【重点资料】2019高中数学 考点57 直线和圆的方程的应用庖丁解题 新人教A版必修2

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11．与直线l :A x +B y +C=0平行的直线系方程为A x +B y +m =0；2．与直线l :A x +B y +C=0平行的直线系方程为B x –A y +m =0；3．过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A,B 不同时为0）；4．过直线n ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）；5．过直线A x +B y +C=0与圆 x 2 + y 2 +D x + E y +F= 0 的交点的圆系方程x 2 + y 2 +D x + E y +F+λ（A x +B y +C ）=0；6．过和交点的圆系方程为．【例】求过两圆 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1上的圆方程_____________，此时圆心到x 轴的距离_____________．【答案】 x 2 + y 2 －3x + y －1 = 0，12【解析】设所求圆方程为x 2 + y 2 －4x + 2y + ( x 2 + y 2 －2y －4 ) = 0，由圆心21(,)11λλλ-++代入2x +4y =1，得13λ=，∴x 2 + y 2 －3x + y －1 = 0，圆心的坐标31(,)22-，到x 轴的距离为12． 【解题技巧】在遇到过圆与圆交点的圆有关问题时，灵活应用圆系方程，可简化繁杂的解题过程．。

疱丁巧解牛知识·巧学一、解决与圆相关的实际问题运用圆的相关知识可以解决实际生活中的有关问题，解决此类问题的基本步骤：(1)阅读理解，认真审题;(2)引进数学符号或圆的方程，建立数学模型;(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果;(4)转译成具体问题作出解答.方法点拨 应用直线与圆的方程解决实际问题时，要注意建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决，一般情况下需要建立适当的直角坐标系，应用方程的思想来处理.二、坐标法用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何意义，得出几何问题的结论.这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点提示 应用几何法，即坐标法解决平面几何问题时，先建系，把相应的几何元素用坐标或方程来表示，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决，最终得到几何问题的结论，要注意这一方法的三个步骤.问题·探究问题 1 怎样判断直线与圆的位置关系较好？在直线与圆相离的情况下，如何求圆上的点到直线距离的最大值或最小值？探究:在判断直线与圆的位置关系时，虽代数法可用，但不如用几何法简单、直观，即研究圆心到直线距离与半径大小关系.在直线与圆相离的情况下，圆心距ｄ＞ｒ，根据图形分析可知：圆上点到直线距离的最小值是d-r ，最大值是d+r.问题2 有人说，研究两圆位置关系就是将两圆方程联立，整理成关于x 的方程，来判断其方程解的个数，若方程有一解，则两圆相切，这种说法正确吗？试举例说明.探究:这种说法不正确.如圆C 1:x 2+y 2=4，圆C 2:(x-2)2+y 2=4.将两圆方程联立，消去y ，整理成关于x 的方程为x=1，此方程只有一解x=1，但由图分析：两圆相交，有两个公共点，所以说，在判断两圆位置关系时，最好不要用方程求解，而是利用圆心距与两圆关系来判断. 典题·热题例1 已知直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，求交点A 、B 的坐标及｜AB ｜长.思路解析：由题意，可以先利用题中的对称关系，求出k 值，然后再求交点坐标，代入两点间距离公式求出弦长｜AB ｜.解：因为直线y=kx+1与圆x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点A 、B 关于直线y=x 对称，即点(x 1,y 1)与点(y 1,x 1)均在直线和圆上，所以k=-1符合圆的条件.解方程组⎩⎨⎧=++=0,4-y -x -y x 1,-x y 22得曲线的两个交点A(2，-1)，B(-1,2). 所以|AB|=23)21()12(22=--++.辨析比较 本题若不求k 值，由方程组联合求解交点A 、B ，在A 、B 的坐标表示中含有k ，再反过来由对称关系确定k 值，也可以求出，但计算较繁,不如上法简捷.例2 如图4-2-3，一座圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？图4-2-3 图4-2-4思路解析：本题考查应用坐标法研究平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当坐标系，利用圆的方程来解决.解：以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴建立直角坐标系，设所在圆的圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则A(6，-2).设圆的方程为x 2+(y+r)2=r 2，将A(6，-2)代入方程得r=10，∴圆的方程为x 2+(y+10)2=100，当水面下降1米后，可设点A′(x 0，-3)(x 0>0).如图4-2-4，将A′(x 0，-3)代入圆方程，求得x 0=51.∴水面下降1米，水面宽为2x 0=512≈14.28(米).方法归纳 此为一道数学的实际应用问题，一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，尽可能地减少未知数的个数.把实际问题转化为数学问题，通过待定系数法设圆的方程进行求解.例3 已知直线l ：y=k(22+x )与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△ABO 的面积为S.(1)试将S 表示成k 的函数S(k)，并求其定义域；(2)求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.思路解析：(1)求△ABO 的面积可用S=21×底×高，底为｜AB ｜，高为圆心到直线距离；(2)可利用△ABO 的几何性质解决.解：(1)由y=k(22+x )得kx-y+k 22=0，圆心到l 距离d=21||22k k +， |AB|=22222114184242k k k k d +-⨯=+-=-， ∴S △ABO =21|AB|·d=11||2422+-∙k k k ，又d ＜2，即21||222<+kk 且k≠0，得k ∈(-1,0)∪(0,1)，∴S(k)=2221)1(24k k k +-,k ∈(-1,0)∪(0,1). (2)S=21|OA|·|OB|·sin ∠AOB=2sin ∠AOB, 所以当∠AOB=90°时,S max =2.此时圆心到直线的距离d=2，21||222=+k k ，解之,可得k=±33. 误区警示 本题要注意在做第(2)问时，如果直接应用第(1)问的结果，求此函数的最大值，则运算会非常复杂.。

高中数学：直线和圆的方程知识点总结1. 引言高中数学中，直线和圆的方程是重要的知识点。

理解直线和圆的方程能够帮助我们准确描述和解决几何问题。

本文将总结和介绍直线和圆的方程的相关知识点。

2. 直线的方程2.1. 点斜式方程直线的点斜式方程是直线方程的一种常见形式。

给定直线上一点P (x₁, y₁) 和直线的斜率 k，点斜式方程可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x, y) 表示直线上任意一点。

点斜式方程可以方便地描述直线的位置和方向。

2.2. 截距式方程直线的截距式方程是直线方程的另一种常见形式。

给定直线与x轴和y轴的截距分别为 a 和 b，截距式方程可以表示为：x/a + y/b = 1截距式方程可以直观地描述直线与坐标轴的交点。

2.3. 一般式方程直线的一般式方程是直线方程的一种标准形式。

给定直线上任意一点的坐标 (x, y) 和直线的系数 A、B、C，一般式方程可以表示为：Ax + By + C = 0一般式方程可以用于判断两条直线的位置关系。

3. 圆的方程3.1. 标准方程圆的标准方程是圆的方程的常见形式。

给定圆心坐标 (h, k) 和半径 r，标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²标准方程可以方便地描述圆的位置和形状。

3.2. 参数方程圆的参数方程是圆的方程的另一种常见形式。

给定圆心坐标 (h, k) 和半径 r，参数方程可以表示为：x = h + rcosθy = k + rsinθ其中，θ 是圆上任意一点的极角。

参数方程可以用于描述圆上的点的坐标。

3.3. 一般方程圆的一般方程是圆的方程的一种一般形式。

给定圆心坐标 (h, k) 和半径 r，一般方程可以表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F 是圆的参数。

一般方程可以用于推导标准方程或参数方程。

4. 总结直线和圆的方程是高中数学中的重要知识点。

考点57 直线和圆的方程的应用直线与圆的方程在生产、生活实践中有着广泛的应用，其具体解题思路是：从实际问题出发，构建数学模型，转化为数学问题中点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及性质探究的问题求解．解题步骤是：（1）建模；（2）建系；（3）引进直线与圆的方程；（4）利用直线与圆的位置关系，借助几何性质求解．【例】如果实数x ，y 满足等式2223x y -+=()，那么yx的最大值是（ ） A ．12B C D 【答案】D2，构造直角三角形，求出相切时的倾斜角60°，可得斜率的最大值．1．一辆卡车宽1.6 m ，要经过一个半径为3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷蓬顶距地面的高度不得超过（ ） A ．1.4 m B ．3.5 m C ．3.6 m D ．2.0 m【答案】C【解析】设圆的方程为2223.6x y +=，将0.8y (，)代入方程的 3.5y ≈．【规律方法】直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题．用坐标法解决平面几何问题的思维过程：2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为（ ）A ．0.5 hB ．1 hC ．1.5 hD ．2 h【答案】B【解题技巧】用坐标方法解决几何问题的步骤是：（1）建系，用坐标和方程表示问题中几何元素，将平面问题转化为代数问题； （2）通过代数运算解决代数问题； （3）将代数结构翻译成几何结论．3．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4所围成的较小的面积是( )A ．π4B ．3π4C ．3π2D ．π【答案】D【解析】数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14．4．已知M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r>0)}，且M ∩N ＝N ，则r 的取值范围是( ) A ．(0，2－1) B ．(0,1] C ．(0,2－2] D ．(0,2]【答案】C【解析】因为M ∩N ＝N ，所以两个圆内含或内切，则2－r≥2，得r ∈(0,2－2]，故选C ． 5．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的直径为________．【答案】13米6．一束光线l 自A （–3，3）发出，射到x 轴反射到224470C x y x y +--+=：上．（1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； （2）求在x 轴上，反射点M 的范围． 【解析】C ：22221x y -+-=()()．（1）C 关于x 轴的对称点C ' （2，–2），过A 、C '的直线方程：0x y +=为光线l 的方程． （2）A 关于x 轴的对称点A '（–3，–3）．设过A '的直线为33y k x ++=()，当该直线与C 相切时，413k =⇒=或34k =．∴过A '，C 的两条切线为4333y x ++=()，3334y x ++=()令0y =，得123,14x x =-=．∴反射点M 在x 轴上的活动范围是3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．1．点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)4＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1【答案】A2．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2【答案】A【解析】由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a2＝1,解之得a ＝－43． 3．一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34【答案】D【解析】圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(–3,2),半径r ＝1．(–2,–3)关于y 轴的对称点为(2,–3)．如图所示,反射光线一定过点(2,–3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x –2),即kx –y –2k －3＝0．∵反射光线与已知圆相切, ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋（－1）2＝1,整理得12k 2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－34或k ＝－43．4．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域．一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h ． 问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)石拱桥石拱桥，用天然石料作为主要建筑材料的拱桥，这种拱桥有悠久的历史，桥梁又多有附属小品建筑，如桥头常立牌坊，著名者如北京北海琼华岛前的石拱桥，两端就各有一座规模甚大而美丽的牌坊．华表、经幢和小石塔也常用于桥梁，如苏州宝带桥、泉州五里桥和洛阳桥等．世界上最著名的割圆拱桥首推中国赵州桥．。

考点51 直线与圆的位置关系直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的位置关系及判断代数法：由⎩⎪⎨－2＋－2＝r2【例】直线20x y +=与圆22240x y x y +++=的位置关系为_____________．【规律总结】判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．1．在平面中下列说法中正确的是（ ）A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点 【答案】D【解析】A 为相交，B 、C 中的直线有无数条．2．直线1x y +=与圆()22200x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．()01 B ．)1C ．()1 D ．()1【答案】A【解析】用圆心()0a ，到直线1x y +=的距离大于半径a 求解；也可联立方程通过Δ< 0求解． 3．对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心【答案】C【解析】直线y =kx +1过圆221x y +=恒过定点（0，1），而该点在圆C 内且圆心不在该直线上． 【秒杀技】考虑到直线恒过定点，定点在圆内，可得结论．4．直线210x y +-=与圆22224210x y x y +--+=的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 【答案】C5．点M （x 0，y 0）是圆x 2＋y 2＝a 2（a ＞0）内不为圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝a 2与该圆的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交【答案】C【解析】M 在圆内，且不为圆心，则2220x y a ＜＋＜，则圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离为d ＝a 2x 20＋y 20＞a 2a2＝a ，所以相离．【易错易混】由222x y a ＜＋＜，可得a 2x 20＋y 20＞a 2a2，勿将方向弄反． 6．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由⊙O 外一点P (a ，b )向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足|PQ |＝|PA |．求实数a ，b 间满足的等量关系．【解析】连接OP ，∵Q 为切点，∴PQ ⊥OQ ，由勾股定理有|PQ |2＝|OP |2－|OQ |2．又∵|PQ|＝|PA|，∴|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－1＝(a－2)2＋(b－1)2，整理，得2a＋b－3＝0．1．若直线10x y-+=与圆()222x a y-+=有公共点，则实数a的取值范围是（）A．[]3,1--B．[]1,3-C．[]3,1-D．(][),31,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】设圆()222x a y-+=的圆心(),0C a到直线10x y-+=的距离为d，则d r=⇔剟12a∴+…，31a∴-剟．2．直线3460x y-+=与圆()()22234x y-+-=的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心3．若直线1x ya b+=与圆221x y+=有公共点，则（）A．221a b+…B．221a b+…C．22111a b+…D．22111a b+…【答案】D【解析】由已知得圆心（0，0）到直线0bx ay ab+-=的距离小于或等于圆的半径1，即1，即22221a ba b+…，则22111a b+…．4．实数a(a>0)取什么值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆(x－a)2＋(y＋1)2＝a．（1）相离；（2）相切；（3）相交．使至塞上王维单车欲问边，属国过居延．征蓬出汉塞，归雁入胡天．大漠孤烟直，长河落日圆．萧关逢候骑，都护在燕然．第三句以出色的描写，道出了边塞之景的奇特壮丽和作者的孤寂之感．“荒无人烟的戈壁滩上只有烽火台的浓烟直冲天空”，如果我们从数学的角度看到的将是这样一副几何图形：一条直线垂直于一个平面．那么“圆圆的落日慢慢地沉入黄河之中”又是怎样的几何图形呢？。