高考理科数学第一轮复习测试题77

２017届理科数学第一轮复习练习卷1班级 姓名 座号 成绩 一、选择题（本大题共１2小题,每小题5分,共60分) １. i 是虚数单位,32ii += （ ) A. 2i -+ﻩﻩ B. 2i +ﻩC. 12i -+D. 12i -2. 命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为( ）A.042,2≥+-∈∀x x R x B ． 042,2>+-∈∃x x R x C ．042,2≤+-∉∀x x R x D. 042,2>+-∉∃x x R x 3． 已知幂函数()x f y =的图象经过点错误!，则()2f ＝( ）A ．＼f （1,4)B ．4 Ｃ.22ﻩﻩ Ｄ． 24. 函数)(x f 为奇函数,)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则+=+=＝（ ) Ａ．0 B.1 C.25ﻩD.55.“3log 2<x ”是“1218>⎪⎭⎫⎝⎛-x ”的( ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件ﻩD.既非充分也非必要条件函数 6. 函数ax x y -+=)1ln(的定义域是(1,)-+∞,则实数a 取值集合是( ） Ａ. }1|{->a a ﻩB ． }1|{>a a C ． }1|{-≤a a ﻩ D. }1|{≤a a 7. 设函数ax x x f m+=)(的导函数12)('+=x x f ，则m+ａ的值等于( )A.3B.１C.2 Ｄ.48． 函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示,则 )1()1(-+f f 的值一定（ )A.等于0 Ｂ.大于0 C.小于０ D ．小于或等于09.过点(2,3)A -作抛物线24y x =的两条切线12,l l ，设12,l l 与y 轴分别交于点B 、C ，则ABC ∆的外接圆的方程为（ )A.22340x y x +--= B ．222310x y x y +--+= Ｃ.22320x y x y ++--= Ｄ.223210x y x y +--+=１０．定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈,有)1()()2(f x f x f -=+,且当]3,2[∈x 时,18122)(2-+-=x x x f ,若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点,则a 的取值范围是（ ) A ．)22,0( B.)33,0( Ｃ．)55,0( D.)66,0( 1１．已知命题ｐ：函数)24lg(2++=x ax y 的定义域为R,命题q:函数xa y )2(--=是减函数。

河北省 2014 届高三理科数学一轮复习考试一试题优选（1）分类汇编 10：数列一、选择题1．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 { a n } 的前n 项和为S n n2n1, b n(1) n a n (n N * ) ,则数列 {b n } 的前50项的和为（）A． 49B．50C． 99D． 100【答案】 A2．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）设 S n是等差数列{ a n}的前n项和, S53(a2a8 ) ,则a5的值为（）a31B．13D5A．3C66． 5．【答案】 D3．（河北省唐山市 2014届高三摸底考试数学（理）试题）设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 且 S5=13,S 15=63,20（）则 S =A． 100B．90C． 120D． 110【答案】 B4 ．（河北省衡水中学 2014 届高三上学期三调考试数学（理）试题）设S n是公差不为0 的等差数列{ a n}的前 n 项和 , 且S1, S2, S4成等比数列 , 则a2的值为（）a1A． 1 B ． 2C． 3D． 4【答案】 C5．（河北省邯郸市 2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等比数列 a n中, a5a113, a3a134,则a12（）2A． 3 B ．31D．3或1 C．3 或3 3【答案】 C6．（河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）数列 a n是首项为1,且公比q 0的等比数列 ,S n是a n的前 n1的前 5 项和为项和, 若9S3S6, 则数列（）a nA．15B ． 5C．31D．15 181616【答案】 C7．（河北省保定市八校结合体2014届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在等差数列中,a 1+a = 16,则 a等于（）53A． 8 B ．4 C ．-4D． -8【答案】 A8．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知 { a } 为等差数列,其前 n 项和为 S ,n n 若 a36, S312 ,则公差d等于（）A．15C．2D．3 B ．3【答案】 C9 ．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知等比数列a n的公比 q 2 ,且2a4 , a6 ,48 成等差数列,则 a n的前 8项和为（）A． 127B．255C． 511D． 1023【答案】 B10．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）等比数列 { a n } 中,已知对随意自然数n , a1a2a3a n2n1,则a12a22a32a n2等于（）A．(2n1) 2 B ．1(2n1)C．4n1D．1(4n1) 33【答案】 D11．（河北省邯郸市武安三中2014 届高三第一次摸底考试数学理试题）设等差数列a n的前 n 项和为 S n,若 a2a815 a5,则 S9等于（）A． 45B．60C．36D．18【答案】 B12．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）若数列{an}知足:存在正整数T,关于任意正整数 n 都有an Tan 成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列 {a n} 满足a n1,a n，1a n 1 =10a n 1.0) ,,a1m (m a n则以下结论中错误的是（）．．A．若m4, 则a535B a3 2 ,3C．若m2 ,则数列{ an}是周期为3的数列D．m Q且m2 ,数列{ an}是周期数列【答案】 D13 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知数列为等比数列, 且 .a5 4,a964,则=（）A．8 B ．16C． 16D．8【答案】 C14．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）在首项为 57, 公差为5的等差数列a n 中, 最靠近零的是第 ( )项 .（）A． 14B．13C． 12D． 11【答案】 C15．（河北省保定市 2014届高三 10月摸底考试数学（理）试题）设a n为等差数列, 且a3 a7 a10 2, a11 a47,则数列a n的前13项的和为S13（）A． 63B．109C． 117D． 210【答案】 C提示 : ∵a3 +a7-a 10+ a 11— a4=9, ∴a7=9, ∴S13=13 a 7=117二、填空题16．（河北省唐山市2014 届高三摸底考试数学（理）试题）已知数列 {a n} 知足 a1=0,a 2=1, a n23an 12a n,则{a n} 的前 n 项和 S n=_______________.【答案】 2n n117．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）在等比数列 a n中,若a7 a8a9a1015 ,a8a99, 则1111___________.88a7a8a9a10【答案】5 318．（河北省唐山一中 2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 a n 中 , a15,a n2a n 1 2n1(n N, n2),若存在实数,使得数列a n为等差数列 , 则2n =_________.【答案】119．（河北省保定市2014届高三 10 月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n是各项均为正数的等比数优选文档列, 若a 22, 2a 3 a 4 16 , 则 a n ______________.【答案】 2n 1 ; 三、解答题20．（ 河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学（理）试题） 在等差数列a n 中 , a 2 6,S 4 20 .(1) 求数列a n的通项公式 ;(2) 设 b n2 (nN * ),T n b 1 b 2Lb n (n N * ) , 求 T n .n(12 a n )【答案】设a 1 d6a n 的公差为 d , 由题意得6d204a 1a 8解得{ d 12得: a n 8 2( n 1) 10 2n.(2) ∵ b n2 1n(12 a n )n(n 1)∵ b n1 1nn1T nb 1 b 2 b 3b n (1 1) (1 1)(11 ) n n2 2 3nn 1121．（河北省衡水中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数 f (x)x 3 mx 在 (0,1)上是增函数 ,( Ⅰ) 实数 m 的取值会合为 A, 当 m 取会合 A 中的最小值时 , 定义数列 { a n } 知足a 1 3, 且 a n 0, a n 13 f a nn} 的通项公式 ;9 , 求数列 {a ( Ⅱ) 若 b nna n , 数列 { b n } 的前 n 项和为 S n , 求证 : S n 3.由题意得 f ′(x)= ﹣ 3x 2+m,4【答案】解 :(1)∵ f (x)= ﹣ x 3 +mx 在 (0,1) 上是增函数 , ∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+m ≥0在(0,1) 上恒建立 , 即m ≥ 3x 2, 得 m ≥3,故所求的会合 A 为[3,+ ∞); 因此 m=3,∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+3,∵ ,an>0, ∴ ∴数列 {an} 是以 3 为首项和公比的等比数列(2) 由 (1) 得,bn=na n =n?3n,=3an, 即, 故 an=3n;=3,234n②3Sn=1?3 +2?3 +3?3 ++n?3 +1①﹣②得 , ﹣2Sn=3+32+33 ++3n ﹣n?3 n +1= ﹣n?3n+1化简得 ,Sn=>22．（河北省保定市 2014届高三 10月 摸 底 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 数 列 a n , 满 足1 a n n 为偶数 , 5an 12 a 4, 若 b na2n 11(b n0) .a n为奇数21n(1) 求 a 1 ;(2) 求证 :b n 是等比数列 ;(3) 若数列 a n 的前 n 项和为 S n , 求 S 2n .51 为偶数【答案】 (1) 解: ∵, a n2 a n , na 412a n， 为奇数1 n∴ a 35 13, ∴ a 23, ∴ a 122 2b na2 n 1(2) 证明 :a2n 3bn 111 a2n2 1121a2 n1,21 2故数列 { b n } 是首项为 1, 公比为 1 的等比数列2( 1 )n 1(3) 解: ∵ b na2 n 11 , ∴ a 2n 11 (a 1 1)(1 )n 12 即 a 2n1121 (11)1∴a 1a 3 La2 n 1 2n n=2－1－１n12n2又∵ a 2 a 1 1,a 4a 3 1,La2 na2 n 11 10分∴S2n2(a 1 a 3a 2n 1 )n 413n( 张军红命制 )2n 223．（河北省保定市 2014 届高三 10月 摸 底 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 数 列 a n中, a 24, a n 1an2( n N * ) , 其前 n 项和为 S n ,(1) 求数列 a n的通项公式 ;(2)1, 求数列b n的前 n 项和为 T n.令 b nS n【答案】解 : (1)由于 a n 1a n 2(n N * ) ,因此数列a n的公差d=2又a2 4因此 a n2n(2)易得 S n= n2n111因此 b n1) n n1n(n因此T n11=nn 1n124 ．（河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列 {a n} 的前 n 项和S n1n2kn (此中 k N*),且S的最大值为8.2n(1)确立常数 k, 求 a n.9 2a n的前 n 项和 T n.(2) 求数列2n【答案】 (1) 当n k N * 时,S n1n2kn取最大值,即 8 S k1k2k21k2,22225．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）已知二次函数 f ( x)px2qx( p 0) ,其导函数为 f (x) 6x 2 ,数列{ a n}的前n项和为S n,点 (n, S n )( n N * ) 均在函数y f (x) 的图像上.(1)求数列 { a n } 的通项公式;(2) 若c n 1(a n 2), 2b1 22 b2 23 b3 L2n b n c n,求数列{ b n}的通项公式. 3【答案】26．（河北省保定市八校结合体2014 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设 a n是公差不为零的等差数列 , S n为其前n项和 , 知足a22a32a42a52,S7 7.(1)求数列 a n的通项公式及前n项和 S n;(2)试求全部的正整数 m ,使得amam 1为数列 a n中的项. am 2【答案】 [ 分析 ]本小题主要考察等差数列的通项、乞降的相关知识, 考察运算和求解的能力. 满分 14分.( 1) 设公差为 d ,则 a22a52a42a32, 由性质得3d (a4a3 ) d (a4a3 ) ,由于 d0 ,所以a4a30,即2a15d 0,又由S77 得7a17 6d 7 ,解得2a1 5 ,d2,(2)amam 1=(2 m7)(2 m5),设2m3t ,am 22m3(方法一)则 a m a m 1= (t4)(t2)t86,因此为 8的约数a m2t t( 方法二 ) 由于amam 1(am 24)( a m 2 2)a m 268为数列a n中的项, a m 2a m 2a m 2故8为整数 , 又由 (1)知: a m 2为奇数 , 因此a m 22m31,即m 1,2 a m+2经查验 ,切合题意的正整数只有m 227 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）数列 {a n}的前n项和为n,且Sn*S=n( n+1)( n∈N).(1)求数列 { a n} 的通项公式 ;(2)若数列 {b1b2+b3++ nb nn}的通项公式; n}知足: n=+23,求数列{b a3＋1 3＋ 1 3＋ 1 3＋ 1ba b*n n(3)令 c n=4( n∈N), 求数列 { c n} 的前n项和T n.【答案】28 ．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知为两个正数, 且, 设当,时,.( Ⅰ) 求证 : 数列是递减数列,数列是递加数列;(Ⅱ)求证 :;( Ⅲ) 能否存在常数使得对随意, 有, 若存在 , 求出的取值范围;若不存在,试说明原因 .【答案】( Ⅱ)证明:.(Ⅲ)解: 由, 可得.若存在常数使得对随意,有,则对随意,.即对随意建立 .即对随意建立.设表示不超出的最大整数,则有.即当时 ,.与对随意建立矛盾.因此 , 不存在常数使得对随意, 有29．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）设等比数列a n的前n项和为S n,已知 a n 12S n2( n N ) .( Ⅰ) 求数列a n的通项公式;优选文档( Ⅱ) 在a n与a n 1之间插入n个数 , 使这n 2 个数构成公差为d n的等差数列,设数列1的前 n 项和d nT n,证明:T n 15. 16【答案】解 ( Ⅰ) 由an 12S n*得 a n 2S n2( n*2(n N )1N, n 2 ),两式相减得 : a n 1a n2a n,即 a n 1*, n2), 3a n (n N∵ { a n } 是等比数列,因此 a23a1,又 a2 2a1 2,则 2a1 2 3a1,∴ a1 2 ,∴ a n2g3n 1( Ⅱ) 由 (1) 知a n 12g3n , a n2g3n 1∵ a n 1 a n (n 1)d n,∴d n43n 1n ,11111令 T nd2d3,d1d n则 T n234+n1①430 4 31 4 324g3n11T n 23n n1②3 4 31 4 324g3n 14g3n①-②得2T n 2111n 134g304g314g324g3n 14g3n11 1 13(13n 1 )n 1 5 2n 51n n 24 4 388 313g gT n 152n515 1616g3n 116优选文档。

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 （ ） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （ ）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （ ）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

(C)42π(D)36π该几何体下半部分是高为的圆柱的一半,所以其体积为B.,βπ(D)16π22,所以x=π,所以旋转体一个几何体的三视图如图所示(B)(D)+2,该几何体由两个三棱锥组成A.)(C)③④(D)②④经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点由三视图知其直观图为两个圆台的组合体水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大)(A)1 (B)2-D)2-ABC,1=,BD==,AB=BC=AD=DC=,=,=1,(B) cm3(D) cm3中的虚线长为图,A.则该几何体的外接球的表面积为(D)由三视图知该几何体为四棱锥,分别是对应边的中点,的正方形,h=,R2=,B.为底面的中心(D)建立空间直角坐标系.设A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,),M(0, 0,),P(x,y,0),=(0,1,),=(x,y,-).ABCDA1B1C1D1的内切球(B)根据正方体的几何特征知每小题5分解析:由三视图可知,该几何体有两个面是直角三角形,如图,底面是正三角形,最大的面是边长分别为2,=2,=2的面,其面积为×2×=.答案:14.正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为.解析:取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示坐标系,设BC=1,则A(0,0,),B(0,-,0),D(,0,0).所以=(0,0,),=(0,,),=(,,0).设平面ABD的法向量为n=(x0,y0,z0),则·n=0,且·n=0,x0=1,的一个法向量n=(1,-,1).sin<n,>=.:已知函数轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周.已知一个三棱锥的所有棱长均为,,AE==.R2=(-R)2+,即内切球的半径是.三、解答题ADEF;所成角的正弦值.EM=AD,则EO⊥平面ABCD,故以轴的正方向建立空间平面直角坐标系E(0,0,),A(3,0,0),C(-1,4,0),F(2,0,),所以=(3,0,-),=(-4,4,0),=(3,-4,).为平面EAC的法向量,则x=1,可得n=(1,1,),cos<,n>===,所成角的正弦值为EF;OEF所成角的正弦值.的边长为2,点E是xyz,O(0,0,1),G(,,0),=(0,1,-1),=(1,0,-1),=(,,-2).n=(1,1,1),==,与平面OEF.求直线PB与平面.于点M,连接FM.是平行四边形.E(0,0,0),B(3,0,0),P(0,0,m),C(3,2,0),F(,1,),的一个法向量为n=(x,y,z),由得z=1,得n=(0,-m,1).的一个法向量为cos<n,a>===.m=2.所成角.PBE==,.正三棱柱ABCA1B1C1底边长为2,E,F分别为BB1,AB的中点.(1)已知M为线段B1A1上的点,且B1A1=4B1M,求证:EM∥平面A1FC;(2)若二面角EA1CF所成角的余弦值为,求AA1的值.(1)证明:取B1A1中点为N,连接BN,则BN∥A1F,又B1A1=4B1M,N为B1A1的中点,则M为B1N的中点.所以EM为△BNB1中位线,则EM∥BN,所以EM∥A1F.因为EM⊄平面A1FC,A1F⊂平面A1FC,故EM∥平面A1FC.(2)解:如图,以F为坐标原点建立空间直角坐标系,设AA1=a.则F(0,0,0),A1(-1,0,a),E(1,0,),C(0,,0),=(-1,,-),=(0,,0),=(2,0,-),=(1,,-a).设平面A1CF法向量为m=(x,y,z),则取z=1,得m=(a,0,1).设平面A1EC法向量为n=(x1,y1,z1),取x1=a,得n=(a,a,4).设二面角EA1CF的平面角为,,=cos<m,n>==.a2=,AA1=.本小题满分所成角的正弦值为,求AD的长.ABCD,而AD⊂平面ABCD,平面PBD,所以AD两两互相垂直轴建立如图所示的空间直角坐标系BDC=可得A(λ,,0),P(0,0,4),,0,-4),=(-,,0),=(0,0,4).由题意可得y=3,则x=4,z=0,得平面PCD的一个法向量22.(本小题满分四边形ABCD为矩形在棱DF上..所以AF⊥B(1,0,0),E(,0,1),P(0,1,),C(1,2,0),=(-,0,1),=(-1,-1,),==,.ADF,所以平面ADF的一个法向量n1==(1,0,0).,=(0,,),=(1,2,0).|==..。

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．综合检测(一)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i2．等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎫1－12n 3．已知研究x 与y 之间关系的一组数据如下表所示，则y 对x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点( )X 0 1 2 3 Y1357A.(1,2)B.⎝⎛⎭⎫32，0 C ．(2,2)D.⎝⎛⎭⎫32，44．设M 是△ABC 边BC 上任意一点，且2AN →＝NM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( ) A.14 B.13 C.12D ．15．下面图(1)是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1、A 2、…、A 16，图(2)是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是( )图(1)图(2)A ．6B ．10C ．91D ．926．某同学在纸上画出如下若干个三角形：△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……，若依此规律，得到一系列的三角形，则在前2 015个三角形中共有▲的个数是( ) A ．64 B ．63 C ．62D ．617．已知集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A.π32B.3π16C.π16D.3π328．已知函数f (x )＝e x ＋x ，对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④9．(·洛阳统考)设实轴长为2的等轴双曲线的焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，则|F 1A |＋|F 1B |＋|F 1C |＋|F 1D |等于( ) A ．4 3 B ．23 C. 3D.3210．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N (110,102)，若P (100≤ξ≤110)＝0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A ．10 B ．9 C ．8D ．711．设n ＝ʃπ204sin x d x ，则二项式(x －1x )n 的展开式的常数项是( )A ．12B ．6C ．4D ．112．(·济源模拟)已知F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫55，1B.⎣⎡⎭⎫22，1C.⎝⎛⎦⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎤0，22 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝2 016|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．14．给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是函数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心． 若f (x )＝x 3－32x 2＋12x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫22 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016＝________. 15．已知集合M ＝N ＝{0,1,2,3}，定义函数f ：M →N ，且点A (0，f (0))，B (i ，f (i ))，C (i ＋1，f (i ＋1))(其中i ＝1,2)．若△ABC 的内切圆圆心为I ，且IA →＋IC →＝λIB →(λ∈R )，则满足条件的△ABC 有________个．16．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(·北京西城区二模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，其中ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2(1)求ω与φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝455，求2sin α－sin 2α2sin α＋sin 2α的值．18．(12分)已知函数f (x )＝ax －ln(1＋x 2)． (1)当a ＝45时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的极值；(2)证明：当x >0时，ln(1＋x 2)<x ；(3)证明：⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋134…⎝⎛⎭⎫1＋1n 4<e (n ∈N *，n ≥2，e 为自然对数的底数)．19.(12分)(·咸阳模拟)如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2.又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(1)求证：PC ⊥AC ；(2)求二面角M —AC —B 的余弦值； (3)求点B 到平面MAC 的距离．20．(12分)某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1,2,3,4,5,6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ<5的为二等品，ξ<3的为三等品．若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 1 3 1 1 6 3 3 4 1 2 4 1 2 5 3 1 2 6 3 1 6 1 2 1 2 2 5 3 4 5(1)以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产的产品为一等品、二等品和三等品的概率；(2)已知该厂生产一件产品的利润y (单位：元)与产品的等级系数ξ的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，ξ<3，2，3≤ξ<5，4，ξ≥5若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z ，求Z 的分布列和均值．21.(12分)已知数列{a n }，其前n 项和是S n 且S n ＋12a n ＝1 (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1－S n ＋1) (n ∈N *)，求使方程1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝2551成立的正整数n 的值．22．(12分)(·合肥质检)焦点分别为F 1，F 2的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)过点M (2,1)，且△MF 2F 1的面积为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0,3)作直线l ，直线l 交椭圆C 于不同的两点A ，B ，求直线l 倾斜角θ的取值范围； (3)在(2)的条件下，使得|MA |＝|MB |成立的直线l 是否存在？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．综合检测(一)1．C2．C [依题意，知a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝12n －1·2n ＝122n －1＝12×14n －1，所以T n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n ，选C.] 3．D [由题可知，y 对x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过定点(x ，y )，由表格可知，x ＝1＋2＋34＝32，y ＝1＋3＋5＋74＝4，所以y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 必过点⎝⎛⎭⎫32，4.] 4．B [因为M 是△ABC 边BC 上任意一点，设AM →＝mAB →＋nAC →，且m ＋n ＝1，又AN →＝13AM→＝13(mAB →＋nAC →)＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝13(m ＋n )＝13.] 5．B [由程序框图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.故选B.]6．C [前n 个▲中所包含的所有三角形的个数是1＋2＋3＋…＋n ＋n ＝n (n ＋3)2，由n (n ＋3)2＝2 015，解得n ＝62.]7．D [满足不等式组的区域如图△ABO 内部(含边界)，由于直线y ＝x 与y ＝－x 垂直，△ABO 与圆x 2＋y 2＝2的公共部分如图阴影部分是14圆，则点P 落在圆x 2＋y 2≤2内的概率为P ＝S 扇形S △ABO＝14×2π12×2×⎝⎛⎭⎫43＋4＝3π32.]8．B [由于函数f (x )＝e x ＋x ，对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，且横坐标依次增大．由于此函数是一个单调递增的函数，故由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率．可得出角∠ABC 一定是钝角，故①对，②错．由于由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率，由两点间距离公式可以得出AB <BC ，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③错，④对．]9．A [依题意，设题中的双曲线方程是x 2－y 2＝1，不妨设点A 、B 、C 、D 依次位于第一、二、三、四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2，|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝8，由此解得|AF 1|＝3＋1，|AF 2|＝3－1，同理|DF 1|＝|AF 1|＝3＋1，|CF 1|＝|BF 1|＝|AF 2|＝3－1，|AF 1|＋|BF 1|＋|CF 1|＋|DF 1|＝43，选A.]10．B [∵考试的成绩ξ服从正态分布N (110,102)． ∴考试的成绩ξ关于ξ＝110对称， ∵P (100≤ξ≤110)＝0.35，∴P (ξ≥120)＝P (ξ≤100)＝12(1－0.35×2)＝0.15，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.15×60＝9.] 11．B [由定积分得n ＝－4cos x |π20＝4，二项式的通项公式为T r ＋1＝C r 4x 4－r (－1x)r ＝C r 4(－1)r x4－2r，由4－2r ＝0，得r ＝2，所以常数项为T 3＝C 24(－1)2＝6，故选B.]12．B [设P (x ，y )，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→⊥PF 2→＝0，即(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋b 2⎝⎛⎭⎫1－x 2a 2－c 2＝c 2x 2a 2＋b 2－c 2＝0，∴x 2＝a 2(c 2－b 2)c 2≥0，∴c 2－b 2≥0，∴2c 2≥a 2，∴e ≥22.又∵e <1，∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1.]13.2 0172 015解析 由题意得|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， e ≤|PF 1|＋|PF 2||PF 1|－|PF 2|＝2 017|PF 2|2 015|PF 2|＝2 0172 015. 14．2 015解析 由f (x )＝x 3－32x 2＋12x ＋1，得f ′(x )＝3x 2－3x ＋12，∴f ″(x )＝6x －3，由f ″(x )＝6x －3＝0，得x ＝12，又f ⎝⎛⎭⎫12＝1，∴f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， ∴f (1－x )＋f (x )＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016＝f ⎝⎛⎭⎫22 016＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 016＝…＝f ⎝⎛⎭⎫1 0072 016＋f ⎝⎛⎭⎫1 0092 016＝f ⎝⎛⎭⎫1 0082 016＋f ⎝⎛⎭⎫1 0082 016＝2 ∴f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫22 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016 ＝2×1 007＋1＝2 015. 15．18 解析由IA →＋IC →＝λIB →(λ∈R )知△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A 点是4×4的格点中第一列的点．当i ＝1时，B 点是第二列格点中的点，C 点是第三列格点中的点，此时腰长为2，5，10的△ABC 分别有6个、4个、2个，当i ＝2时，B 点是第三列格点中的点，C 点是第四列格点中的点，此时腰长为5的△ABC 有6个，如图，△ABC 为其中的一个．综上，满足条件的△ABC 共有18个． 16．i ≤10?解析 这是一个循环结构，s ＝0，n ＝2，i ＝1，其中变量i 是计数变量，它应使循环体执行10次，因此条件应是i ≤10？. 17．解 (1)f (x )＝2sin(ωx ＋φ＋π3)．设f (x )的最小正周期为T .由图象可得T 2＝π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝π2，所以T ＝π，ω＝2. 由f (0)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3＝1， 因为φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以φ＝π6. (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由f ⎝⎛⎭⎫α4＝2cos α2＝455，得cos α2＝255， 所以cos α＝2cos 2α2－1＝35.所以2sin α－sin 2α2sin α＋sin 2α＝2sin α(1－cos α)2sin α(1＋cos α)＝1－cos α1＋cos α＝14.18．(1)解 当a ＝45时，f (x )＝45x －ln(1＋x 2)，∴f ′(x )＝45－2x1＋x 2＝4x 2－10x ＋45(1＋x 2).x ，f ′(x )，f (x )变化如下表：x(0，12)12(12，2) 2(2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )极大值极小值∴f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝25－ln 54， f (x )极小值＝f (2)＝85－ln 5.(2)证明 令g (x )＝x －ln(1＋x 2)， 则g ′(x )＝1－2x1＋x 2＝(x －1)21＋x 2≥0.∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (0)＝0， ∴ln(1＋x 2)<x .(3)证明 由(2)知ln(1＋x 2)<x ，令x ＝1n 2，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 4<1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n ， ∴ln ⎝⎛⎭⎫1＋124＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋134＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n 4 <1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1－1n<1，∴⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋134…⎝⎛⎭⎫1＋1n 4<e. 19．(1)证明 ∵PC ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴PC ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AC .(2)解 在平面ABC 内，过点C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P (0,0，z )，则C (0,0,0)，A ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，M (0,1，z )，B (0,2,0)，∴CP →＝(0,0，z )，AM →＝(0,1，z )－⎝⎛⎭⎫32，－12，0＝⎝⎛⎭⎫－32，32，z .∵cos 60°＝|cos 〈AM →，CP →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·CP →|AM →||CP →|＝z 23＋z 2·|z |，且z >0，∴zz 2＋3＝12，得z ＝1， ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，1.设平面MAC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AM →＝0，n ·CA →＝0，得⎩⎨⎧－32x ＋32y ＋1＝0，32x －12y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－1，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－33，－1，1. ∵平面ABC 的一个法向量为CP →＝(0,0,1)． ∴cos 〈n ，CP →〉＝n ·CP →|n ||CP →|＝217.显然，二面角M —AC —B 为锐二面角， ∴二面角M —AC —B 的余弦值为217. (3)解 点B 到平面MAC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CB→·n |n |＝2217.20．解 (1)由题意在抽取的30件产品中一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件， 故该厂生产一等品概率为P 1＝630＝15，二等品概率为P 2＝930＝310，三等品概率为P 3＝1530＝12.(2)由题意得：Z 的可能取值为2,3,4,5,6,8，而从该厂大量产品中任取两件取得一等品、二等品、三等品是相互的，故：P (Z ＝2)＝12×12＝14，P (Z ＝3)＝2×12×310＝310，P (Z ＝4)＝310×310＝9100，P (Z ＝5)＝2×12×15＝15，P (Z ＝6)＝2×310×15＝325，P (Z ＝8)＝15×15＝125.∴Z 的分布列为Z 2 3 4 5 6 8 P14310910015325125∴E (Z )＝2×14＋3×310＋4×9100＋5×15＋6×325＋8×125＝3.8.21．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23.当n ≥2时，因为S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，所以S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1 (n ≥2)，所以{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝⎛⎭⎫13n －1＝2·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *)． (2)由于1－S n ＝12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ， 故b n ＝log 3(1－S n ＋1)＝log 3⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝－n －1， 1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， 则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2. 由12－1n ＋2＝2551，解得n ＝100.22．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由M (2,1)， △MF 2F 1的面积为3，得12·2c ·1＝3⇒c ＝3，故椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，又椭圆C 过点M (2,1)， ∴4a 2＋1a 2－3＝1且a 2>3， 于是(a 2)2－8a 2＋12＝0且a 2>3，∴a 2＝6， 故椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)易知θ＝π2时，符合题意；当θ≠π2时，可设直线l 方程为y ＝kx ＋3，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 26＋y 23＝1得(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋12＝0，由Δ＝144k 2－4×12×(1＋2k 2)>0， 解得k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4，综上知θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (3)易知，当直线l 与x 轴垂直时，不合题意． 假设存在直线l 满足条件，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若M ，A ，B 三点共线，注意到|MA |＝|MB |，故A ，B 两点重合于点M ，这与A ，B 是椭圆C 上不同的两点矛盾． 故M ，A ，B 三点不共线，取AB 的中点D ，连接MD ，知MD ⊥AB . 由方程(1＋2k 2)x 2＋12kx ＋12＝0知x 1＋x 2＝－12k1＋2k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝－12k 21＋2k 2＋6＝61＋2k 2.于是，点D 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋2k 2，31＋2k 2， 由MD ⊥AB 得31＋2k 2－1－6k1＋2k 2－2＝－1k (k >1或k <－1)，得k 2＋k ＋1＝0，此方程无实数解，所以满足条件的直线不存在．。

课时作业56 最值、范围、证明问题第一次作业 基础巩固练1．已知动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线l ：x ＝－1相切． (1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)若动点M 为直线l 上任一点，过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知，动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，所以可设直线AB 的方程为x＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8my －8＝0，Δ＝64m 2＋32>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (－1，t )，则y 1＋y 2＝8m ，y 1·y 2＝－8，x 1＋x 2＝8m 2＋2，x 1·x 2＝1， 而2k MP ＝2·t－1－1＝－t ， k MA ＋k MB ＝y 1－t x 1＋1＋y 2－tx 2＋1＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t x 1＋x 2－2tx 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2y 1＋y 2＋y 1＋y 2－t x 1＋x 2－2tx 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－t8m 2＋48m 2＋4＝－t ， 所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F (1,0)，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，AB →＝6BC →.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ，求△MNQ 面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0)，C (0，a )，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 7，6a 7， 代入椭圆E 的方程得149＋36a 249b 2＝1，结合a 2－b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设l ：x ＝my ＋1，代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y2＋6my －9＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，连接ON ，由Q 与M 关于原点对称知，S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4 ＝123m 2＋1＋1m 2＋1，∵m 2＋1≥1， ∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4，∴S △MNQ ≤3，当且仅当m ＝0时，等号成立，∴△MNQ 面积的最大值为3，此时直线l 的方程为x ＝1.3．(2019·河南洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p2，A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p.又x 2＝2py ，∴y ′＝x p.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p. ∴直线AN 与抛物线相切．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A →＝λF 2B →，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．解：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋1k 2＋2，－2k k 2＋2， ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8k 2＋22，由此可知，|QC →|2的大小与k 2的取值有关． 由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝y 1＋y 22－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27. 令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －742－172，∴当t ＝12时，|QC |min ＝2.5．(2019·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1， 故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0， 故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，设△OAB 的面积为S ， 由x 1x 2＝－3k 2＋4<0， 知S ＝12×1×|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2＝2k 2＋3k 2＋42，令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2. 对函数y ＝t ＋1t(t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴0<S ≤32. 故△OAB 面积的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 第二次作业 高考·模拟解答题体验1．(2019·四川成都七中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为22，过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，△ABF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最大时，求l 的方程． 解：(1)由椭圆的定义知4a ＝42，a ＝2， 由e ＝c a知c ＝ea ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，|F 1F 2|＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －1， 联立x ＝my －1与x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，|y 1－y 2|＝22m 2＋1m 2＋2，S △ABF 2＝22m 2＋1m 2＋22＝221m 2＋1＋1m 2＋1＋2，当m 2＋1＝1，m ＝0时，S △ABF 2最大为2，l ：x ＝－1.2．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：直线AB 与x 轴交于定点P ，并求PA →·F 2C →的取值范围．解：(1)由题意知c a ＝12，12·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m . 将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ，C ，F 2共线，所以kBF 2＝kCF 2， 即kx 2＋m x 2－1＝－kx 1＋m x 1－1， 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， 所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0，解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21，所以PA →·F 2C →＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2，所以PA →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187，18. 3．(2019·广东华南师大附中模拟)已知点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点，点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0)，若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ，直线AQ 与直线PF 交于点B ，证明：点B 恒在曲线E 上，并求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意得，F 点坐标为(1,0)，因为P 为CF ′中垂线上的点，所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4，所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2，由椭圆的定义知，2a ＝4，c ＝1，所以动点P 的轨迹方程E 为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(m ，n )(n ≠0)，则Q 点的坐标为(m ，－n )，且3m 2＋4n 2＝12， 所以直线QA ：y ＝n4－m (x －4)，即nx －(4－m )y －4n ＝0，直线PF ：y ＝nm －1(x －1)，即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －4－m y －4n ＝0，nx －m －1y －n ＝0，解得x B ＝5m －82m －5，y B ＝3n2m －5，则x 2B 4＋y 2B3＝5m －8242m －52＋3n 232m －52＝25m 2－80m ＋64＋12n 242m －52＝16m 2－80m ＋10042m －52＝1，所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1，P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，3x 2＋4y 2＝12，消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，所以y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝－6t 3t 2＋42＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4， 从而S △PAB ＝12|FA ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4 ＝18t 2＋13t 2＋1＋1＝183t 2＋1＋1t 2＋1.令μ＝t 2＋1(μ≥1)，则函数g (μ)＝3μ＋1μ在[1，＋∞)上单调递增，故g (μ)min＝g (1)＝4，所以S △PAB ≤184＝92，即当t ＝0时，△PAB 的面积取得最大值，且最大值为92.4．(2019·河北邢台模拟)已知椭圆W ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2＝1的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直，且l 与W 交于M ，N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最大值．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 2－b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故W 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24＋x 23＝1，x24＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3613，y 2＝413，∴y 2x 2＝19. 又A 在第一象限，∴k OA ＝y x ＝13.故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋m ，y 24＋x23＝1，得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝18m 31，x 1x 2＝3m 2－1231.∴|MN |＝1＋－32×x 1＋x 22－4x 1x 2＝10×4331－m231.又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10，则△MON 的面积S ＝12d ·|MN |＝23|m |31－m 231，∴S ＝23m 231－m 231≤331(m 2＋31－m 2)＝3，当且仅当m 2＝31－m 2，即m 2＝312时，满足Δ>0，故△MON 的面积的最大值为 3.5．(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2. 所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1>y 2>0， 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2. 又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y24＝1，消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4.易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1.由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12，或k ＝1128. 所以，k 的值为12或1128.。

选修系列4 综合测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t (t 为参数)，则其直角坐标方程为( )A.3x ＋y ＋2－3＝0B.3x －y ＋2－3＝0 C ．x －3y ＋2－3＝0 D ．x ＋3y ＋2－3＝0答案 B解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t2，y －2＝32t ， ∴y －2＝3(x －1)．即3x －y ＋2－3＝0.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝10，AC 与BD 交于点O ，过O 点作EF ∥AD ，交AB 于E ，交DC 于F ，则EF ＝( )A.103B.203C ．10D ．20答案 B3．“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 因为|x ＋1|＋|x ＋2|≥|x ＋1－(x ＋2)|＝1，所以由不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空，得a >1，所以“a ＝2”是“关于x 的不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<a 的解集非空”的充分不必要条件，故选C.4．在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.5．设x ，y ∈R ，M ＝x 2＋y 2＋1，N ＝x ＋y ＋xy ，则M 与N 的关系是( ) A ．M ≥N B ．M ≤N C ．M ＝N D ．不能确定答案 A解析 x 2＋1≥2x ，y 2＋1≥2y ，x 2＋y 2≥2xy ，三式相加即可．6.如图，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D ，点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )A ．2∶1B ．1∶2 C.2∶1 D.3∶1答案 A解析 连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°， 又∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°. ∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a .∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2. 即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1. 7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.125 5 C.955 D.9510 答案 B解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5t ×25，y ＝1＋5t ×15.把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t代入x 2＋y 2＝9，得(1＋2t )2＋(2＋t )2＝9.5t 2＋8t －4＝0.∴|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝－852＋165＝125，弦长为5|t 1－t 2|＝1255.8．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是( ) A ．[1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，1]答案 A解析 设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.由f (x )≥1，解得x ≥1，所以解集为[1，＋∞)．9.如图，AC 切⊙O 于D ，AO 延长线交⊙O 于B ，BC 切⊙O 于B ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB 等于( )A ．2∶1B ．1∶1C ．1∶2D ．2∶1.5 答案 A解析 如右图所示，连接OD ，OC .∵AD ∶AC ＝1∶2， ∴D 为AC 的中点． 又∵AC 切⊙O 于点D ， ∴OD ⊥AC .∴OA ＝OC . ∴△AOD ≌△COD . ∴∠1＝∠2.又∵△OBC ≌△ODC ，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3＝60°，∴OC ＝2OB . ∴OA ＝2OB .故选A.10．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，直线l 与曲线C 交于A ，B ，则|AB |＝( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 B解析 依题意得，直线AB 的普通方程是y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.曲线C 的标准方程是x 2＋y 2＝4，圆心C (0,0)到直线AB 的距离等于22＝2，|AB |＝24－22＝22，选B.11．若不等式|x ＋a |≤2在x ∈[1,2]时恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0] B ．[0,3] C ．(－3,0) D ．(0,3)答案 A解析 由题意得－2≤x ＋a ≤2，－2－x ≤a ≤2－x ，所以(－2－x )max ≤a ≤(2－x )min .因为x ∈[1,2]，所以－3≤a ≤0.12.如图，AB 是半圆的直径，点C ，D 在AB 上，且AD 平分∠CAB ，已知AB ＝10，AC ＝6，则AD 等于( )A ．8B ．10C ．210D ．4 5答案 D解析 如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C ＝∠D ＝90°.又∵AC ＝6，AB ＝10，∴BC ＝8. ∴cos ∠BAC ＝35.又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝12∠BAC .∴2cos 2∠BAD ＝1＋cos ∠BAC ＝85.∴cos ∠BAD ＝255.又在Rt △ADB 中，AD ＝AB ·cos∠BAD ＝10×255＝4 5.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－1，12]解析 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋(|x －12|＋|x ＋2|)≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是[－1，12]．14．(2014·湖北)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案 (3，1)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＝3y 2得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)．15.如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论：①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ；②AF ·AG ＝AD ·AE ；③△AFB ∽△ADG .其中正确结论的序号是________． 答案 ①②解析 由题意，根据切线长定理，有BD ＝BF ，CE ＝CF ，所以AD ＋AE ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝(AB ＋BF )＋(AC ＋CF )＝AB ＋AC ＋(BF ＋CF )＝AB ＋AC ＋BC .所以①正确；因为AD ，AE 是圆的切线，根据切线长定理，有AD ＝AE .又因为AG 是圆的割线，所以根据切割线定理有AD 2＝AF ·AG ＝AD ·AE ，所以②正确；根据弦切角定理，有∠ADF ＝∠AGD .又因为BD ＝BF ，所以∠BDF ＝∠BFD ＝∠ADF ，在△AFB 中，∠ABF ＝2∠ADF ＝2∠AGD ，所以③错误．16．已知正实数x ，y 满足2x ＋12y ＋m ＝xy ，若xy 的最小值是9，则实数m 的值为________．答案 3解析 由基本不等式，得xy ≥2xy ＋m ，令xy ＝t ，得不等式t 2－2t －m ≥0.∵xy 的最小值是9，∴t 的最小值是3.∴3是方程t 2－2t －m ＝0的一个根，∴m ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.答案 (1)略 (2)略证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.18．(本小题满分12分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .答案 (1)略 (2)略证明 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA . 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD . 从而∠BDA ＝∠PFA .由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°. 故AB 是直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径， 故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB . 于是∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ， 所以∠DCB ＝∠CBA . 故DC ∥AB .由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 于是ED 为直径，由(1)得ED ＝AB . 19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 答案 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x －4＝0 (2)233解析 (1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4. (2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝θ＋π4－4|3≥23，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时取等号．∴点Q 到直线l 距离的最小值为233.20．(本小题满分12分)如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC .(1)求证：FB ＝FC ； (2)求证：FB 2＝FA ·FD ；(3)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长． 答案 (1)略 (2)略 (3)4 3解析 (1)∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC . ∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC . ∵∠EAD ＝∠FAB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB . ∴FB ＝FC .(2)∵∠FAB ＝∠FCB ＝∠FBC ，∠AFB ＝∠BFD ， ∴△FBA ∽△FDB ，∴FB FD ＝FA FB，∴FB 2＝FA ·FD . (3)∵AB 是圆的直径，∴∠ACB ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∴∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠BAC ＝60°.∴∠D ＝30°.∵BC ＝6，∴AC ＝23，∴AD ＝2AC ＝4 3. 21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．答案 (1)C 1：ρ＝2，C 2：ρ＝4cos θ，⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t －3≤t ≤3解析 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3)．⎝⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3方法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x －1|＋2a (a ∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )<3.(2)若不等式f (x )≥ax ，∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围． 答案 (1)当a ≥32时，x ∈∅；当a <32时，x ∈(2a －2,4－2a )(2)[0,1]解析 (1)由f (x )<3，即|x －1|＋2a <3，得|x －1|<3－2a . 当3－2a ≤0时，即a ≥32，不等式的解集为∅；当3－2a >0时，即a <32，不等式等价于2a －3<x －1<3－2a ，得2a －2<x <4－2a .综上，当a ≥32时，不等式的解集为∅；当a <32时，不等式的解集为{x |2a －2<x <4－2a }．(2)方法一：由f (x )≥ax ，当x <1时，a ≥1－x x －2＝(－1－1x －2)∈(－1,0)．∴a ≥0.当1≤x ≤2时，a (x －2)≤x －1恒成立⇔a ≥x －1x －2恒成立，∵x －1x －2＝(1＋1x －2)∈(－∞，0]，∴a ≥0. 当x ＝2时，1＋2a ≥2a 恒成立，a ∈R . 当x >2时，a ≤x －1x －2恒成立， ∵x －1x －2∈(1，＋∞)，∴a ≤1. 综上，∀x ∈R 使得不等式f (x )≥ax 恒成立的a 的取值范围是[0,1]． 方法二：由f (x )≥ax ，即|x －1|＋2a ≥ax ， ∴|x －1|≥a (x －2)．依题意，y ＝|x －1|的图像恒在y ＝a (x －2)图像的上方，而y ＝a (x －2)恒过(2,0)点，依图分析得0≤a ≤1.。