高三数学二轮复习3-26分类讨论思想同步练习理人教版

第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用,大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题目涉及的知识角度进行求解.解题时要注意,按主元分类的结果应求并集,按参数分类的结果要分类给出. 思想方法诠释 1.分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略. 2.分类讨论的原则(1)不重不漏;(2)标准要统一,层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论. 3.分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论;(5)由参数的变化而引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的讨论. 思想分类应用应用一 由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论 【例1】(1)(2020安徽合肥二模,文10)记F 1,F 2为椭圆C :x 2x+y 2=1的两个焦点,若C 上存在点M 满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则实数m 的取值范围是( )A.(0,12]∪[2,+∞) B.[12,1)∪[2,+∞) C.(0,12]∪(1,2]D.[12,1)∪(1,2](2)设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和S n >0(n=1,2,3,…),则q 的取值范围是 .思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除以一个数时,这个数能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘一个数,这个数是零、是正数还是负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.【对点训练1】(1)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020广东茂名一模,理12)已知函数f (x )={xx 2-xx +1,x ≤1,x -x ln x ,x >1(a ∈R ),若函数f (x )有四个零点,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(e,+∞) C.(4,+∞)D.(4,e 2)应用二 由参数引起的分类讨论【例2】设函数f (x )=ln(x+a )+x 2.若f (x )存在极值,求a 的取值范围,并证明所有极值之和大于ln e2.思维升华含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.【对点训练2】(2020山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=m ln x-x+xx(m∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)略应用三由图形位置或形状引起的分类讨论【例3】设F1,F2为椭圆x29+x24=1的两个焦点,点P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则|xx1xx2|的值为.思维升华圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论.【对点训练3】设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于.应用方法归纳1.简化分类讨论的策略:(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.2.分类讨论遵循的原则:不遗漏、不重复,科学地划分,分清主次,不越级讨论.转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.思想方法诠释1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种思想方法.2.转化与化归的原则(1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则;(5)等价性原则.3.常见的转化与化归的方法(1)直接转化法;(2)换元法;(3)数形结合法;(4)构造法;(5)坐标法;(6)类比法;(7)特殊化方法;(8)等价问题法;(9)补集法;(10)参数法.思想分类应用应用一特殊与一般化【例1】(1)e416,e525,e636(其中e为自然常数)的大小关系是()A.e416<e525<e636B.e636<e525<e416C.e525<e416<e636D.e636<e416<e525(2)(2020河北武邑中学三模,16)已知实数a,b,c,d满足x-2e xx =2-xx-1=1,其中e是自然对数的底数,那么(a-c)2+(b-d)2的最小值为.思维升华1.当问题难以入手时,应先对特殊情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系,再推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.【对点训练1】(2020湖南长郡中学四模,11)若0<x<1,则ln3+13,x2+1e x2,x+1e x的大小关系是()A.x2+1e x2>ln3+13>x+1e xB.x2+1e x2>x+1e x>ln3+13C.ln3+13>x+1e x>x2+1e x2D.ln3+13>x2+1e x2>x+1e x应用二命题等价转化【例2】(2020上海考前压轴卷,11)已知a,b,2c是平面内三个单位向量,若a⊥b,则|a+4c|+2|3a+2b-c|的最小值是.思维升华本例题充分体现了命题等价转化的重要性,首先将条件“三个向量都是单位向量及a⊥b”,等价转化为“2c=e及a=(1,0),b=(0,1)”,这样就达到了变陌生为熟悉的目的;其次将“|a+2e|”等价转化为“|2a+e|”,为求最值创造了有利条件同时也简化了运算;然后将“两向量模的和的最值”等价转化为“两根式和的最值”,最后根据两根式和的几何意义,将问题等价转化为两点的距离.【对点训练2】(1)已知在(-∞,1]上单调递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为()A.[-√2,√2]B.[1,√2]C.[2,3]D.[1,2](2)(2020河北武邑中学三模,5)若数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a2=2,(S n+1)(S n+2+1)=(x x+1+1)2,则S n=()A.x(x+1)2B.2n-1C.2n-1D.2n-1+1应用三常量与变量的转化【例3】已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f'(x)-ax-5,其中f'(x)是f(x)的导函数.对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,则实数x的取值范围为.思维升华在处理多变量的数学问题中,在常量(或参数)在某一范围取值的前提下求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间的转化,即可以选取其中的参数,将其看做是变量,而把变量看做是常量,从而达到简化运算的目的.【对点训练3】设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为.应用四函数、方程、不等式之间的转化【例4】已知不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则a的取值范围是() A.[1,+∞) B.[-1,4)C.[-1,+∞)D.[-1,6]思维升华函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简,常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将不等式证明问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.【对点训练4】(1)(2020山东菏泽一模,8)已知大于1的三个实数a,b,c满足(lg a)2-2lg a lg b+lg b lg c=0,则a,b,c的大小关系不可能是()A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c(2)已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t∈[-1,+∞),使得对任意的x∈[1,m],m∈Z,且m>1,都有f(x+t)≤3e x,求m的最大值.应用五正难则反的转化+2x2-2x在区间(t,3)上总不为单调函数,【例5】若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2则实数m的取值范围是.思维升华否定性命题,常要利用正反的相互转化,先从正面求解,再取正面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.【对点训练5】安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为.(用数字作答)应用方法归纳1.在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用),角度的转化,函数的转化,通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化.(2)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(3)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(4)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为由其导函数f'(x)构成的方程、不等式问题求解.第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想 一、分类讨论思想 思想分类应用【例1】(1)A (2)(-1,0)∪(0,+∞)解析(1)当焦点在x 轴上时,a 2=m ,b 2=1,m>1,由对称性可知当M 为上下顶点时,∠F 1MF 2最大,因为xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则∠F 1MF 2≥π2,∠F 1MO ≥π4,所以tan ∠F 1MO=xx≥tan π4=1,即√x -11≥1,解得m ≥2;当焦点在y 轴上时,a 2=1,b 2=m ,0<m<1,当M 为左右顶点时,∠F 1MF 2最大,因为xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则∠F 1MF 2≥π2,∠F 1MO ≥π4,所以tan ∠F 1MO=xx≥tan π4=1,即√1-x √x≥1,解得0<m ≤12,故选A .(2)由{a n }是等比数列,S n >0,可得a 1=S 1>0,q ≠0,当q=1时,S n =na 1>0,符合题意; 当q ≠1时,S n =x 1(1-x x )1-x >0,即1-x x1-x >0(n=1,2,3,…),则有{1-x >0,1-x x >0,①或{1-x <0,1-x x <0,② 由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1. 综上,可得q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).对点训练1(1)C (2)C 解析(1)当a=0时,f (x )=|x|在区间(0,+∞)上单调递增;当a<0时,f (x )=(-ax+1)x=-a (x -1x )x ,结合二次函数的图象可知f (x )=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,函数f (x )=|(ax-1)x|的大致图象如图.函数f (x )在区间(0,+∞)上有增有减,所以a ≤0是函数f (x )=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)上单调递增的充要条件,故选C .(2)当a=0时,f (x )={1,x ≤1,x ,x >1,函数f (x )无零点,舍去.当a<0,且x ≤1时,f (x )=ax 2-ax+1为开口向下,对称轴为x=12的二次函数,f (12)=a ×(12)2-a ×12+1=-14a+1>0,f (1)=a-a+1=1>0.则x ≤1时,函数f (x )与x 轴只有一个交点; 当a<0,且x>1时,f (x )=x-a ln x.f'(x )=1-xx =x -xx>0, 故函数f (x )在(1,+∞)上单调递增,则f (x )>f (1)=1,即x>1时,函数f (x )与x 轴无交点; 则当a<0时,函数f (x )有一个零点.与题意不符,舍去.当a>0,且x ≤1时,f (x )=ax 2-ax+1为开口向上,对称轴为x=12的二次函数.f (12)=a ×(12)2-a ×12+1=-14a+1,f (1)=a-a+1=1>0.函数f (x )在(-∞,1]最多有两个零点; 当a>0,且x>1时,f (x )=x-a ln x.f'(x )=1-xx =x -x x. 令f'(x )=0,得x=a ,当0<a ≤1时,f'(x )>0,在(1,+∞)内单调递增,与已知矛盾,不符合题意,舍去;当a>1时,x ∈(a ,+∞)时,f (x )单调递增,x ∈(1,a )时,f (x )单调递减,f (a )=a-a ln a ,函数f (x )在(1,+∞)最多有两个零点.若使得函数f (x )有四个零点,则需{x >1,x (12)<0,x (x )<0,即{x >1,-14x +1<0,x -x ln x <0,解得a>4.故选C .【例2】解f (x )的定义域为(-a ,+∞),f'(x )=2x 2+2xx +1x +x,记g (x )=2x 2+2ax+1,其判别式为Δ=4a 2-8.①若Δ≤0,即-√2≤a ≤√2时,f'(x )≥0在(-a ,+∞)上恒成立,所以f (x )无极值. ②若Δ>0,即a>√2或a<-√2时,g (x )=0有两个不同的实根x 1=-x -√x 2-22和x 2=-x +√x 2-22,且x 1<x 2,由根与系数的关系可得{x 1+x 2=-x ,x 1·x 2=12,即{(x 1+x )+(x 2+x )=x ,(x 1+x )·(x 2+x )=12.(ⅰ)当a<-√2时,有x 1+a<0,x 2+a<0,即x 1<-a ,x 2<-a ,从而,f'(x )=0在(-a ,+∞)上没有实根,所以f (x )无极值.(ⅱ)当a>√2时,有x 1+a>0,x 2+a>0,即x 1>-a ,x 2>-a ,从而,f'(x )=0在(-a ,+∞)上有两个不同的根,且f (x )在x=x 1,x=x 2处取得极值.综上所述,f (x )存在极值时,a 的取值范围为(√2,+∞).f (x )的极值之和为f (x 1)+f (x 2)=ln(x 1+a )+x 12+ln(x 2+a )+x 22=ln[(x 1+a )(x 2+a )]+(x 1+x 2)2-2x 1x 2,而ln[(x 1+a )(x 2+a )]=ln 12,(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-a )2-2×12=a 2-1,所以f (x 1)+f (x 2)=ln 12+a 2-1>ln 12+1=ln e2.对点训练2解(1)由题意得x ∈(0,+∞),f'(x )=xx-1-x x 2=-x 2-xx +x x 2,令g (x )=x 2-mx+m ,Δ=m 2-4m=m (m-4).①当0≤m ≤4时,Δ≤0,g (x )≥0恒成立,则f'(x )≤0,f (x )在(0,+∞)上单调递减. ②当m<0时,Δ>0,函数g (x )与x 轴有两个不同的交点x 1,x 2(x 1<x 2), x 1+x 2=m<0,x 1x 2=m<0,则x 1<0,x 2>0,所以当x ∈(0,x +√x 2-4x2)时,g (x )<0,f'(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈(x +√x 2-4x2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )<0,f (x )单调递减.③当m>4时,Δ>0,函数g (x )与x 轴有两个不同的交点x 1,x 2(x 1<x 2), x 1+x 2=m>0,x 1x 2=m>0,则x 1>0,x 2>0,所以x ∈(0,x -√x 2-4x2)时,g (x )>0,f'(x )<0,f (x )单调递减;x ∈(x -√x 2-4x2,x +√x 2-4x2)时,g (x )<0,f'(x )>0,f (x )单调递增;x ∈(x +√x 2-4x2,+∞)时,g (x )>0,f'(x )<0,f (x )单调递减.综上所述,当0≤m ≤4时,f (x )在(0,+∞)上单调递减.当m<0时,x ∈(0,x +√x 2-4x2)时,f (x )单调递增;x ∈(x +√x 2-4x2,+∞)时,f (x )单调递减.当m>4时,x ∈0,x -√x 2-4x2时,f (x )单调递减;x ∈(x -√x 2-4x2,x +√x 2-4x2)时,f (x )单调递增;x ∈(x +√x 2-4x2,+∞)时,f (x )单调递减.【例3】72或2 解析由题可得c=√5.若∠PF 2F 1=90°,则|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,又因为|PF 1|+|PF 2|=6,|F 1F 2|=2√5, 解得|PF 1|=143,|PF 2|=43,所以|xx 1xx 2|=72.若∠F 1PF 2=90°, 则|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2, 所以|PF 1|2+(6-|PF 1|)2=20, 所以|PF 1|=4,|PF 2|=2, 所以|xx1xx 2|=2.综上知,|xx 1xx 2|的值为72或2.对点训练312或32 解析不妨设|PF 1|=4t ,|F 1F 2|=3t ,|PF 2|=2t ,其中t ≠0.若该曲线为椭圆,则有|PF 1|+|PF 2|=6t=2a ,|F 1F 2|=3t=2c ,e=x x =2x 2x =3x 6x =12;若该曲线为双曲线, 则有|PF 1|-|PF 2|=2t=2a ,|F 1F 2|=3t=2c ,e=x x =2x 2x =3x 2x =32.二、转化化归思想 思想分类应用【例1】(1)A (2)252 解析(1)由于e 416=e 442,e 525=e 552,e 636=e 662,故可构造函数f (x )=e xx 2,只研究x>0的部分.f (4)=e 416,f (5)=e 525,f (6)=e 636.而f'(x )=(e xx 2)'=e x ·x 2-e x ·2xx 4=e x (x 2-2x )x 4=e x (x -2)x 3.令f'(x )>0,得x>2,即函数f (x )在(2,+∞)内单调递增,因此有f (4)<f (5)<f (6),即e 416<e 525<e 636.(2)因为实数a ,b ,c ,d 满足x -2e x x=2-xx -1=1,所以b=a-2e a,d=3-c ,所以点(a ,b )在曲线y=x-2e x上,点(c ,d )在曲线y=3-x 上,(a-c )2+(b-d )2的几何意义就是曲线y=x-2e x上的点到曲线y=3-x 上的点的距离的平方,最小值即为曲线y=x-2e x上与直线y=3-x 平行的切线,因为y'=1-2e x ,求曲线y=x-2e x上与直线y=3-x 平行的切线, 即y'=1-2e x=-1,解得x=0,所以切点为(0,-2), 该切点到直线y=3-x 的距离为d=√1+1=5√22,即d 为所求两曲线间的最小距离,所以(a-c )2+(b-d )2的最小值为d 2=252. 对点训练1B 解析设f (x )=x +1e x,则f'(x )=-xe x ,令f'(x )>0,解得x<0,令f'(x )<0,解得x>0,则f (x )在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 若0<x<1,则0<x 2<x<1<ln3, 因此f (x 2)>f (x )>f (ln3), 即x 2+1ex 2>x +1e x>ln3+13,故选B .【例2】4√5 解析由题意,令2c =e ,设a =(1,0),b =(0,1),e 对应的点C (x ,y )在单位圆上,所以问题转化为求|a +2e |+|6a +4b -e |的最小值.因为|a +2e |=|2a +e |,所以|a +2e |+|6a +4b -e |=|2a +e |+|6a +4b -e |=√(x +2)2+x 2+√(x -6)2+(x -4)2,即表示C 点到点(-2,0)和(6,4)的距离之和,过点(-2,0)和(6,4)的直线为x-2y+2=0,原点到直线x-2y+2=0的距离为√1+(-2)2=√5<1,所以该直线与单位圆相交,所以|a +2e |+|6a +4b -e |的最小值为点(-2,0)和(6,4)之间的距离,即d=√(-2-6)2+(0-4)2=4√5.对点训练2(1)B (2)C 解析(1)函数f (x )=x 2-2tx+1在区间(-∞,1]上单调递减,所以其图象的对称轴x=t ≥1.则在区间[0,t+1]上,0距对称轴x=t 最远,故要使得对任意的x 1,x 2∈[0,t+1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤2,只要f (0)-f (t )≤2即可,即1-(t 2-2t 2+1)≤2,解得-√2≤t ≤√2. 又因为t ≥1,则1≤t ≤√2.故选B . (2)∵(S n +1)(S n+2+1)=(x +1+1)2,令b n =S n +1,∴b n ·b n+2=x x +12,可得{b n }为等比数列,设其公比为q ,b 1=S 1+1=a 1+1=2,b 2=S 2+1=a 1+a 2+1=4,∴q=x2x 1=2,∴b n =b 1·q n-1=2×2n-1=2n .S n =b n -1=2n -1,故选C .【例3】(-23,1) 解析由题意,知g (x )=3x 2-ax+3a-5,令φ(a )=(3-x )a+3x 2-5,-1≤a ≤1.问题转化为对-1≤a ≤1,恒有g (x )<0,即φ(a )<0,所以{x (1)<0,x (-1)<0,即{3x 2-x -2<0,3x 2+x -8<0,解得-23<x<1. 故当x ∈(-23,1)时,对满足-1≤a ≤1的一切a 的值,都有g (x )<0. 对点训练3(-∞,-1]∪[0,+∞) 解析因为f (x )是R 上的增函数,所以1-ax-x 2≤2-a ,a ∈[-1,1].(*)(*)式可化为(x-1)a+x 2+1≥0对a ∈[-1,1]恒成立. 令g (a )=(x-1)a+x 2+1,则{x (-1)=x 2-x +2≥0,x (1)=x 2+x ≥0,解得x ≥0或x ≤-1.即实数x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞). 【例4】C 解析不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,等价于a ≥x x-2(x x )2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,令t=xx ,则1≤t ≤3,∴a ≥t-2t 2在[1,3]上恒成立,令f (t )=-2t 2+t ,则f (t )=-2t 2+t=-2(x -14)2+18,∴当t=1时,f (x )取最大值,f (x )max =-1,即a ≥-1,故a 的取值范围是[-1,+∞).故选C .对点训练4(1)D 解析令f (x )=x 2-2x lg b+lg b lg c ,则lg a 为f (x )的零点,且该函数图象的对称轴为x=lg b ,故Δ=4lg 2b-4lg b lg c ≥0. 因为b>1,c>1,故lg b>0,lg c>0, 所以lg b ≥lg c ,即b ≥c.又f (lg b )=lg b lg c-lg 2b=lg b (lg c-lg b ),f (lg c )=lg 2c-lg b lg c=lg c (lg c-lg b ),若b=c ,则f (lg b )=f (lg c )=0,故lg a=lg b=lg c ,即a=b=c.若b>c ,则f (lg b )<0,f (lg c )<0,利用二次函数图象,可得lg a<lg c<lg b 或lg c<lg b<lg a ,即a<c<b 或c<b<a.故选D .(2)解因为当t ∈[-1,+∞),且x ∈[1,m ]时,x+t ≥0,所以f (x+t )≤3e x 等价于e x+t≤e x ,则t ≤1+ln x-x.所以原命题等价转化为:存在实数t ∈[-1,+∞),使得不等式t ≤1+ln x-x 对任意x ∈[1,m ]恒成立.令h (x )=1+ln x-x (1≤x ≤m ).因为h'(x )=1x -1≤0,所以函数h (x )在[1,+∞)内为减函数. 又x ∈[1,m ],所以h (x )min =h (m )=1+ln m-m.所以要使得对任意x ∈[1,m ],t 值恒存在,只需1+ln m-m ≥-1. 因为h (3)=ln3-2=ln (1e ·3e )>ln 1e=-1,h (4)=ln4-3=ln1e·4e 2<ln 1e =-1,且函数h (x )在[1,+∞)内为减函数,所以满足条件的最大整数m 的值为3. 【例5】(-373,-5) 解析g'(x )=3x 2+(m+4)x-2,若g (x )在区间(t ,3)上总为单调函数,则有两种情况:①g'(x )≥0在(t ,3)上恒成立;②g'(x )≤0在(t ,3)上恒成立.由①得3x 2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥2x -3x 在x ∈(t ,3)上恒成立,即m+4≥2x -3t 恒成立,则m+4≥-1,即m ≥-5;由②得m+4≤2x -3x在x∈(t,3)上恒成立,则m+4≤23-9,即m≤-373.综上所述,函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为(-373,-5).对点训练530解析根据题意,用间接法分析:先将甲、乙、丙、丁4人分成3组,再将分成的三组分别参加3个项目,有C42×A33=6×6=36种不同的安排方案,其中甲、乙参加同一个项目,则丙、丁参加另外的2个项目,有A33=6种情况,则甲、乙2人不能参加同一个项目的安排方案有36-6=30种.。

2021-2022年高三数学二轮复习 3-25数形结合思想同步练习 理 人教版班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分_______ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716解析：设P 到l 1的距离为d 1，P 到l 2的距离为d 2，由抛物线的定义知d 2＝|PF |，F (1,0)为抛物线焦点，所以d 1＋d 2＝d 1＋|PF |.过F 作FH ⊥l 1于H ，设F 到l 1的距离为d 3，则d 1＋|PF |≥d 3.当且仅当H ，P ，F 三点共线时，d 1＋d 2最小，由点到直线距离公式易得d 3＝105＝2.答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：如图所示，根据直线与渐近线斜率的大小关系：b a ＝c 2－a 2a＝e 2－1≥3，从而e ≥2.答案：C3．已知OB →＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与OB →的夹角的取值范围为( )A ．[0，π4]B ．[π4，512π] C ．[512π，π2] D ．[π12，512π] 解析：如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，B (2,0)，C (2,2)，A 点轨迹是以2为半径的圆C ，OD ，OE 为⊙C 的切线，易得∠COB ＝π4，∠COD ＝∠COE ＝π6，当A 点位于D 点时，OA→与OB →的夹角最小为π12，当A 点位于E 点时，OA →与OB →的夹角最大为512π，即夹角的取值范围为[π12，512π]． 答案：D4．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π3与y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －73π⎝ ⎛⎭⎪⎫76π≤x ≤53π的图象和两直线y ＝±3所围成的封闭区域的面积为( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．以上都不对解析：∵函数y ＝3cos(2x －73π)＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43π＋π3. ∴y ＝3cos(2x －73π)的图象是将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移43π个单位得到的．由画图可知，所围成的区域的面积为43π×6＝8π. 答案：A5．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －2| x ≠2，1 x ＝2.若关于x 的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有3个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则下列说法中错误的是( )A ．x 21＋x 22＋x 23＝14 B ．1＋a ＋b ＝0 C ．x 1＋x 3＝4D ．x 1＋x 3>2x 2解析：作出f (x )的图象，图象关于x ＝2对称，且x ＝2时，f (x )＝1，故f (x )＝1有3个不同实数根x ，除此之外，只有两个根或无根．又f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有3个不同的实数解x 1<x 2<x 3，x 2＝2，而x 1＋x 3＝2x 2＝4.又f (x )＝1，1|x －2|＝1，x 1＝1，x 3＝3，故A ，B ，C 正确．答案：D6．若函数f (x )＝log a x －x ＋a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．0<a <1 B ．a >1 C ．a >0且a ≠1D ．1<a <2解析：设函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和函数y ＝x －a ，则函数f (x )＝log a x －x ＋a 有两个零点，就是函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝x －a 有两个交点，由图象可知当0<a <1时，两函数只有一个交点，不符合；当a >1时，函数y ＝log a x 图象过点(1,0)，而直线y ＝x －a 与x 轴交点(a,0)在点(1,0)右侧，所以一定有两个交点，故a >1.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．设有一组圆C k ：(x －k ＋1)2＋(y －3k )2＝2k 4(k ∈N *)．下列四个命题： A ．存在一条定直线与所有的圆均相切 B ．存在一条定直线与所有的圆均相交C ．存在一条定直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆不经过原点其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)解析：假设圆经过原点，则有(0－k ＋1)2＋(0－3k )2＝2k 4，即2k 4－10k 2＝－2k ＋1，而上式左边为偶数，右边为奇数，故矛盾，所以D 正确．而所有圆的圆心轨迹为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k －1，y ＝3k ，即y ＝3x ＋3.此直线与所有圆都相交，故B 正确．由于圆的半径在变化，故A ，C 不正确．答案：BD8．当0≤x ≤1时，不等式sin π2x ≥kx ，则实数k 的取值范围是________．解析：在同一坐标系下，作出y 1＝sin π2x 与y 2＝kx 的图象，要使不等式sin π2x ≥k π成立，由图可知需k ≤1.答案：k ≤19．函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx 在[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b 的最小值为________．解析：∵y ＝f (x )在区间[－1,2]上是单调减函数， ∴f ′(x )＝x 2＋2ax －b ≤0在区间[－1,2]上恒成立． 结合二次函数的图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a －b ≤0，4＋4a －b ≤0也即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －1≥0，4a －b ＋4≤0.作出不等式组表示的平面区域如图：当直线z ＝a ＋b 经过交点P (－12，2)时，z ＝a ＋b 取得最小值，且z min ＝－12＋2＝32.∴z＝a ＋b 取得最小值32.答案：32点评：由f ′(x )≤0在[－1,2]上恒成立，结合二次函数图象转化为关于a ，b 的二元一次不等式组，再借助线性规划问题，采用图解法求a ＋b 的最小值．10．用计算机产生随机二元数组成区域⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－2<y <2.对每个二元数组(x ，y )，用计算机计算x 2＋y 2的值，记“(x ，y )”满足x 2＋y 2<1为事件A ，则事件A 发生的概率为________．解析：本题为几何概型问题，应转化为图形的面积比求解．如图，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－2<y <2及(x ，y )满足x 2＋y 2<1的平面区域．∴P (A )＝π8. 答案：π8三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)若关于x 的方程x 2＋2kx ＋3k ＝0的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．解：令f (x )＝x 2＋2kx ＋3k ，其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x )＝0的解，由y ＝f (x )的图象(如图)可知，要使两根都在－1,3之间，只需f (－1)>0，f (3)>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝f (－k )<0，－1<－k <3同时成立，解得－1<k <0，故k ∈(－1,0)．12．(13分)(四川)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，右准线为l ，M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求a 、b 的值；(2)求证：当|MN |取最小值时，F 1M →＋F 2N →与F 1F 2→共线． 解：由a 2－b 2＝c 2与e ＝c a ＝22，得a 2＝2b 2. F 1(－22a,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，l 的方程为x ＝2a . 设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)则F 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a ，y 1，F 2N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，y 2由F 1M →·F 2N →＝0得y 1y 2＝－32a 2<0①(1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫322a 2＋y 21＝2 5 ②⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋y 22＝2 5 ③由①②③三式，消去y 1，y 2，并求得a 2＝4故a ＝2，b ＝22＝ 2.(2)证明：|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2 ≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2. 当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝6a 时， |MN |取最小值6a .此时，F 1M →＋F 2N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a ，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，y 2＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→.故F 1M →＋F 2N →与F 1F 2→共线．y39196 991C 餜22676 5894 墔24546 5FE2 忢%37410 9222 鈢21952 55C0 嗀 935624 8B28 謨26779 689B 梛20974 51EE 凮Va316067B76 筶。

2019高三数学文二轮练习课时功课26：分类讨论思想注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

分类讨论思想时间：45分钟分值：100分【一】选择题(每题6分，共计36分)1、集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R}，B ＝{x ||x －3|<a ，x ∈R}，假设A ⊇B ，那么a 的取值范围是()A 、0≤a ≤1B 、a ≤1C 、a <1D 、0<a <1解析：当a ≤0时，B ＝Ø，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a ≥－43＋a ≤4⇒0<a ≤1.综上得a ≤1.答案：B2、“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的()A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件解析：当m ＝12时，两条直线斜率的乘积为－1，从而可得两条直线垂直；当m ＝－2时，两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但两条直线仍然垂直，因此m ＝12是题目中给出的两条直线相互垂直的充分不必要条件、答案：B3、f (x )为R 上的减函数，那么满足f (1x )>f (1)的实数x 的取值范围是()A 、(－∞，1)B 、(1，＋∞)C 、(－∞，0)∪(0,1)D 、(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：由f (x )在R 上是减函数，得1x <1.当x >0时，得x >1；当x <0时恒成立、答案：D4、假设a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，那么p 、q 的大小关系是()A 、p ＝qB 、p <qC 、p >qD 、当a >1时，p >q ；当0<a <1时，p <q解析：当0<a <1时，y ＝a x 和y ＝log a x ，在其定义域上均为减函数，又∵a 3＋1<a 2＋1，∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)，即p >q .当a >1时，y ＝a x 和y ＝log a x 在其定义域上均为增函数、∴a 3＋1>a 2＋1.∴log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)、即p >q .综上p >q .答案：C5、如果函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是()A 、(0，23]B 、[33，1)C 、(1，3]D 、(23，＋∞)解析：令a x ＝t ，那么y ＝t 2－(3a 2＋1)·t ， 对称轴t ＝－3a 2＋12＝3a 2＋12≥12. ①当0<a <1，那么0<a x ≤1.欲使x ∈[0，＋∞)时f (x )递增，只需3a 2＋12≥1.即3a 2＋1≥2，即a 2≥13.∴a ≥33或a ≤－33(舍去)、 ∴33≤a <1.②当a >1时，a x >1不满足题设条件，应选B.答案：B6、设0<b <1＋a .假设关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，那么()A 、－1<a <0B 、0<a <1C 、1<a <3D 、3<a <6解析：原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.(1)a ≤1，结合不等式解集形式知不符合题意、(2)a >1，此时－b a －1<x <b a ＋1，由题意0<b a ＋1<1，要使原不等式解集中的整数解恰有3个，知－3≤－b a －1<－2.整理得2a －2<b ≤3a －3.结合题意b <1＋a,有2a －2<1＋a .∴a <3，从而有1<a <3.应选C.答案：C【二】填空题(每题8分，共计24分)7、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x ∈[－1，1]x ，x ∉[－1，1]，假设f [f (x )]＝2，那么x 的取值范围是________、解析：假设x ∈[－1,1]，那么有f (x )＝2∉[－1,1]，∴f (2)＝2；假设x ∉[－1,1]，那么f (x )＝x ∉[－1,1]，∴f [f (x )]＝x ，此时假设f [f (x )]＝2，那么有x ＝2.故x ∈[－1,1]∪{2}、答案：[－1,1]∪{2}8、假设函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，那么m 的取值范围是________、解析：当m ＝0时，y ＝x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数；当m ≠0时，y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ m >0－12m ≤－2⇒0<m ≤14，综上所述，m 的取值范围是{m |0≤m ≤14}、答案：0≤m ≤149、f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是________、 解析：记u ＝(3－a )x －a ，当1<a <3时，y ＝log a u 在(0，＋∞)上为增函数，u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为增函数，∴此时f (x )在其定义域内为增函数，符合要求、当a >3时，y ＝log a u 在其定义域内为增函数，而u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为减函数，∴此时f (x )在其定义域内为减函数，不符合要求、当0<a <1时，同理可知f (x )在其定义域内是减函数，不符合题目要求、答案：1<a <3【三】解答题(共计40分)10、(10分)集合A ＝{x |10＋3x －x 2≥0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，如果A ∩B ＝Ø，求m 的取值范围、解：解不等式10＋3x －x 2≥0，得A ＝{x |－2≤x ≤5}、由A ∩B ＝Ø，有①B ＝Ø，即2m －1<m ＋1，解得m <2；②⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，此时无解； ③⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5，解得m >4；综上可知m >4或m <2.11、(15分)假设函数f (x )＝a ＋b cos x ＋c sin x 的图象经过(0,1)和(π2，1)两点，且x ∈[0，π2]时，|f (x )|≤2恒成立，试求实数a 的取值范围、解：由⎩⎪⎨⎪⎧ f 01f π21⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1a ＋c ＝1⇒b ＝c ＝1－a ，∴f (x )＝a ＋(1－a )·(sin x ＋cos x )＝a ＋2(1－a )·sin(x ＋π4)、∵x ∈[0，π2]，∴π4≤x ＋π4≤3π4.∴sin(x ＋π4)∈[22，1]、①当a ≤1时， a ＋2(1－a )·22≤f (x )≤a ＋2(1－a )，即f (x )∈[1，2－(2－1)a ]、∵|f (x )|≤2恒成立，∴2－(2－1)a ≤2.解得a ≥－ 2.∴a ∈[－2，1]；②当a >1时，a ＋2(1－a )≤f (x )≤1.∵|f (x )|≤2恒成立，∴a ＋2(1－a )≥－2.解得a ≤4＋3 2.∴a ∈(1,4＋32]、综上所述，实数a ∈[－2，4＋32]、12、(15分)函数f (x )＝a ln x ＋x 2(a 为实常数)、(1)假设a ＝－2，求证：函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；(2)求函数f (x )在[1，e]上的最小值及相应的x 的值、解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝2x 2－1x>0， 故函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数、(2)由题知f ′(x )＝2x 2＋ax (x >0)，当x ∈[1，e]时，2x 2＋a ∈[a ＋2，a ＋2e 2]、(ⅰ)假设a ≥－2，f ′(x )在[1，e]上非负(当且仅当a ＝－2，x ＝1时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是增函数，此时f (x )min ＝f (1)＝1.(ⅱ)假设－2e 2<a <－2，当x ＝－a 2时，f ′(x )＝0；当1≤x <－a 2时，f ′(x )<0，此时f (x )是减函数；当－a 2<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数，故f (x )min ＝f (－a 2)＝a 2ln(－a 2)－a2.(ⅲ)假设a ≤－2e 2，f ′(x )在[1，e]上非正(当且仅当a ＝－2e 2，x ＝e 时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是减函数，此时f (x )min ＝f (e)＝a ＋e 2.综上可知，当a ≥－2时，f (x )的最小值为1，相应的x 的值为1；当－2e 2<a <－2时，f (x )的最小值为a 2ln(－a 2)－a 2，相应的x 的值为－a2；当a ≤－2e 2时，f (x )的最小值为a ＋e 2，相应的x 的值为e.。

专题突破练3 分类讨论思想、转化与化归思想一、单项选择题1.(2020湖南湘潭三模,理1)已知集合A={x|ax=x 2},B={0,1,2},若A ⊆B ,则实数a 的值为( ) A.1或2 B.0或1 C.0或2D.0或1或22.已知函数f (x )=a x (a>0,且a ≠1)在区间[m ,2m ]上的值域为[m ,2m ],则a=( ) A.√2 B.14C.116或√2 D.14或43.若函数f (x )=12ax 2+x ln x-x 存在单调递增区间,则a 的取值范围是( ) A.-1e ,1B.-1e,+∞C.(-1,+∞)D.-∞,1e4.(2020安徽合肥二模,文9)已知函数f (x )={log 2x ,x >1,x 2-1,x ≤1,则f (x )<f (x+1)的解集为( )A.(-1,+∞)B.(-1,1)C.(-12,+∞)D.(-12,1)5.已知f (x )=x+1,g (x )=ln x ,若f (x 1)=g (x 2),则x 2-x 1的最小值为( ) A.1 B.2+ln 2 C.2-ln 2D.26.设[x ]表示不超过实数x 的最大整数,如[2.6]=2,[-2.6]=-3.设g (x )=a xa x +1(a>0且a ≠1),那么函数f (x )=[g (x )-12]+[g (-x )-12]的值域为( ) A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{1,-1}D.{-1,0}7.设函数f (x )=x e x -a (x+ln x ),若f (x )≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[0,e]B.[0,1]C.(-∞,e]D.[e,+∞)8.(2020河南新乡三模,理12)已知函数f (x )=x 2-ax (x ∈[1e ,e])与g (x )=e x 的图象上存在两对关于直线y=x 对称的点,则a 的取值范围是( ) A.[e -1e ,e]B.(1,e -1e ]C.[1,e -1e ]D.[1,e +1e]二、多项选择题9.若数列{a n }对任意n ≥2(n ∈N )满足(a n -a n-1-2)(a n -2a n-1)=0,下面选项中关于数列{a n }的命题正确的是( )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差又是等比数列D.{a n }可以既不是等差又不是等比数列10.(2020海南高三模拟,6)关于x 的方程(x 2-2x )2-2(2x-x 2)+k=0,下列命题正确的有( ) A.存在实数k ,使得方程无实根B.存在实数k ,使得方程恰有2个不同的实根C.存在实数k ,使得方程恰有3个不同的实根D.存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根 11.已知三个数1,a ,9成等比数列,则圆锥曲线x 2a+y 22=1的离心率为( )A.√5B.√33C.√102D.√312.已知函数f (x )=log 2|x|+x 2-2,若f (a )>f (b ),a ,b 不为零,则下列不等式成立的是( ) A.a 3>b 3B.(a-b )(a+b )>0C.e a-b >1D.ln |ab |>0三、填空题13.已知a ,b 为正实数,且a+b=2,则2a +1b+1的最小值是 .14.函数y=√x 2-2x +2+√x 2-6x +13的最小值为 .15.已知函数f (x )={|x +3|,x ≤0,x 3-12x +3,x >0,设g (x )=kx+1,且函数y=f (x )-g (x )的图象经过四个象限,则实数k的取值范围为 . 16.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点,MN 为圆(x-1)2+y 2=1的一条直径,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .专题突破练3 分类讨论思想、转化与化归思想1.D 解析因为当a=0时,A={x|0=x 2}={0},满足A ⊆B ;当a ≠0时,A={0,a },若A ⊆B ,所以a=1或2. 综上,a 的值为0或1或2.故选D .2.C 解析分析知m>0.当a>1时,{a m =m ,a 2m =2m ,所以a m=2,m=2,所以a=√2;当0<a<1时,{a m =2m ,a 2m =m ,所以a m =12,m=14,所以a=116.综上,a=116或a=√2.故选C .3.B 解析f'(x )=ax+ln x ,∴f'(x )>0在x ∈(0,+∞)上成立,即ax+ln x>0在x ∈(0,+∞)上成立,即a>-lnx x在x∈(0,+∞)上成立.令g (x )=-lnx x,则g'(x )=-1-lnx x 2.令g'(x )=0,得x=e .∴g (x )=-lnx x在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.∴g (x )=-lnx x的最小值为g (e)=-1e .∴a>-1e .故选B.4.C 解析∵函数f (x )={log 2x ,x >1,x 2-1,x ≤1,则f (x )<f (x+1),∴当x ≤0时,x+1≤1,则不等式f (x )<f (x+1),即x 2-1<(x+1)2-1,得-12<x ≤0.当0<x ≤1时,x+1>1,则不等式f (x )<f (x+1),此时f (x )=x 2-1<0<f (x+1)=log 2(x+1)在(0,1]上恒成立. 当x>1时,不等式f (x )<f (x+1),即log 2x<log 2(x+1),得x>1.综上可得,不等式的解集为(-12,+∞),故选C .5.D 解析设f (x 1)=g (x 2)=t ,所以x 1=t-1,x 2=e t ,所以x 2-x 1=e t -t+1,令h (t )=e t -t+1,则h'(t )=e t -1,所以h (t )在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h (t )min =h (0)=2.6.D 解析∵g (x )=a xa x +1,∴g (-x )=1a x +1,∴0<g (x )<1,0<g (-x )<1,g (x )+g (-x )=1.当12<g (x )<1时,0<g (-x )<12,∴f (x )=g (x )-12+g (-x )-12=-1+0=-1;当0<g (x )<12时,12<g (-x )<1,∴f (x )=g (x )-12+g (-x )-12=0+(-1)=-1;当g (x )=12时,g (-x )=12,∴f (x )=0.综上,f (x )的值域为{-1,0},故选D.7.A 解析f'(x )=(x+1)e x -a 1+1x =(x+1)e x -ax ,当a<0时,f'(x )在(0,+∞)上单调递增,且x 趋近于0时,f (x )趋近于-∞;x 趋近于+∞,f (x )趋近于+∞,不合题意;当a=0时,f (x )=x e x ≥0恒成立,因此a=0满足条件;当a>0时,令f'(x )=(x+1)e x -a x=0,解得e x 0=ax 0,ln x 0+x 0=ln a ,x 0>0,则x 0是函数f (x )的极小值点,此时x=x 0,函数f (x )取得最小值, f (x 0)=x 0e x 0-a (x 0+ln x 0)=a-a ln a ≥0,化为ln a ≤1,解得0<a ≤e . 综上可得a 的取值范围是[0,e].故选A.8.D 解析∵f (x )与g (x )的图象在x ∈[1e ,e]上存在两对关于直线y=x 对称的点,由g (x )=e x ,得x=ln y ,∴ln x=x 2-ax在x ∈[1e ,e]上有两解,即a=x-lnx x在x ∈[1e ,e]上有两解,令h (x )=x-lnx x,则h'(x )=x 2+lnx -1x 2.∵k (x )=x 2+ln x-1在x ∈[1e ,e]上单调递增,且k (1)=0,∴当x ∈[1e ,1]时,h'(x )<0,h (x )单调递减;当x ∈(1,e]时,h'(x )>0,h (x )单调递增.∴h (x )min =h (1)=1,h (x )max =max {ℎ(1e ),ℎ(e )}=max e +1e ,e -1e =e +1e,∴a 的取值范围是1,e +1e .9.ABD 解析因为(a n -a n-1-2)(a n -2a n-1)=0,所以a n -a n-1-2=0或a n -2a n-1=0,即a n -a n-1=2或a n =2a n-1.①当a n ≠0,a n-1≠0时,{a n }是等差数列或是等比数列.②当a n=0或a n-1=0时,{a n}可以既不是等差又不是等比数列.故选ABD.10.AB解析设t=x2-2x,方程化为关于t的二次方程t2+2t+k=0.(*)当k>1时,Δ<0,方程(*)无实根,故原方程无实根.当k=1时,可得t=-1,则x2-2x=-1,原方程有两个相等的实根x=1.当k<1时,方程(*)有两个实根t1,t2(t1<t2),由t1+t2=-2可知,t1<-1,t2>-1.因为t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,所以x2-2x=t1无实根,x2-2x=t2有两个不同的实根.故选AB.11.BC解析由三个数1,a,9成等比数列,得a2=9,即a=±3;当a=3时,圆锥曲线为x 23+y22=1,曲线为椭圆,则e=√3=√33;当a=-3时,曲线为y 22−x23=1,曲线为双曲线,e=√5√2=√102,则离心率为√33或√102.故选BC.12.BD解析因为f(-x)=log2|-x|+(-x)2-2=log2|x|+x2-2,所以f(x)是偶函数.当x>0时,f(x)=log2x+x2-2单调递增,所以当x<0时,f(x)单调递减.故由f(a)>f(b),且a,b不为零,可知|a|>|b|>0.当a=-2,b=1时,f(a)>f(b),a3<b3,e a-b=e-3<1,故A,C选项错误.(a-b)(a+b)=a2-b2>0,即|a|>|b|>0,故B选项正确.因为ln|ab |>0,则|ab|>1,可得|a|>|b|>0,故D选项正确.故选BD.13.3+2√23解析∵a+b=2,∴a+(b+1)=3,即a3+b+13=1,∴2a +1b+1=2a+1b+1a3+b+13=23+a3(b+1)+2(b+1)3a+13≥1+2√29=3+2√23,当且仅当a3(b+1)=2(b+1)3a,即a=6-3√2,b=3√2-4时等号成立.14.√13 解析原函数等价于y=√(x -1)2+(0-1)2+√(x -3)2+(0-2)2,即求x 轴上一点到A (1,1),B (3,2)两点距离之和的最小值.将点A (1,1)关于x 轴对称,得A'(1,-1),连接A'B 交x 轴于点P ,则线段A'B 的值就是所求的最小值,即|A'B|=√(1-3)2+(-1-2)2=√13.15.(-9,13) 解析由题意知,要使y=f (x )-g (x )的图象经过四个象限,只需y=f (x )的图象与y=g (x )的图象在(-∞,0)和(0,+∞)都相交且交点个数大于1.当x>0时,f (x )=x 3-12x+3,f'(x )=3x 2-12.易知f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且f (2)<0.又g (x )=kx+1的图象恒过(0,1),设g (x )与f (x )的切点为(x ,y ),则k=3x 2-12,则x 3-12x+3=(3x 2-12)x+1,解得x=1,则k=-9,即过(0,1)且与f (x )=x 3-12x+3(x>0)的图象相切的切线的斜率为-9,若g (x )与f (x )相交且交点个数大于1,则k>-9,同理,当x ≤0时,作出f (x )=|x+3|的图象(图略),数形结合易知k<13.综上,实数k 的取值范围为(-9,13).16.15 解析由题意知,圆心为C (1,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(CN ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-1. 设A (x ,y ),所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1)2+y 2-1=x 2-2x+y 2,又x 29+y 25=1,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =49x 2-2x+5,x ∈[-3,3],又因为该二次函数开口向上,且对称轴为x=94,故当x=-3时取最大值为15.。

思想方法训练2 分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)B.(-∞,4)C.[2,4]D.(2,+∞)2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,则下列关系一定不成立的是()A.a=cB.b=cC.2a=cD.a2+b2=c23.若a>0,且a≠1,p=log a(a3+1),q=log a(a2+1),则p,q的大小关系是()A.p=qB.p<qC.p>qD.当a>1时,p>q;当0<a<1时,p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.5.已知A,B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线AB的垂线,垂足为N,=λ,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是()A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线6.若x>0,且x≠1,则函数y=lg x+log x10的值域为()A.RB.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m等于()A.6B.7C.8D.108.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距离为1,则SA与平面ABC所成角的大小为()A.30°B.60°C.30°或60°D.45°或60°9.已知函数y=a x(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值是.10.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.11.已知函数f(x)=2a sin2x-2a sin x cos x+a+b(a≠0)的定义域为,值域为[-5,1],求常数a,b的值.12.设a>0,函数f(x)=x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.二、思维提升训练13.若直线l过点P且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=014.已知函数f(x)=则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(注:e为自然对数的底数)()A.(-1,0]B.C.(-1,0]∪D.15.已知a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当a= 时,g(a)的值最小.16.已知函数f(x)=a ln x+x2(a为实数).(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.17.设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.思想方法训练2分类讨论思想一、能力突破训练1.B解析当-<1时,显然满足条件,即a<2;当a≥2时,-1+a>2a-5,即2≤a<4.综上知,a<4,故选B.2.B解析在△ABC中,由余弦定理得cos A=,则A=又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,则B=或B=当B=时,△ABC为直角三角形,选项C,D成立;当B=时,△ABC为等腰三角形,选项A成立,故选B.3.C解析当0<a<1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为减函数,∴a3+1<a2+1.∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.当a>1时,y=a x和y=log a x在其定义域上均为增函数,∴a3+1>a2+1,∴log a(a3+1)>log a(a2+1),即p>q.综上可得p>q.4.C解析焦点在x轴上时,,此时离心率e=;焦点在y轴上时,,此时离心率e=,故选C.5.C解析不妨设|AB|=2,以AB中点O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,则A(-1,0),B(1,0),设M(x,y),则N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,当λ=1时,曲线为A;当λ=2时,曲线为B;当λ<0时,曲线为D,所以选C.6.D解析当x>1时,y=lg x+log x10=lg x+2=2;当0<x<1时,y=lg x+log x10=--2=-2.故函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).7.C解析∵S3,S9,S6成等差数列,∴2S9=S3+S6.若公比q=1,显然有2S9≠S3+S6,因此q≠1,从而2,2q9-q6-q3=0,即2q6-q3-1=0,∴q3=-或q3=1(舍去).∵a2+a5=2a M,∴a2(1+q3-2q m-2)=0,1+q3-2q m-2=0,∴q m-2=,∴m=8.8.C解析球心位置有以下两种情况:球心在三棱锥内部;球心在三棱锥外部.球心在三棱锥内部时,三棱锥为正三棱锥,设O'为△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA与平面ABC所成的角即为∠SAO',由tan∠SAO'=,得∠SAO'=60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.9解析当a>1时,y=a x在区间[1,2]上递增,故a2-a=,得a=;当0<a<1时,y=a x在区间[1,2]上递减,故a-a2=,得a=故a=或a=10.4解析f(x)=g(x)=(1)当0<x≤1时,方程化为|-ln x+0|=1,解得x=或x=e(舍去).所以此时方程只有1个实根(2)当1<x<2时,方程可化为|ln x+2-x2|=1.设h(x)=ln x+2-x2,则h'(x)=-2x=因为1<x<2,所以h'(x)=<0,即函数h(x)在区间(1,2)上单调递减.因为h(1)=ln 1+2-12=1,h(2)=ln 2+2-22=ln 2-2,所以h(x)∈(ln 2-2,1).又ln 2-2<-1,故当1<x<2时方程只有1解.(3)当x≥2时,方程可化为|ln x+x2-6|=1.记函数p(x)=ln x+x2-6,显然p(x)在区间[2,+∞)上单调递增.故p(x)≥p(2)=ln 2+22-6=ln 2-2<-1.又p(3)=ln 3+32-6=ln 3+3>1,所以方程|p(x)|=1有2个解,即方程|ln x+x2-6|=1有2个解.综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4个实根.11.解f(x)=a(1-cos 2x)-a sin 2x+a+b=-2a sin+2a+b.∵x,∴2x+,∴-sin1.因此,由f(x)的值域为[-5,1],可得或解得12.解 (1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+因为曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为1,所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故曲线f(x)在(2,f(2))处的切线方程为x-y-2=0.(2)f'(x)=x-(a+1)+①当0<a<1时,若x∈(0,a),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(a,1),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(a)=-a2+a ln a,极小值是f(1)=-②当a=1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,若x=1,则f'(x)=0,若x∈(1,+∞),则f'(x)>0,所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点,也无极值.③当a>1时,若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增;若x∈(1,a),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减;若x∈(a,+∞),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增,此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点,函数f(x)的极大值是f(1)=-,极小值是f(a)=-a2+a ln a.综上,当0<a<1时,f(x)的极大值是-a2+a ln a,极小值是-;当a=1时,f(x)无极值;当a>1时,f(x)的极大值是-,极小值是-a2+a ln a.二、思维提升训练13.D解析若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=±4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为,解得k=-,此时直线l的方程为3x+4y+15=0.14.C解析因为方程f(x)=ax恰有两个不同的实数根,所以y=f(x)与y=ax的图象有2个交点,a 表示直线y=ax的斜率.当a>0,x>1时,y'=设切点为(x0,y0),k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),而切线过原点,所以y0=1,x0=e2,k=,所以切线l1的斜率为设过原点与y=x+1平行的直线为l2,则直线l2的斜率为,所以当直线在l1和l2之间时,符合题意,此时实数a的取值范围是当a<0时,设过原点与点(1,-1)的直线为l3,其斜率为-1,则在l3的位置以O为中心逆时针旋转一直转到水平位置都符合题意,此时实数a的取值范围是(-1,0].综上所述,实数a的取值范围是(-1,0],故选C.15.2-2解析当a≤0时,在区间[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在区间[0,1]上为增函数,当x=1时,f(x)取得的最大值为f(1)=1-a;当0<a<1时,f(x)=在区间内递增,在区间上递减,在区间(a,1]上递增,且f,f(1)=1-a,-(1-a)=(a2+4a-4),∴当0<a<2-2时,<1-a.当2-2≤a<1时,1-a;当1≤a<2时,f(x)=-x2+ax在区间上递增,在区间上递减,当x=时,f(x)取得最大值f;当a≥2时,f(x)=-x2+ax在区间[0,1]上递增,当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=a-1.则g(a)=在区间(-∞,2-2)上递减,在区间[2-2,+∞)上递增,即当a=2-2时,g(a)有最小值.16.解 (1)f(x)=a ln x+x2的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x=当x∈[1,e]时,2x2∈[2,2e2].若a≥-2,则f'(x)在区间[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;若-2e2<a<-2,令f'(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减;令f'(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,所以f(x)min=f ln;若a≤-2e2,f'(x)在区间[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f'(x)=0),故f(x)在区间[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.综上所述,当a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;当-2e2<a<-2时,f(x)min=ln,相应的x=;当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.(2)不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-ln x)≥x2-2x.由x∈[1,e],知ln x≤1≤x且等号不能同时成立,得ln x<x,即x-ln x>0,因而a,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),则g'(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,从而g'(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在区间[1,e]上是增函数,故g(x)min=g(1)=-1,所以实数a的取值范围是[-1,+∞).17.(1)解f'(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.(2)解 (分类讨论)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g=--1=-令-1<<1,解得α<-(舍去),α>当0<时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α.当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g又-|g(-1)|=>0,所以A=综上,A=(3)证明由(1)得|f'(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.当0<时,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.当<α<1时,A=1,所以|f'(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.11。

第2讲 解题有道——四大数学思想思想概述 高考数学以能力立意,一是考查数学的基础知识、基本技能；二是考查基本数学思想方法,考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题,是数学意识、数学技能的升华和提高,中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.类型一 函数与方程思想(1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.【例1】 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y ＝kx(k ＞0)与AB 相交于点D,与椭圆相交于E,F 两点. (1)若ED →＝6DF →,求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.解 (1)依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1,直线AB,EF 的方程分别为x ＋2y ＝2,y ＝kx(k＞0).如图,设D(x 0,kx 0),E(x 1,kx 1),F(x 2,kx 2),其中x 1＜x 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1消y 得(1＋4k 2)x 2＝4, 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.①由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0), 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2； 由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2,得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k 2,化简得24k 2－25k ＋6＝0, 解得k ＝23或k ＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F 到AB 的距离分别为h 1＝|x 1＋2kx 1－2|5＝2（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2）, h 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）. 又AB ＝22＋12＝5, 所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12·AB·(h 1＋h 2) ＝12×5×4（1＋2k ）5（1＋4k 2）＝2（1＋2k ）1＋4k 2＝21＋4k 2＋4k1＋4k2＝21＋41k＋4k ≤22, 当且仅当1k ＝4k(k ＞0),即k ＝12时,上式取等号.所以S 的最大值为22,即四边形AEBF 面积的最大值为2 2.探究提高 解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.【训练1】 函数f(x)的定义域为R,f(－1)＝2,对任意x∈R ,f′(x)＞2,则f(x)＞2x ＋4的解集为________. 解析 f′(x)＞2转化为f′(x)－2＞0,构造函数F(x)＝f(x)－2x,得F(x)在R 上是增函数. 又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4,f(x)＞2x ＋4, 即F(x)＞4＝F(－1),所以x ＞－1. 答案 (－1,＋∞)【例2】 已知数列{a n }是一个等差数列,且a 2＝1,a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值. 解 (1)设{a n }的公差为d,由已知条件,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3,d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5.(2)S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4.所以n ＝2时,S n 取到最大值4.探究提高 运用方程思想解决问题,要善于使用已知方程,还要根据题意列方程、解方程. 【训练2】 直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切,则实数m ＝________. 解析 圆的方程为(x －1)2＋y 2＝3,由题意知圆心(1,0)到直线的距离等于半径,即|3＋m|3＋1＝3,∴|3＋m|＝23∴m＝3或m ＝－3 3. 答案 －33或 3 类型二 数形结合思想数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.【例3】 (1)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x －1)；②当x∈[－1,1]时,f(x)＝x 2,则方程f(x)＝lg x 解的个数是________.(2)若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x∈R 恒成立,则a 的取值范围是________.解析 (1)由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数.令y 1＝f(x),y 2＝lg x,画出两函数图象, 则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点,故方程f(x)＝lg x 解的个数是9.(2)作出y ＝|x －2a|和y ＝12x ＋a －1的简图,依题意知应有2a≤2－2a,故a≤12.答案 (1)9 (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 探究提高 (1)用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(或需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.(2)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.【训练3】 (1)若函数f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点,则实数b 的取值范围是________. (2)若不等式9－x 2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a,b],且b －a ＝2,则k ＝________. 解析 (1)由f(x)＝|2x －2|－b 有两个零点, 可得|2x－2|＝b 有两个不等的实根,从而可得函数y ＝|2x－2|的图象与函数y ＝b 的图象有两个交点,如图所示.结合函数的图象,可得0＜b ＜2,故填(0,2).(2)如图,分别作出直线y ＝k(x ＋2)－2与半圆y ＝9－x 2.由题意,知直线在半圆的上方时,x 的取值范围为[a,b],由b －a ＝2,可知b ＝3,a ＝1,所以直线y ＝k(x ＋2)－2过点(1,22),则k ＝ 2. 答案 (1)(0,2) (2) 2 类型三 分类讨论思考分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集,并集为全集).做到“确定对象的全体,明确分类的标准,分类不重复、不遗漏”的分析讨论. 常见的分类讨论问题有：(1)集合：注意集合中空集∅的讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a,一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a≠0的讨论,对称轴位置的讨论,判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q≠1的讨论. (4)三角函数：角所在的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解含参数不等式时的讨论,基本不等式取等号时条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点、线、面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线方程中斜率k 分存在和不存在,直线在坐标轴上的截距相等时分截距b ＝0和b≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等. 【例4】 已知函数f(x)＝ln x ＋a(1－x). (1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a －2时,求a 的取值范围. 解 (1)f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝1x－a.若a≤0,则f′(x)＞0,所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增.若a ＞0,则当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时,f′(x)＞0； 当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时,f′(x)＜0,所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上,知当a≤0时,f(x)在(0,＋∞)上单调递增；当a ＞0时,f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,＋∞)上无最大值；当a ＞0时,f(x)在x ＝1a 处取得最大值,最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于－ln a ＋a －1＞2a －2,即ln a ＋a －1＜0.令g(a)＝ln a ＋a －1,则g(a)在(0,＋∞)上单调递增, g(1)＝0.于是,当0＜a ＜1时,g(a)＜0；当a ＞1时,g(a)＞0. 因此,a 的取值范围是(0,1).探究提高 由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.【训练4】 已知实数a≠0,函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x<1，－x －2a ，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a),则a 的值为________.解析 当a>0时,1－a<1,1＋a>1, 这时f(1－a)＝2(1－a)＋a ＝2－a, f(1＋a)＝－(1＋a)－2a ＝－1－3a. 由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a ＝－1－3a, 解得a ＝－32,不合题意,舍去；当a<0时,1－a>1,1＋a<1,这时f(1－a)＝－(1－a)－2a ＝－1－a, f(1＋a)＝2(1＋a)＋a ＝2＋3a.由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a ＝2＋3a,解得a ＝－34.综上可知,a 的值为－34.答案 －34类型四 转化与化归思想转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题.(7)坐标法：以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径. (8)类比法：运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定. (9)参数法：引进参数,使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决,体现了正难则反的原则.【例5】 (1)已知f(x)＝33x ＋3,则f(－2 019)＋f(－2 018)＋f(－2 017)＋f(－2 016)＋f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋ f(2 019)＋f(2 020)＝________.解析 ∵f(x)＋f(1－x)＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x3＋3x＝3x＋33x ＋3＝1, ∴f(0)＋f(1)＝1,f(－2 015)＋f(2 016)＝1,…,f(－2 019)＋f(2 020)＝1,∴f(－2 019)＋f(－2 018)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 020)＝[f(－2 019)＋f(2 020)]＋[f(－2 018)＋f(2 019)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2 020. 答案 2 020探究提高 一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.(2)若对于任意t∈[1,2],函数g(x)＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是________.解析 g′(x)＝3x 2＋(m ＋4)x －2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0,即m ＋4≥2x －3x 在x∈(t ,3)上恒成立,∴m＋4≥2t－3t 恒成立,又t∈[1,2],则m ＋4≥－1,即m≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x∈(t ,3)上恒成立,则m ＋4≤23－9,即m≤－373.∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 1.一般地,题目若出现多种成立的情形,且不成立的情形相对很少,则从反面考虑较简单,因此,补集法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中. 2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,将未知的问题转化为已知的问题,以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,应想到问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获得解决.【训练5】 对任意的|m|≤2,函数f(x)＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负,则x 的取值范围为________.解析 对任意的|m|≤2,有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立,即|m|≤2时,(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立.设g(m)＝(x 2－1)m －2x ＋1,则原问题转化为g(m)＜0恒成立(m∈[－2,2]).所以⎩⎪⎨⎪⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0. 解得7－12＜x ＜3＋12, 即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋121.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想.2.由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等.3.换元法是一种变量代换,也是一种特殊的转化与化归方法,是用一种变数形式去取代另一种变数形式,是将生疏(或复杂)的式子(或数),用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体,使运算或推理可以顺利进行.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形、以形想数,做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合.。

高考专题训练二十六 分类讨论思想班级_______ 姓名________时间：45分钟 分值：75分 总得分_______一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2， 当a n 为偶数时，3a n ＋1， 当a n 为奇数时.)若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．4或5B ．4或32C ．5或32D ．4,5或32解析：若a 5为偶数，则a 6＝a 52＝1，即a 5＝2.若a 4为偶数，则a 5＝a 42＝2，∴a 4＝4；若a 4为奇数，则有a 4＝13(舍)．若a 3为偶数，则有a 3＝8；若a 3为奇数，则a 3＝1. 若a 2为偶数，则a 2＝16或2；若a 2为奇数，则a 2＝0(舍)或a 2＝73(舍)．若a 1为偶数，则a 1＝32或4； 若a 1为奇数，有a 1＝5或a 1＝13(舍)．若a 5为奇数，有1＝3a 5＋1；所以a 5＝0，不成立． 综上可知a 1＝4或5或32. 答案：D点评：本题考查了分类讨论的应用，要注意数列中的条件是a n 为奇数或偶数，而不是n 为奇数或偶数．2．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 等于( ) A ．－3 B ．－38C ．3D.38或－3 解析：当a <0时，在x ∈[－3,2]上，当x ＝－1时取得最大值，得a ＝－3；当a >0时，在x ∈[－3,2]上，当x ＝2时取得最大值，得a ＝38.答案：D3．对一切实数，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：本题是不等式恒成立问题，可以构造函数，把函数转化为y ＝x ＋ax型，通过求解函数的最值得到结论．由不等式x 2＋a |x |＋1≥0对一切实数恒成立．①当x ＝0时，则1≥0，显然成立；②当x ≠0时，可得不等式a ≥－|x |－1|x |对x ≠0的一切实数成立．令f (x )＝－|x |－1|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |≤－2.当且仅当|x |＝1时，“＝”成立． ∴f (x )max ＝－2，故a ≥f (x )max ＝－2. 答案：B4．0<b <1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( ) A ．－1<a <0 B ．0<a <1 C ．1<a <3D ．3<a <6解析：(x －b )2－(ax )2>0，(x －b －ax )(x －b ＋ax )>0. 即[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0. ①令x 1＝b 1－a ，x 2＝b1＋a. ∵0<b <1＋a ，则0<b1＋a<1，即0<x 2<1.当1－a >0时，若0<a <1，则不等式①的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b 1＋a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫b1－a ，＋∞，不符合题意．若－1<a <0，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，b 1－a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫b1＋a ，＋∞，不符合题意．当1－a <0时，即a >1时，需x 1＝b1－a <－2，a ＋1>b >－2(1－a )，∴a <3. 综上，1<a <3.故选C. 答案：C5．已知a ＝(－1，－2)，b ＝(1，λ)．若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b <0，即有λ>－12.又当λ＝2时，a 与b 反向．故选C.答案：C6．对任意两实数a ，b 定义运算“*”如下，a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ，ba >b ，)则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( ) A ．(－∞，0] B ．[log 223，0]C ．[log 223，＋∞)D ．R解析：根据题目给出的情境，得f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2*log 2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 213x －2 x ≥1，log 2x 0<x <1.)由于y ＝log 2x 的图象在定义域上为增函数，可得f (x )的值域为(－∞，0]．故选A.答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．若函数f (x )＝4x ＋a ·2x＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，则实数a 的取值范围为________．解析：设2x＝t (t >0)，则函数可化为g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1，t ∈(0，＋∞)，函数f (x )在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于函数g (t )在(0，＋∞)上有零点．(1)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ＋1≥0，－a2>0，g 0＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－2 2.(2)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a 应满足g (0)＝a ＋1<0，解得a <－1.(3)当函数g (t )的一个零点是0时，g (0)＝a ＋1，a ＝－1，此时可求得函数g (t )的另一个零点是1，符合题目要求．综合(1)(2)(3)知a 的取值范围是a ≤2－2 2.答案：a ≤2－2 28．连掷两次骰子得到的点数为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )，与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈(0，π2]的概率是________．解析：∵m >0，n >0，∴a ＝(m ，n )与b ＝(1，－1)不可能同向． ∴夹角θ≠0.∴θ∈(0，π2]⇔a ·b ≥0，∴m ≥n .当m ＝6时，n ＝6,5,4,3,2,1； 当m ＝5时，n ＝5,4,3,2,1； 当m ＝4时，n ＝4,3,2,1； 当m ＝3时，n ＝3,2,1； 当m ＝2时，n ＝2,1； 当m ＝1时，n ＝1；∴概率是6＋5＋4＋3＋2＋16×6＝712.答案：7129．当点M (x ，y )在如图所示的△ABC 内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)．则实数k 的取值范围是________．解析：如图，延长BC 交y 轴于点D ，目标函数z ＝kx ＋y 中z 的几何意义是直线kx ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，由题意得当此直线经过点C (1,2)时，z 取得最大值，显然此时直线kx ＋y －z ＝0与y 轴的交点应该在点A 和点D 之间，而k AC ＝2－11－0＝1，k BD ＝k BC ＝2－01－3＝－1，直线kx ＋y －z ＝0的斜率为－k ，所以－1≤－k ≤1，解得k ∈[－1,1]．答案：[－1,1]10．设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．解析：若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.∴|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2. 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2.∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上，|PF 1||PF 2|＝72或2.答案：72或2三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)已知a >0，且a ≠1，数列{a n }的前n 项和为S n ，它满足条件a n －1S n ＝1－1a.数列{b n }中，b n ＝a n ·lg a n.(1)求数列{b n }的前n 项和T n ；(2)若对一切n ∈N *，都有b n <b n ＋1，求a 的取值范围．分析：(1)本题从a n －1S n ＝1－1a可以得出S n ，进而由a n 和S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1，S n －S n －1 n ≥2.)可求出数列{a n }的通项，也就求出了{b n }的通项公式．(2)应注意分a >1和0<a <1讨论．解：(1)a n －1S n ＝1－1a ，∴S n ＝a a n －1a －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝a a 1－1a －1＝a ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a a n －1a －1－a a n －1－1a －1＝a n.∴a n ＝a n (n ∈N *)．此时，b n ＝a n ·lg a n ＝n ·a nlg a . ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝lg a (a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n)．设u n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，∴(1－a )u n ＝a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1＝a a n －1a －1－nan＋1.∴u n ＝na n ＋1a －1－a a n －1a －12.∴T n ＝lg a [n ·a n ＋1a －1－a a n －1a －12]．(2)由b n <b n ＋1⇒na nlg a <(n ＋1)an ＋1lg a .①当a >1时，由lg a >0，可得a >nn ＋1.∵nn ＋1<1(n ∈N *)，a >1，∴a >nn ＋1对一切n ∈N *都成立，此时a 的范围为a >1.②当0<a <1时，由lg a <0可得n >(n ＋1)a ，即a <nn ＋1，即a <⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1min .∵nn ＋1≥12，∴a <12时，对一切n ∈N *，a <n n ＋1都成立，此时，a 的范围为0<a <12. 由①②知：对一切n ∈N *，都有b n <b n ＋1的a 的范围是0<a <12或a >1.12．(13分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上两点．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m ·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)若直线AB 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)，求直线AB 的斜率k ；(3)试问△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 分析：(1)由e ＝ca ＝32及b ＝1可求a .(2)设出AB 的直线方程，代入椭圆方程，结合根与系数的关系及条件m ·n ＝0，解出k 值．(3)应分k AB 不存在及k AB 存在两种情况讨论求解．解：(1)∵2b ＝2，∴b ＝1，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32.∴a ＝2，c ＝ 3.椭圆的方程为y 24＋x 2＝1. (2)由题意，设AB 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，y 24＋x 2＝1，整理得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.∴x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4.由已知m ·n ＝0得：x 1x 2b 2＋y 1y 2a 2＝x 1x 2＋14(kx 1＋3)(kx 2＋3) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋k 24x 1x 2＋34k (x 1＋x 2)＋34＝k 2＋44⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＋34k ·－23k k 2＋4＋34＝0.解得k ＝± 2. (3)①当直线AB 斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2，由m ·n ＝0得x 21－y 214＝0⇒y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 21＋4x 214＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝2，S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝1＝12|x 1|·2|y 1|＝1，所以三角形面积为定值．②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入y 24＋x 2＝1，得：(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，x 1x 2＋y 1y 24＝0⇔x 1x 2＋kx 1＋bkx 2＋b4＝0，代入整理得2b 2－k 2＝4，∴S ＝12·|b |1＋k 2|AB |＝12|b |x 1＋x 22－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b22|b |＝1.所以△ABC 的面积为定值．点评：本题是平面向量与解析几何的交汇题，综合考查了椭圆方程，离心率，定值等知识与方法，当直线位置不确定时，应注意分斜率存在与斜率不存在讨论．。

专题强化训练(三) 分类讨论思想一、选择题1．已知集合A ＝{x |ax －6＝0}，B ＝{x ∈N |1≤log 2x <2}，且A ∪B ＝B ，则实数a 的所有值构成的集合是( )A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{0,2,3}解析：由集合B ＝{x ∈N |1≤log 2x <2}，解得B ＝{2,3}．由A ∪B ＝B 得A ⊆B .①当A ＝∅时，a ＝0；②当A ≠∅时，即A ＝{2}或A ＝{3}时，解得a ＝3或a ＝2，故选D.答案：D2．若x >0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为( ) A ．RB ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：当x >1时，y ＝lg x ＋log x 10＝lg x ＋1lg x≥2lg x ·1lg x ＝2；当0<x <1时，y ＝lg x＋log x 10＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－lg x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2(－lg x )·⎝⎛⎭⎪⎫－1lg x ＝－2.所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，故选D.答案：D3．[2019·某某五校联考]设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值X 围是( )A ．(0,3) B.⎝⎛⎭⎪⎫3，163C ．(0,3)∪⎝⎛⎭⎪⎫163，＋∞D ．(0,2)解析：当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，故选C.答案：C4．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：按照b <0，b ＝0，b >0分类讨论求解． 当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b >0时，a >b 有|a |>|b |， 所以a >b ⇔a |a |>b |b |.综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C. 答案：C5．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．5B ．4C ．6D ．8解析：当公比为2时，等比数列可为：1,2,4；2,4,8；当公比为3时，可为：1,3,9；当公比为32时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也符合题意，因此，共有4×2＝8个．答案：D6．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是( )A.32 B. 3 C.32或52D.32或 5 解析：∵m 是2和8的等比中项， ∴m 2＝2×8＝16，∴m ＝±4.若m ＝4，则曲线为椭圆，焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，∴e ＝c a ＝32； 若m ＝－4，则曲线为双曲线，a 2＝1，b 2＝4，c 2＝5，e ＝c a＝5，故选D. 答案：D7．[2019·某某六校联考]从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( )A ．42种B ．36种C ．72种D ．46种解析：分两类：①若取出2个球全是同一种颜色，有3种可能，若为红色只需把它们放入蓝和黄即可有A 22＝2种，此时有3×2＝6种；②若取出的2个球为两种颜色的球，有3C 12·C 12＝12种，若为一红一黄，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，有3种方法，此时共12×3＝36种．因此不同的放法有42种．答案：A8．[2019·某某模拟]以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线C 的离心率为( )A ．2或 3B ．2或233C.233D ．2解析：①当双曲线的焦点在x 轴上时，由题意知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tanπ3＝3，所以b ＝3a ，c ＝a 2＋b 2＝2a ，故双曲线C 的离心率e ＝c a＝2a a＝2；②当双曲线的焦点在y 轴上时，由题意知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，所以a＝3b ，c ＝a 2＋b 2＝2b ，故双曲线C 的离心率e ＝c a＝2b 3b＝233.综上所述，双曲线C 的离心率为2或233.答案：B9．[2019·某某七市联考]T 为常数，定义f T (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥T ，T ，f (x )<T ，若f (x )＝x －ln x ，则f 3[f 2(e)]的值为( )A ．e －1B ．eC ．3D ．e ＋1解析：由题意得，f (e)＝e －1<2，∴f 2(e)＝2，又f (2)＝2－ln2<3，∴f 3[f 2(e)]＝3，故选C.答案：C10．[2019·某某某某模拟]已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x5的展开式中各项系数的和为2，则展开式中常数项为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80解析：令x ＝1，可得1＋a ＝2，a ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，则此展开式中常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的常数项与1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的常数项之和．而⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中无常数项，1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的常数项为C 25×23×(－1)2＝80，故选D.答案：D11．[2019·某某模拟]有6个人站成前后两排，每排3人，若甲、乙二人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为( )A ．384B ．480C ．768D ．240解析：如果甲站在边上，有4个位置可选，乙有3个位置可选，其余4人任意排，此时的排法种数为4×3×A 44＝288；如果甲站在中间，甲有2个位置可选，乙有2个位置可选，其余4人任意排，此时的排法种数为2×2×A 44＝96.根据分类加法计数原理，所有不同站法的种数为288＋96＝384，故选A.答案：A12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 015<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则S 2 015>0 D ．若a 4>0，则S 2 014>0解析：等比数列{a n }的公比为q ≠0.对于A ，若a 3>0，a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q2014>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2 014＝a 1q2 013>0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q2>0，所以当q ＝1时，S 2 015>0，当q ≠1时，S 2 015＝a1(1－q2 015)1－q>0(1－q与1－q2 015同号)，所以C一定成立，易知D不一定成立，故选C.答案：C13．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－3×0＋3|12＋(3)2＝2.当0<r<1时，直线与圆相离，圆上没有点到直线的距离为1；当r＝1时，直线与圆相离，圆上只有1个点到直线的距离为1；当1<r<2时，直线与圆相离，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2<r<3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0<r<3时，圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，由圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1可得0<r<3，故p是q的充分必要条件，故选C.答案：C14．已知函数f(x)＝|e x＋ae x(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值X围是( )A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．[－1,1] D．(0，＋∞)解析：①a＝0时，f(x)＝e x，显然在[0,1]上单调递增，排除D.②a>0时，f(x)＝e x＋ae x，f′(x)＝e x－a e－x，则f′(x)≥0对x∈[0,1]恒成立，即a≤e2x对x∈[0,1]恒成立，∴a≤1，排除A，B，选C.答案：C15．如图，M ，N 是焦点为F 的抛物线y 2＝4x 上的两个不同的点，且线段MN 的中点A 的横坐标为3，直线MN 与x 轴交于B 点，则点B 的横坐标的取值X 围是( )A ．(－3,3]B ．(－∞，3]C ．(－6，－3)D ．(－6，－3)∪(－3,3]解析：①若直线MN 的斜率不存在，则点B 的坐标为(3,0)．②若直线MN 的斜率存在，设A (3，t )(t ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2(y 1＋y 2)＝4，即k MN ＝2t ，直线MN 的方程为y －t ＝2t(x －3)，∴点B 的横坐标x B ＝3－t 22，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝2t (x －3)，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－2ty ＋2t 2－12＝0，由Δ>0得t 2<12，又t ≠0，∴x B ＝3－t 22∈(－3,3)．综上，点B 的横坐标的取值X 围为(－3,3]． 答案：A 二、填空题16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，f (a )＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－log 2(a ＋1)＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.答案：－7417．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7. 答案：－718．已知定义在(0，＋∞)内的函数f (x )＝|4x (1－x )|，若关于x 的方程f 2(x )＋(t －3)f (x )＋t －2＝0有且只有3个不同的实数根，则实数t 的取值集合是________．解析：令a ＝f (x )，a ≥0，g (a )＝a 2＋(t －3)a ＋t －2，当t ＝2时，令g (a )＝0，得a ＝0或a ＝1，即f (x )＝0或f (x )＝1，数形结合知满足条件的x 有三个，符合题意．当t <2时，方程g (a )＝0有两个实数根且一正一负，负根舍去，又g (0)<0，g (1)<0，所以方程的根大于1，故f 2(x )＋(t －3)f (x )＋t －2＝0只有1个根，不符合题意；当t >2时，方程g (a )＝0的两根同号，而g (0)＝t －2>0，g (1)＝2t －4>0，则需方程g (a )＝0有两个相等的实数正根在(0,1)内，对称轴y ＝3－t2∈(0,1)，得1<t <3，Δ＝0⇒t ＝5±22，所以t ＝5－2 2.所以实数t 的取值集合为{2,5－22}．答案：{2,5－22}19．对于定义域[0，＋∞)的函数f (x )，如果同时满足下列三条： ①对任意的x ∈[0，＋∞)，总有f (x )≥0；②对任意x 1≥0，x 2≥0，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立； ③若x 1，x 2∈[0,1)，则f (x 1＋1)－f (x 2＋1)x 1－x 2>1.称函数f (x )为“同文函数”． 则下列是“同文函数”的为________． (1)f (x )＝sin x ；(2)g (x )＝14x 2(x ∈[0,1])；(3)h (x )＝2x－1；(4)p (x )＝ln(x ＋1)．解析：对于(1)，不满足对任意的x ∈[0，＋∞)，总有f (x )≥0，故(1)不是“同文函数”； 对于(2)，g (x )＝14x 2(x ∈[0,1])，x 1＋x 2可能大于1，不在定义域[0,1]内，g (x 1＋x 2)没有意义，故(2)不是“同文函数”；若0≤x 1<x 2<1，则f (x 1＋x 2)－f (x 2＋1)x 1－x 2>1，只需f (x 1＋1)－f (x 2＋1)<(x 1＋1)－(x 2＋1)，即函数G (t )＝f (t )－t 在[1,2)上单调递增即可，函数h (x )＝2x－1显然满足，故(3)是“同文函数”；对于(4)，当x 1≥0，x 2≥0时，p (x 1＋x 2)－[p (x 1)＋p (x 2)]＝ln x 1＋x 2＋1(x 1＋1)(x 2＋1)≤0，即p (x 1＋x 2)≤p (x 1)＋p (x 2)，故(4)不是“同文函数”．故答案为(3)．答案：(3) 三、解答题20．[2018·全国卷Ⅰ，21节选]已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解：f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝－1x 2－1＋a x ＝－x 2＋ax －1x 2.①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)内单调递减．②若a >2，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )>0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．。