矩阵论文

本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用学院：专业：数学与应用数学学号：学生姓名：指导教师：二〇一一年六月摘要如果n阶实矩阵A满足,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率AbstractOrthogonal matrices and its applicationsIf a-dimensional real matrixsatisfies,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.This paper enumerats the applications of orthogonal matrix inlinear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. Thetransition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with anorthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate目录1.引言 12.正交矩阵的基本知识 32.1正交矩阵的定义与判定 32.2 正交矩阵的性质 33.正交矩阵的应用 53.1 正交矩阵在线性代数中的应用 53.2正交矩阵在化学中的应用 113.3正交矩阵在物理学中的应用 14参考文献 18致谢 19正交矩阵及其应用姓名：学号：班级：1.引言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把阶实数矩阵满足,称为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在维实数内积空间中的关于正交基写出的向量.的长度的平方是.如果矩阵形式为的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt 正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.2.正交矩阵的基本知识本节中在没有特别说明的情况下,都表示为正交矩阵,记矩阵的秩为,与为矩阵的第列与第列,表示矩阵的第行.表示行列式的值即=.2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.1[3]阶实数矩阵满足（或,或）,则称为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵是正交矩阵;判定2.1.3 矩阵是正交矩阵;判定2.1.4 矩阵是正交矩阵;备注：判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义,即（或,或）,也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.当已知的正交矩阵求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质2.2 正交矩阵的性质若是正交矩阵,则有以下性质([3])：性质2.2.5,则可逆,且其逆也为正交矩阵.证明显然.所以也是正交矩阵.性质2.2.6,,也是正交矩阵, 即有:(1)当时,, 即;(2)当时,, 即证明若是正交矩阵,, 由性质2.2.5,为正交矩阵.因为,所以,当时,, 即;当时., 即.从而为正交矩阵.性质2.2.7是正交矩阵.证明因为,所以.因此,也是正交矩阵性质2.2.8是正交矩阵的充分必要条件是.证明必要性若是正交矩阵,则另一方面,一方面,于是,,;充分性因为是正交矩阵,若,显然也是正交矩阵.性质2.2.9 若也是正交矩阵, 则,,,都为正交矩阵.证明由可知,故为正交矩阵.同理推知,,,均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使,其中为的全部特征值, 即. 这些性质证明略.3.正交矩阵的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens矩阵.定义3.1[1] 设向量则称阶矩阵为向量下的Givens矩阵或初等旋转矩阵,也可记作.下面给出Givens矩阵的三个性质[2],[10]性质3.1.1 Givens矩阵是正交矩阵.证明由,则,故是正交矩阵.性质3.1.2 设,则有.证明由的定义知,,且,即右乘向量,只改变向量第和第个元素,其他元素不变.性质3.1.3 任意矩阵右乘,只改变的第列和列元素; 任意矩阵左乘,只改变的第行和行元素.证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论.引理3.1.4[2] 任何阶实非奇异矩阵 ,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.5[10] 设是阶正交矩阵若, 则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即;若, 则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵, 即, 其中是初等旋转矩阵.（）.证明由于是阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵,使（这里是阶上三角阵）,而且的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是（3-11）注意到是正交矩阵,由（3-11）式得,,即（3-12）设=,其中,,则=.由上式得所以, （3-13）即,当时,;当时,.记,注意到是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.6[1] 设其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵,是零矩阵.定理3.1.7[10] 设,则可以通过左连乘初等旋转矩阵,把变为的形式,其中是阶上三角阵,是矩阵.证明由引理3.1.6知,其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵.又根据定理1知：,则是初等旋转矩阵.(I)当时,;(II)当时,,则.显然,是阶上三角阵,当时,与除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时时,.综上,知本定理的结论成立.设,,,是欧氏空间的子空间的一组基,记是秩为的的矩阵.若满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵,使（3-14）且所以（3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对、做同样的旋转变换,在把化为的同时,就将化成了,而的前个列向量属于子空间.综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基为一组标准正交基的方法:（1）由已知基为列向量构成矩阵;（2）对矩阵施行初等旋转变换,化为,同时就被化为正交矩阵,这里是阶上三角阵;（3）取的前个列向量便可得的一组标准正交基.显然,上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.下面,我们通过实例对比Schimidt正交化求标准正交基.例求以向量,,为基的向量空间的一组标准正交基.解方法一用Schimidt正交化把它们正交化：,,再把每个向量单位化,得,,.即,,,就是由,得到的的一组标准正交基.方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵,对分块矩阵依次左乘,,,=,=,=,得=,则,,取,,.那么就是由,得到的的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为,为新的杂化轨道,为参加杂化的旧轨道,为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数[4].在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道满足;（2）杂化轨道的正交性.;（3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即=1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.（A）杂化轨道.以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为,这样在形成分子时,激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道,,,是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量,,,,那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵,即=.A为正交矩阵,分别是,,,在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量,,,在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道,,,进行杂化时形成四个等同的杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道和成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A.因为A 是正交矩阵,由定义可得,即,所以,得=(取正值).又因为是等性杂化轨道.有,=1,所以=（取正值）.即得到.又因,,,取符合条件的,,.同理,,即,,得,,取,.又,,得,,.所以,.可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为,,.（B）杂化轨道一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道.同样,线性变换的系数矩阵是正交矩阵.根据等性杂化理论有,,,于是,,（取正值）.又,,故,,即,.所以杂化轨道式为.3.3正交矩阵在物理学中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量.首先我们来简单认识曲率和挠率.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.（为角变量,为弧长）趋向于0的时候,定义就是曲率.即.而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.曲线在某点的挠率记为,=.下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量[6],[9].设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为(3-21)其中,是三阶正交矩阵,是常数.对(3-21)两边求阶导数,得.从而有. (3-22)因为是正交矩阵, 所以也有. (3-23) 另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵.两边取行列式, 由,得.现在取可类似地讨论.因为, (3-24), (3-25)(3-22)代入(3-24)的右边,得=++. （3-26）因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得,,.由正交矩阵的性质2.2.6知,且由,将上面三式左右分别平方相加,=++=.写成矢量函数, 即得于是我们可推得,.这里的分别是曲线的曲率与挠率.参考文献:[1] 陈景良,陈向晖.《特殊矩阵》.第一版.清华大学出版社,2001：353-360[2] 程云鹏.《矩阵论》.第二版.西北工业大学出版社,1999：94.99,196-215[3] 王萼芳,石生明.《高等代数》.第三版.北京：高等教育出版设,2007：162-392[4] 周公度,段连运.《机构化学基础》.第4版.北京大学出版社,2009：79-187[4] 王立东主编《数学》.第一版.大连理工大学出版社,2008：63-74[5] 赵成大等《物质结构》.人民教育出版社. 1982：219-226[6] 强元棨,程嫁夫.《力学》上册.第一版.中国科学技术大学出版社：2005：332-53[7] 张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东大学.1996.3.9卷（1）期：14-16[8] 刘钊南.《正交矩阵的作用》.湘潭师范学院学报.1987.11.16： 3[9] 陈少白.《空间曲线的刚体运动基不变量》. 武汉科技大学学报.2003.12.26卷（4）期：424-426[10] 刘国志.《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》.抚顺石油学院学报.1996.3.16卷（1）期：78-81致谢感谢父母,给了我生命,也让我懂得这世上什么是真情!当我们遇到困难的时候,会倾注所有一切来帮助我们的人是父母;当我们受到委屈的时候,能耐心听我们哭诉的人是父母.当我们犯错误时,能够毫不犹豫地原谅我们的人是父母;当我们取得成功的时候,会衷心为我们庆祝与我们分享成功的喜悦的,仍然是父母;而现在我们远在外地学习,依然牵挂着我们还是父母.感谢父母给予我爱,是您们让我感到骄傲与自豪!感谢老师,授予我知识!大学四年,不少老师给予我无微不至的关怀,这将成为我人生中难以忘怀的回忆.我不仅从您们身上学到许多专业知识,更多的是学到了为人处世的道理.在和您们的交流中,我对我的未来有了更好的规划.您们是我人生的航标,让我在迷茫时找到前进的方向;您们是我精神上的支柱,让我在困难时重新振作.大学四年,如果没有您们的博学知识,没有您们的倾注爱心,没有您们的谆谆善诱,我将不可能收获那么多.假如我能搏击蓝天,那是您们给了我腾飞的翅膀;假如我是击浪的勇士,那是您们给了我弄潮的力量;假如我是不灭的火炬,那是您们给了我青春的光亮!感谢帮助过我、教导过我的老师们,是您们,让我懂得给予与付出才是最重要的,是您们,让我明白做人就要不断进取,迎难而上,力争上游!本毕业论文是在我的导师XX的亲切关怀和悉心指导下完成的,她给我的论文提出了不少宝贵的意见;她严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,XX老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持,在此谨向XX老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。

《矩阵的分解算法》论文
《矩阵的分解算法》
矩阵分解是一种重要的数值计算技术，它可以解决复杂的数学和物理问题，在决策分析、系统解耦、图像处理、通信工程等领域得到广泛应用。

矩阵分解技术的基本原理是将大型矩阵分解为小型矩阵或特征向量，以更快地实现其所需的计算过程。

本文详细讨论了矩阵分解算法的三个主要方面：它们的定义、目标和解决方案。

首先，本文介绍了矩阵分解的定义，即将大型矩阵分解成小型子矩阵或特征向量，并根据具体应用分析需要考虑的分解要求。

其次，本文还讨论了矩阵分解的目标，即减少算法求解时间，提高处理效率，以及提供可视化的高维数据表示。

最后，本文简要评估了常用的几种矩阵分解算法，包括SVD分解、LU分解、QR分解、PQR分解和Cholesky分解。

此外，本文还综述了矩阵分解算法的一些变体，如SVD的变体——压缩SVD、可加性SVD和映射SVD；LU的变体——
高斯-约旦分解和索比-容斯特分解；QR的变体——Householder变换和Givens变换；Cholesky的变体——LDL变
换和Bunch-Kaufman分解。

本文的最后，还简要介绍了机器
学习和深度学习中常用的一些矩阵分解技术。

本文描述了矩阵分解算法的定义、目标及其各种变体，以及它们在机器学习和深度学习中的应用，希望为读者提供一个对矩阵分解技术有更全面认识的基础。

循环矩阵性质及应用论文循环矩阵是一种特殊的矩阵，其最后一行等于第一行，最后一列等于第一列的矩阵。

循环矩阵的性质和应用已经在许多研究论文中得到了研究和应用。

首先，循环矩阵具有周期性的性质。

由于最后一行等于第一行，最后一列等于第一列，循环矩阵的元素具有周期性的变化规律。

这个性质可以用来处理数据周期性变化的问题，比如对于一段时间内的某种数据，可以将其表示为循环矩阵的形式，从而能够更好地分析和理解数据的周期性变化规律。

其次，循环矩阵具有线性性质。

循环矩阵乘以一个标量或者与另一个循环矩阵相加、相减，结果仍为循环矩阵。

这个性质可以简化矩阵运算的过程，减少计算量，提高计算效率。

循环矩阵的应用已经广泛地涉及到数学、信号处理、通信等领域。

以下是一些循环矩阵应用的论文：1. Bini D. et al. (2011). "Circulant preconditioners for Toeplitz systems". 这篇论文讨论了循环矩阵作为预处理器在Toeplitz系统求解中的应用，通过循环矩阵的性质和特点，提出了一种高效的求解方法。

2. Tseng P. T., et al. (2016). "Circulant structure-preserving algorithms for data recovery problems". 这篇论文研究了循环矩阵在数据恢复问题中的应用，通过利用循环矩阵的性质，提出了一种结构保持的算法，能够更好地恢复数据中的缺失信息。

3. Chan R. H., et al. (2009). "Circulant preconditioners for linear systems with oscillatory or decaying coefficients". 这篇论文探讨了循环矩阵在线性系统求解中的应用，注意到循环矩阵具有周期性的变化规律，作者提出了一种预处理器方法，能够有效地处理具有振荡或者衰减系数的线性系统。

大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板大学矩阵数学论文1200字(一)：浅谈矩阵在离散数学中的应用摘要：离散数学是计算机学科的一门重要的专业基础课，扎实的基础是非常重要的。

本文就矩阵在离散数学中的各种应用展开讨论，并实例说明。

关键词：矩阵；离散数学；运用引言：随着计算机科学的发展，重点研究有限系统的离散数学已经成为一门越发重要的科学，数字计算机本质上是一个有限结构，它的许多性质都可以在有限数学系统的框架下得到解释。

矩阵是一种有力的数学工具，本文就矩阵在离散数学中的应用展开讨论，总结了矩阵在离散数学中的应用类型，以期对初学者和数学工作者在学习离散数学时提供学习辅导和参考资料。

定义1给出m×n个数，按一定顺序排成一个m行、n列的矩形数表此数表称为m行n列矩阵。

常记a=，或a=（），或。

有关应用及其举例一、二元关系的表示定义2设a，b为有限集，构造一个矩阵，以a的元素和b的元素分别标注其行与列，对于a∈a和b∈b。

视a，b是否具有关系r，在a行和b列交叉处标上1或0.这样得到的矩阵称为关系矩阵。

例如：a={1，2，3，4}，在a上定义二元关系r为大于关系，表示x大于y，采用列举法为r={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3，2>，<4，2>，<4，3>}.则关系矩阵为二、图的表示和邻接矩阵定义3设无向图g=，v={v1，v2，vn}，e={e1，e2，，em}。

令为节点vi 与边ej关联的次数，则称矩阵为g的关联矩阵，记为m（g）。

例如：无向图g如下所示，则m（g）为：定义4设图g=为有向图，v={v1，v2，vn}，即有n个节点，令是vi邻接到vj的边的数目，则称矩阵为g的邻接矩阵，记为a（g）。

例如：有向图ｇ如下三、用矩阵求关系合成和偏序中的盖住关系（一）关系合成设和分别表示关系r和s的矩阵，令m=，则m中的非零元素表示其对应的元素具有关系。

学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学学生姓名林意学号200920134781指导教师姓名周末指导教师职称教授2014年4 月 16日矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积（或和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，首先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来.关键词：矩阵；分解；QR分解；三角分解；满秩分解The Decomposition of the MatrixABSTRACTAs everyone knows，matrix is one of the most important concepts in algebra，whose appearance promotes the development of algebra．While as a significant part of the theory of matrix，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems．In this paper，the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below，such as QR decomposition，full rank decomposition，LU decomposition and so on．Firstly，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given．And then，specific decomposition ways of theirs are illustrated．Finally，these decomposition methods are clearly presented by the forms of some examples．Keywords：Matrix；Decomposition；QR Decomposition；LU Matrix Decomposition；Full Rank Decomposition目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)一、引言 (1)二、矩阵的QR分解 (1)（一）矩阵QR分解的基本概念及定理 (1)（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例 (1)三、矩阵的三角分解 (8)（一）矩阵三角分解的基本概念及定理 (8)（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例 (9)四、矩阵的满秩分解 (15)（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理 (15)（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例 (15)五、矩阵的奇异值分解 (17)（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理 (17)（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例 (18)六、结论 (20)参考文献 (20)致谢................................................................................................................ 错误!未定义书签。

矩阵内容摘要：设A,B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X 使得B A AX X 相似于就说1-。

数域P 上n 阶对称矩阵A,B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n 阶矩阵C ，stB=AC C '。

则n 级实数矩阵A 称为矩阵A 的正交矩阵，如果)(1A E A A A '=='-或者。

关键词：逆矩阵 ；矩阵的转置 ；过渡矩阵 ；度量矩阵 ； 正交矩阵.正文1若A.B 为两个同阶矩阵，则满足A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C.2若A.B 为两个矩阵，A.B 可作乘法的前提条件是：被乘矩阵的列数等于乘矩阵的行数。

且满足（AB)C=A(BC) A(B+C)=AB+AC 但即使A.B 都为n 阶矩阵， AB 也不一定等于BA 。

3几种常见矩阵：零矩阵：所有元素都为零的矩阵，记为O 。

单位矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100000010001 对角矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0000000021数量矩阵：kE=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k k k 000000000一、逆矩阵矩阵的阵等于行秩（非零行的个数）等于矩阵的列秩。

1.n 设矩阵A 是可逆的，如果有n 级矩阵B ， st AB=BA=E 则A B 1-=。

需要注意的几条运算)()(11'=--'AA AB AB 111---=AkA k111)(--=BA B A 111)(---+≠+ ∣A+B ∣≠∣A ∣+∣B ∣矩阵A 是逆矩阵的充要条件是：)0||(1*1≠==-A d aA A①维数少的矩阵可根据).||(1**1的伴随矩阵为A A d dA AA ==-。

一般矩阵例如：设ij A 是矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=aaa a a a a a a nn n n nn A212222111211中元素aij的代数余子式则矩阵⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=A A A A A A A A A nn n n n n A 212222111211*（但是此方法一般不常用） ②若维数一般较大，且分块后0较多，则可以分别求每个小分块的逆证明：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--------B A D B A B A D C C B C A D 1111111100000时特别的当则 ③若维数一般，且则可以同通过0≠a ij ()()A A EE A 1-求初等行变化→)(.,211-21212211必须相同）（那么如果X X X A A X B B A XB A XB +=+==--若B=X AX A X AX X B X nnn11)(1--=-=则二、关于矩阵的转置定义：把一矩阵的行列互换，所得到的矩阵为A 的转置记为A '若⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤=a aa aa a a a a nn n n nn A212222111211 则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡='a aa aa a a a a nn nnn n A212221212111 逆矩阵的几条性质：A A ='')( B A B A '+'='+)( A B AB ''=')(A k kA '=')(数域P 上n n ⨯对称矩阵A B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的矩阵C 使得B=AC C 'AC C '且（A E ））（对角阵等行变换相同形式的列变换C '→三、过渡矩阵εεεηεεεηεεεηηηηεεεnnn nnn n nn nn a a a a a a a a a n++=++=++=2211112221122122111112121,,,,,,,则维线性空间的两组基。

矩阵分析在控制系统中的应用摘要:详细综述了LMI 在控制系统中的发展现状和应用,主要涉及了不确定系统的鲁棒性能和鲁棒稳定性、不确定系统的鲁棒控制器设计、LMI 在时滞系统中的应用及存在的问题、不确定系统的鲁棒滤波应用状况、不确定系统的模型验证应用等,并分析了基于LMI 方法的变结构控制、极点配置、模糊控制等其它相关内容。

给出了上述控制问题的LMI 描述及相关求解方法,最后并指出了LMI 进一步的应用研究方向。

主题词: 线性; 矩阵; 控制系统; 控制器1 引言在过去的10 余年内,由于LMI 的优良性质和数学的规范以及解法的突破,使其在控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。

研究者发现许多控制问题均可描述为LMI 问题[1～4 ] ,并呈现继续增长的趋势。

本文对LMI 在控制系统中的发展和现状进行综述,着重讨论LMI 在不确定控制系统中的应用研究成果、现状以及发展。

2 线性矩阵不等式LMI 一般形式为F ( x) ≡F0 + Σmi =1xi F i > 0 (1)其中x ∈Rm ———变量; F i = F Ti ∈Rn×n 是给定的。

显然式(1) 表明矩阵F( x) 是正定的。

式(1) 的另一个含义是集合{ x/ F( x) > 0} 是凸的。

LMI 问题可描述为:给定F( x) > 0 ,找到x,使得f ( x) > 0 ,或证明LMI F( x) 是不可解的。

动态系统分析的LMI 方法可以追溯到100 多年以前。

1890 年Lyapunov 在出版他的被称为Lyapunov 理论的著作中,提出微分方程Ûx( t) = Ax ( t) (2)稳定,当且仅当存在对称正定矩阵P = P T > 0 ,使得下面的不等式成立A T P + PA < 0 (3)同时Lyapunov 也指出这样的LMI 可以精确求解。

20 世纪40 年代,前苏联科学家Lur’e、Postnikov 及其它学者将Lyapunov 方法应用于控制工程中的一些典型的问题,尤其是当执行机构具有非线性时的系统稳定性,虽然他们没有形成精确的矩阵不等式,但是所提出的稳定性准则具有LMI的雏形。

矩阵初等变换及其应用毕业论文矩阵初等变换及其应用毕业论文摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。

本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。

并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。

关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。

本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。

虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。

定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。

初等行、列变换统称为初等变换。

定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有ij R =ij C =10111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()i R k =()i C k =1k1⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()ij R k =()ij C k =11j 11i k⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。

矩阵在自己专业中的应用及举例摘要：I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。

II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等内容。

III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。

关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的内容，而这些内容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。

因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。

在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。

在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。

在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些内容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。

在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，与行列式、方程、向量、二次型等内容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。

尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。

图形变换是计算机图形学领域内的主要内容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。

这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。

第二部分 研究问题及成果1. 矩阵的概念定义：由n m ⨯个数排列成的m 行n 列的矩阵数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ann an an n a a a n a a a 212222111211 称为一个n m ⨯矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。

矩阵及秩的应用论文矩阵及秩是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个学科领域。

在本文中，我将介绍几篇应用矩阵及秩的论文，并讨论它们在不同领域中的应用。

第一篇论文是《基于矩阵分解的推荐系统》。

推荐系统是现代互联网应用中的重要组成部分，用于给用户推荐个性化的内容。

该论文通过应用矩阵分解的方法，将用户-物品评分矩阵分解为两个低秩矩阵，从而实现对用户兴趣和物品特征的建模。

矩阵的秩较低意味着模型具有较好的泛化能力，能够在数据稀疏的情况下有效地进行预测，提高推荐准确度。

第二篇论文是《利用秩约束的图像修复方法》。

图像修复在计算机视觉领域中具有重要意义，用于修复受损的图像。

该论文利用矩阵的秩约束，将问题转化为一个低秩矩阵恢复问题。

通过求解最小秩恢复问题，可以在保持图像结构信息的前提下，还原受损的图像内容。

实验结果表明，该方法在图像修复任务中具有较好的效果。

第三篇论文是《基于矩阵分析的脑电信号分类方法》。

脑电信号是在脑部神经元活动产生的电流作用下测得的电生理信号，用于研究脑部功能和神经相关性。

该论文应用矩阵分析方法，将脑电信号分解为若干个矩阵成分，并利用矩阵的秩特性提取脑电信号的特征。

基于这些特征，可以实现对脑电信号的分类和识别，辅助脑部疾病的诊断和治疗。

第四篇论文是《基于大规模矩阵分解的社交网络分析方法》。

社交网络是人们之间相互联系和交互的网络结构，具有复杂的拓扑结构和丰富的节点属性。

该论文利用矩阵分解方法，将社交网络转化为低秩矩阵的表示，从而揭示其隐藏的结构和关系。

通过矩阵的秩特性，可以实现社交网络的社区发现、节点分类和链接预测等任务，为社交网络分析提供了有力的工具。

以上这些论文只是矩阵及秩应用的冰山一角，实际上，矩阵及秩在数据挖掘、图像处理、模式识别等许多领域都有重要应用。

矩阵的秩在这些应用中起到了关键的作用，它能够帮助我们理解和描述数据的结构、关系和特征，从而实现对数据的分析和处理。

随着技术的不断发展和研究的深入，矩阵及秩的应用还将不断扩展和拓展，为各个学科领域的研究和应用带来新的突破和进展。

正定矩阵的性质及应用论文正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。

在本篇论文中，将详细介绍正定矩阵的性质以及其在实际应用中的一些重要应用。

首先，我们来了解一下正定矩阵的定义。

对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A*x > 0，那么这个矩阵就是正定矩阵。

也就是说，正定矩阵对于任意非零向量x，都将其映射到一个大于零的数。

因此，正定矩阵是一个非常重要的概念。

下面，我们来介绍一下正定矩阵的性质。

1. 正定矩阵的特征值都是正数。

这是正定矩阵的一个重要性质，它决定了正定矩阵的行列式大于0。

2. 正定矩阵的行列式大于0。

这是由于根据性质1，正定矩阵的特征值都是正数，因此其行列式大于0。

3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。

4. 正定矩阵可以通过Cholesky分解进行分解。

Cholesky分解是将正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积。

5. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。

现在，让我们来了解一些正定矩阵在实际应用中的一些重要应用。

1. 在数学和物理建模中，正定矩阵常常被用来描述能量、势能、距离等非负量。

例如，在分子动力学模拟中，正定矩阵可以用来描述原子之间的势能，从而模拟分子在空间中的运动。

2. 在机器学习中，正定矩阵也有重要的应用。

在支持向量机（SVM）中，正定矩阵被用来构建二次规划问题的对偶问题，从而实现机器学习模型的训练。

3. 在优化问题中，正定矩阵也经常被用来描述目标函数的二次项。

例如在最小二乘法中，正定矩阵被用来描述模型的误差项，从而求出最优的模型参数。

矩阵不等式的证明及其应用一矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用, 矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量, 初等变换不改变矩阵的秩, 矩阵的秩有一定的规律, 我们有下面一些基本的不等式:Frobenius 不等式: R(ABC) ≥R(AB)+R(BC)-R(B) (1) R(A)-R(B) ≤ R(A±B) ≤ R(A)+R(B) (2) Sylvester 不等式:R(A)+R(B) - n≤R(AB)≤min( R(A),R(B) )(3)对于(1) , (2), (3) 三个不等式有不同的证明和理解,在这里我们利用分块矩阵的知识,来论证上面的结论.在论证之前,我们先来探讨分块矩阵秩的一些性质.矩阵的秩满足一定的规律,同样在分块矩阵中,它们的秩也有一定的规律可寻.利用矩阵的一些基本的不等式,我们对分块矩阵的秩进行探讨.(1)我们首先从特殊的分块矩阵分析,形如A OB C⎛⎫⎪⎝⎭或A BC⎛⎫⎪⎝⎭或0AB C⎛⎫⎪⎝⎭定理1 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯n矩阵和m⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤R(AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(C)证明:AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭因为RAB C⎛⎫⎪⎝⎭= R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭nCI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAB I⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nCI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I) +R（C）- (n+m)= R(A) + R(C) (1)又由于 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0m A B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭00n C I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ R(0m AB I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(00n C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭) }= min {}m+R(A), n+R(C) (2)综合(1) (2)两式, 故 R(A)+R(C) ≤ R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤min {}m+R(A), n+R(C)定理2 设A 为n 阶距阵,B 为n ⨯1矩阵,C 为m ⨯1矩阵, 则R(A)+R(C) ≤ R(A B O C ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }证明: 0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭ = 0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭ 因为 R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫ ⎪⎝⎭100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭) + R(100A I ⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+1) = R (n I ) + R （C ） + R(A) + R （1I ） - (n+1) = R(C) + R(A) (1)又由于R(0A B C ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭100A I ⎛⎫⎪⎝⎭≤ min{ R(0n B C I ⎛⎫⎪⎝⎭),R(100A I ⎛⎫ ⎪⎝⎭} = min{ n+R(C), 1+R(A) } (2)综合(1),(2) 两式,故R(A)+R(C) ≤R(A BO C⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ n+R(C), 1+R(A) }定理3 设A是n阶矩阵,B和C分别是m⨯1矩阵和m⨯n矩阵,则 R(A) + R(B) ≤ R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)证明:0AB C⎛⎫⎪⎝⎭=mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭因为R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≥ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭) + R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) - (n+m)= R（A）+R（mI）+ R(n I)+R（B）- (n+m) = R(A) + R(B) (1)又由于R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) = R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭nBI⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ R(mAI C⎛⎫⎪⎝⎭),R(nBI⎛⎫⎪⎝⎭) }= min{}m+R(A), n+R(B)(2)综合(1) (2)两式, 故R(A)+R(B) ≤R(0AB C⎛⎫⎪⎝⎭) ≤ min{}m+R(A), n+R(B)(2) 我们分析了特殊情况后,接着探讨一下一般情形,形如A BC D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.定理4 设A为n阶矩阵,其中B是n⨯1矩阵,C是m⨯n矩阵,D是m⨯1矩阵, 则R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ min{ m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) }证明: 因为 A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭所以 R(A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ + 000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ R(0A C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭) + R(000B ⎛⎫⎪⎝⎭)≤ min{ m + R(A), n + R(D)} + R(B)= min { m+R(A)+R(B), n+R(D)+R(B) } 证毕二 分块矩阵是讨论矩阵的重要手段,利用分块矩秩的不等式,可以系统地推证关于矩阵秩的一些结论,在这里我们利用上面得出的一些定理来证明矩阵秩的某些性质.在证明性质之前,为了便于证明,首先介绍一个引理:引理1 R(AB) ≤ min{R(A),R(B)}, 特别当A ≠0时, R(AB) = R(B)(1) A, B 都是m ⨯n 矩阵, 则R(A+B) ≤ R(A)+R(B)证明: 由于A + B = (m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫⎪⎝⎭由引理１得: R(A+B) = R ((m I m I )00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≤R (00A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭nn I I⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R (00A B ⎛⎫⎪⎝⎭)= R(A) + R(B)故 R(A+B) ≤ R(A)+R(B)(2) 设A 为m ⨯n 矩阵,B 为n ⨯s 矩阵,且A B=0, 则R(A) + R(B) ≤n证明: n n n n A O AAB A O I B I O I B I B O O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由引理1得: R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭) ≤ R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭)由定理1得: R(n A O I B ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥ R(A) + R(B)又mn n n I A A O O O O I I O I O -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 0mnI A OI -≠由引理1得: R(n O O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = R(n A O I O ⎛⎫⎪⎝⎭) = n由定理1得: R(A)+R(B) ≤ R(n A O I B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≤ R(n A O I O ⎛⎫ ⎪⎝⎭) = R(000nI ⎛⎫⎪⎝⎭) = n 从而有 R(A) + R(B) ≤ n(3) 设A 是m ⨯ n 矩阵,B 是n ⨯s 矩阵,则 R(AB) ≥ R(A) +R(B) - n证明: 000sn n n AB I AB O I B I B I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且0s nI o BI ≠, 由引理1得:R(AB)+ R(n I ) = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭)即 R(AB) + n = R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) (1)又00mn n n IA AB O A I B I B I -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且00m nI A I -≠, 由引理1,定理3得:R(0n AB B I ⎛⎫⎪⎝⎭) = R(n O A B I ⎛⎫⎪⎝⎭) ≥R(A)+R(B) (2)由(1), (2) 得: R(AB) ≥ R(A)+R(B) – n(4) 设A,B,C 分别是m ⨯n,n ⨯s,s ⨯t 矩阵,则 R(ABC)≥ R(AB) + R(BC) - R(B)证明: 因为 0000mn I A ABC ABC AB I B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 且 0;:0m nI A I ≠由引理1得R(ABC) + R(B) = R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭(1) 又因为 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭000ts I AB CI BC B -⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t s - I 0且C I由引理1定理3得: R 0ABCAB B ⎛⎫⎪⎝⎭ = R 0()()AB R AB R BC BC B ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭(2) 由(1) (2)得: R(ABC) ≥ R(AB) + R(BC) - R(B) (5)如果 秩(A-I ) = r, 秩( B-I ) = s, 则 秩(AB-I ) ≤ r + s .证明: 令X = 00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭则: 秩X = r + s由00A IB I -⎛⎫ ⎪-⎝⎭0I B I ⎛⎫ ⎪⎝⎭ = 0A I AB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭且 0I B I≠0 , 由引理1得:R (00A IB I -⎛⎫⎪-⎝⎭) = R(0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) = r + s (1) 又因为 0I I I ⎛⎫ ⎪⎝⎭0A IAB B B I --⎛⎫⎪-⎝⎭ = 0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭得 R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) ≥ R(AB-I ) (2) 且00I II≠ , 由引理1得:R(0A I AB B B I --⎛⎫ ⎪-⎝⎭) = R(0A IAB I B I --⎛⎫⎪-⎝⎭) (3) 综合 (1) (2) (3) 式可: R(AB-I ) ≤ r + s参考文献[1]樊恽主编. 代数学词典. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.[2] 高等数学研究. 2003.01.[3]北京大学数学系编. 高等代数. 高等教育出版社.[4]张禾瑞．郝炳新主编．高等代数．高等教育出版社．[5]华东师范大学学报．2002.04．[6]西北师范大学学报．1989.01．。

【精品】高代论文--矩阵在实际中的应用
矩阵是高等代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵在实际中的应用，包括图像处理、网络分析、量子力学等方面。

一、图像处理
图像处理是指对数字图像进行各种操作和变换的技术，其中大量的图像处理算法都基于矩阵运算。

例如，将一个彩色图像转换为黑白图像就是通过对图像的RGB三个通道进行矩阵变换
得到的。

再例如，图像匹配、图像拼接、图像增强等操作也可以使用矩阵运算实现。

二、网络分析
网络分析是指对一个复杂的系统进行分析和建模的技术，它广泛应用于社交网络、物流网络、金融网络等领域。

网络分析通常使用矩阵表示网络结构和节点之间的关系，其中最常用的矩阵是邻接矩阵和拉普拉斯矩阵。

邻接矩阵记录了网络节点之间的连接关系，而拉普拉斯矩阵则反映了网络中节点之间的相似度和差异度。

三、量子力学
量子力学是研究原子和分子的运动和相互作用的科学，其中矩阵在表达量子力学中的物理概念时具有重要作用。

例如，哈密顿矩阵用于描述粒子的能量和运动状态，而密度矩阵则用于描
述量子系统的统计特性。

矩阵的形式与操作方式不仅简化了量子力学的计算和分析过程，同时也能够更加清晰地表达量子力学的概念和结论。

综上所述，矩阵在实际中的应用非常广泛，不仅是一种数学工具，更是一种解决实际问题的有力手段。

在不同应用领域中，矩阵的作用也各有侧重，相互之间相互关联，互为补充。

浅谈矩阵论的发展在《九章算术》中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。

直到18 世纪末至19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件。

矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。

一、矩阵早期发展的社会与文化背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。

“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。

而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。

从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。

英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。

凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。

1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。

文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。

另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。

凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。

ZHEJIANG NORMAL UNIVERSITY本科毕业设计（论文）（2015 届）题目:矩阵的特征值与特征向量的相关研究____________学院：数理与信息工程学院__________________________ 专业:数学与应用数学_______________________________ 学生姓名: ________________ 学号: __________________ 指导教师: ________________ 职称: ____________________ 合作导师: ________________ 职称: ____________________ 完成时间: __________ 201 年月日__________________ 成绩: _____________________________________________浙江师范大学本科毕业设计（论文）正文目录摘要 (1)英文摘要 (1)1引言 (1)2选题背景以及特征值与特征向量的定义与性质 (2)2.1选题背景 (2)2.2 特征值与特征向量的定义 (2)2.3 特征值与特征向量的性质 (2)3矩阵的特征值与特征向量的求解方法 (3)3.1求解数字方阵的特征值与特征向量 (3)3.2已知矩阵A的特征值与特征向量,求与A相关的矩阵的特征值 (7)4矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解 (7)4.1矩阵的全部特征值与全部特征向量,反求解矩阵A的方法 (7)4.2已知实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量，反求矩阵A的方法 (9)5矩阵的特征值与特征向量的应用 (9)5.1矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用 (9)5.2经济发展和环境污染的增长模型 (14)6结论 (16)参考文献 (16)矩阵的特征值与特征向量的相关研究摘要：矩阵的特征值与特征向量占据了高等数学中的一小块，但是其重要性无可比拟，它可以应用在数学和生活上，尤其是对现在的科学技术领域，有着至关重要的作用•本篇论文主要阐述并归纳了矩阵的特征值与特征向量的概念，性质，解法以及应用，通过具体的例子，来体现了矩阵的特征值与特征向量的广泛性和实用性，深刻研究了矩阵的特征值与特征向量和它相关的应用•正文总共分为四个大部分•第一部分：阐述了它的概念和性质；第二部分：对于它的求解方法，本篇论文叙述了几种不同的方法，并且有相关例题的作法；第三部分：关于它的反问题，本篇论文也有相对应的几种不同的求解方法；第四部分：关于它在数学领域和生活上的应用•矩阵；特征值；特征向量；反问题；应用关键词：Correlati on matrix eige nvalues and eige nvecto -rs Mathematical and Information Engineering Mathematics and Applied Mathematics Che n Do ng( 11170126)In structor: Lvjia Feng (Associate Professor)Abstract: Eigenvalues and eigenvectors occupy the higher mathematics in a small, but its importa nee is un paralleled, it can be used in mathematics and life, especially in the field of scie nee and tech no logy right now， has a vital role. This paper describes and summarizes the main characteristics and eige nvector matrix con cept，n ature，soluti on and applicati ons，through specific examples，to reflect the breadth and practicality matrix eigenvalues and eigenvectors，profound study of matrix eige nvalues and special Eige nvectors and its related applicati ons.Total body is divided into four parts. The first part： it describes the con cept and n ature； Part II：For its soluti on method，this paper describes several differe nt methods，and releva nt examples of practice；Part III： Anti question about it，this papers are also several different corresponding method for solvi ng; part IV： on its applicati on in the field of mathematics and life.Key Words: Matrix； eige nvalues; feature vector； in verse problem； Applicati on1引言在已经有相关深刻探讨的前提下，本篇论文给出了它的的概念以及它的性质，掌握它的性质是研究其求解方法的前提，所以要先熟悉它的性质，再对它的求解方法作详细的步骤和说明.本篇论文重点介绍了它的求解方法和特它的反问题以及相关应用，展现了它在矩阵运算中的重大作用，在例题的求解过程中充分运用某些性质，使得问题变得简单，运算方面上也更简洁，是简化一些有关矩阵的比较繁琐问题的一种快捷并且有效的途径.本篇论文通过一些具体的例题详细说明它的求解方法以及其反问题的求解方法，并且在数学领域以及生活方面的应用也有其相关的例题来说明矩阵的特征值与特征向量的广泛性以及实用性. 2特征值与特征向量的选题背景以及其定义与性质2. 1选题背景随着科技的迅猛发展，现在的社会发展的速度日益增加，高等代数作为一门大学数学的基础学科已经向所有的领域渗透，它在所有领域内表现出来的作用已经越来越明显..物理、化学、经济等的许多问题在数学上都可以看作是求它的问题.但是通过特征方程求解它是有一点难度的，而且在现在的高等数学的教材中用特征方程求它总是要求解带含有参数的行列式，而且只有先求解出它才能用方程组求解之后的问题•本篇论文将对它的求解方法、反问题以及相关的应用进行系统性的归纳，并且有相关的例题给予帮助理解•2.2特征值与特征向量的定义它在《高等代数》和《线性代数》课程中占据了一席之地，在大多数的《高等代数》教材中，把它拉进来就是为了解析线性空间中线性变换/ A的，它的定义如下：定义1设/ A是数域P上的线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P 中的数■,存在一个不是零的向量V,使得/A=-那么■是矩阵A的一个特征值，向量x称作矩阵A关于特征值•的特征向量.在大多数的《线性代数》的教材中，它的探讨作为矩阵探讨的一个至关重要的组成部分，它的定义如下所述：定义2设A是n阶的方阵，如果存在数字•和n维不是零的向量x,使得Ax = x那么就称■是A的特征值,x是A的对应特征值•的特征向量.2. 3特征值与特征向量的性质(1)如果-i是A的r i重的特征值,A所对应的特征值'i就会有S i个线性无关的特征向量.(2)如果x「X2都是矩阵A的属于特征值0的特征向量,那么当Kh不全都是零时,kN，k2X2依然是A的属于特征值'o的特征向量.(3)如果’1, '2,…，’n是矩阵A的互相不一样的特征值，而且它所对应的特征向量分别是x1, x2,...,x n,那么x n x2,...,x n线性无关.⑷女口果A二a j nn的特征值是-1, '2, ；n.,.，那么為 + 再+...打=a^ +a22 +•••+ a nn,打花…扎n = A .(5)实对称矩阵A的特征值都是实数，属于不同的特征值的特征向量正交.(6)如果i是实对称矩阵A的r i重的特征值，那么所对应特征值i刚好有r i 个线性无关的特征向量.(7)假设入是矩阵A的特征值,P(x)是多项式的函数,那么P(・)是矩阵多项式P(A)的特征值.3.矩阵的特征值与特征向量的求解方法3.1求解数字方阵的特征值与特征向量(1)求解特征多项式fA '二’E-A.(2)特征方程’E-A=O,它的全部根mJ,…，’n就是A的全部的特征值.(3)对于任何一个特征值二1_i _ n ,求解出齐次的方程组H i E-Ax = O的一个基础解系a i1,a i2,...,a ir就是A的属于二1叮乞n的线性无关的特征向量•那么A的属于入的全部的特征向量是+k2a2+ •••+吊"，其中k1, k2,..., k是不全都是零的数.求解特征多项式是解决问题的难度所在，方法一：观察特征矩阵的每一行之和，如果相等而且都是a,那么将第2列及以后各列都加到第1列，提取公因子, 再作化简,而且a就是其中的一个特征值,1,1,…,1T是A的属于特征值a的特征向量.方法二：将特征矩阵的的两个不是零的常数(不含参数■)之一化为零，如果有公因子，提取出来再作化简.从上述可以知道，求解它是相当繁琐的.这里将阐述一个有效的方法，只是需要对原来的矩阵作行列互逆变换就可以同时求解出它，所以给出如下定义：定义：称矩阵的下列三种变换为行列的互逆变换：(1)互相更换矩阵的i,j两列，同时互相更换矩阵的i,j两行；(2)矩阵的第i行乘以不是零的数字k,同时矩阵的第i列乘以丄；k(3)矩阵的第i行乘以k倍加到矩阵的第j行，同时第j列乘以-k倍加到矩阵的第i列.定理：A为n阶的可以对角化的矩阵，而且(A T En 1 -系列亍列互逆变竺T (DP T),其中，-N D = +P T =■V n丿r b in i =1, . . n ,,那么‘1, ‘2,…，’n是A的全部特征值，：\ = 7是A的属于-的特征向量.证明：因为P A （P ） = D即 P 」AP = D T =D 从而AP=PD 因为人1D = 匕 P =匕… a n ]所以A （C （1…£ ）=（H …J ） 匕 则] 九jAl j ， -：：n L I h -可…’n -：：n 丨所以A ： i - ■ ■■ i（： i= 0）, i =1, , n为了运算的简洁，约定：（1） a j ka i 表示为矩阵的第i 行乘以k 倍加到第j 行. （2） a j -ka i 表示为矩阵的第i 列乘以-k 倍加到第j 列. 因为用定理求解题目时，总是会遇到一些类似B 」|a 0I 或者Cl（ a^b ）形式的矩阵的化对角阵的问题，所以给出对 ]c b 」 [0 b 一应的求解方法：其中,k c,所以1,k T ,心二0,1T 是B 的分别属于特征值c 和b （a —b ）的特征向量.l=1,0T ,^-：-k,1T 是C 的分别属于特征值a 和b 的特征向量.下面将有3道例题来说明其求解方法，第一道例题不使用刚才描述的方法 则后面两道例题运用，以此来说明这个方法的可操作性以及简便性.- XJra a_k 11 OOb ao_或C TE 2 二 1第一行 r 2-kr 1,第二行 r , kr 2、 0 1 ' c 01 0 ]o b -k I. 第一行片“也，第二行$ -朗o 11 o cb例1: 求解矩阵-2<6-r-1的特征值与特征向量. 4」-6 1 0 0 -31■一41■ -432]>-----?-31-61 1■ -4■ -1-■ 1-1-%：；；■12 -■3-21-4 0 0 1'■■■■■「11 -■11 211—扎一2所以，矩阵A的特征值是’1 = ' 2 = ' 3 = 1 当，=1时(13 = P1 1—3111 1 -1 —3丿于是,可以知道属于特征值■ =1的特征向量是1二0,1,-1丁，2 = 1,1,-3丁.3 11-1 1-13 1-11-11.0 0 0 —3 —111 -1所以特征值分别是‘1 = ' =2 ' 3 = = -3；特征向量分别是：1 = 3,1,1,-1T , ：2 = 1,T,3,1T , ：3=IT ,1,T ,1T , m1,-1T . F 面给出上述定理的推广定理：定理：A 是任意n 阶的矩阵，如果例2:求解 ■1 1 -1 0 -1 -1 0 11 的特征值与特征向量(B TE4) 01 -110 0 0 -1 1 0 10 0 0 10 0 101 0 0 0 0 1「2 4j 1 0 -1「1十2「3十4 0 -1 0 20 -1 1 1-1 1J3 2 0 -110 0 0-110 0 0 0 10 0 0-11110 0 1 熒-0-3 0 0 -1—0-1100 J3 20 1 01 1 -1 34 0 0 1 0 0 0 1-3 0 0 -1 1 1 -1-34 1 0 0 0 1 032 0 1 0 0 -1 10 0 0 3/4 1/4 1/4 -1/41 -3 0 0 _111 _ 1 0 10 1/4 -1/4341/40 0 1 -1/2 1/2 -12 12 一0 -1 110 0 0 |0 1 0 00 0 10J 1j_ 一系列行列互逆变巴-(J P T ),其中J =所以特征值是八1 = ' ~2~ 2,八3 = 4, ■■■-1= 1 -1 1T.3. 2已知矩阵A 的特征值与特征向量，求与A 相关的矩阵的特征值 此种题目可以运用性质7来求解计算，用定义就可以求解算得.4矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解4. 1矩阵的全部特征值与全部特征向量，反过来求解矩阵A 的方法 方法一：用对角化法求解可逆矩阵P,使得P ‘AP =B,那么A = PBP = 方法二：用对角化法求解正交的矩阵T 仃，二T T)使得T'AT 二B,所以A =TBT 〜TBT T .方法三：特定元素法设n 阶矩阵A = (a j j 场的全部特征值是 W 入,相应的n 个线性无关的 特征向量是玄“？， ,a n ,所以有■i i =1,…,r)是约当标准形,R T(i ", ,r)； r-i r 2征向量. 例3:求解B 2 0 〕2-1 3 1 J r■p i J:,P =:.P Jr r 二n 所以i 是A 的特征值,二育T 是A 的特征值的特1-1 3的特征值与特征向量. ■2解(A TE3)= -1 'J 0 3-1010 1■1 -1 L 11 3 -1 -10 1 再作一系列变换1 -1 10 1 -1 -11 1 1(r 兰n)是约当矩阵， =2 =2的特征向量 ％=(-1 1 1『，嘉=4的特征向量从这里可以得到以A 的第1行，第2行,...,第n 行的元素a il®?,…，am (i =1,2,…，n)当作未知数的n 个非齐次的线性方程组,求解每个方程 组求出A 中的元素a j ,那么就能得到A= a j . 例4:设三阶方阵A 的特征值是i =1,・2 =0,七=-1,对应的特征向量分别是X i 二 1,2,2T,X 2 二 2,-2,1T,X 3 =：一2,-1,2丁，求解 A.解：因为X i (i =1,2,3)是矩阵A 对应于特征值i(i =1,2,3)的特征向量,所以有AX j V Xj ,令就是问题所要求得的答案• 例5:设三阶的实对称矩阵A 的特征值是6、3、3,与特征值6对应的特征向量 是 5 =(1,1,1 T ,求解 A.解:设对应于3的特征向量是X = X 1,X 2,X 3T .因为实对称矩阵的不同特征值下 的特征向量正交，也就是X 的分量满足x-i x 2 x^ 0,又因为特征值3的重数是 2,所以对应于3刚好有2个线性无关的特征向量，明显X 1 X 2 X ^ 0的基础解 系就是对应于3的2个线性无关的特征向量.从x 1 x 2 x^ 0得到它的一个基础解系是 0 = (-1,1,0 A , P3 = ( -1,0,1 ),令q-1 -rP =(P 1,P 2, P 3 )= 11 0<1 0 1丿所以可以得到Aa 1=，i a i, Aa2 =，2a 2； ,Aan(1 P = (X1 , X2 , X3 ) = 22-21、1 ,那么1 2-2 2 -2-1(1所以有AP 二PB, 其中,就从上述式子可以得到A 二 PBP 」J 3-12■60 O'P」AP = B = 0 3 00 3>‘4 1 1 '所以,A-PBP"1- 1 4 1J 1 4>就是问题所要求得的答案•4.2已经知道实对称矩阵的全部特征值和部分线性无关的特征向量，反过来求解矩阵A的方法从实对称矩阵属于不同的矩阵的特征值的特征向量正交求解出其余的特征向量，可以运用上述各种的方法求解.5矩阵的特征值与特征向量的应用5.1矩阵的特征值与特征向量在线性递推关系上的应用求解常系数齐次递推关系的方法多种多样，这里将说明一下如何利用它来求解线性齐次递推关系的一种方法•设k阶线性循环数列风?满足递推关系：X n =G X n d QX nd C k X nA,(门=k 1,k 2/ )其中C i(i =1,2, ,k)是常数,并且C k 7.方程组Xn =GXn』+gXn,十八+CkX^^Xn』=x n」丿X2 =X2那么(1)可以写作:C k4 0 0 C kX ndC kUC k [<n0 0 1X n斗0 0 ,Ct n==X n,1 0 一(1X n* 一(1)C2 0 110 X n* C21_Xz:nr A ：g （2）由（2）式子递推可以得到 宀…心―八=A —1. 其中宀=k,X k 」,…X 2,X i T所以求解通项X n 就可以归结为求解:njs 1，也就是求解A nJ\如果A 可以对角化,那么存在可逆矩阵P,使得P 」AP=A,所以AZ-PA^P-1, 因为- ck0 0第一列开始每一列乘以■加到后一列上，就得到如下的矩阵：—1 … 0 0…如果X 是’A 的特征值，明显有R®E -A ）=k-1, •所以线性齐次方程组I-E^-AX =0°1 勺基础解系中仅含有一个解向量，因此当A 有k 个特征值'1,'2,…J3时，这k 个特征值对应的特征向量分别是 P 1,P 2/ ,P k ,由这k 个特征 向量为列构成的方阵记作 P,那么P 是可逆的，并且P 」AP 二A . 其中「人 0…0 ■ 0 妇…A =I ■.■■ ■ ■■ <■.■ ■ cB <■I]o 0…打一例6设数列乂 ？满足递推关系：X n = 2X n 4 Xn^ -2Xn^（n 一 4），并且人=1, X ? = -2, X 3 = 3,求解通项 X .. 解：&n [是三阶循环数列，将方程组Xn- 2X n 」X n _2 -2Xn _3Xn _4 = Xn凶 _2 = Xn _2用矩阵表示:kJ -C i 02k k_1 ... 二，—c 〔・__ C k _1' _~2\Xnj I0 Xz■2 令A= 1■0-21 0 0那么由上式可以递推得到其中 x 1 =1, X 2 - -2, x 3 = 3 因为九E —A =0,即丸-2 -1 232-1 九 0 =九3 —2X 2+2—九=0 ,-1入得到A 的特征值："・1 = 1,九2 - - 1,九3 = 2再从特征方程［E —AX =0i =1,2,3解得对应A 的特征值'3的特征向量分 别是：一1] 一1]-41R = 1 巳— -1P3 =2 A1 1 1i 1所以j 0 0存A n ，=P 0 -1 0 P 」0 0 2 一6+2(_1 厂-2n 1 6+2(-1严-2心6+2(_1 厂-2心代入（1）式子可以得到:心匕一宀2"—1、‘6 2-宀2川=訂9 11 * 2"兮彳卄討例 7 数列 F 0 =1,F 1 =3,F 2 =4,F 3 = 7,F 4 =11,F 5 =18,F 6 =29,「-3+(-1 厂+2nP,巳,巳 1 -1 21 1 1一■1 411P ■-3 3 6 1 [ 1 0 01 1 -3 2 A= P 0 —1 0 P 〕2 0 一2一0 0 2j1 -j6■Xn-% J-Xn/X njL =A X n/=A 2 X n 」 =••• =A n 」 X 2• Xn — 1 1 X n 亠1X n”1 1人一(1)3-3 -1 2 3-3 -1 z 3-3-1心F 7 =47,求解这个数列的通项F n . 解：通过分析这个数列满足条件F n 2]=F n 1 F n (n =0,1,2,)根据戶卄2厂(计小叫= 0,1,2,…F( n+1)=F( n+1 )an 1= Aa n(n= 0,1,2,)其中从（2）式子递推可以得到：=A na 0( n=0,1,2,)因为得到A 的特征值是1.5.■■■1二对应于■仆’2的特征向量分别是X 2那么所以有于是-3 + (-1 尸 +2心 •_3+(_1厂+22午(n +2)1a n午(n +1)'l F (n )」,a0 =F (0)丿(1)(2)(3)■ -1 -1 -12- 一1 =0(4)X 1,所以P厂1‘-1A n=P<0P JF(n 1) I F(n)丿=an二 A n a ° =1F n3 ； -3'；，1，2 — '21打一'-2把（4）式子代入到（5）式子得到就是题目所要求解的通项. 例8计算D 1 = 1, D 2 =0把(1)变成 D n ・2 =D n 1 -D n n =1,2,3, 因为D n42 = Dn 卅一 D n D n^ = D n ■+从（2）这个式子递推可以得到a n = A n」a i n =1,2,3,因为 得到A 的特征值是对应于\,鼻的特征向量分别是1 -1A =,an =,a 1 =l Dn 卅丿J °」1 Dn 」◎其中an 1 =a n 1 = Aa n n =1,2,3,X iX 2i 2(5)1 1 0 0 … 0 01 1 1 0 … 0 00 1 1 1 … 0 0D n =9 99 - -0 0 0 0 ・・I.1 10 0 0 0 ・・■ 1 1D n : 二Dn 」 =D n_2 (n >3)(1)(2)(3)n ；iF n 二解：按照矩阵的第一行展开那么所以就有于是5. 2经济发展和环境污染的增长模型为了研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系 ，可以建立如下数学模型：设x o , y o 分别是这个地区目前的环境污染水平和经济发展水平 ,X 1,y 1分别是这个 地区若干年后的水平，而且有下述的关系：X = 3x o + y o y =2x o +2y ° 令所以上面描述的关系的矩阵形式是：r 二A 0. 那么经济发展与环境污染的增长模式是所以上面描述关系的矩阵形式是:-二A 〉」t=1,2，…,k 所以从上述这个形式可以得到：,那么P-1厂1'-iJA n A 0 、/ nnnn 、P 」1—人2 加丸2 —氐2几3n Am n 二 ?n 」” nA $ - n A卜2丿旳一畑 0 —人2 MS —扎2几A n±-P■'D( n +1)\D(n)=ann n1 2 _，2 " 1--r n 4_ r n」I 'F _ 穴f y X ogfX 1 ‘3 <2 12>X =3x 「yi4 y =2人4+2丫匚4(i =1,2, ,k)D n2 2/. 1 /. 2~\2/. 1■2'1：1 = A : 05= A o^ = A a 03-^3 = A-； 2 = A 0_：订=A 二i 訂= A 用0下面我们将进行更深一步的讨论： 从矩阵A 的多项式得到A 的特征值是-^4, .2 =1对于・1=4,可以求解方程4E-AX=0得到特征向量1 对于2 =1,可以求解方程E-AX=0得到特征向量2二明显，1, 2线性无关 下面分作三种情况分解析：(* )以及它的性质可以知道上面描述的式子表示：在当前的环境污染水平和经济发展水平的条件下下 ,i 年后，当经济发展水平达到相当高的程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势•因为y 。

矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。

矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。

矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。

在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。

首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。

矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。

矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。

当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。

另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。

矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。

特征向量是与特征值对应的非零向量。

特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。

矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。

下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。

论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。

2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。

论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。

3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。

论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。

4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。

对矩阵初等变换一个重要性质的讨论摘要：证明并分析了初等变换的一个重要性质：若矩阵A 经过初等行变换化为矩阵B ，则A 的列向量组与B 的列向量组具有相同的线性相关性，以及此性质在线性代数中的主要应用。

关键字：线性相关；初等变换；应用1.证明：设A n m ⨯，A 经过初等变换化为B ，将A ，B 分别按列分块为A=(n ααα,,,21 )，B=),,,(21n βββ 。

由于A 只进行有限次初等行变换，故知有满秩矩阵P ，使PA=B ，即P(n ααα,,,21 )=),,,(21n βββ ，于是有：j j P αβ= （j=n ,2,1） (1)设A 和B对应的列向量组为rii i ααα ,,21和rii i βββ ,,21)1(21n i i i r ≤<<<≤ ，由（1）式得kki i P αβ= （k=r ,2,1）因此，如果rii i ααα ,,21有线性关系，式2121=+++r i r i i k k k ααα 为实数）r k ( 则r k k k ,,,21 也必使得00)()()()(212121212121==+++=+++=+++P k k k P P k P k P k k k k r r r i r i i i r i i i r i i ααααααβββ反之，如果ri i i βββ ,,21有线性关系式，得02121=+++ri r i i βλβλβλ则由P 的满秩性可知),,,2,1(1n j P j j ==-βα于是有0)(12111121121212121==+++=+++=+++-----P P P P P n rri n i i ir i i i r i i βλβλβλβλβλβλαλαλαλ这表明向量组r i i i ααα ,,21和向量组r i i i βββ ,,21有相同的线性相关性，证毕。

2.判断一个向量是否可由另一个向量线性表示 设有同维向量组,,,,,21βαααn 记(~=A ,,,,,21βαααn )),,,,(~21γβββn B =（其中T m d d d ),,,(21 =γ，),,,(21n B βββ =）。