2019-2020年高三数学12月学生学业能力调研考试试题理

2019-2020 年高三 12 月质检 数学理 含答案一、选择题 （本大题共 12 小题·每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数 z2i ，则复数 z 的共轭复数为（ ） A ． 1 ii 1 ． 1 i． 1 i D ． 1 iBC2. 已知全集 U R ，集合 A { x | x 22 x 0}， B{ x | y lg( x 1)} ，则 (e U A)B 等于（）A ． { x | x 2或x 0}B． { x |1 x 2}C ． { x |1 x 2}D． { x |1 x 2}3. 下列四个函数中，在区间(0 ，1) 上是减函数的是（）1( 1 )x1A ． y log 2 xB．yC． yD． y x 3x24. 已知直线l 、 m ，平面、，且 l， m ，则 // 是 l m 的（）A ．充要条件B．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a 2 4, S 10110，则S n64的最小值为（）a nA ． 7B． 8C． 15D． 17226．△ ABC 的内角 A 满足 tanA sinA<0 ， sinA+cosA>0 ，则角 A 的取值范围是（）A ．（0，） B．（ ，）C ．（，3）D ．（3， ）4422447．已知 F 1 、 F 2 为双曲线 C: x2y 2 1的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ F 1PF 2 =600 ，则 P4到 x 轴的距离为 （）A ．5B ．15 C．215D ．15 555208．设 a,b 是两条不同直线，, 是两个平面，则 ab 的一个充分条件是 （ ）A ． a , b // ,B ． a ,b, //C ． a, b, //D ． a,b // ,9. 已知函数 f(x) 在 R 上可导，且 f(x)=x2+2xf ′ (2 ），则 f 1 与 f 1 的大小关系为（）A. f （ -1 ） = f （ 1）B. f（ -1 ）＞ f （ 1）C. f （ -1 ）＜ f （ 1）D.不确定10．已知函数y A sin( x) B 的一部分图象如下图所示。

2019年高三十二月份调研考试数学理科（Ⅰ）试题 2019.12一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =U _____. 答案：{2}，2. 已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为 ． 答案：3-3. 函数2()log (1)f x x x =+-的定义域为_____. 答案：[0,1)4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ． 答案：235. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为 ．答案：2006. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ． 答案：87.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y -=的右焦点，则p =____． 答案为：68. 已知函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为 ．答案：2-9. 已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．答案：2010. 如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =u u u r u u u rg ，则线段BD 的长为 ．3 11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ． 答案：292) 12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ． 答案：12ln -13.已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.答案：(0,1){2}-U14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan AB C++的最小值为 ． 13二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵10． （1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为5-，求αβ+的值．分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果． （2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 10， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin 10α= 从而cos 3101sin 2αα-=． （1）3cos()cos 4πα-= cos α 3sin 4π+ sin α 34π，31021025()22=-=． （2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是5所以cos 5β=sin 251cos2ββ=-．于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α 105310252(β=． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：（1）Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =Q I ，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，Q 正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点，1//OD A B ∴，Q 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/Q 平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17. （本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，则3133r <„义域为3{|133}r r <„，（2）254()f r r r=+，3133r <„解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r=-， 所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-g ，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r …，0h >，所以254203r r ->，则3133r <„3{|133}r r <„， （2）设254()f r r r=+，3133r <„254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，333)时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点3)，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值； （3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．分析：（1）由题意知3b =12c a=，可得3b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程． （2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S S AF AF F F r =++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论． 解：（1）由题意知3b 12c a=，所以3b a =，解得2a =， 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=． （2）因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ， 则12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c S a c a c AF AF F F r ====++++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+． 由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y yy y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=-g g 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19. （本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值. （3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）； （1）解：设{}n b 的公比为q ，则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=； 解得2q =-；∴1(2)3n n S --=；（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d=，则n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或10b =（舍） 即11b =-（3）解：Q 11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =g …；112a b =Q ；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯g ③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯…④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-g …⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-g …⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+； 解得1a d =或13a d =-；若13a d =-，则40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈． （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围； （3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围． 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得2x e x b -…对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围． 解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +…，得22x axe x bx +…，由于0x >， 所以2x ae x b +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立． 由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立． 设()2x x e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增， 所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2， 所以22b ln -„2．（3）由()ln xg x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①若0a …时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--… 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减． 因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >． 又由①式，得001x ex a=-．由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<g ．因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<g ，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点． 综上，1(a e∈-，0)．21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程． 分析：（1）由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ； （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；． 解：（1）1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q ，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； （2）1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦Q ，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''，则2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩ 4x y -=Q ，23y ∴'=， ∴直线l 的方程为23y =． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案． 解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===， 又1cos 1α-Q 剟，44x ∴-剟． ∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-剟． 将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）． ∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中3ABC π∠=，则ABC ∆是等边三角形． 因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥．因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(3C 1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，3E 0，0)，3(F ，12，1)． （1）(0AD =uuu r ，2，0)，3(EF =u u u r 12，1)， 所以异面直线EF ，AD 2211=+． （2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A D λ=，则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．则(0M ，2λ，22)λ-，(3CM =-u u u u r ，21λ-，22)λ-．设平面AEF 的法向量为0(n x =r ，0y ，0)z ． 因为(3AE =u u u r ，0，0)，3(AF =u u u r ，12，1)， 由0000303102x y z =++=，得00x =，00102y z +=． 取02y =，则01z =-，则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，则0n CM =u u u u r r g ，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，则P （A ）1112213525C C C C ==g g ； （2）由题意随机变量X 的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=g g ； 则2122351(1)5C C P X C ===g ， 436(2)51025P X ==⨯=， 43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=， 43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=， X ∴的分布列为： X 1 2 3 4162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

2019-2020年高三12月月考数学理试卷 含答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1.已知集合{}{}02,1log 22<-+=<=x x x B x x A ，则BA （ ）A ．()2,∞-B ．()1,0C ．()2,2-D ．()1,∞-2.若复数z 满足)1(21i z i +-=⋅，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．21- B ．21 C.i 21- D ．i 213.已知()()062:,11:<--+<<-x x q m x m p ，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是（ ）A ．35m << B ．35m ≤≤ C ．53m m ><或 D ．53m m ≥≤或4. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是( ) A.2或22 B.22或22- C.2-或22- D.2或22-5.设变量y x ,满足约束条件00220x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则y x z 23-=的最大值为（ ）A ．6B ．4C ．2D ．09.设四边形A B C D 为平行四边形，46==．若点N M ,满足2,3==，则⋅=（ ）.A. 6 B. 9 C. 15 D. 20A.π16B.π12C.π8D.π411.已知A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12PF F ∆的重心，若1GA PF λ=，则双曲线的离心率为( )234二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上.）三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，0>n a ，()()*∈+=N n a S n n 214.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2的前n 项和n T . 18．(本小题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.⑴求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；⑵以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“好视力”学生的人数，求ξ的分布列及数学期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵若过点()0,2M 的直线与椭圆C 相交于两点B A ,，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+(O 为坐标原点)352<-时，求实数t 取值范围 21．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵证明：若5<a ，则对任意21,x x ∈(0,)+∞，21x x ≠，有()()12121->--x x x f x f ． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时在答题纸上注明所选题目的题号.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．已知AB 为半圆O 的直径，C AB ,4=为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作CD AD ⊥于D ，交圆于点1,=DE E . ⑴求证：AC 平分BAD ∠；⑵求BC 的长．23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．⑴求曲线的直角坐标方程；⑵求直线被曲线所截得的弦长. 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 已知0,0>>b a ，且2922=+b a ，若m b a ≤+恒成立， ⑴求m 的最小值；⑵若b a x x +≥+-12对任意的b a ,恒成立，求实数x 的取值范围.唐山市开滦二中2015年高三年级12月月考理科数学参考答案一、二.选择题、填空题： CABDB ACDBC BA （13）97-，（14）53，（15（16）22或4 三、解答题：17. 解⑴(),142+=n n a S ()().214211≥+=∴--n a S n n ()()()2114212≥+-+=∴-n a a a n n n ,()()()20211≥=--+∴--n a a a a n n n n ，………2分0>n a ，()201≥>+∴-n a a n n ， ()221≥=-∴-n a a n n ，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，………4分 ()12121-=-+=∴n n a n .………………6分⑵,2122n n n n a -=nn n T 21225232132-++++=∴ ，① 132212232232121+-+-+++=∴n n n n n T ，②由①－②得1113221221121412212122222222121+++--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=--+++=n n n n n n n T 1123223232121+++-=+-+=n n n n ，………………10分.323nn n T +-=∴………12分 19.⑴证明：菱形中，=∠=60,ABC BC AB ,是等边三角形，E 是BC 的中点，BC AE ⊥∴,AD BC // ,AD AE ⊥∴,⊥PA 平面ABCD ,⊂AE 平面ABCD ,AE PA ⊥∴,A AD PA = , ⊥∴AE 平面PAD ,PD AE ⊥∴. ………………5分⑵解：由⑴⊥EA 平面PAD 于点A ， EH 平面H PAD =，AH ∴是EH 在平面PAD 的射影，AHE ∠∴是EH 与平面PAD 所成的角AH AE AHE =∠∴tan ，且AB AE 23=∴当AH 最短即PD AH ⊥时，26tan =∠AHE ,此时AB AH 22=，AB PA =∴,…………7分 以点A 为坐标原点，分别以直线AP AD AE ,,为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz A -，令2=AB ，则()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,21,23,0,1,3,0,0,3,0,0,0F C E A ,()0,0,3,1,21,23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴AE AF ,设平面AEF 的法向量为()z y x n ,,1=，则⎩⎨⎧⊥⊥AE n AF n 11，⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=++=⋅∴030212311x n z y x AF n ，令2=y ，解得0,1=-=x z ， ∴平面AEF 的一个法向量为()1,2,01-=n ，同理平面A C F 的一个法向量为()0,3,12-=n ，…………9分515311432-=+⋅+-=∴，…………11分 ∴二面角C AF E --的余弦值为515……………………12分.20解:(1)由题意知：所以又故所求椭圆的方程为 ……………………………… 4分(2) 由题意知直线的斜率存在.设其方程为：，由得.，设，，，∴，. (6分)∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴( 8分)∵＜，∴，∴即∴ 得： ∴ ………10分又∴或,故实数t 的取值范围是…12分21⑴解：函数()x f 的定义域为()+∞,0，()()[]()xx a x x a a x x f 111'---=-+-=， ①当21<<a 时，110<-<a ，由()0'<x f ，解得11<<-x a ，由()0'>x f ，解得10-<<a x 或1>x ；②当2=a 时，11=-a ，()0'≥x f 在()+∞,0恒成立；③当2>a 时，11>-a ，由()0'<x f ，解得11-<<a x ，由()0'>x f ，解得10<<x 或1->a x .……… 4分综上可得，当21<<a 时，函数()x f 在()1,1-a 上单调递减，在()1,0-a ，()+∞,1单调递增；当2=a 时，函数()x f 在()+∞,0单调递增；当2>a 时，函数()x f 在()1,1-a 上单调递减，在()1,0，()+∞-,1a 单调递增……………………… 5分()()()()051141,512<--=---=∆∴<<a a a a a ，()0'>∴x F 在()+∞,0恒成立，()x F ∴在()+∞,0上单调递增，………………… 9分①当021>>x x 时，()()21x F x F >，即()()2211x x f x x f +>+，()()12121->--∴x x x f x f ； ②当210x x <<时，()()21x F x F <，即()()2211x x f x x f +<+，()()12121->--∴x x x f x f ； 综上可得，若51<<a ，则对任意()+∞∈,0,21x x ，21x x ≠，有()()12121->--x x x f x f .… 12分 22⑴证明：连结AC，OCA OAC OC OA ∠=∠∴=, 2分⑵要使恒成立，须且只须或或或…………。

2019—2020学年第一学期12月高三联合调研数学试题注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知集合}21{，=A ，{}321，，-=B ，则集合B A ＝ ▲ ． 2．若复数iiz +=12（i 是虚数单位），则z 的实部为 ▲ ． 3．根据如图所示的伪代码，则输出I 的值为 ▲ ．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为2:3:3，为调查该 校学生每天用于课外阅读的时间，现按照分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高一年级人数为45人，则抽取的样本容量为 ▲ ． 5．函数24)1ln(x x y -++=的定义域为 ▲ ．6．甲、乙两人依次从标有数字321，，的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线12222=-b y a x )00(>>b a ，的离心率为23，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ． 8．已知函数()sin(2)3f x x π=+，若函数)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ ▲ ．9．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 和为n S ，首项为1，若2262a a a ，，成等比数列，则10S = ▲ ．10．某种圆柱形的饮料罐的容积为128π个单位，当它的底面半径和高的比值为 ▲ 时，可使得所用材料最省．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线03:=-+m y x l ，点)0,3(A ，若满足7222=-PA PO 的点P 到直线l 的距离恒小于8，则实数m 的取值范围是 ▲ ．（第3题图）B 1C 1A 1EDCBA12．如图，在ABC ∆中，23==AC AB ，，=2，E 为AC 的中点，AD 与BE 交于点F ，G 为EF 的中点，则=⋅ ▲ ． 13．已知0,0a b >>，且31126a b a b++≤+， 则3aba b+的最大值为 ▲ ． 14．已知偶函数)(x f 满足)4()4(x f x f -=+，且当]4,0(∈x 时xe xx f )()(=，关于x 的不等式0)()(2>+x af x f 在区间]400400[，-上有且仅有400个整数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值．16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，已知ABC ∆为正三角形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面⊥C C AA 11平面ABC ，11AC E A ⊥． （1）求证：//DE 平面11C AB ； （2）求证：⊥E A 1平面BDE ．17．（本小题满分14分）如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点到相应准线的距离为3，离心率为21，过右焦点F 作两条互相垂直的弦CD AB ，，设CD AB ，的中点分别为N M ，． （1）求椭圆的标准方程；（2）若弦CD AB ，的斜率均存在，且OMF ∆和∆21，试求当21最大时，直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：CD AB //，BC AB ⊥，075=∠DAB ，AD 长1千米，AB 长2千米．公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，D B ，点是公园的进出口．公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ －线段QP －弧PD ，其中Q 在线段BC 上（异于线段端点），QP 与弧DE 相切于P 点（异于弧端点）．根据市场行情，BQ ，QP段的建造费用是每千米10万元，湖岸段PD 的建造费用是每千米3)12(20+万元（步行道的宽度不计），设PAE ∠为θ弧度，观光步行道的建造费用为w 万元． （1）求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式，并求其定义域； （2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？yxDBCAFMON19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．①若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； ②若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足203422=+=S S a ，，数列}{n b 是首项为2，公比为q )1(≠q 的等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设正整数r t k ，，成等差数列，且r t k <<，若k r r t t k b a b a b a +=+=+，求实数q的最大值；（3）若数列}{n c 满足⎩⎨⎧=-==，，，，k n b k n a c k k n 212*∈N k ，其前n 项和为n T ，当3=q 时，是否存在正整数m ，使得122-m mT T 恰好是数列}{n c 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．。

20佃-2020年高三第一次（12月）诊断联考数学理试题含解析、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

俯视图1 2 B.— C. D . 13 372°角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大 角等于 ()0 0 0 0 A . 72 B . 90]| C . 108 D .180已知 M 是 ABC 内的一点，且 AB AC 二 2 3 , BAC =30，若 MBC , 1 14MAB 的面积分别为一，x, y ，贝V的最小值为（）2 x yA. 20B. 18C. 16D. 9&函数y = x • cosx 的大致图像是（）1 •设集合 U={1 , 2, 3, 4, 5, 6} , M={1 , 2, 4}，则?U M=( )A • UB • {1 , 3, 5}C . {3 , 5, 6}勺 (3i)2.若复数 ------ (a R,i 为虚数单位)是纯虚数，则实数 a 的值为1 +2i3. A. -6 等差数列A . 20玄中,a 44. B. -2■ a10■玄花=30,则 a 18 B . - 204…,cos x ,贝9 tan 2x =5 C. 4 -2a 14的值为(C . 105. x （-笄） 已知 224A . -V某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是7 B . -24 C .)7_24D . {2 , 4, 6} () D. 6 D . - 1024D .万正视图 侧视图1 A.-66.若一条直线与一个平面成MCA ,9. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球,摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是( )A. 0.42B. 0.28C. 0. 310•如图所示的程序框图输出的结果是摸出红球的概率是0.42 ,D.S= 720,则判断框内应填的条件是(0.7)11.椭圆M:B. i>72笃•与=1(a b 0)左右焦点分别为F1 , F2 , P为椭圆a bi>9M上任一点且PF1〔PF?］：( )A. f，1-2最大值取值范围是2C2,3C2，其中c二；a2-b2，则椭圆离心率e取值范围C.3_3B.一31:::x上m (其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记2在此基础上给出下列关于函数1.321 m2作｛x｝，即｛x｝二m.1 1 . .① f( ) •，② f(3.4)=—0.4 :③ f( ) ”： f(—):④ y=f(x)的定义域是R，值2 2 4 41 1域是［-一，］.则其中真命题的序号是2 2A .①②12.给出定义：若f(X)= X-{x}的四个命题:1B .①③C.②④第II卷(非选择题共90 分)D .③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

2019-2020学年度高三12月调研测试数 学 Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B = ▲ ．2.已知i 为虚数单位，若复数()()11ai i ++是纯虚数，则实数a= ▲ ．3.已知，:(1)(2)0q x x --≥，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ▲ ．4.运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ ．5.圆柱形容器内部盛有高度为4cm 的水，若放入1个铁球（球的半径与圆柱的底面半径相同）沉到水底后，水恰好将球淹没，则球的半径是 ▲ cm .6.角α的终边经过点(3,4)P -，则cos()2πα-= ▲ ．7.设直线:340l x y a ++=，与圆()()22:2125C x y -+-=交于,A B ，且6AB =，则a 的值是 ▲ ．8.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为 ▲ ． 9.我们可以运用以下原理解决一些面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比恒为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b+=>>与222x y a +=，运用以上的原理，可知图③中椭圆的面积为 ▲ ．10.若曲线()(1)x f x ax e =-在点(0,(0))A f 处的切线与y 轴垂直，则a= ▲ ． 21▲ ．12.在△ABC 中, 2AB BC =,1,2DB AD CE EA ==,则BE 与CD 的夹角为 ▲ ． 13.在平面直角坐标系中，:C ，若直线上存在点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与C 有公共点，则的最大值是 ▲ ．14.若对任意的0,x ≥都有21x e ax x ≥++恒成立，则a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分） 已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,BC AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11A B ∥平面1DEC ；（2） 1BE C E ⊥．某公园为监控“旋转木马”游乐项目,要求在木马一边的护栏上安装监控摄像头,使整个木马始终在摄像头的监控范围内.如图为木马和护栏的水平示意图,分别记作圆C 和直线l,入口为A ,AC 与l 垂直,,,A B C 高度一致.已知木马轮盘的半径为5米,AC 的距离为6米,B 处的摄像头摄像视角的一边固定为直线l.(注:摄像视角指镜头中心点观察物体边缘的光线的夹角)（1）若AB 的长为8米,求最小摄像视角的正切值;（2）若摄像视角最大为60︒,求B 距离A 至少有多远?18.（本小题满分16分）设椭圆 2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E 上有两点,A B 且OA OB ⊥，证明2211OA OB +是定值，并求出AB 的最小值.已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n 都有23331212().n n a a a a a a +++=++……（1）若数列{}n a 共三项，且为等比数列，求数列{}n a 的公比.（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20202019?a =-若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.20.（本小题满分16分）若函数()x f 满足()00f x x =成立,则称函数()x f 有不动点0x （1）判断函数 1()xf x x+=在区间(0,1)内是否有不动点,说明理由； （2）证明：函数2()(01)xxg x a ax a a x-=++->≠且在区间(0,1)内有不动点；（3）若函数()2ln h x ax x =-有两个不动点,求实数m 的取值范围.2019-2020学年度高三12月调研测试数学Ⅱ（附加题）已知可逆矩阵273aA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，求1A -的特征值.21C.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos ()sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数. 以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程．（2）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ=，射线:(0)3OM πθρ=>与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．22.（本小题满分10分）如图，三棱柱中，平面，，为棱上的动点，．（1）当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角的大小是450．23.（本小题满分10分）某空间中存在2n 个基本粒子，每个基本粒子在每个时间均等可能的处于,A B 两种状态之一，若处于A 状态的粒子数和处于B 状态的粒子数相等，则称该空间处于基态.（1）=2n 时，求该空间处于A 状态的粒子数的数学期望.（2）记该空间处于处于基态的概率为()P n ，研究()P n 的单调性，并证明2n ≥时1()()2n P n >恒成立.2019-2020学年度高三12月调研测试数学Ⅰ答案1.{}|0x x >2.13.2a ≥4.50505.66.457.10或8.1. 9.ab π 10.1 11.1(,1)312. 13.14.1(,]2-∞15.解：（１）,,即.……2分又∵, ∴,即,∴.……4分又 ,.……7分(2) ∵.……9分, ,即.……11分又, ∴.……14分16.证明：（1）连接DE 因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .……2分在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED . ……4分因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1…6分 （2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .……8分 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .……10分因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1…12分17、解：(1)如图,过B 作圆C 的切线BE ,切点为E ,连接CE ,BC ,则CE ⊥BE ,3(2)以B 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系当∠ABE 的最大值为60°时,若直线BE 与圆∴直线BE 的方程为y =3x , ∴CE =5263=-a ，.……11分得a =316 (负值舍去)..……13分 18.解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过两点,所以2222611421a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2284a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩椭圆的方程为22184x y += ……4分（2）因为，若,OA OB 斜率不存在或为0，则2211113=+=848OA OB +， ……6分若斜率存在且不为，设OA 斜率为k ，222222222222811121288818412y kx x k k x y OA x y k k y k ⎧==⎧⎪+⎪⎪+⇒⇒==⎨⎨+++=⎪⎪=⎩⎪+⎩……8分 用1k -换,k 2221+288k OB k =+，所以222211333==8+88k OA OB k ++综上，总有22113=8OA OB +成立 .……12分 考虑到2222222811()()3AB OA OB OA OB OA OB =+=++所以222228832(2)(2333OB OA AB OA OB =++≥+=，当且仅当=OA OB 即1k =±时取等号.所以min AB = .……16分19.解：（1）当1n =时，2311a a =，由10,a ≠得1=1.a当2n =时，2322(1)1,a a +=+由20,a ≠得2=2 1.a 或-当3n =时，2332323(1)1,a a a a ++=++若2=2,a 得3=3 2.a 或-若2=1,a -得3=1.a 又数列{}n a 为等比数列，所以122=1,=1,=1,a a a -所以数列{}n a 的公比为1- ……4分（2）令12n n S a a a =++…，则233312n n S a a a =++…，所以23331121()n n n S a a a a +++=++…，相减并考虑到2+11102.n n n n a S a a ++≠=-，得 …8分当1n =时，由(1)得1=1.a 当2n ≥时，2211122()()().n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 整理得：111()(1)0.+1.n n n n n n n a a a a a a a ++++--==-所以，或 (12)分又12020=1,=2019,a a -则{}n a 的一个通项公式是1,12019;=2019(1),2020.n n n n a n +≤≤⎧⎨⨯-≥⎩ …16分20.解:（1）令1=x x x + ,解得x =均不在区间(0,1)内, 所以 1()xf x x+=在区间(0,1)内没有不动点 ……2分（2）要证()g x 在区间(0,1)内有不动点，即证方程02=-+-xa a xx 在(0,1)上有解即证方程02)(2=+-x a a x x x 在(0,1)上有解记x a a x x h x x +-=2)()(2，因为)(x h 图像在]1,0[上不间断，,02)0(<-=h 0)1(12)1(22>-=+-=a a a h ，所以)(x h 上有零点在)1,0(，所以方程02)(2=+-x a a x x x 在),0(+∞上有解，从而原命题得证 ……6分 （3）记2()ln ,H x ax x x =--则 ()H x 有两个零点.2121()21=,0,ax x H x ax x x x--'=-->所以当 a ≤ 0 时，()0H x '< ，函数()H x 减，最多一个零点，所以 a > 0 ．……8分 考虑2ln x xa x+=, 下面证明：ln 1x x ≤-,设()ln 1t x x x =--所以11()1(0)x t x x x x-'=-=> (0,1)x ∈时()0t x '<，()t x 减；1x >时()0t x '>，()t x 增.()(1)0t x t ≥=，ln 1x x ≤-2222ln 21211=(1)11x x x a x x x x x+-=≤-=--+≤，1a =时x 只能取1，(0,1)a ∈…12分 下面证明(0,1)a ∈时()H x 有两个零点(0,1)a ∈时，(1)=10,H a -<22211()=10,a e e a H e e e e-++-=> 1()=ln 0,H a a <()H x 图像不间断，所以()H x 在1(,1)e ，1(1,)a上各有一个零点符合题意.综上，(0,1)a ∈……16分2019-2020学年度高三12月调研测试数学Ⅱ（附加题）答案1.解：∵可逆矩阵273a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为127b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ， ∴12210 73701a b A A a --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴141 72101431ab b a -=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得5a =，3b =， ∴13275A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， .……5分 ∴()2328175λf λλλλ-⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦， 由()0f λ=，得14λ=+，24λ=-． .……10分2.解：(1)圆的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==;所以圆的极坐标方程是2cos ρθ= ..……5分(2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有2222(sin )3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2 ..……10分3.解：以1{,,}AB AC AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，依题意得：，（1）因为为中点，则，设是平面的一个法向量， 则，得 取，则， 设直线与平面的法向量的夹角为， 则，..……4分 所以直线与平面所成角的正弦值为； ..……5分（2）设， 设是平面的一个法向量， 则，取，则..……7分 是平面的一个法向量，，得，即， 所以当时，二面角的大小是． ..……10分 4.解：（1）记=2n 时，求该空间处于A 状态的粒子数为ξ， 则ξ的取值集合为{0,1,2,3,4}04411(0)()216P C ξ=== 144141(1)()2164P C ξ====， 244163(2)()2168P C ξ====， 344141(3)()2164P C ξ====， 44411(4)()216P C ξ=== 所以1311()1234248416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=..……4分 （2）221()()2n n n P n C =，1222222221111(1)()()()()()022222n n n n n n n n n P n P n C C C n +++-+-=-=<+ 所以()P n 单调递减...……7分=2n 时244131(2)()282P C ==> 假设n k =时1()()2k P k >成立 则1n k =+时1211111(1)()()()()()()222222k k k P k P k P k k +++=>>⋅=+成立 综上，2n ≥时1()()2n P n >恒成立. ...……10分。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三数学12月教学质量调研试题理______年______月______日____________________部门理科数学考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名，考试号填写清楚，并在规定的区域填写条形码2.本试卷共有23道题，满分150分，答题时间120分钟3.本试卷令附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据.一、填空题（本大题56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中，每小空格填对得4分，填错或不正确的位置一律得零分）1.若全集，集合，，则_______.U R ={|(2)0}M x x x =-≤{1,2,3,4}N =U NM =ð2.若函数，，则________.()1f x x =-()1g x x x =-+()()f x g x +=3.在的二项展开式中，第四项的系数为__________.7(21)x -4.在，则函数的值域为__________.44x ππ-≤≤tan y x = 5.在数列中，，， 则数列的各项和为______.{}n a11a =*121()n n a a n N +=+∈11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭6.若函数的反函数是，则不等式的解集为_______.3()(0)f x x x =≥ 7.设为坐标原点，若直线与曲线相交于点，则扇形的面积为_________.A B 、AOB8.若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为_________.9.若在北纬的纬度圈上有两地，经度差为，则两地的球面距离与地球半径的比值为________.45A B 、9010.方程的解________.11.设是双曲线上的动点，若到两条渐近线的距离分别为，则_________.22142x y -=P 12,d d 12d d ⋅= 12.如图，已知正方体 ，若在其12条棱中随机地取3条，111ABCD A B C D -则这三条棱两两是异面直线的概率是___________（结果用最简分数表示）13．若是抛物线的焦点，点在抛物线上，且F24y x =(1,2,3,...,10)i P i =12100...0PF P F P F +++= ，则________.12100||||...||PF P F P F +++=14.若函数 最大值记为，则函数的最小值为__________.2()|sin |(,)3sin f x x t x t R x=++∈+()g t ()g t二、选择题（本大题20分，共4小题，每小题5分）15.下列命题中的假命题是（ ） A. 若，则B. 若，则0a b <<11a b >11a >01a << C. 若，则D. 若，则0a b >>44a b >1a <11a <16.若集合，则“”是“”成立的（ ）{},R ,lg 230,R3x A x y x B x x x x ⎧⎫⎪⎪==∈=-<∈⎨⎬-⎪⎪⎩⎭x A ∈x B ∈A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 17.如图，在四面体，，分别是的中点，若与所成的角的大小为，则和所成的角的大小为（ ）ABCD AB CD =,M N ,BC AD AB CD 60︒MN CDA. B. 3060︒ C. 或 D. 或3060︒1560︒18、若函数，关于的方程()()lg 1,1sin ,12x x f x a x x π⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩x()()()210f x a f x a -++=，给出下列结论：①存在这样的实数，使得方程由3个不同的实根；②不存在这样的实数，使得方程由4个不同的实根；③存在这样的实数，使得方程由5个不同的实数根；④不存在这样的实数，使得方程由6个不同的实数根.a a a a其中正确的个数是（ ） .A 1个 2个 3个 4个.B .C .D三、解答题:（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第二小题满分6分如图，椭圆的左、右两个焦点分别为，为椭圆的右顶点，点在椭圆上且.221259x y +=12,F F A P 127cos 8PF F ∠=（1）计算的值；1PF （2）求的面积.1PF A ∆20.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第二小题满分8分某种“笼其”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.24cm π30cm 20cm（1）求这种“笼其”的体积（结果精确到0.1）；3cm（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼其”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？21.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第二小题满分8分已知函数.()22sin sin 21f x x x =+-（1）求函数的单调递增区间；()f x （2）设，其中，求的值.20cos cos sin 266x f ππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00x π<<0tan x22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分已知，数列的前项和为，且.*n N ∈{}n a n n S 21n n a S -= （1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式；{}n a（2）对于任意（其中，，均为正整数），若和的所有乘积的和记为，试求的值；{}12,,,i j n a a a a a ∈、1i n ≤≤1j n ≤≤i j 、i a j a i j a a ⋅nT （3）设，若数列的前项和为，是否存在这样的实数，使得对于所有的都有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.t n2n C tn ≥t23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分已知集合是满足下列性质的函数的全体，存在实数，对于定义域内的任意均有成立，称数对为函数的“伴随数对”M ()f x ()0a k k ≠、x()()f a x kf a x +=-(),a k ()f x（1）判断是否属于集合，并说明理由；()2f x x =M（2）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”；()sin f x x M =∈()f x（3）若都是函数的“伴随数对”，当时，；()()1,1,2,1-()f x 12x ≤<()cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭当时，.求当时，函数的解析式和零点.2x =()0f x =20142016x ≤≤()y f x =参考答案。