高三数学下学期模拟考试试题6

2024学年湖北省百所重点中学下学期高三期末考试仿真卷数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 2．已知向量(1,2)a =，(4,1)b λ=-，且a b ⊥，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．23．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．124．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．326．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84B ．54C ．42D ．188．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．29．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A ．535B ．535C ．535D ．53510．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．23B ．223-C ．223±D ．1311．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e12．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．62二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届广东省惠州市惠阳高级中学全国高三模拟考试（六）数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．3．已知双曲线2222:10,0()x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．3C ．4D ．24．已知随机变量X 的分布列是X12 3P1213a则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．2365．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-6．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．157．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ） A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺10．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．1211．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞B ．)3,+∞C ．(,3-∞-D ．(),3-∞-12．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ） A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。

1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的 实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

广东省深圳市高级中学2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．342．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π3．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14±D ．144．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3D ．25．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌 （块） 银牌（块） 铜牌（块） 奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.58．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种9．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．223B ．223-C ．223±D ．1310．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．94011．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B 3C ．22D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三下学期第六次模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，） 1．集合，，则（ ）A 、B 、C 、D 、 2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为 A ． B ．C ．D ．23．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数如下茎叶图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和 为A ．117B ．118C ．118．5D ．119．5 4．已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（） A. B. C. D. 5．数列的前n 项和为，若，则( ) A. B. C.D.6．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A ．B ．C ．D ．7．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数a 的值为 A ．B ．或C ．D ．或8．设x ∈R ，向量a ＝（2，x ），b ＝（3，－2），且a ⊥b ，则｜a －b ｜＝A ．5B ．C ．2D ．6 9．二项式展开式中的系数是( )A ．-14B ．14C ．-28D ．28 10．在△ABC 中，若,，则b=（ ） A ．3 B ．4 C.5 D .611．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数的零点的个数为开始否 n ＝3n +1n 为偶数k ＝k ＋1 结束n ＝5，k ＝0 是 输出k n 否是A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为( ) A ． B ． C D二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)． 13．—个几何体的三视图如图所示(单位:m )则该几何体的体积为___．14．若整数．．满足0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则的最大值为 ． 15．向平面区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x .内随机投入一点，则该点落在曲线⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=)21(2)10(23x x x x y 下方的概率等于_______．16．若一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_____．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图像上． （Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设是数列的前项和， 求使得对所有都成立的最小正整数18．（本小题满分12分） A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2．根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为X 1 5％ 10％ P0.80.2X 2 2％ 8％ 12％ P0.20.50.3（Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1，DY 2；（Ⅱ）将万元投资A 项目，万元投资B 项目，表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指C 1B 1A 1出x 为何值时，取到最小值．（注：）19．（本小题满分12分） 如图，在三棱柱中，侧面底面，， ，，为中点． （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在上是否存在一点，使得平面?若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由 20．（本小题满分12分）已知两定点，和定直线l ：，动点在直线上的射影为，且． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程并画草图；（Ⅱ）是否存在过点的直线，使得直线与曲线相交于， 两点，且△的面积等于？如果存在，请求出直线的方程；如果不存在，请说明理由 21．（本小题满分12分）已知函数，且.（Ⅰ）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；（Ⅱ）当时，求函数的最小值；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若与的图像存在三个交点，求的取值范围请考生在第22、23、24题中任选一．．．题．作答，如果多做，按所做第1题计分。

福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试时间：120分钟满分：150分命题：高三集备组审核：高三集备组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设集合，则等于A ．B ．C ．D ．或2．已知等差数列满足，则A ．B ．C ．D ．3．若函数是奇函数，则的值为A ．1B ．-1C ．D ．04．将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是A．B ．C ．D ．5．没为单位向量，在方向上的投影向量为，则ABCD ．6．已知，则A ．B ．C ．D ．7．如图，设拋物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是{}{}2210,log 0A x x B x x =->=>∣∣A B ⋂{0}x x >∣{1}x x >∣{1}x x <-∣{1xx <-∣1}x >{}n a 12j 1010a a a a ++++= 11010a a +>11010a a +<3990a a +=5151a =(()ln f x ax =a 1±13122356,a b a b 12b -|2|a b -=311(),(),()552P A P AB P A B === ∣()P B =1525354524y x =F C y BCF ACFA．B ．C ．D ．8．在中，为内一点，，则A ．BCD ．二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，下列结论正确的是A ．若，则B ．C ．若，则或D ．若且，则10．冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为A ．中位数是3，众数为2；B．均值小于1，中位数为1；C ．均值为3，众数为4；D ．均值为2．11．已知，则A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆台的上、下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为______.||1||1BF AF ++||1||1BF AF --22||1||1BF AF ++22||1||1BF AF --ABC 120,2,ACB BC AC D ︒∠==ABC ,120AD CD BDC ︒⊥∠=tan ACD ∠=12,z z 12z z =2212z z =1212z z z z -=-120z z =10z =20z =10z ≠12z z =2121z z =37.3C ︒37.3C ︒12212log ,log 2baa b ⎛⎫== ⎪⎝⎭22a ba b -+=+22b aa b -+=+121eba+>112eab->4π,36π64π13．的展开式中常数项为______．14．已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是______；若的值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码123456.45.55.04.83.8（1）求2017-2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）；（2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程；（3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：,②样本相关系：③参考数据：16．（15分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求的值：17．（15分）如图，在三棱柱中，，E ，F 分别为的中点，且421x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭()sin()f x x ωϕ=+π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭ωπ||2ϕ<ππ32f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭ϕix iy i x i y y x y x ()()()121ˆˆ,niii n i i x x yy bay bx x x ==--==--∑∑ nx y r =5521170.6,6ii i i i x yy ====≈∑∑()ln(1)()f x ax x a =--∈R ()y f x =(0,(0))f ()0f x ≥a 111ABC A B C -1AC AB ==11,AC BB平面．（1）求棱BC 的长度；（2）若，且的面积，求二面角的正弦值．18．（17分）设是双曲线的左焦点，经过的直线与相交于M ，N 两点.（1）若M ，N 都在双曲线的左支上，求面积的最小值．（2）是否存在轴上一点，使得为定值?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．19．（17分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“—数列”．（1）已知等比数列满足：，求证：数列为“—数列"'；（2）已知数列满足：，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“—数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．EF ⊥11AA C C 111BB A B ⊥1A FC 1A FC S =11B A F C --F 221x y Γ-=：F ΓOMN x P PM PN P M {}()*N n a n ∈245321,440a a a a a a =-+={}n a M {}n b 111221,n n n b S b b +==-n S {}n b n {}n b m M {}()*n c n ∈N k k m ≤1k k k c b c +≤≤m2023-2024年高三数学校模拟考参考答案1-8BCCDADBB9．BCD10．BD11．AD12．13．4914．15．【详解】（1）由已知可得，，，（2）由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述．由小问1知，，，所求经验回归方程为．（3）令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．16．【详解】（1）由，得，因为，所以曲线在点处的切线方程为；（2），①当时，，不符合题意．5π,012⎛⎫⎪⎝⎭π61234535x ++++==522222216.4 5.5 5.0 4.8 3.8 5.112345555ii y x=++++===++++=∑555 5.90.986x x y y x y xyr ----===≈≈y x 0.98,r r ≈-y x ()()()551155222115 5.9ˆ0.59105iii ii i i ii i x x y y x y xybx x xx ====----====---∑∑∑∑ˆˆ 5.1(0.59)3 6.87ay bx =-=--⨯=ˆ0.59 6.87yx =-+8x =ˆ0.598 6.87 2.15y=-⨯+=2.15%()ln(1)f x ax x =--1()(1)1f x a x x'=+<-(0)0,(0)1f f a '==+()y f x =(0,(0))f (1)y a x =+11()(1)11ax a f x a x x x'-++=+=<--0a ≥(1)ln 20f a -=--<②当时，令，解得，当时，在区间上单调递减，当时，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值；若恒成立，则，设，则，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减，所以，即的解为．所以；17．【详解】（1）取中点，连接，分别为的中点，则且，又为三棱柱，且分别为的中点，则且，可得且，即四边形DEFB 为平行四边形，故，又平面，则平面，平面，可得，又为AC 的中点，则为等腰三角形，．（2）由（1）可知：，且，即，0a <()0f x '=11x a=+1,1x a ⎛⎫∈-∞+⎪⎝⎭()0,()f x f x '<1,1a ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭11,1x a ⎛⎫∈+⎪⎝⎭()0,()f x f x '>11,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11x a=+()f x 111ln()f a a a ⎛⎫+=++- ⎪⎝⎭()0f x ≥1ln()0a a ++-≥()1ln()(0)x x x x ϕ=++-<11()1x x x xϕ'+=+=(,1)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(,1)-∞-(1,0)x ∈-()0,()x x ϕϕ'<(1,0)-()(1)0x ϕϕ≤-=1ln()0a a ++-≥1a =-1a =-AC D ,ED BD ,D E 1,AC AC 1//DE AA 112DE AA =111ABC A B C - F 1BB 1//BF AA 112BF AA =//DE BF DE BF =//EF DB EF ⊥ 11AA C C DB ⊥11AA C C AC ⊂11AA C C DB AC ⊥D ABC 1BC AB ∴==1BC AB ==AC =222AB BC AC +=，则可得，且，平面平面，则，，由（1）知平面平面，则，又，则又，则，平面，平面，平面，则，且，可得，为直角三角形，则以为坐标原点，向量方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则，可得，AB BC ∴⊥EF DB ==1111A B B C⊥EF ⊥ 111,AAC C AC⊂11AA C C 1EF A C ⊥1111122A FCS AC EF AC ∴=⋅== 12A C =DB ⊥111,AAC C AA ⊂11AA C C 1DB AA ⊥11//AA BB 1DB BB ⊥11111,//BB A B AB A B ⊥ 1BB AB ⊥,,AB DB B AB DB ⋂=⊂ABC 1BB ∴⊥ABC AC ⊂ABC 1BB AC ⊥11//AA BB 1AA AC ⊥1AA C ∴ 1AA ==1B 11111,,B C B A B B 1B xyz -111(0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),B A C C B F ⎛ ⎝110,,(1,A F A C ⎛=-=- ⎝设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，可得，，故二面角18．【详解】（1）设直线的方程为．由,由根与系数的关系可知①．此时．原点到直线的距离为，此时．由都在双曲线的左支上知，得，令，则，由于，所以当，即时，此时取最小值，则，当，即时，等号成立．1A FC 1(,,)n x y z = 111100n A F y z n A C x y ⎧=-=⎪⎨⎪=-+=⎩ 1y =1,x z =-=1(n =-11B A F 2(1,0,0)n =11B A F C --(0,π)θ∈121211|cos |212n n n n θ===⨯ sin θ∴==11B A F C --MN ()()1122,,,x my M x y N x y =-221x my x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩()22110(1)m y m --+=≠±1212211y y y y m +==-()2221||1m MN m +===-O MN d =()222111||221OMNm S d MN m +===- ,M N ()121212220,01x x m y y x x m -+=+-=<=>-11m -<<21(10)m t t -=-≤<2221111144244OMNS t t t ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(,1]t ∈-∞-11t=-1t =-OMN S ≥ 1t =-0m =（2）假设存在这样的定点．当直线的斜率不为0时，由（1）知②将①代入②可得,此时要想，得．即存在这样的定点满足题意．当直线的斜率为0时，易知，若，则，满足题意．综上，存在满足题意．19．【详解】（1）设等比数列的公比为，所以由，得，解得，因此数列为“—数列”；（2）①因为，所以，(,0)P n ()()()()()()112212121212,,PM PN x n y x n y x n x n y y my n my n y y =--=--+=----+()()2212121))m y y m n y y n =+-++++ 2)PM PN n =++ PM PN 11=-n =12PM PN =- P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2(1)(1)1PM PN n n n =+-=- P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭12PM PN =- P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭{}n a q 10,0a q ≠≠245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩112a q =⎧⎨=⎩{}n a M 1122n n n S b b +=-0n b ≠由得，则，由，得，当时，由，得，整理得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，因此，数列的通项公式为；②由①知，，因为数列为“—数列”，设公比为，所以，因为，所以，其中，当时，有；当时，有，设，则，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，取时，，即，令，则，令，则，1111,b S b ==212211b =-22b =1122n n n S b b +=-()112n n n n n b b S b b ++=-2n ≥1n n n b S S -=-()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---112n n n b b b +-+={}n b {}n b ()*n b n n =∈N *,k b k k =∈N {}n c M q 11,0c q =>1k k k c b c +≤≤1k k q k q -≤≤1,2,3,,k m = 1k =1q ≥2,3,,k m = ln ln ln 1k kq k k ≤≤-ln ()(1)x f x x x =>21ln ()xf x x '-=(1,e)x ∈()0f x '>(e,)x ∈+∞()0f x '<()f x (1,e)(e,)+∞ln 2ln 8ln 9ln 32663=<=max ln 3()(3)3f k f ==q =1,2,3,4,5k =ln ln kq k…k k q ≤ln ()(1)1x g x x x =>-2211(1)ln 1ln ()(1)(1)x x xx x g x x x '----==--1()1ln h x x x =--22111()0xh x x x x'-=-=<故在上单调递减，则，即在上恒成立，即在上单调递减，则，即，因此所求的最大值不小于5，若，分别取，得，且，从而，且，所以不存在，因此所求的最大值小于6，故的最大值为5．()h x (1,)+∞()(1)1100h x h ≤=--=()0g x '<(1,)+∞()g x (1,)+∞min ln 5ln125ln 81ln 3()(5)412123g k g ===<=1ln ln 1k k q q k k -≤≤-m 6m ≥3,6k =33q ≤56q ≤15243q …15216q …q m m。

2024年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省温州中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1i 3iz=+−，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，{}31,N x x k k ==−∈Z ，则M N = （ ） A ．{}21,x x k k =+∈Z B ．{}31,x x k k =−∈Z C ．{}61,x x k k =+∈ZD ．{}61,x x k k =−∈Z3．已知不共线的平面向量a ，b 满足()()2a b a b λλ++∥，则正数λ=（ ）A ．1BCD ．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1mi i Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（ ）倍AB ．mC ．32mD ．2m5．已知函数()πcos 24f x x=+，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ−为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +−+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（ ） A ．12−或112− B ．－1或－6C ．32−或132− D ．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．188．已知双曲线()22221,0x y a b a b−=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC △为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．()2,+∞D ．+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间()2,−+∞上单调递增B ．()f x 的最小值为21e−C ．方程()2f x =的解有2个D ．导函数()f x ′的极值点为－310．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）A ．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B ．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C ．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D ．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OB OA +=恒成立，则l 始终和曲线C 1=相切，关于曲线C 的说法正确的有（ ）A ．曲线C 关于直线y x =和y x =−都对称B ．曲线C 上的点到11,22和到直线y x =−的距离相等C ．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是D ．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14−三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若62a x x−展开式中的常数项为－160，则实数a =______．13．已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =−+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．14．已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC △绕点O 逆时针旋转角2π03θθ<<，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ′′′△，连接AA ′，AC ′，BA ′，BB ′，CB ′，CC ′，得到八面体ABCA B C ′′′，则该八面体体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C −．16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分1+1． （1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P ′，求P F PF ′+； （3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB △面积的最大值．17．（15分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点．（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面1BCC B 所成线面角的大小.18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ． 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N i N X =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =−作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果．例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅−=<． （1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11nk n k n k c a b n +−=+=∈∑N ，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2n n b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n id a n i +−< = ≥ 的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i −项，前1i −项都取为0．试找到数列(){}int ，使得(){}{}{}innni t a T a ⋅=； （3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c −−=−+．2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案命题：温州中学 审题：金华一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 78 DDBBACBA第8题解析：设点(),A x y ，则可取),C，故22222222331x y y x a b a b=−=−，得2222222233a b b yb ax a +<=+，解得b a >，故离心率e >． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 ABDBCDBCD第11题解析：A ．曲线C 不关于直线y x =−对称；B ．设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy +−−−+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=−−⇔+−−−+=，成立；C．2221OP x y =+≤=，()222211228x y x y++≥≥=，成立； D ．(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy −+−+−−++≥，故曲线C位于圆()()22111x y −+−=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14−． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．第13题解析：6244020264S S SS =+=⋅⇒=，故{}n S 的最小项是第2项． 第14题解析：ABCA B C A ABCC A B C A B BC A C AC V V V V V ′′′′′′′′−−−′′−′=+++211π12222sin 22sin 3636θθ=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅π1sin 6θ =++∈ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）由2b ac =得2sin sin sin B A C =，sin cos cos 2112sin sinsin sin cos tan tan cos BC A B C A B A CC A =⇔+==+， 故22sin 1tan cos sin 2B B B B =⇔=．（2）若π3B =，则1sin sin sin cos 2A CB B ==， 又由()1cos cos cos sin sin 2A C A C AB +=−=−得1cos cos 2A C=−，故()1cos 2A C −=−． 注：第二问直接利用积化和差公式()()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =−−+，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分． 16．（15分）（1）记c =1a c +=+，1a c −=−，解得a =1c =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）记椭圆的右焦点为F ′，则2PF P F PF PF a +=+=′′． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立22212x my x y =++=，得()222420m y my +++=， 故12y y −=21132ABF S y y =⋅⋅−=△令0t =>，则ABF S =≤=△m =时取到等号． 17．（15分）（1）取AB 中点M ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面， 由AM 与OD 平行且相等得平行四边形ODAM ，故AD OM ∥， 故AD ∥平面1OCC ．（2）法1（建系）：以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．设))1cos Cαα−，表示出平面1ACC A的法向量11cos sin n αα+=，由对称性得平面11BCC B的法向量21cos 1,sin n αα+=，故120n n ⋅=，解得1cos 3α=，故C，(1n =，(11,n = ， 记所求线面角为θ，则1212,sin AA n n AA θ==，故π4θ=．法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取1A C 中点N ，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面1BCC B 平面1ACC A ，故1CA ⊥平面1BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin A C AVC AV ∠=1AA 与平面11BCC B法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，因此11cos C VA ∠1AA 与平面1BCC B 所成线面角即为11π4C VA ∠=．18．（17分）（1）5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C种可能，故()2435355C P M C ===， 由Y M <，有2153X X −<⇔<，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2， 仅1种可能，故()3511510P Y M M C <===且， 因此()()()51565P Y M M P Y M M P M <=<====且．（2）分布列如下：（3）直观上可判断()E M N <，证明：()()()NNk n k nE M kP M k NP M k N ====<==∑∑．19．（17分）（1）12c =，28c =，322c =，452=． （2）()11,10,2nn t n = =≥ ，对一般的i +∈N ，()1,0,i n n i t n i = = ≠． （3）法1：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11nkn k n k bc ==+−∑，故()11nn kn k n S kbc =+−=∑…①，因此()()111121nn n n k k n S kb n b c +++=+−−+=∑…②，②－①得11n n n S c c ++=−，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 法2：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1n T n +=∀∈N ，注意 (Ⅰ)易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意 (Ⅱ)注意{}n T 是(){}int 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*nnit T 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1nn i i c S ==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中nn n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****nnnnnnx y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***nnnnnnnx y x y ωωω+=+． 因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111*****n i n n n n n n n n j i j i i j i j i a b t t b t t b S ∞∞∞∞===== == ∑∑∑∑∑．。

2023年高三数学模拟卷（一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|20A x x =+>，{}|4B x x =>R ð，则A B =I （）A ．{2x x <-或}4x >B ．{}24x x -<≤C ．{}4x x >D ．{}24x x -<<2．已知x R ∈，则“0x >”是“23x x <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中5x 的系数为（）A ．120B ．135C ．-140D ．-1624．数列{}n a 满足131,31n na a a +==-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．52D ．35.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为θ，且1tan 23θ=，则大正方形的面积为（）A ．4B ．5C ．16D ．256.已知2a =r ，1b =r ，2a b -=r r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影向量为（）A ．bB ．b- C D ．7．设1cos 0.1,10sin 0.110tan 0.1a b c ===，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（）A.4π B.8π C.12π D.16π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某地区高三男生的身高X 服从正态分布()()2170,0N σσ>，则（）A ．()1700.5P X >=B ．若σ越大，则()165175P X <<越大C ．()()180160P X P X >=<D ．()()160165165170P X P X <<=<<10．随机变量ξ的分布列如右表：其中0xy ≠，下列说法正确的是（）A ．1x y +=B ．5(3)y E ξ=C ．()D ξ有最大值D ．()D ξ随y 的增大而减小11．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：(1)过点0000(,,)P x y z ，且以(,,)(0)u a b c abc =≠为方向向量的空间直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==.(2)过点()000,,P x y z ，且()0)=(,,v m n mnt t ≠为法向量的平面α的方程为()()()0000m x x n y y t z z -+-+-=.现已知平面236x y z α++=：，1l ：21321x y y z -=⎧⎨-=⎩，2l ：2x y z ==-，3l ：1541x y z-==-则下列说法正确的是（）A.1//l αB.2//l αC.3//l αD.1l α⊥12.定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称M 是数列{}n a 的一个上界.现已知{}n a 为正项递增数列，()12n n n ab n a -=≥，下列说法正确的是（）A.若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界.B.若{}n a 有上界,则{}n a 可能不存在最小的上界.C.若{}n a 无上界,则对于任意的n N *∈，均存在k N *∈，使得12023n n k a a +<D.若{}n a 无上界，则存在k *∈Ν，当n k >时，恒有232023n b b b n ++<- .第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数2(1i)z =-，则||z =___________．14.已知,a b 为两个正实数，且41a b +=+的最大值为___________.ξ012Px3y 23y四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数1()sin()cos ,3(0,),().22f x x x f ππαα=+-∈=(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知凸四边形ABCD 中，()241AB AC AD f BAD ∠====，，，求凸四边形ABCD 面积的最大值.19．在直角梯形ABCD 中，CD AD ⊥，22AB BC CD ===，AD =现将D AC ∆沿着对角线AC 折起，使点D 到达点P 位置，此时二面角P AC D --为3π（1）求异面直线PA ，BC 所成角的余弦值；（2）求点A 到平面PBC 的距离.21.已知椭圆22143x y +=，F 为其右焦点，(0,)M t ，(0,)N t -为椭圆外两点，直线MF 交椭圆于AB 两点.(1)若MA AF λ= ，MB uBF =，求u λ+的值；(2)若三角形NAB 面积为S ，求S 的取值范围.22．已知()sin ,[0,]f x x x π=∈，（1）求()f x 在x π=处的切线方程；（2）求证：对于12,[0,]x x π∀∈和12,0λλ∀>，且121λλ+=，都有()11221122sin sin sin x x x x λλλλ+≥+；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．高三数学第1页共8页2023.5高三数学模拟考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BCDADBDB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACABCCDACD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．215.[1,1)e -16.316四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】（1）由题意知1sin()cos332ππα+-=，得sin()13πα+=因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以32ππα+=，所以6πα=()sin cos sin 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1fBAD ∠=，得23BAD π∠=所以四边形ABCD的面积BAC DAC S S S ∆∆=+设BAC α∠=，则()22sin 4sin 3S παααϕ⎛⎫=+-=+≤⎪⎝⎭当21sin cos 7αϕ==时，取到最大值高三数学第2页共8页18.【解析】（1）当1n =时，215160a a ++=，26425a ∴=-，当2n ≥时，由10516n n a S +++=①，得10516n n a S -+=+②，①-②得154n na a +=126440,0,255n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又214,{}5n a a a =∴是首项为165-，公比为45的等比数列，11644()4()555n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由4(5)0n n b n a +-=，得54(5)()45n n n n b a n -=-=-，所以234444432(1)(5)5554455nn T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2413444444432(6)(555)5555nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234114444444(5)5555555nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111612516(45)5554145n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-1115(5)161644455555n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以145()5n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1445()(5)()55n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(5)40n n λ-+≥恒成立，5n =时不等式恒成立；高三数学第3页共8页5n <时，420455n n n λ≤-=----，得1λ≤；5n >时，412455n n n λ≥-=----，得4λ≥-；所以41λ-≤≤.19.过点D 做DO AC ⊥交AC 于O 连接OP以O 点为原点，以OA 为x 轴，在平面ABCD 内，过点O 垂直于AC 的线为y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.(1)因为DO AC ⊥，所以PO AC ⊥，所以DOP ∠为二面角P AC D --的平面角.所以3DOP π∠=，又因为3||||2OD OP ==，所以点330,,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又因为1,0,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以33,,244AP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,BC =-所以333324cos ,8||||AP BCAP BC AP BC +⋅<>===所以AP 与BC 夹角的余弦值为338.高三数学第4页共8页(2)13,,244PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1,BC =-设(),,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即13302440x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪-=⎩令x =1,n =-所以点A 到平面PBC的距离为||2217||AP n d n ⋅===.20.【解析】（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A ，则两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为220C ，数目为2的为240C ，数目为3的有240C ，则()2222040402100C C C 35C 99P A ++==.；（2）由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2.为0时对应概率为（1）中所求概率：()2222040402100C C C 0C 5939P X ++===；为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：()1111204040402100C C C C 161C 33P X +===；为2时，1人为1，1人为3：()1120402100C C 162C 99P X ===.则分布列如图所示：X012P359916331699故X 的期望为()3516168001299339999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）高三数学第5页共8页性别纯理科生非纯理科生总计男性305585女性10515总计4060100零假设为0H ：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关.()()()()()()2221003051055 5.229 3.84140608515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以依据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.21.(1)设()()1122,,,A x y B x y 因为,M N 在椭圆外，所以23t >.由题意知，AB 的方程为11x y t =-+，联立椭圆方程，得221134120x y t x y ⎧=-+⎪⎨⎪+-=⎩化简，得2236(4)90y y t t+--=（*）由MA AF λ=，得()11y t y λ-=-由MB uBF =，得()22y t u y -=-所以121212112y y t tu t y y y y λ⎛⎫++=-+-+=-+ ⎪⎝⎭由（*）式可得，12126293y y t y y t+==--所以1212823y y u t y y λ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭.高三数学第6页共8页(2)1222122||||33244NAB OABS S OF y y t t∆∆==⋅⋅-=++令m =，所以21231NABm S m ∆=+因为23t >，所以m ⎛= ⎝，所以2121283,313153NAB m S m m m ∆⎛⎫==∈ ⎪ ⎪+⎝⎭+.所以S 的取值范围是83,35⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.22.【解析】（1）因为()cos f x x '=,所以cos |1x k x π===-，又()0f π=所以求()f x 在x π=处的切线方程为y x π=-+.(2)不妨设12x x ≤令122122()sin()sin sin g x x x x x λλλλ=+--，2[0,]x x ∈则11221()cos()cos g x x x x λλλλ'=+-因为122120x x x x x πλλλλ≥+>+=≥所以122cos()cos x x x λλ+≤所以()0g x '≤在2[0,]x x ∈上恒成立.所以2()()0g x g x ≥=即122122sin()sin sin x x x x λλλλ+≥+.(3)对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，11nii λ==∑都有11sin sin n ni i i ii i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑高三数学第7页共8页证明：①当2n =时，由（2）知，命题显然成立.②假设当n k =时命题成立.即对任意的123,,,[0,]k x x x x π∈ 及0,1,2,3,,,i i k μ>= 11k i i μ==∑.都有11sin sin k ki i i i i i x x μμ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.现设1231,,,,[0,]k k x x x x x π+∈ 及0,1,2,3,,,1i i k k λ>=+ ，111k i i λ+==∑.令1,1,2,3,,,1i i k i k λμλ+==- 则11k i i μ==∑.由归纳假设可知()()11221122111111sin sin 11k k k k k k k k k k x x x x x x x x λλλλλλλλλλ++++++⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11122111sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()[]11122111sin sin sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦11sin k i i i x λ+==∑所以当1n k =+时命题也成立.综上对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，且11n i i λ==∑都有11sin sin n ni i i i i i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑。

安徽省合肥市六校联盟2025届高三下学期第六次检测数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，则不等式(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭2．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ （O 为坐标原点），设OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知()43z i =+，则z =（ ）A ．23B ．4C ．83D ．163．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．64．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．25．如图，在ABC 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=，且12AC AD ⋅=，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．567．已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ）A ．{}11x x -<< B ．{}1,0,1- C ．{}1,0- D ．{}0,18．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．129．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．2310．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．211．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种12．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届重庆市康德卷高三下学期模拟6数学试题一、单选题1．已知集合{A =-，{}cos ,B y y R θθ==∈，则A B =（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1,0-D．{-【答案】C【分析】由余弦函数的值域，先求出集合B ，再求交集.【详解】{}{}cos ,11B y y R y y θθ==∈=-≤≤，又{A =- 所以{}1,0A B ⋂=- 故选：C 2=（ ）A ．1B ．iC ．1-D ．i -【答案】B【分析】由复数的除法运算法则化简即可.2277i i i +=== 故选：B3．已知“p q ∧”是假命题，则下列选项中一定为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】D【分析】先根据p q ∧的真假判断出,p q 的真假情况，然后逐项分析是否为真命题. 【详解】因为p q ∧为假命题，所以,p q 中至少有一个假命题； A ．当,p q 均为假命题时，p q ∨也为假命题； B ．当,p q 为一真一假时，()()p q ⌝∧⌝为假命题； C ．当p 为真命题，q 为假命题时，()p q ⌝∨为假命题； D ．因为,p q ⌝⌝至少有一个为真，所以()()p q ⌝∨⌝为真命题， 故选：D.4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是A．①、③都可能为分层抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．②、③都不能为系统抽样【答案】A【详解】试题分析：根据题意，分析所抽得的号码可得：①在1--108之间的有4个，109--189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的；②在1--108之间的有4个，109--189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差不为27，不符合系统抽样的规律，不可能是系统抽样得到的；③在1--108之间的有4个，109--189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的；④在1--108之间的有3个，109--189之间的有3个，190到270之间的有4个；不符合分层抽样的规律，不是分层抽样得到的；同时，最后两个数据的差不是27，不符合系统抽样的规律，不可能是系统抽样得到的；分析题目中的选项，只有A符合．【解析】抽样方法5．若双曲线于()222210,0x y a b a b-=>>的实轴的两个端点与抛物线24x by =-的焦点是一个等边三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．3C ．2D ．23【答案】C 【详解】略6．已知0a >，0b >，122a b+=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．9 B ．5C ．92D ．52【答案】C 【详解】()12222149a b a b a b b a ⎛⎫++=+++≥⎪⎝⎭，所以922a b +≥.第7题解析：由题意知，AM 在平面1111D C B A 和平面11BB C C 上的投影分别为1A M 和1BC ，取11A D 中点E ，连1B E ，1B C ，∵11B E A M ⊥，11B C BC ⊥，∴1B E AM ⊥，1B C AM ⊥，故AM ⊥平面1B CE ，所以N 点的轨迹即为平面1B CE 与正方体表面的交线， 取1D D 中点F ，连接EF ，FC ，则1//EF B C ， ∴1B ，E ，F ，C 四点共面， ∴N 点的轨迹即为等腰梯形1B EFC ，由正方体棱长为2得1222B C EF ==，15B E FC ==， 故轨迹长度为2532+.7．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M 为11C D 的中点，点N 在正方体的表面上运动，且1B N AM ⊥，则动点N 的轨迹长度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【详解】略8．已知3log 5a =，4log 6b =，6log 7c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】构造函数()()ln 2ln x f x x+=，利用导数求得函数在()1,+∞上单调递减，再比较函数值的大小，即可得到答案； 【详解】设()()ln 2ln x f x x+=，则()3a f =，()4b f =，()()()()2ln 2ln 22ln x x x x f x x x x-++'=+，当1x >时，ln y x x =单调递增，故()0f x '<，即()f x 在()1,+∞上单调递减， 故()()()346f f f >>，即6log 8a b >>，又66log 8log 7c >=，故a b c >>. 故选：A.【点睛】本题求解的关键在于构造函数，再利用导数研究函数的单调性，同时注意结合放缩法.二、多选题9．已知空间中的两个不同平面α，β和两条不同直线a ，b ，若//αβ，a α⊂，b β⊂，则（ ）A ．直线a ，b 可能平行B ．直线a ，b 可能异面C ．直线a ，b 可能垂直D ．直线a ，b 可能相交【答案】ABC 【详解】略10．定义在R 上的函数()f x 满足()502f x f x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，且54y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数，则下列关于函数()f x 的说法中一定正确的是（ ）A ．周期为52B ．图象关于点5,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．是偶函数 D ．图象关于直线54x =对称 【答案】BC【详解】由题知()52f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，若()f x 的周期为52，则()()f x f x =-，即()0f x =，显然不一定；由54y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数知54f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，故()f x 的图象关于5,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称，从而()52f x f x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又()52f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5522f x f x ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数；又由()52f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭知，()()52f x f x f x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5,04⎛⎫⎪⎝⎭对称. 11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，12n n S S n +=+，则（ ） A ．1n n a S +>B ．{}1n a +是等比数列C ．2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增数列D ．2nn S a <【答案】ACD【详解】由12n n S S n +=+得1n n a S n +=+，故1n n a S +>，将12n n S S n +=+，()1212n n S S n n -=+-≥两式相减得121n n a a +=+，即()1121n n a a ++=+()2n ≥，又令1n =得21111213212S S a a a =+⇒+=+⇒=，()21121a a +≠+，所以{}1n a +从第二项开始成等比数列，公比为2，故2n ≥时()221212n n n a a -+=+=，即21n n a =-，2,121,2n n n a n =⎧=⎨-≥⎩，12,121,2n n n S n n +=⎧=⎨--≥⎩，令1,1122,22n n n n n S c n n =⎧⎪==⎨+-≥⎪⎩， 则2n ≥时，1102n n n n c c ++-=>，即1n n c c +>，而2154c c =>，所以数列{}n c 单调递增；则2n ≥时，1102n n n n c c ++-=>，即1n n c c +>，而2154c c =>，所以数列{}n c 单调递增；2n ≥时，()112212211n n n n S a n n ++-=----=-≤-，112S a <显然成立，故2n n S a <恒成立.12．已知α､0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin sin αβαβ+=，则（ ） A ．tan tan 4αβ≥B ．tan tan 4αβ+≥C ．()()cos sin 1sin sin cos cos αβαβαβαβ+++= D ．()4tan 13αβ-≤+≤- 【答案】ABD【分析】A 、B ．利用两角和的正弦公式将条件展开，然后两边同除cos cos αβ得到tan ,tan αβ所满足的等式，结合基本不等式确定出tan tan αβ和tan tan αβ+的取值范围；C ．根据两角和的正弦和余弦公式化简C 选项，从而可计算出tan tan αβ的值并进行判断；D ．根据两角和的正切公式以及tan tan αβ的取值范围化简并计算出()tan αβ+的取值范围.【详解】由()sin sin sin αβαβ+=得sin cos cos sin sin sin αβαβαβ+=， 同除cos cos αβ得tan tan tan tan αβαβ=+()，所以tan tan tan tan 2tan tan αβαβαβ=+≥，即tan tan 4αβ≥，∴tan tan 2tan tan 4αβαβ+≥≥，取等号时tan tan 2αβ==，故A ，B 正确；()()cos sin 111tan tan 1sin sin cos cos tan tan αβαβαβαβαβαβ+++=⇔-++=1tan tan 2tan tan αβαβ⇔+=tan tan 1αβ⇔=，显然不成立，故C 错误；()tan tan tan tan 1tan 11tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ++===---，由tan tan 4αβ≥知，110tan tan 4αβ<≤，∴()4tan 13αβ-≤+<-，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于对条件等式的化简，通过等式两边同除cos cos αβ得到tan ,tan αβ所满足的关系，根据基本不等式求解tan tan αβ+，tan tan αβ的取值范围，根据()tan αβ+的公式结合tan ,tan αβ的关系求解()tan αβ+的取值范围.三、填空题13．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于____________.【答案】13. 【详解】，，即；则此数列的前13项的和.【解析】等差数列的性质与求和公式.14．某中学的学生会共有7名同学负责活动策划，其中高一年级3人，高二年级4人，现随机安排其中3人负责新学期的社团推广活动.要求这3人中既有高一年级的也有高二年级的，则不同的安排方案共有___________种. 【答案】30【分析】先求出从这7名同学中任选3人的选法，再分别求出这3人全是高一年级的同学和这3人全是高二年级的同学的选法，然后作差可得答案.【详解】从这7名同学中任选3人，有3735C =种选法若这3人全是高一年级的同学，则有331C =种选法若这3人全是高二年级的同学，则有344C =种选法所以这3人中既有高一年级的也有高二年级的，共有351430--=种不同的选法. 故答案为：3015．曲线()2ln 2f x x x x x =+-+在点()()0,x f x ()00x >处的切线恰好经过坐标原点，则0x =___________. 【答案】1【分析】先求出()f x 的导函数，则()000ln 2k f x x x '==+，写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出答案.【详解】()ln 2f x x x '=+，则()000ln 2k f x x x '==+则切线方程为()()()20000000ln 2ln 2y x x x x x x x x -+-+=+-，代入原点可得：220000000ln 2ln 2x x x x x x x --+-=--， 即20020x x +-=，解得01x =（负根舍去）故答案为：116．若函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图象在(0,)π内有且只有两条对称轴，则ω的取值范围是___________. 【答案】47(,33]【分析】求出函数图象的对称轴的一般形式，再根据其所在的范围可求ω的取值范围. 【详解】令3x k πωπ-=，则3k x πωπ+=，其中k Z ∈.由题设可得：存在整数k Z ∈，使得471033330k k k k πππππππππωωωω++++≤<<<≤，由4330k k ππππωω++≤<可得4133k -<≤-，结合k Z ∈可得1k =-， 故71033πππππωω-+-+<≤即4733ω<≤.故答案为：47(,33].【点睛】方法点睛：对于含参数的余弦型函数（正弦型函数），如果知道它在给定范围上的单调性或对称轴的条数、零点的个数等，一般是求出性质的一般形式，再把存在性问题转化为不等式的整数解问题，确定出整数的取值后可求参数的取值范围.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4132a =，633S =. （1）求n a ；（2）设{}n b 为等比数列，111a b =，()111n n n nb a a b ++-=，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）322n a n =-；（2）1412n n T ⎡⎤⎛⎫=⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）求出3,a d ，再代入通项公式，即可得到答案； （2）求出公比q 和1b ，再代入前n 项和公式，即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意知()()16346663322a a a a S +⨯+⨯===，解得392a=， 所以公差432d a a =-=，所以()33322n a a n d n =+-=-； （2）112a =，所以12b =，则有121n n b b +⨯=，所以公比12q =，所以21112n n n b b q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，所以前n 项和12121411212n nn T ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列基本量运算，考查基本运算求解能力. 18．现有甲､乙等6名来自三所大学的大学生(每所大学各2人)志愿者，为响应当地政府生活垃圾分类管理政策的推行，他们被随机分配到3个社区担任“垃圾分类指导员”工作，每个社区分配两名大学生.（1）求甲､乙两人被分配到同一社区的概率；（2）设有X 个社区的两名“垃圾分类指导员”来自同一所大学，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）15；（2）分布列答案见解析，数学期望：35. 【详解】解：（1）设事件A 为：甲､乙两人被分配到同一社区，将6人分为3组，共有222642153!C C C =种，其中甲乙分到同一组的情况有3种，所以()31155P A ==； （2）由题知，X 的可能取值为013， ， ，()1315P X ==，()3221155P X ⨯===，∴()16801151515P X ==--=，所以X 的分布列为：所以期望()5E X =.19．已知函数()()()22sin cos f x x x x x R =+∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若ABC 的外接圆的直径为且锐角A 满足()1f A =，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）5,1212k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k Z ∈；（2【详解】解：（1）()1cos 21sin 2sin 2212sin 2123x f x x x x x +π⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππ-+π<-<+π，解得单调递增区间为5,1212k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k Z ∈；（2）()2sin 21313f A A π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，解得3A π=. 又令外接圆半径为R ，则223R =，所以3R =. 所以()()()()12sin 2sin 12sin sin 12cos cos 2bc R B R C B C B C B C ===⨯--+⎡⎤⎣⎦，又因为23B C π+=，所以216cos 2932bc B ⎡π⎤⎛⎫=-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(当且仅当3B π=) 所以139sin 3244ABC S bc A bc ==≤△，所以面积最大值为934. 20．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，平面11A ABB ⊥平面ABCD ，1A D AC ⊥，12AA AB =.（1）求1A AB ∠的大小；（2）求二面角11A BD B --的余弦值. 【答案】（1）3π；（2）427. 【分析】（1）由题意，根据面面垂直的性质定理有AD ⊥平面11ABB A ，所以1AD A B ⊥，又易证AC ⊥平面1A BD ，所以1AC A B ⊥，从而得1A B ⊥平面ABCD ，所以1A B AB ⊥，最后在1Rt ABA 中解三角形即可求解；（2）以B 为原点，AC ，BD ，1BA 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出所需点坐标，平面1B BD 的法向量为1n ，平面1A DB 的一个法向量2n ，利用向量法即可求解二面角11A BD B --的余弦值.【详解】解：（1）因为平面11A ABB ⊥平面ABCD ，平面11A ABB ⋂平面ABCD AB =，且AD AB ⊥，所以AD ⊥平面11ABB A ，所以1AD A B ⊥，又1A D AC ⊥，BD AC ⊥，1A D BD D ⋂=， ∴AC ⊥平面1A BD ， ∴1AC A B ⊥，又ACAD A =,1A B ∴⊥平面ABCD ，∴1A B AB ⊥，在1Rt ABA 中,12AA AB =， 所以111cos 2AB A AB A A ∠==， 所以13A AB π∠=；（2）以B 为原点，AC ，BD ，1BA 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系. 设ACBD O =，令2AB =，则有()A ，()0,0,0B，()O，(1A .则()0,BD =，(12,BB =，设平面1B BD 的法向量为1n ，则11100DB n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一解1(601)n =-， ， ，因为1AC A DB ⊥平面，所以平面1A DB 的一个法向量()21,0,0n =，所以12121242cos ,7||||n n n n n n ⋅<>==， 即所求二面角的余弦值为7.21．已知函数()2111f x x ax x+=+--，a R ∈. （1）若()f x 在()0,1上单调递减，求a 的取值范围；（2）设函数()()1g x f x x a =---，若()g x 在()1,+∞上无零点，求整数a 的最小值. 【答案】（1）1a ≤；（2）最小值为2-. 【详解】解：（1）由题知()()21201f x x a x -'=++≤-在()0,1上恒成立，即()2121a x x ≤--恒成立，令()()2121h x x x =--，则()()()3321221011h x x x ⎡⎤-'=-=-+>⎢⎥--⎢⎥⎣⎦， 所以()h x 在()0,1上单调递增， 所以()()min 01a h x h ≤==； （2）()()2101g x a x x =⇔-=+-，记()()211x x x ϕ=+-，则()()3211x x ϕ-'=+-，令()0x ϕ'>，解得312x >()x ϕ在(31,12+上单调递减，在()312,++∞上单调递增，(()33333271212112,3444ϕ==+=，由题知()a x ϕ-=在()1,+∞内无解，故(312a ϕ-<+，所以(312a ϕ>-，∴整数a 的最小值为2-.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，其中A 点在第一象限内，射线AF ，BF 与椭圆C 的交点分别为M ，N .（1）若AF FM =，2BF FN =，求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍，求椭圆C 的方程.【答案】（1）22154x y +=；（2）22132x y +=.【详解】解：（1）由椭圆的对称性知AM x ⊥轴，故21,b A a ⎛⎫⎪⎝⎭，21,b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则由2BF FN =得22,2b N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得42224114b a b a +⋅=，解得22164b a +=，所以221164a a -+=，即25a =，故椭圆方程为22154x y +=；（2）设()00,A x y ，()00,B x y --，令()00=1,FM AF x y λλ=--，则()001,M x y λλλ+--，代入椭圆方程得()()22002211x y abλλλ+--+=，即()()22222000221211x x y a bλλλλλ+-+++=， 又2200221x y a b +=，所以()()20221211x a λλλλ+-++=，化简得到()()20121x a λλλ+-=-①同理：令FN BF μ=，解得()001,N x y μμμ++，则有()()20121x a μμμ++=-②由题知()()()()000000211M N M N y y y y yx x x x x λμλλμμ---==⋅-+--++，解得()()02x λμλμ+=-，③①-②得()()()202x aλμλμμλ--+=-，将③式代入得()()()24a λμλμμλ---=-，∴23a =，故椭圆方程为22132x y +=.。

辽宁省沈阳市第二中学2023届高三下学期第六次模拟考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
．2
300.88cm B．313.52cm ．已知()
f x是定义在R上的函数，满足则下列说法一定正确的是（）
四、解答题
17．已知数列{}n
a 的前n 项和为1
,0n S a =，且()
*1
22N n n S
S n +=+Î.
22．已知函数()ln f x x x =.(1)求()f x 的单调区间；
(2)若12x x <，且()()12
f x f x a ==，证明：21e 11a x x a +<-<+.
（1）直接构造法：证明不等式()()()()
><转化为证明()()0
f x
g x f x g x
()
->
f x
g x
()()
(0)
-<，进而构造辅助函数()()()
f x
g x
=-；
h x f x g x
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

2023-2024学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟考试暨假期质量测试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：高三备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．1.若集合{}2560A x x x =--≤，(){}ln 214B x y x ==-，则()RA B ⋂=ð（）A.()7,+∞ B.()6,+∞ C.(]1,7- D.(]1,6-2.已知R x ∈，则“|1||1|2x x ++-≤”是“11x>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在()1nx -的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则n =（）A.5B.6C.7D.84.若()f x 是R 上周期为3的偶函数，且当302x <≤时，()4log f x x =，则132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.12-B.12C.2- D.25.若ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．则tan α=（）A.B.2C.3D.6.函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.87.12,F F 是双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>的左、右焦点，点M 为双曲线E 右支上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==，若()1235MF MF MN λλ+=∈R，则双曲线E 的离心率为（）A.87 B.65C.53D.728．设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个A ．3B ．2C ．1D ．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案 【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立， 此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+， 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点， 即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =， 所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =， 所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <， 所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减， 当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-， 因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥， 故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为 ． 【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率． 【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=， 即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②， 又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解． 【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤． 故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积． 【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==． 故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定． 【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ， 则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-， 由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-， 代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-， 令[]01,0,2t y t =-∈， 则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭， 当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=， 综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-， 故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； 当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-， 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =， 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =， 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长． 【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22， 【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤； （2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =， 综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-， 令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。

数学试题 第 1 页（共 4 页）2024年普通高等学校招生“圆梦杯”统一模拟考试（六）数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知3i z =−，则||z = A ．0BCD2．若2()(1)2f x x ax =−+为偶函数，则a = A ．2−B ．1−C ．0D ．13．已知某商场在上半年的六个月中，每个月的销售额y （万元）与月份x （126,,,x = ）满足线性回归方程ˆˆ12278..yx =+，则该商场上半年的总销售额为 A ．160万元 B ．176万元 C ．180万元 D ．192万元4．命题p ：0xy >；命题q ：||||||x y x y +=+，则命题p 是命题q 的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()ln f x x ax =+在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为 A ．1−B ．12−C ．12D ．16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积为S ．若4a =，且2tan S A =，则22b c += A ．24B ．27C ．32D ．36数学试题 第 2 页（共 4 页）7．设椭圆2221(0)9:x y C b b +=>的离心率为23，左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在C上．若211cos 4AF F ∠=，则12AF F △的面积为 ABCD．8．已知集合{|010π}A θθ=<<，7π{|sin 3cos()}6B θθθ==+，则集合A B 中的元素个数为 A ．15B ．20C ．30D ．40二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

扬州市2023-2024学年高三考前调研测试数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}20,,1,1,1A aB a a ==+-，则“1a =”是“A B ⊆”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若复数z 满足1i z=，则z 等于（ ）A.12 D.23.圆22:9O x y +=被直线:2l y =+所截线段的长度为（ ）A.2B.4C.D.4.某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（ ）（参考数据：lg20.301≈）A.40年B.30年C.20年D.10年5.已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ） A.25π8 B.25π6 C.25π4 D.25π26.在二项式2024(13)x +的展开式中，记各项的系数和为S ，则S 被5除所得的余数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.17.在ABC 中，2,DC BD M =为线段AD 的中点，过M 的直线分别与线段AB AC ､交于P Q ､，且2,3AP AB AQ AC λ==，则λ=（ ） A.16 B.13 C.12 D.23 8.将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为123,,x x x ，则123x x x 剟的概率为（ ） A.554 B.754C.527D.727二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错的得0分.9.已知函数()2π2cos 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ） A.()f x 最小正周期为2π B.π6x =是()f x 图象的一条对称轴 C.5π,112⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 D.()f x 在ππ,44⎛⎫-⎪⎝⎭上单调 10.已知正实数,m n 满足ln e ln m m n n =⋅+（e 是自然对数的底数，e 2.718≈），则（ ） A.e m m n =⋅ B.e n n m =⋅ C.1e m n -的最大值为21e D.方程1e emn -=-无实数解 11.如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体1111ABCD A B C D -）放置在水平面α的上方，点A 恰在平面α内，点B 到平面α的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面11AA D D 的交线与1A D的夹角为0，记水面到平面α的距离为d ，则（ ）A.平面11ABC D ⊥平面αB.点1D 到平面α的距离为8C.当()2,8d ∈时，水面的形状是四边形D.当7d =时，所装的水的体积为7474三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则sin C =__________.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是12F F ､，若双曲线左支上存在点P ，使得212PF PF =，则该双曲线离心率的最大值为__________.14.对于有穷数列{}n a ，从数列{}n a 中选取第1i 项､第2i 项､､第m i 项()12m i i i <<<，顺次排列构成数列{}k b ，其中,1k k i b a k m =剟，则称新数列{}k b 为{}n a 的一个子列，称{}k b 各项之和为{}n a 的一个子列和.规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的子列.则数列1,2,4,8,16,32的所有子列和的和为__________.四､解答题：本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，且()21n n n S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：121112nS S S +++<. 16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，112AB AD CD BC ====，点M 在PB 上，点N 在BC 上，平面AMN ∥平面PCD .（1）求证：N 是BC 的中点；（2）若,,PA AB PA AB PC BC ⊥==，求直线MC 与平面PCD 所成角的正弦值. 17.（本小题满分15分）扬州是国家历史文化名城，“烟花三月下扬州”“春风十里扬州路”传诵千年.为了给来扬州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App 平台10天预订票销售情况：经计算可得：10101021111 1.85,96,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑. （1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App 平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求y 关于t 的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；（2）该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中X 张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），X 的分布列如下：今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率. 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归线ˆˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆˆˆ,()ni i i ni i u v nuvv u un u βαβ==-==--∑∑ 18.（本小题满分17分） 已知函数()()sin ,f x x g x x ==.（1）求函数()()()()2,0,2πh x f x x x =∈的极值； （2）函数()()()π,0,2g x x x f x ϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （i ）讨论函数()x ϕ的单调性； （ii ）函数()()()1cos 0F x a x x x ϕϕ=⋅⋅-<，求实数a 的取值范围. 19.（本小题满分17分）己知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>短轴长为2，椭圆E 上一点M 到()0,2P距离的最大值为3.（1）求a 的取值范围；（2）当椭圆E 的离心率达到最大时，过原点O 斜率为()0k k ≠的直线l 与E 交于A C ､两点，PA PC ､分别与椭圆E 的另一个交点为B D ､.（i ）是否存在实数λ，使得BD 的斜率k '等于k λ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由； （ii ）记AC 与BD 交于点Q ，求线段PQ 长度的取值范围.扬州市2024届高三考前调研测试数学参考答案1.B2.A3.D4.C5.C6.D7.B8.D9.BC 10.ACD 11.ABD13.3 14.2016 15.【解析】（1）因为()21n n n S a a =+①，所以()11121n n n S a a +++=+②，()11121S a a =+③， 由③得：()2110a -=，所以11a =，②-①得：()()221112n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得：()()1110n n n n a a a a +++--=，又因为{}n a 各项均为正数，所以11n n a a +-=，所以{}n a 是公差1d =的等差数列，()()1111n a a n d n n =+-=+-=. （2）证明：由（1），()()1122n n n a a n n S ++==，所以()122211n S n n n n ==-++， 所以12111222222222122311n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 16.【解析】（1）因为平面AMN ∥平面PCD ，平面ABCD ⋂平面AMN AN =， 平面ABCD ⋂平面PCD CD =.所以AN ∥CD ，又由梯形ABCD 可得AD ∥CN ，所以四边形ADCN 为平行四边形， 所以12CN AD BC ==，所以N 是BC 的中点. （2）连接AC ，由（1）知N 是BC 的中点，12AN CD BC ==，所以90BAC ∠=，即AB AC ⊥，因为,,CB CP AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC 全等， 所以90PAC BAC ∠∠==，即PA AC ⊥，又,,,PA AB AB AC A AB AC ⊥⋂=⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ， 以{},,AB AC AP 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()()10,0,1,1,0,0,,2P B C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,1,0,3,02222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，取x =1,y z =-=(3,1,n =-，由平面AMN ∥平面PCD ，平面PBC ⋂平面AMN MN =，平面PBC ⋂平面PCD PC =. 得MN ∥PC ，又N 是BC 的中点，所以M 是PB 的中点，1111,0,,,2222M CM ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设直线MC 与平面PCD 所成角为3,sin cos ,7CM n CM n CM nθθ⋅====⋅⋅，所以直线MC 与平面PCD 所成的角的正弦值为7. 17.【解析】（1）设y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy t αβ=+， 则910111291115,0.5(1.85100.5)2,2999i i i i t y y y ==+++⎛⎫====-=⨯-= ⎪⎝⎭∑∑， 910910222111110385100285,100.596591,i ii i i i i i i i t tt y t y =====-=-=⋯=-⨯=-=∑∑∑∑，所以9122219919521123ˆˆˆ,25285956060129()i ii Oii t y tyy t tt βαβ==--⨯⨯====-=-⨯=-⨯-∑∑， 所以y 关于t 的线性回归方程是231ˆ1260yt =+. （2）记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票”为事件A ， “该份团体票中共有i 张有奖门票”为事件i B ，则()313P B =， ()1131324C C 1C 2P A B ==∣，所以()()()33316P AB P B P A B ==∣，()()11222424C C 2,0C 3P A B P A B ===∣∣，所以()()()()234P A P AB P AB P AB =++()()()()()22344121102362P B P A B P AB P B PA B =++=⨯++=∣∣.所以()()()33116132P AB P B A P A ===∣. 答：所求概率是13.18.【解析】（1）函数()2sin h x x =，导函数()2cos h x x =' 令()()π0,0,2π,h x x x =∈='或11π,x =由上表，函数()h x 极大值为π166h ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极小值为11π166h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）（i ）()()()()2πsin cos ,0,,sin 2sin g x x x x x x x x f x x x ϕϕ-⋅⎛⎫==∈= ⎪⎝⎭' 记()sin cos x x x x γ=-⋅，则()()cos cos sin sin x x x x x x x γ=--⋅=⋅'π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0x γ'≥，所以π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00x γγ>=，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ是π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数. （ii ）()cos sin π,0,sin 2ax x x F x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭当0a ≤时，()0F x <恒成立； 当0a >时，()22sin cos 0cos sin 0sin x xF x a x ax x x x x=⋅⋅-<⇔-< 令()22πcos sin ,0,2G x ax x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ 当1a >时，令()()()πsin ,0,,1cos 0,2M x x x x M x x M x ⎛⎫=-∈=-> ⎪⎝⎭'在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，()()00,M x M >=即sin x x >()()22222cos sin cos cos 1G x ax x x ax x x x a x =->-=-因为1a >，所以()000π10,,cos ,02x x G x a⎛⎫∃∈=> ⎪⎝⎭，不满足题意， 所以1a >不成立.01a <≤时，()2222cos sin cos sin G x ax x x x x x =--…记()()222cos sin ,2cos sin 2sin cos H x x x x H x x x x x x x =-='--由（i ）知π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin x x x <， 所以()22sin sin 2sin cos H x x x x x x <--'222222sin 1cos 2sin 2sin 2sin 2022222x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--=⋅-<⋅-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()00H x H <=.所以01a <≤成立. 综上所述：1a ≤.19.【解析】（1）设(),M x y ，由题知，22b =，即1b =，则2221x y a+=，即()222211,x a a y y =--剟记()()222222(2)144f y MP x y a y y a ==+-=---++， 则()f y 在[]1,1-上的最大值为9，对称轴为2201y a -=<- ①当2211a ---…，即(a ∈时，()max ()19f y f =-=，成立； ②当2211a ->--，即a >22max 222244()41559111f y f a a a a a -⎛⎫==++=-++= ⎪---⎝⎭…，当且仅当22411a a -=-，即23a =时等号成立，不成立； 综上，(a ∈.（2）由（1）得，222222111c a e a a a -===-，所以当a =离心率达到最大，此时，椭圆22:13x E y += （i ）设()00,A x kx ，则()00,C x kx --，其中2220013x k x +=即()220313k x +=，由00222:213kx PA y x x x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()()22220000031121212290k x kx x x kx x x ⎡⎤+-++-+=⎣⎦ 即()()22000544230kx x x kx x x -+-+=，所以20000033,5445B B x x x x x kx kx -==--， 所以0000354,4545x kx B kx kx ⎛⎫--⎪--⎝⎭，同理可得：0000354,4545x kx D kx kx ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭所以，BD 的斜率000000000054544545183333054545kx kx kx kx kx k k x x x kx kx +--+--===----+'- （ii ）由（i ）知，()00000035416203334:54545554555x kx kx BD y k x kx kx kx kx kx ⎛⎫--=-++=-+=-+ ⎪---⎝⎭ 由34:55:BD y kx AC y kx⎧=-+⎪⎨⎪=⎩.，3455y y =-+，即12Q y =，将12y =代入椭圆方程得：32x =±，所以，Q的轨迹方程为133222y x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，所以，线段PQ长度的取值范围为3,22⎡⎢⎣⎭.。

本溪市高级中学2025届高三第六次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ）A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 2．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-4．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．115．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或86．已知随机变量X 的分布列如下表： X1-0 1P ab c其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥7．将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[]0,a 上单调递减，那么实数a 的最大值为（ ） A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π 8．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A ．63πB ．83πC ．123πD ．243π9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18B ．17C ．16D ．1510．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞） B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）11．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．12．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪--≥⎨⎪≤⎩，则2m n -的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。