矩阵论 第7章 特征值的估计

矩阵的特征值简介在线性代数中，矩阵的特征值是矩阵在特征向量上的投影，是一个重要的概念。

特征值可以帮助我们了解矩阵的性质和变换。

本文将介绍矩阵的特征值的定义、性质以及计算方法。

定义设 A 是一个 n × n 的矩阵，λ 是一个实数，如果存在一个非零向量 x 使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值，x 是对应的特征向量。

特征向量 x 满足Ax = λx，其中x ≠ 0，λ 可能是实数也可能是复数。

特征向量 x 的模长不影响特征向量的定义，通常我们会将特征向量标准化为单位向量。

性质1.矩阵 A 和其转置矩阵 A^T 具有相同的特征值。

2.若A 是一个对称矩阵，那么它的特征向量是正交的。

3.矩阵 A 的特征值的和等于它的迹，即λ1 + λ2 + … +λn = tr(A)。

4.矩阵 A 的特征值的积等于它的行列式，即λ1 * λ2* … * λn = |A|。

5.如果λ 是矩阵 A 的特征值，那么λ^k 是矩阵 A^k 的特征值，其中 k 是正整数。

6.矩阵 A 是奇异的（行列式为零）当且仅当它的零空间不为空，即存在非零向量使得 Ax = 0。

计算方法要计算矩阵的特征值，通常使用特征值问题的特征多项式。

设 A 是一个 n × n 的矩阵，特征多项式定义为f(λ) = |A - λI|，其中 I 是 n × n 的单位矩阵，|A - λI| 是矩阵 A - λI 的行列式。

1.求特征多项式的根：将特征多项式f(λ) = 0 的解称为特征值。

通过求解特征多项式的根，可以得到矩阵的特征值。

2.求解特征向量：对于每一个特征值λ，解齐次线性方程组 (A - λI)x = 0，得到相应的特征向量 x。

3.标准化特征向量：对于每一个特征值λ，将对应的特征向量 x 进行标准化处理，得到单位特征向量。

应用矩阵的特征值在很多领域有广泛的应用。

1.特征值可以帮助我们了解矩阵的变换性质。

特征值范围估计特征值是矩阵的一个重要属性，并具有广泛的应用。

特征值与特征向量的求解是数学中的一个经典问题。

用于数值计算的矩阵通常是大型矩阵，因此求解其特征值和特征向量需要使用高效的算法。

在实际应用中，需要对特征值的范围进行估计，以确定有效的计算区间。

本文将介绍特征值范围估计的基本概念和方法。

特征值范围估计是指对一个矩阵的特征值的上下界进行估算，以便确定计算该矩阵特征值的有效区间。

在数学中，有多种方法对矩阵的特征值进行估计。

这些方法可以大致分为两类：直接方法和迭代方法。

下面分别介绍这两类方法。

直接方法是在不求解特征值和特征向量的情况下，在给定的一些限制条件下估算矩阵特征值的范围。

这些限制条件可以是矩阵的谱范数、对称性、压缩后的矩阵等等。

直接方法的优点是计算简单快速，通常用于对小型矩阵的特征值范围进行估算，但在求解大型矩阵的特征值时不太适用。

常见的直接方法包括以下几种。

1.圆盘定理圆盘定理是用于估算矩阵特征值上下界的一种常见方法。

该方法基于一个名为圆盘定理的性质。

圆盘定理是指对于一个n阶矩阵A和所有的x，其所组成的球形区域B是圆盘定理的开放。

2.双曲线定理双曲线定理是利用矩阵的谱范数估算特征值的上下界的方法。

其本质是矩阵范数不等式，根据Taussky-Todd定理的细节，可以得到这些结果。

3.对称矩阵定理对称矩阵定理是一个比较特殊的特征值范围估计方法，因为对称矩阵具有特殊的性质，使该方法适用于此类矩阵。

此类矩阵的特殊性质表明，它们的特征向量可以正交，自然的特征值也必须是实数。

这使得对称矩阵的特征值范围估计更加简单和可靠。

迭代方法是另一种近期广泛使用的特征值估计方法。

迭代方法通常适用于大型矩阵，其计算量较大。

在这种方法中，需要定义一个初值，通过迭代不断逼近特征值区间的上下界。

不同的迭代算法适用于不同类型的矩阵。

最常见的迭代算法是幂法。

幂法是一种求解矩阵特征值中最大特征值和对应特征向量的迭代方法。

其基本思想是通过不断地将向量乘以矩阵来逼近最大的特征值，并将得到的向量作为新的初始向量，直到收敛。

第三部分矩阵特征值的估计§1. 特征值界的估计引理1. n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A的特征值。

即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使引理2. 设，则Proof:设则引理3. A为正规矩阵A酉相似于对角矩阵。

（注：正规矩阵：）即存在酉矩阵U使Th1.设A为n阶矩阵，为其特征值，则：A为正规矩阵，等号成立。

Proof:由引理1.存在酉阵U，使（三角阵）——①对①两边取共轭转置：——②①②（为酉阵）即设令，则A=B+C：其中B为Hermit阵（即）实C为反Hermit阵（即）虚注：引入B,C的目的是为了研究A的特征值的实部和虚部的估计。

Th2.设A,B,C如上所设，为A的特征值，则有：①②③Proof:由,同理可证：其它两个注：该定理对A特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A特征值虚部估计更精确的一个定理。

Th3.设，则其中，为上述C的第i行第j列元素Proof:（略）eg1.设则由Th3.易见，Th3.比Th2.中③要精确。

据上述定理可得如下推论：推论1：实对称矩阵的特征值令为实数。

推论2：Hermit矩阵的特征值令为实数。

推论3：反Hermit矩阵的特征值令为虚数或零。

Proof1:A为实对称，则，则即由Th2即为实数Proof2:A为H—阵，则，则，即为实数Proof3: A为反H—阵，则，设为特征值，由Th2.即为纯虚数或零。

Th4.幂等阵的特征值为0或1Proof:设为A的特征值，Z为A的对应于的特征向量。

即或1.Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B的特征值非负），则其中分别为A+B和A的特征值，且即A+B与A的特征值按递减顺序排列。

§2. 圆盘定理及其推广上节我们对矩阵的特征值作了大致的估计，本节所有讲的圆盘定理是对矩阵的特征值在复平面上的具体位置作了更精确的估计。

Th1.圆盘定理：设，则A的特征值（即都在复平面上的n个圆盘内）其中（称为盖尔圆盘）Proof:设为A的特征值，X为特征向量，则，取即说明：①圆盘；称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。

矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。

结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。

（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。

结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。

（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。

但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。

二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。

特征值估计一、特征值的概念在线性代数中，特征值是矩阵运算中一个重要的概念。

对于一个n 阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k是一个标量，那么k就是矩阵A的特征值，x就是对应的特征向量。

特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的变换规律和性质。

特征值估计是通过数值计算的方法，来估计矩阵的特征值。

特征值估计的基本原理是利用矩阵的特征向量和特征值之间的关系，通过迭代计算的方式逼近矩阵的特征值。

特征值估计的过程中，需要选择一个合适的迭代方法和初始向量，以便得到较为准确的特征值估计结果。

三、特征值估计的常用方法1. 幂法幂法是一种最简单和最常用的特征值估计方法。

幂法的基本思想是通过不断迭代矩阵和向量的乘积，来逼近矩阵的特征向量和特征值。

幂法的迭代公式为：x(k+1) = A * x(k)其中x(k)为第k次迭代的向量，A为待估计特征值的矩阵。

幂法通常需要对向量进行归一化处理，以防止迭代过程中向量趋于无穷大或无穷小。

2. 反幂法反幂法是幂法的一种变形方法，用于估计矩阵的最小特征值。

反幂法的基本思想是通过计算矩阵的逆，然后按照幂法的迭代公式进行迭代，最终得到矩阵的最小特征值和对应的特征向量。

3. QR算法QR算法是一种迭代方法，用于计算矩阵的所有特征值和特征向量。

QR算法的基本思想是通过矩阵的QR分解，将原矩阵迭代转化为上三角矩阵的迭代过程，从而逐步求得矩阵的特征值和特征向量。

四、特征值估计的应用特征值估计在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，特征值估计可以用于计算量子力学中的波函数和能量本征值；在机器学习和数据分析中，特征值估计可以用于降维和特征提取；在网络分析和图像处理中，特征值估计可以用于图的聚类和分割等。

特征值估计的准确性和稳定性是评价其性能的重要指标。

在实际应用中，我们需要选择合适的特征值估计方法，并进行数值计算来得到较为准确的结果。

此外，特征值估计的计算复杂度也是需要考虑的因素，因为对于大规模矩阵，特征值估计可能需要耗费大量的计算资源和时间。