BDAD．

(第16题图) PABCDQO S 第 3 页 （共15页）

17．(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，圆O：224xy，直线l：43200xy．43()55A，为

圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．

（1）若MN∥l，求△PMN的面积．

（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．

18．(本小题满分16分)

如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？

19．(本小题满分16分) S 第 4 页 （共15页） 设nS数列{}na的前n项和，对任意nN，都有1()()nnSanbaac（abc，，为

常数）．

（1）当3022abc，，时，求nS；

（2）当1002abc，，时，

（ⅰ）求证：数列{}na是等差数列；

（ⅱ）若对任意,mnN，必存在pN使得pmnaaa，已知211aa，

且1111129niiS[，），求数列{}na的通项公式．

20．(本小题满分16分)

若实数0x满足00pxx，则称0xx为函数px的不动点．

（1）求函数ln1fxx的不动点；

（2）设函数323gxaxbxcx，其中abc，，为实数．

① 若0a时，存在一个实数01[,2]2x，使得0xx既是gx的不动点，又是gx 的不动点（gx是函数()gx的导函数），求实数b的取值范围；

② 令'0hxgxa，若存在实数m，使m，hm，hhm，hhhm

成各项都为正数的等比数列，求证：函数hx存在不动点．

江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试

数学附加题

2020.05 S 第 5 页 （共15页） （本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题]（本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在答题相应的区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

A.（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）

已知矩阵M＝a -1-2 b，对应的変换把点(2,1)变成点(7、－1).

(1) 求a,b的特征值.

(2) 求矩阵M的特征值.

B.（选修4-4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中

取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 x＝t，y＝t－3(t为参数)，圆C的极坐标方

程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．

C．(选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）

对任意实数t，不等式|3||21||21||2|ttxx≥恒成立，求实数x的取值范围．

S 第 6 页 （共15页）

[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）

22．（本小题满分10分）

已知(1＋x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n．

（1）求a1＋a2＋a3＋…＋a2n的值；

（2）求1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n的值．

23．（本小题满分10分）

甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时，

两人正在游戏，且知甲再赢m（常数m1）次就获胜，而乙要再赢n（常数nm）

次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行次抛币，游戏结束． S 第 7 页 （共15页） （1）若m2，n3，求概率4P；

（2）若2nm，求概率Pmk（23k，，…1m，）的最大值（用m表示）．

江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1. 2,3,4 2. 34i 3. 512 4. 5. 4 6. ,2

7. 40 8. 128π 9. 11 10. [1,7] 11. 1 12. 1 13. 2(,)4e 14. 0,4

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．(本小题满分14分)

解：（1）由31sincos2，得23(sincos)12，

即223sin2sincoscos12，所以3sin22．

因为ππ44，，所以ππ222，，所以π23，即π6．

（2）由（1）知，22π()sinsin6fxxx，

所以11π()1cos21cos2223fxxx

1πcos2cos223xx311sin2cos2222xx1πsin226x．

令πππ2π22π+262kxk≤≤，

得ππππ+63kxk≤≤，所以函数()fx的单调增区间是ππππ+63kk，，Zk．

16．（本小题满分14分） S 第 8 页 （共15页） 证明：（1）如图，连接OQ，

因为//ABCD，2ABCD，

所2AOOC， ………2分

又2PQQC，

所以//PAOQ， …………4分

又OQ平面QBD， PA平面QBD，

所以//PA平面QBD. ……… 6分

（2）在平面PAD内过P作PHAD于H，

因为侧面PAD底面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，

PH平面PAD，所以PH平面ABCD， …………………8分

又BD平面ABCD，所以PHBD， …………………10分

因为PAD是锐角三角形，所以PA与PH不重合，

即PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，

又PABD，所以BD平面PAD， …………………12分

又AD平面PAD，所以BDAD． …………………14分

17．（本小题满分14分）

解：（1）因为MN∥l，设直线MN的方程为430xyc，

由条件得，4343055c，解得5c，即直线MN的方程为4350xy．

因为34OAk，43MNk，所以1OAMNkk，即OAMN，

所以22423MNOA．

又因为直线MN与直线l间的距离22|20(5)|343d，即点P到直线MN的距离为3，

所以△PMN的面积为1233332．

（2）直线PM与圆O相切，证明如下：

设00()Mxy，，则直线MN的斜率000035354545yykxx，

因为OPMN，所以直线OP的斜率为005453xy，

所以直线OP的方程为005453xyxy．