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植树问题与周期问题【教学目标】1、从对实际问题的观察和具体操作中，探索并初步体会间隔数与间隔物体个数之间的关系2、体验数学在生活中的实际应用3、能综合运用已有的数学知识解决现实生活中的问题，能进行简单的、有条理的思考【教学重点】1、掌握间隔数与间隔物体个数之间的关系2、在发现规律的基础上，能有数学计算的方法解决问题【教学难点】1、掌握间隔数与间隔物体个数之间的关系2、利用除法计算余数，从而根据不断重复出现的规律解决问题【知识精要】一、植树问题1、植树问题的三要素：（1）总路线长度：总长=株距×段数（2）株距（间隔长）：每相邻两株树之间的距离（3）段数：段数=总长÷株距2、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形（1）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=间隔数+1。
（2）如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=间隔数。
（3）如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=间隔数-1。
3、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=间隔数。
4、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。
则棵数=(每边的棵数-1)×边数。
二、周期问题1、什么是周期问题在日常生活中有一些按照一定的规律不断重复的现象如人的十二生肖、一年有春夏秋冬四个季节、一个星期七天等等。
像这样常碰到的有一定循环出现的问题，我们称为周期问题。
2、解题步骤（1）观察、分析数、图形或事物的变化是否重复循环出现并具有周期性。
（2）每几个数循环一次谁开始谁结束周期长度是多少。
（3）每个循环节按什么次序排列。
（4）利用除法算式求出余数根据余数得出正确的结果。
【课题练习】1、在一条长40米的马路的一边，从头到尾每隔5米种一棵树，一共可以种多少棵树？答案与解析：每隔5米种一棵树，那么两棵树之间的长度是5米，我们以5米为一段，看全长40米可以分成多少段。
植树问题（教案）——三年级上学期数学沪教版教学内容：本节课的教学内容为沪教版三年级上学期数学的植树问题。
通过本节课的学习，学生将掌握植树问题的基本概念、解题方法和应用。
教学目标：1. 让学生理解植树问题的基本概念，能够正确识别和描述植树问题。
2. 培养学生运用植树问题的解题方法，解决实际问题，提高学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
3. 培养学生合作交流的能力，通过小组讨论和分享，培养学生的团队意识和合作精神。
教学难点：1. 植树问题的概念理解，特别是对于“树”的理解和表示方法。
2. 植树问题的解题方法，尤其是对于不同类型的问题的解题策略选择。
教具学具准备：1. 教具：PPT、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、铅笔。
教学过程：1. 引入：通过PPT展示植树问题的实际背景，引发学生的兴趣和思考。
2. 讲解概念：讲解植树问题的基本概念，包括“树”的定义和表示方法。
3. 讲解解题方法：通过例题讲解植树问题的解题方法，强调不同类型问题的解题策略选择。
4. 练习巩固：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：让学生分组讨论练习题的解题思路和答案，培养学生的合作交流能力。
6. 分享展示：让每个小组分享他们的解题思路和答案，通过讨论和交流，促进学生的思维碰撞和知识共享。
7. 总结反思：对本节课所学内容进行总结，让学生回顾和反思自己的学习过程和收获。
板书设计：1. 植树问题2. 内容：- 植树问题的基本概念- 植树问题的解题方法- 植树问题的练习题作业设计：1. 完成练习题：让学生完成练习题，巩固所学知识。
2. 思考题：提出一道思考题，让学生思考和探索植树问题的更深层次的理解和应用。
课后反思：本节课通过引入实际背景，讲解概念和解题方法，让学生掌握了植树问题的基本知识。
通过练习巩固和小组讨论，学生能够运用所学知识解决实际问题，并培养了合作交流的能力。
在板书设计中，突出重点内容，帮助学生更好地理解和记忆。
作业设计既有巩固性练习，又有思考题，能够激发学生的思维和探索欲望。
1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用；2．解决有关周期性问题的关键是确定循环周期．（此环节设计时间在10—15分钟）一、植树问题为使其更直观，我们用图示法来说明。
树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。
显然，只有下面四种情形：(1)非封闭线的两端都有“点”时，“点数”＝“段数”＋1。
(2)非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”。
(3)非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”＝“段数”－1。
(4)封闭线上，“点数”=“段数”。
最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。
问题1、一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？分析：这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。
问题2、肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。
肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？分析：由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵)。
问题3、两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？分析：因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵)。
问题4、一个圆形水池的围台圈长60米。
如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？分析：这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆)。
许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。
二、周期问题：周期现象：事物在运动变化过程中，某些特征有规律循环出现；周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期；解决有关周期性问题的关键是确定循环周期.分类：1．图形中的周期问题；2．数列中的周期问题；3．年月日中的周期问题．周期性问题的基本解题思路是：首先要正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；其次要确定解题的突破口。
植树问题与周期问题【教学目标】1、利用学生熟悉的生活情境，探索并发现简单的排列规律并应用规律来解决问题的能力。
渗透归纳推理和转化的思想、方法。
培养学生研究问题的科学素养。
2、会画图、计算等解决问题的不同策略，能根据实际情况，选择合适的解决问题的策略。
3、感受日常生活中处处有数学，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
【教学重点】1、理解"植树问题"中棵树与间隔数的关系，应用规律解决实际问题；2、让学生用除法计算的策略解决周期排列问题。
【教学难点】1、能把从植树问题中总结出的规律准确地应用到解决实际问题中去；2、利用除法计算余数，确定几个物体为一组，怎样根据余数来确定某个序号所代表的是什么物体或图形。
模块一植树问题【知识精要】1、三个关键词：总长：总路线的长度棵距：每两棵树之间的距离中学生VIP成长教育顾问第1页共9页棵数：需要种植的树的数量2、三种类型（1）两端都要植树：棵数=总长÷棵距+1棵距=总长÷（棵数-1）总长=棵距×（棵数-1）（2）只有一端要植树：棵数=总长÷棵距棵距=总长÷棵数总长=棵距×棵数（3）两端都不值数：棵数=总长÷棵距-1棵距=总长÷（棵数+1）总长=棵距×（棵数+1）3、封闭路线即首尾相连型路线，包括正方形、长方形、圆等路线，选任意一处作为起点，“将原路线剪断，再将路线拉直”，就成了只有一端要植树的类型。
【例题解析】【例1】有一条120米长的路，在路的两边每隔6米植树一棵（两端都要种），一共植树多少棵？【答案】21棵中学生VIP成长教育顾问第2页共9页【解析】棵数=总长÷棵距+1。
120÷6+1=21（棵）【例二】植树节快到了，三（3）班的同学在一条长50米的小路的一边栽树，如果总共载了11棵树（两端都植树），那么每两棵树之间的距离是多少？【答案】10（米）【解析】棵距=总长÷（棵数-1）50÷（11-1）=10（米）【例3】在一条街道上，如果每隔10米挂一个灯笼（两端都挂），总共挂了21个，那么这条街道的长度是多少米？【答案】200米【解析】总长=棵距×（棵数-1）10×（21-1）=200（米）【例4】公园里有一段45米长的路，在路的一侧栽松树。
1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用；
2．解决有关周期性问题的关键是确定循环周期．
（此环节设计时间在10—15分钟）
一、植树问题
为使其更直观，我们用图示法来说明。
树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。
显然，只有下面四种情形：
(1)非封闭线的两端都有“点”时，
“点数”＝“段数”＋1。
(2)非封闭线只有一端有“点”时，
“点数”=“段数”。
(3)非封闭线的两端都没有“点”时，
“点数”＝“段数”－1。
(4)封闭线上，“点数”=“段数”。
最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。
问题1、一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？
分析：这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。
问题2、肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。
肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？
分析：由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵)。
问题3、两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？
分析：因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵)。
问题4、一个圆形水池的围台圈长60米。
如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？
分析：这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆)。
许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。
二、周期问题：
答案：这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(16－1)÷2＝7……1，所以第16个数是2．
（此环节设计时间在40—50分钟）
板块一、非封闭的植树问题
【例 1】大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？
【解析】从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101（棵）.【例 2】从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?
【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵) ，
综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).
板块二、封闭的植树问题（方阵）
【例 3】公园内有一个圆形花坛，绕着它走一圈是120米．如果沿着这一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？
两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？
【解析】在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的株数正好等
探索
9个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？
【解析】 昨晚8点至今早8点，共经历6012720⨯=(分钟)，72071026÷=，说明从今早8点整起，7分钟，
7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好跳到“0”位，指针共跳了102次．
由于每次跳9格，所以共跳了9102918⨯=(格)．每20格一圈，918204518÷=，因此从“0”位开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：20182-=，因此昨晚8点整时指针正指着2．
此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
练习1：从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线杆．求还需要多少根电线杆？
【解析】 该题含植树问题、相差关系两组数量关系.
解：①从甲地到乙地距离多少米?
40(511)2000⨯-=(米)
②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?
200020100÷=(根)，1001101+=（根）
③还需要下多少根电线杆?
1015150-=(根)
综合算式：[40(511)201]5150⨯-÷+-=(根)
练习2：马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？
【解析】 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速
度.
解：5分钟汽车共走了：9(5011)4500⨯-=(米)，
汽车每分钟走：45005900÷=(米)，
汽车每小时走：9006054000⨯=(米)54=(千米)
列综合式：9(5011)560100054⨯-÷⨯÷=(千米)
练习3：新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？
【解析】 先让学生自己思考，待大家都有结果后，让学生思考一个问题：相邻两层差几个人．外层134448
⨯-=人，内外相差8人（教师可举例说明），内层48840-=人，共88人．
练习4：（1）44⨯⨯……4⨯（25个4），积的个位数是几？
（2）24个2相乘，积末位数字是几？
【解析】 （1）按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的
末位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以25212÷=…1，25个4相乘，积的末位数字是4．
（2）按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组2446÷=，所以24个2相乘，积末位数字是6．
练习5：1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？
【解析】 00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，2005
年的元旦是星期六
（此环节设计时间在5—10分钟内）
让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾
习题1、在一条长240米的水渠边上植树，每隔3米植1棵。
两端都植，共植树多少棵？
÷+=（棵）
【解析】2403181
习题2、某小区要对一块空地进行绿化，把这些树种成方阵的样子．最外面一周有60棵树．问这个方阵外层每边有多少棵树？这块空地一共种了多少棵树？
【解析】根据四周棵数和每边棵数的关系：每边棵数=四周棵数41
÷+，可以求出方阵最外层每边棵数．那么整个方阵队列的总人数就可以解出．
÷+=(棵)
方阵最外层每边棵数：604116
⨯=(棵).
整个方阵共有树：1616256
次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？
【解析】小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1
++++=，因此只要用2003除以15，白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是5432115
÷=…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8 200315133
个，所以第2003个小球是涂黄色．
习题6、如右图所示的数表中，从左往右依次看作五列，第99行右边第一个数是几？
【解析】每7个数，分成两行一个周期，99÷2=49……1，第98行中最大的那个数为：（49×7-1）×2=684，所以第99行从左到右的数依次为：686、688、690 ，第99行右边第一个数是690
习题7、1999名同学从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某名同学报的数是一位数，那么后一个同学就要报出这个数与9的和；如果某名同学报的数是两位数，那么后一个同学就要报出这个数的个位数与6的和。
现让第一个同学报1，那么最后一名同学报的数是( )。
【解析】列出前几个数：1、10、6、15、11、10、6、15、11、10、6、…
可以看出除去第一个数之外后面每四个数一循环，所以（1999－1）÷4=499…2，那么最后一名
同学报的数是6。
