阿波罗尼斯圆(课堂PPT)

1 Apollonius 圆 （阿波罗尼斯 圆，简称 “阿氏圆”）
例. 已知，两点坐标()()3,0,3,0A B -,若平面上一点P 满足
2PA PB
=,求P 点轨迹. 解：设P (),x y ，由题意
2= 化简得 ()22516x y ++=
一般地：若平面上P 和定点A 、B 满足PA PB
λ=，当0λ>且1λ≠时，P 的轨迹是一个圆
“阿氏圆”性质：
（1）等比：2PA MA A PB MB NB
N ===；（正弦定理推论） （2）平分：PM 平分APB ∠，
PN 平分APB ∠的外角
（3）性质逆用
（2011苏州市 一模）
18.已知椭圆E ：22221x y a
b +=()0a b >>
的离心率为2，且过点(P ，设椭圆E 的右准线l 与x
轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长（1）求椭圆E 的方程及圆O 的方程；
（2）若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意
一点N ，有
MN NQ 为定值；且当
M 在直线l 运动时，点Q 在一个定圆上.
（第18题图）。

阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。

它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名，展现了数学的深邃与美妙。

让我们先来了解一下阿波罗尼斯圆的定义。

给定平面内两个定点A、B，平面内一动点 P 满足 PA ／ PB ＝λ（λ 为非零常数且λ ≠ 1），则点 P 的轨迹是一个圆，这个圆就被称为阿波罗尼斯圆。

为了更直观地理解阿波罗尼斯圆，我们可以通过一个简单的例子来感受。

假设 A、B 两点的坐标分别为（－2, 0) 和（2, 0)，λ ＝ 2。

设点P 的坐标为（x, y)，根据距离公式，PA 的长度为√（x ＋ 2)＾2 ＋ y^2，PB 的长度为√（x 2)＾2 ＋ y^2。

因为 PA ／ PB ＝ 2，所以√（x ＋ 2)＾2 ＋ y^2 ／√（x 2)＾2 ＋ y^2 ＝ 2。

对等式两边进行平方并化简，最终可以得到一个圆的方程。

那么，阿波罗尼斯圆有哪些独特的性质呢？首先，圆心一定在线段AB 的中垂线上。

其次，当λ ＞ 1 时，点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 B 点的一侧为优弧的圆；当 0 ＜λ ＜ 1 时，点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 A 点的一侧为优弧的圆。

接下来，让我们探讨一下阿波罗尼斯圆在实际中的应用。

在物理学中，阿波罗尼斯圆可以用来分析带电粒子在电场中的运动轨迹。

例如，当两个等量同种电荷形成的电场中，一个带电粒子在其中运动，其轨迹可能就符合阿波罗尼斯圆的特征。

在工程设计中，阿波罗尼斯圆也有重要的作用。

比如在建筑设计中，要确定一些特定的支撑点位置，使得结构更加稳定，就可以运用阿波罗尼斯圆的原理来进行计算和规划。

在计算机图形学中，阿波罗尼斯圆可以用于生成特定形状的图形。

通过对阿波罗尼斯圆的参数进行调整，可以创造出丰富多样的视觉效果。

在数学竞赛和考试中，阿波罗尼斯圆也是一个常见的考点。

它常常与三角形、圆的相关知识结合，考察学生对几何图形的理解和运用能力。

专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点1阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点1阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用【微点综述】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法．阿波罗尼斯（Apollonius 约公元前262~192），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．1、阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点,A B ，设P 点在同一平面上且满足PAPBλ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（1λ=时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2、阿波罗尼斯圆的证明【定理1】设()()()1,,,0,,0P x y A a B a -．若PAPBλ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹方程是2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，其轨迹是以221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为221a r λλ=-的圆．证明：由PA PB λ=及两点间距离公式，可得()()22222x a y x a y λ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简可得()()()()2222222112110x y ax a λλλλ-+-+++-=①，（1）当1λ=时，得0x =，此时动点的轨迹是线段AB 的垂直平分线；（2）当1λ≠时，方程①两边都除以21λ-得()222222101a x x y a λλ++++=-，化为标准形式即为：2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，∴点P 的轨迹方程是以221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为221a r λλ=-的圆．图①图②图③阿波罗尼斯圆的另一种形式：【定理2】,A B 为两已知点，,M N 分别为线段AB 的定比为()1λλ≠的内外分点，则以MN 为直径的圆C 上任意点P 到,A B 两点的距离之比为λ．证明：以1λ>为例．如图②，设2AB a =，AM ANMB NBλ==，则222,2111a a aAM BM a λλλλλ==-=+++，222,2111a a aAN BN a λλλλλ==-=---．过B 作AB 的垂线圆C 交于,Q R 两点，由相交弦定理及勾股定理得222 22222244,11a a QB MB BN QA AB QBλλλ=⋅==+=--，于是,QAQB QAQBλ∴=．,,M Q N同时在到,A B两点距离之比等于λ的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，∴圆C上任意一点P到,A B两点的距离之比恒为λ．同理可证01λ<<的情形．3、阿波罗尼斯圆的相关性质由上面定理2的证明可得如下的性质：性质1：当1λ>时，点B在圆C内，点A在圆C外；当01λ<<时，点A在圆C内，点B在圆C外．性质2：因2AQ AM AN=⋅，故AQ是圆C的一条切线．若已知圆C及圆C外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为241aMNλλ=-，面积为()222241aλλπ-．性质4：过点A作圆C的切线AQ（Q为切点），则,QM QN分别为AQB∠的内、外角平分线．性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分AB和外分AB所得的两个分点，如图所示，M是AB的内分点，N是AB的外分点，此时必有PM平分APB∠，PN平分APB∠的外角．证明：如图①，由已知可得PA MA NAPB MB NBλ===（0λ>且1λ≠），PAMPBMS MAS MBλ∆∆==，又11sinsin,sin,22sinPAM PBMPA PM APMS PA PM APM S PB PM BPMPB PM BPMλ∆∆⋅∠=⋅∠=⋅∠∴=⋅∠，sin sin,,APM BPM APM BPM∴∠=∠∴∠=∠∴PM平分APB∠．由等角的余角相等可得BPN DPN∠=∠，PN∴平分APB∠的外角．性质6：过点B作圆C不与QR重合的弦EF，则AB平分EAF∠．证明：如图④，连结,ME MF，由已知,.ABEABFSFA EA EB EA EBFB EB FB FA S FBλ∆∆==∴==（0λ>且1λ≠），又11sinsin,sin,22sinABE ABFAB AE BAE EB AES AB AE BAE S AB AF BAFAB AF BAF FB AF ∆∆⋅∠=⋅∠=⋅∠∴==⋅∠，sin sin,,BAE BAF BAE BAF AB∴∠=∠∴∠=∠∴平分EAF∠．sin sin,,BAE BAF BAE BAF AB∴∠=∠∴∠=∠∴平分EAF∠．【典例刨析】例1．（2022·河北盐山中学高二期中）1．已知两定点()2,1A -，()2,1B -，如果动点P 满足PA =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于___________.例2．（2022四川涪陵月考）2．若ABC ∆满足条件4, 2 AB AC BC ==，则ABC ∆面积的最大值为__________．3．已知圆O ：229x y +=，点()5,0B -，在直线OB 上存在定点A （不同于点B ），满足对于圆O 上任意一点P ，都有PA PB 为一常数，试求所有满足条件的点A 的坐标，并求PAPB．4．在平面直角坐标xOy 中，已知点()()1,0,4,0A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是_______．5．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A ，B 的距离之比为λ（0λ>，且1λ≠），那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足PA PB=，则22PA PB +的最大值为（）A ．16+B ．8+C ．7+D ．3例6．（2022四川·成都外国语学校高二月考）6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且)1k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点()1,0A -，()2,0B ，圆()()()221:204C x y m m -+-=>，在圆上存在点P 满足2PA PB =，则实数m 的取值范围是（）A ．⎣⎦B ．542⎡⎢⎣⎦C ．2⎛ ⎝⎦D ．22⎤⎢⎥⎣⎦【针对训练】7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，()221:44-+=O x y ，动点P 在直线0-=x b 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为,A B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．8．已知,A B 是平面上两个定点，平面上的动点,C D 满足||||CA DA CB DBm ==，若对于任意的3m ≥，不等式k CD AB ≤恒成立，则实数k 的最小值为______．9．已知点(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若||2||AD BD ≤恒成立，则最小正整数t =__________.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆1O ：22(4)4x y ++=，动点P 在直线l ：0x b -+=上（0b <），过P 分别作圆O ，1O 的切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有一个，则实数b 的值为______.11．在平面直角坐标系xOy 中，,M N 是两定点，点P 是圆O ：221x y +=上任意一点，满足：2PM PN =，则MN 的长为.（2022辽宁·高二期中）12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值(0λλ>且1)λ≠的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，动点P 满足||1||2PA PB =.设点P 的轨迹为1C .(1)求曲线1C 的方程；(2)若曲线1C 和2222:(4)(6)(0)C x y r r -+-=> 无公共点，求r 的取值范围.。

专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球 【微点综述】对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题．对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题． 【典例刨析】例1．（2022贵州贵阳·模拟）1．在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，1BB ，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且PA =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．152．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P满足BP ．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在平面11A BCD 内，且3PA PB =，则点P 的轨迹的长度为___________.4．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A 、B 距离之比()0,1λλλ>≠是常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的表面11ADD A (包括边界)上的动点，若动点P 满足2PA PD =，则点P 所形成的阿氏圆的半径为______；若E 是CD 的中点，且满足APB EPD ∠=∠，则三棱锥P ACD -体积的最大值是______.阿波罗尼奥斯例5．（2022·湖南怀化·高二期末）5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A ，B 的距离之比为常数()0,1λλλ>≠的点的轨迹是—个圆心在直线AB 上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ===，点E 在棱AB 上，2BE AE =，动点P 满足BP =，若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 对应的轨迹的面积是___________；F 为11C D 的中点，则三棱锥1P B CF -体积的最小值为___________.6．棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点M ，则13MB MC +的最小值为______.【针对训练】7．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线8．如图，已知平面αβ⊥，l αβ=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D--的余弦值的最小值是（ ）A B C ．12D ．1（2022·山西太原·二模（理））9．已知点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为线段11B C 上一点，112NC B N =，DM BN ⊥，则动点M 运动路线的长度为（ ）A BC D （2022天津西青区杨柳青一中高二期中）10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比()0,1λλλ>≠是常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的表面11ADD A （包括边界）上的动点，若动点P 满足2PA PD =，则点P所形成的阿氏圆的半径为___________；若E 是CD 的中点，且正方体的表面11ADD A （包括边界）上的动点F 满足条件APB EPD ∠=∠，则三棱锥F ACD -体积的最大值是__________．11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为侧面11BB C C 内的动点，且2PA PB =，则点P 所形成的轨迹图形长度为_______________． （2022江西上饶·二模（理））12．点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112NB NC =，DM BN ⊥，若球O 的体积为36π，则动点M 的轨迹长度为___________.13．已知在棱长为12的正四面体ABCD 的内切球球面上有一动点P ，则PA 的最小值为______，13PA PB+的最小值为______．专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点5 阿波罗尼斯球 【微点综述】对于立体几何某些涉及距离比值的动点轨迹问题，可转化为在某个平面内的距离关系，从而借助阿波罗尼斯球和阿波罗尼斯圆的定义及相关知识解决问题．对于这类问题也可以利用空间坐标计算求解轨迹问题． 【典例刨析】例1．（2022贵州贵阳·模拟）1．在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，1BB ，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P在三棱柱内部或表面上运动，且PA ，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．152．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P满足BP ．若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为________；若点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在平面11A BCD 内，且3PA PB =，则点P 的轨迹的长度为___________.4．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A 、B 距离之比()0,1λλλ>≠是常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的表面11ADD A (包括边界)上的动点，若动点P 满足2PA PD =，则点P 所形成的阿氏圆的半径为______；若E 是CD 的中点，且满足APB EPD ∠=∠，则三棱锥P ACD -体积的最大值是______.阿波罗尼奥斯例5．（2022·湖南怀化·高二期末）5．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A ，B 的距离之比为常数()0,1λλλ>≠的点的轨迹是—个圆心在直线AB 上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ===，点E 在棱AB 上，2BE AE =，动点P 满足BP =，若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 对应的轨迹的面积是___________；F 为11C D 的中点，则三棱锥1P B CF -体积的最小值为___________.6．棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点M ，则13MB MC +的最小值为______.【针对训练】7．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线 C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线 8．如图，已知平面αβ⊥，l αβ=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A B C ．12D ．1（2022·山西太原·二模（理））9．已知点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为A BC D （2022天津西青区杨柳青一中高二期中）10．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A ，B 距离之比()0,1λλλ>≠是常数的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体的表面11ADD A （包括边界）上的动点，若动点P 满足2PA PD =，则点P 所形成的阿氏圆的半径为___________；若E 是CD 的中点，且正方体的表面11ADD A （包括边界）上的动点F 满足条件APB EPD ∠=∠，则三棱锥F ACD -体积的最大值是__________．11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为侧面11BB C C 内的动点，且2PA PB =，则点P 所形成的轨迹图形长度为_______________． （2022江西上饶·二模（理））12．点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112NB NC =，DM BN ⊥，若球O 的体积为36π，则动点M 的轨迹长度为___________.13．已知在棱长为12的正四面体ABCD 的内切球球面上有一动点P ，则PA 的最小值为______，13PA PB +的最小值为______．参考答案：1．D【分析】在平面P AB 中，作MPN MAP ∠=∠,交AB 于点N ，从而得到PNMANP ，判断出B 、N 重合，得到点P 落在以B12V V ，，即可求出12V V . 【详解】如图，在平面P AB 中，作MPN MAP ∠=∠,交AB 于点N ，则MPN NAP ∠=∠, 又因PNM ANP ∠=∠，所以PNM ANP ，所以PN AN PA MN PN MP ===,AN MN ==,所以AM AN MN =-=. 因为112AM AB ==，所以1PN MN =, 所以B 、N重合且BP PN ==所以点P 落在以B. 作BH AC ⊥于H，则2BH AB =因为1AA ⊥面ABC ，所以1AA ⊥BH ， 又因为1AA AC A =，所以BH ⊥面11AA CC ，所以B 到面11AA CC的距离为BH BP ， 所以球面与面11AA CC相切，而1BB = 所以球面不会与面111A B C 相交， 则31142833V BP π==， 111=2222V AB BC AA ⨯⨯⨯=⨯⨯=三棱柱,所以21V V V=-=三棱柱，所以12VV=15.故选：D.【点睛】立体几何中的动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型，有两种处理方法：(1)很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义法)；(2)要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式．2．94##2.25【分析】建立空间直角坐标系，由两点间距离公式化简后得轨迹方程，再由空间向量表示点到平面的距离公式求解最值【详解】以AB为x轴，AD为y轴，1AA为z轴，建立如图所示的坐标系，在平面直角坐标系xAy中，(6,0),(2,0),B E设(,)P x y，由BP得2222(6)3[(2)]x y x y-+=-+，所以22+12x y=，所以若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为若点P在长方体1111ABCD A B C D-内部运动，设点(,,)P x y z，由BP得222222(6)3[(2)z]x y z x y-++=-++，所以222++12x y z=，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC=-=-设平面1B CF的法向量为000(,,)n x y z=r，所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x ynn B C y z⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩，由题得(6,3,z)CP x y=--，所以点P到平面1B CF的距离为|||||CP n xhn⋅+==因为2222222(++)(111)(),66x y z x y zx y z++≥++∴-≤++≤，所以minh==M为CP的中点，所以点M到平面1BCF由题得1B CF△=所以三棱锥1M B CF -的体积的最小值为(21934．故答案为：943 【分析】若E 为1AB 与1A B 的交点，由正方体的性质可证AE ⊥面11A BCD ，在Rt △AEP 中有222AE PE AP +=可得228PE AP +=，再在面11A BCD 上构建平面直角坐标系，并写出各点坐标且令00(,)P x y ，结合已知条件列方程，即可得P 的轨迹，进而求轨迹长度.【详解】若E 为1AB 与1A B 的交点，则1AE A B ⊥， ∵BC ⊥面11AA B B ，AE ⊂面11AA B B ， ∴AE BC ⊥，又1A B BC B =I ， ∴AE ⊥面11A BCD ，∴连接PE ，即在Rt △AEP 中有222AE PE AP +=，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4， ∴228PE AP +=在面11A BCD 上构建如下平面直角坐标系，若00(,)P x y ，11(0,0),(0,4),A B C D E ，∴22200(PE x y =-+，22200(PB x y =-+，∴222200816AP PE x y =+=-++，又3PA PB =，∴2222000000169(32)x y x y -++=-++，整理得22000340x y ++=，∴220017(48x y -+=，故轨迹为半径r =的圆，∴轨迹长度为2r π=【点睛】关键点点睛：应用正方体的性质及勾股定理得228PE AP +=，再在面11A BCD 上构建平面直角坐标系，设00(,)P x y 结合已知条件可得方程，整理即有P 的轨迹方程.4．43【解析】在AD 上取点M ，在AD 延长线上取点N ，使得2MA MD =，2NA ND =，则,M N 是题中阿氏圆上的点，则MN 是阿氏圆的直径，由此可求得半径，由APB EPD ∠=∠可得Rt PDERt PAB △△，2PA ABPD DE==，即P 在上述阿氏圆上，这样当P 是阿氏圆与1DD 交点Q 时，P 到平面ACD 距离最大，三棱锥P ACD -体积的最大，由体积公式计算可得．【详解】在AD 上取点M ，在AD 延长线上取点N ，使得2MA MD =，2NA ND =，则,M N 是题中阿氏圆上的点，由题意MN 是阿氏圆的直径， 2AD =，则23MD =，2DN =，所以28233MN =+=，∴阿氏圆半径为423MN =； 正方体中AB ，CD 都与侧面11ADD A 垂直，从而与侧面11ADD A 内的直线,PA PD 垂直，如图APB EPD ∠=∠，则Rt PDE Rt PAB △△，∴2PA ABPD DE==，即P 在上述阿氏圆上， ∵ACD △的面积是2为定值，因此只要P 到平面ACD 距离最大，则三棱锥P ACD -体积的最大，由于P 点在阿氏圆上，当P 是阿氏圆与1DD 交点Q 时，P 到平面ACD 距离最大，此时2QA QD =2=，QD =，三棱锥P ACD -体积的最大值为123V =⨯=．故答案为：43【点睛】关键点点睛：本题考查棱锥的体积，考查新定义的理解与应用．解题关键是正确理解新定义得出圆半径，由已知角相等得出P 点就在新定义“阿氏圆”上，从而易得它到底面距离最大时的位置，从而得出最大体积．5． 12π272-【分析】建立空间直角坐标系，根据BP =，可得P 对应的轨迹方程；先求1B CF △的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点P 到平面1B CF 的距离的最小值即可. 【详解】分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建系，设(),,0P x y ，而(6,0,0)B ,(2,0,0)E ,1(6,0,3)B ，(6,3,0)C ,(3,3,3)F .由BP =,=化简得P 对应的轨迹方程为2212x y +=.所以点P对应的轨迹的面积是212ππ⋅=. 易得1B CF △的三个边11B C B F CF ===即1B CF △是边长为为， 1(0,3,3),(3,0,3)CB CF =-=-，设平面1B CF 的一个法向量为(),,n x y z =，则有330330y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，可取平面1B CF 的一个法向量为()1,1,1n =，根据点P的轨迹，可设,0)P θθ，()23,0,CP θθ∴=--239CP n θθ∴⋅=+-，所以点P 到平面1B CF的距离26CP n d n⋅==≥，所以1133V Sh Sd ==≥272- 故答案为：12π；272- 6． 【分析】(1)将正四面体ABCD放入正方体可求得外接球半径,利用等体积法可求得内切球的半径.(2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将13MC 转换,从而得出13MB MC +取最小值时的线段,再根据余弦定理求解即可.【详解】(1) 将正四面体ABCD 放入如图正方体,则正四面体ABCD 的外接球与该正方体的外接球为同一球.=设正四面体ABCD的内切球半径为r,根据等体积法有3321114436323r-⨯⨯⨯=⨯,解得r=故外接球与内切球的半径之和为=(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以,C E为定点,空间中满足()1PCPEλλ=≠的点P的集合,连接CO并延长交平面ABD于H,交内切球上方的点设为K,过M作ME CH⊥,交CH于E,连接,BM CM,设OE x=.由(1)空得CO OH==KC HCKE HE=.=,解得x3KCKEλ==,所以3MCME=,所以13MC ME=.所以13MB MC MB ME BE+=+≥,在BOE△中,BO CO==OE=1cos cos3BOE BOH∠=-∠=-,所以BE==所以13MB MC+的最小值为故答案为：(1)(2)【点睛】本题主要考查了正四面体外接球与内切球的半径计算,同时也考查了利用阿波罗尼斯球中的比例关系求解线段最值的问题,需要根据题意找到球中的定点,根据阿波罗尼斯球的性质转换所求的线段之和求解.属于难题. 7．B【解析】当1λ=时，BC AC =，故C 的轨迹为线段AB 的中垂面与α的交线，当2λ=时，2BC AC =，在平面α内建立坐标系，设(,)C x y ，求出C 的轨迹方程得出结论．【详解】在ABC ∆中，∵sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，由正弦定理可得：BCACλ=， 当1λ=时，BC AC =，过AB 的中点作线段AB 的垂面β， 则点C 在α与β的交线上，即点C 的轨迹是一条直线， 当2λ=时，2BC AC =，设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，设BD h =，2AD a =，则BC = 在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，以AD 的中点为y 轴建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，则CA =CD CB ==2222516393a h x a y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭.∴C 的轨迹是圆． 故选B ．【点睛】本题考查轨迹方程的求解与判断，分类讨论思想，属于中档题． 8．B【分析】根据题目条件得到2PB PA =，进而建立平面直角坐标系，求出P 点轨迹方程，点P 在α内的轨迹为以()5,0M -为圆心，以4为半径的上半圆，从而求出当PB 与圆相切时，二面角的平面角PBA ∠最大，求出相应的余弦值最小值.【详解】由题意易得PD 与平面α所成角为DPA ∠，PC 与平面α所成角为CPB ∠， ∵DPA CPB ∠=∠， ∴tan tan DPA CPB ∠=∠， ∴AD BCPA PB=， ∴2PB PA =， ∴P 点轨迹为阿氏圆．在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()(),3,03,0A B -，设(),,0P x y y >，=整理得：()22516x y ++=，所以点P 在α内的轨迹为以()5,0M -为圆心，以4为半径的上半圆， 因为平面αβ⊥，l αβ=，CB l ⊥，CB β⊂，所以CB α⊥， 因为PB α⊂， 所以CB PB ⊥，因为平面PBC 平面BC β=，CB l ⊥， 所以二面角P BC D --的平面角为PBA ∠，由图可知，当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，余弦值最小， 此时41sin 82MP PBA MB ∠===，故cos PBA ∠==故选：B ． 9．B【分析】根据给定条件探求出过点D 垂直于直线BN 的平面，可得此平面截球O 的截面小圆即为M 的运动路线，求出点O 到此截面距离即可计算作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，在BB 1上取点P ，使B 1P =2BP ，连接CP ，DP ，如图，因N 在B 1C 上，有112NC B N =，即1113NB PB BC B B==，则1R t R t C B P B BN，1CPB BNB ∠=∠，于是得BN CP ⊥，而CD ⊥平面BCC 1B 1，BN ⊂平面BCC 1B 1，则BN CD ⊥，又CD CP C ⋂=，,CD CP ⊂平面CDP ，则有BN ⊥平面CDP ，因动点M 满足DM BN ⊥，则有点M 在平面CDP 内，依题意，平面CDP 截球O 的截面小圆即为M 的运动路线，令正方形BCC 1B 1与正方形ADD 1A 1的中心分别为E ，F ，连接EF ，则正方体内切球球心O必为线段EF 中点，显然，EF //CD ，EF ⊄平面CDP ，CD ⊂平面CDP ，于是得EF //平面CDP ，则点O 到平面CDP 距离等于点E 到平面CDP 的距离h ，取BC 中点G ，连接EG ，CE ，PE ，而平面CDP ⊥平面BCC 1B 1，平面CDP 平面BCC 1B 1=CP ，则ECP △的边CP 上的高等于h ，EG ⊥BC ，32EG GC ==，则CE =BGEP 中，31,2BP BG ==，则EP =，ECP △中，CP =由余弦定理得222cos 2EP CE CP CEP EP CE +-∠==⋅，sin CEP ∠=由11sin 22CEPSCP h CE EP CEP =⋅=⋅∠得：h =设点M 运动路线的小圆半径为r ，而球O 的半径32R =，由222r h R +=得r =2r π=所以动点M . 故选：B10．43【分析】根据题意以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，设P （x ，y ），利用P A ＝2PD ，求出点P 的轨迹方程，即可得到点P 所形成的阿氏圆的半径，利用tan ∠APB ＝ABAP，tan ∠DPE ＝DEDP，结合已知条件∠APB ＝∠EPD ，从而得到AP ＝2DP ，结合图像利用1空中的结论求解DP 3即为三棱锥P ﹣ACD 最大的高，然后利用三棱锥的体积公式求解即可． 【详解】以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A （2，0），D （0，0），设P （x ，y ），因为P A ＝2PD ，整理得22224()()33x y ++=，故点P 所形成的阿氏圆的半径为43；因为AB ⊥平面ADD 1A 1，CD ⊥平面ADD 1A 1， 所以∠P AB ＝90°，∠PDE ＝90°，所以tan ∠APB ＝AB AP，tan ∠DPE =DEDP ， 又∠APB ＝∠DPE ，则AB AP =DEDP， 因为E 是CD 的中点，所以AP ＝2DP ，由1空的结论可知，点P 的轨迹为22224()()33x y ++=的一部分，则当P 在DD 1上时，三棱锥P ﹣ACD 的体积最大， 图2中的DP 3即为三棱锥P ﹣ACD 最大的高，所以33DP ==，则三棱锥P ﹣ACD 体积的最大值是311122332ACDSDP ⋅⋅=⨯⨯⨯=故答案为：4311【分析】由题意，建立空间直角坐标系，根据两点距离公式，结合线段等量关系，整理轨迹方程，可得答案.【详解】解：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,1,0.B P 为侧面11BB C C 内的动点，P ∴的纵坐标为1，设(),1,P x z ，则PA PB =2,PA PB ==化简整理得()22113x z -+=，当1y =时，该方程表示在平面11B BCC 内，以点B∴点P 所形成的轨迹图形为图中EF ，其长度为：124EF π==．12 【分析】在1BB 取点P ，使12B P P B =，证明BN ⊥平面DCP ，从而得点M 的轨迹为平面DCP与球O 的截面圆周，因此求出球半径和球心到截面的距离，然后利用截面圆性质可得球面圆半径后可得其周长．题中球心到截面的距离利用体积法求解．球O 半径利用球的体积公式计算可得．【详解】解：如图，在1BB 取点P ，使12BP PB =，连接CP ，DP ，BN ，因为112NC NB =，可得1BCP B BN ≅△△，则1BCP B BN ∠=∠，所以190NBC BCP NBC NBB ∠+∠=∠+∠=︒所以BN CP ⊥，又DC ⊥平面11BCC B ，BN ⊂平面11BCC B ，所以DC BN ⊥，同理DC CP ⊥，因为DC CP C =，,DC CP ⊂平面DCP ，所以BN ⊥平面DCP ，则点M 的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周，设正方体的棱长为a ，则343632a ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得6a =，连接OD ，OP ，OC ， 如图，在对角面11BDD B 中，1111211622332ODP B DP SBB S S S ==⨯=⨯⨯=△△△C 到平面ODP 的距离即C 到平面11DBBD = 1123C ODP V -=⨯=，又CP ==162DCP S =⨯=△O 到平面DCP 的距离为h ，则O DPC C DPO V V --=，h ==，得O 到平面DCP所以截面圆的半径r ==则点M 的轨迹长度为2π=，.【点睛】关键点点睛：本题考查空间的几何体中的轨迹问题，解题关系是确定BN ⊥平面DCP ，得点M 的轨迹为平面DCP 与球O 的截面圆周，为了求截面圆半径，需求得球半径和球心到截面的距离，这个距离我们利用体积法求解．13． 【解析】求出正四面体的高，进一步得到内切球的半径，由高减去内切球的直径得PA 的最小值；利用阿波罗尼斯球的定义，借助内切球的比例关系求得3BP BE =，转化后求最小值即可.【详解】设正四面体ABCD 的高为h ，每一个面的面积为S ，其内切球的半径为r ， 则由等积法可得，11433Sh Sr =，即14r h =． 设内切球球心为O ，连结BO 并延长交平面ACD 于H ，交内切球上方的点设为K ，过P 作PE BH ⊥，交BH 于E ，连结BP ，AP ，如图，则在正三角形中2123AH ==∴BH∴正四面体内切球的半径1144r h BH ==则BP 的最小值为BK=AP的最小值为根据阿波罗尼斯球知,内切球是线段BH 上以B ，E 为定点，空间中满足(1)PB PE λλ=≠的点P 的集合，设OE x =，因为34BO =⨯OH KB HB KE HE =，∴=x =，3KB KE λ∴===， ∴3PB PE =，∴13PB PE =， 13PA PB PA PE AE ∴+=+…， 在AOE △中，BO AO ==OE =，1cos cos 3OH AOE AOH AO ∠=-∠=-==-，AE ∴= ∴13PA PB +故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点在于，根据阿波罗尼斯球定义利用比例关系求得3BP BE =,可将13PA PB +转化为PA PE +，利用平面几何性质知PA PE +最小值为AE ，由余弦定理求解即可，属于难题.。

阿波罗尼斯圆及其应用内江六中 陈廷勇【定义1】阿波罗尼斯圆：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆(定值为1时是直线，定值不是1时为圆)．【定义2】已知平面上两点A、B ，则所有满足P APB ＝k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆． 下面证明k ＞1的情况．〖证明〗〔几何法〕连接PM ,PN ，在直线AP 上取点C ,D ，使PC ＝PD ＝PB (如图)，连接BC ,BD ．则∠PBC ＝∠PCB ，∠PBD ＝∠PDB ．∵AM MB ＝P A PB ＝APPC，∴MP ∥BC ，∴∠APM ＝∠ACB ，∠BPM ＝∠PBC ． ∴∠APM ＝∠BPM ＝12∠APB ．同理，∠BPN ＝∠CPN ＝12∠BPC ．∴∠BPM ＋∠BPN ＝12∠APB ＋12∠BPC ＝π2．∴点P 的轨迹是以MN 为直径的圆．证毕．AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系． 设AB ＝2c ，P (x ,y )，则A (－c ,0)，B (c ,0)．由|P A ||PB |＝k (k ＞1)，得(x ＋c )2＋y 2(x －c )2＋y 2＝k ⇒(k 2－1)x 2＋(k 2－1)y 2－2c (k 2＋1)x ＋c 2(k 2－1)＝0⇒[x －c (k 2＋1)k 2－1]2＋y 2＝(2kc k 2－1)2．∴点P 的轨迹是以点(c (k 2＋1)k 2－1,0)为圆心，以2kck 2－1为半径的圆．【定义3】圆的反演点：已知⊙O 的半径为r ，从圆心O 出发任作一射线，在射线上任取两点A 、B ，若OA •OB ＝r 2，则称A ,B 是关于⊙O 的反演点．【方法1】圆的反演点的获取：①若A 在⊙O 外，过A 作⊙O 的两条切线，两切点的连线与OA 的交点B 就是点A 的反演点；②若A 在⊙O 内，连接OA ，过A 作OA 的垂线与圆交点处的两切线的交点B 即为点A 的反演点．【性质1】已知平面上两点A 、B ，则所有满足P APB ＝k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆．①当k ＞1时，点A 在圆外，点B 在圆内；②当0＜k ＜1时，点A 在圆内，点B 在圆外．【性质2】已知⊙O 的直径为MN ＝2r ，在直线MN 上有两点A ,B 满足OA •OB ＝r 2，则⊙O 是以A ,B 为定点，MA MB 或NANB为比值的阿波罗尼斯圆，反之也成立．〖证明〗MA MB ＝NA NB ⇔OA －OM OM －OB ＝OA ＋ON OB ＋ON ⇔OA －r r －OB ＝OA ＋rOB ＋r⇔(OA －r )(OB ＋r )＝(OA ＋r )(r －OB )⇔OA •OB ＝r 2．证毕．【性质3】MN 是⊙O 的一条直径，A 是直线MN 上异于O 的一定点，过A 任作一条异于MN 的直线交⊙O 于P ,Q 两点，点P 关于直线的对称点为P ′，直线P ′Q 与MN 交于B ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点．特别地，过A 作⊙O 的两条切线，两切点分别为P ,Q ，连接PQ 与MN 相交于点B ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点，过B 垂直于OA 的直线l 称为点A 对⊙O 的极线，A 称为l 的极点．〖证明〗连接QO 交⊙O 于R ，连接P ′R ，则∠QP ′R ＝90°，及P ,Q ,P ′,R 四点共圆． ∴∠QPP ′＝∠QRP ′．又∠P AD ＋∠APD ＝∠P ′QR ＋∠QRP ′＝90°， ∴∠OAQ ＝∠OQB ，又∠AOQ ＝∠BOQ ，∴ΔOAQ ∽ΔOQB ．∴OA OQ ＝OQOBOA •OB ＝r 2．证毕． 【性质4】已知B ,A 是过半径为r 的⊙O 的圆心直线上一内一外两点(圆心除外)，PQ 是过B 的任意一弦，且∠P AB ＝∠QAB ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点．〖证明〗只考虑MN 不垂直AB 和重合的情况． 设AQ 与⊙O 的另一交点为P ′，∵∠P AB ＝∠QAB ，由圆的对称性知，P ,P ′关于AB 对称，∴PP ′⊥AB ． 由性质2的证明方法，可得OA •OB ＝r 2．证毕．【性质5】MN 是以A ,B 为反演点的阿波罗尼斯圆在直线AB 上直径，P 是圆上异于M ,N 一点，则PM ,PN 分别为∠APB 内角平分线和外角平分线．〖证明〗在直线AP 上取点C ,D ，使PC ＝PD ＝PB (如图)，连接BC ,BD ． 则∠PBC ＝∠PCB ，∠PBD ＝∠PDB ．∵MA MB ＝P A PB ＝P APC，∴MP ∥BC ，∴∠APM ＝∠ACB ，∠BPM ＝∠PBC ． ∴∠APM ＝∠BPM ．∴PM 是∠APB 的平分线． 同理，PN 是∠APB 的外角平分线．证毕．【性质6】过⊙O 外一点A 作其切线AP ,AQ ，OA 与⊙O 和PQ 分别交于I ,B ，MN 是过B 的任意弦，则I 为ΔAMN 的内心．〖证明〗连接OP ，∵AP ,AQ 是⊙O 的切线，∴PQ ⊥OA ，OP ⊥AP ． ∴OA •OB ＝r 2，∴A ,B 是⊙O 的一对反演点．连接MI ,NI ，由性质5得，MI ,NI 分别为∠AMN , ∠ANM 的平分线．故I 为ΔAMN 的内心．【性质7】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外)，MN 是过B 的任意弦，则AB 平分∠MAN ．〖证明〗同性质6的证明方法．【性质8】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外)，且AB ＝m ，⊙O 上任意一点P 到A ,B 的距离之比为λ，则m λ＋1＋mλ－1＝2r ．〖证明〗设MB ＝x ，NB ＝y ，则x ＋y ＝2r ．由MA MB ＝NA NB ＝λ，得m －x x ＝m ＋y y ＝λ⇒x ＝m λ＋1，y ＝m λ－1．∴m λ＋1＋mλ－1＝2r ． 〖注〗若A 在⊙O 内，则λm 1＋λ＋λm 1－λ＝2r ．【性质9】将通过伸缩变换为椭圆，可得如下结论：设A 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴MN 上异于中心O 的一个定点，过点A 任作一条异于MN 的直线交椭圆O 于P ,Q 两点，点P 关于直线MN 的对称点为P ′，直线P ′Q 与MN 交于B ，则OA •OB ＝a 2．【题型】①已知两条线段长度之比为定值；②过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；③向量的定比分点公式结合角平分线；④线段的倍数转化．〖注〗问题主要围绕两个反演点坐标，阿氏圆方程，阿氏圆上点到两反演点距离比四个方面设置，其中测度主要涉及两个反演点间距离，阿氏圆的半径，阿氏圆上点到两反演点距离比．1．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k ＞0且k ≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比满足：P A ＝3PB ，当P 、A 、B 三点不共线时，ΔP AB 面积的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 C ． 3 D ． 2 〖解析〗〔法一〕设A (－1,0)，B (－1,0)，P (x ,y )，则由P A ＝3PB ，得(x ＋1)2＋y 2＝3•(x －1)2＋y 2⇒(x －2)2＋y 2＝3． 当点P 到AB 的距离最大，即等于3时，ΔP AB 的面积取得最大． ∴(S ΔPAB )max ＝12×|AB |×r ＝3．故选C ．〔法二〕设以A ,B 为反演点的阿氏圆的半径为r ，则2r ＝23＋1＋23－1＝23⇒r ＝3．∴(S ΔPAB )max ＝12×|AB |×r ＝3．故选C ．2．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0），与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2．过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2． 其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③〖解析〗设⊙C 的半径为r ∴⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2． 令x ＝0，得A (2－1,0)，B (2＋1,0)．∴|OA |＝2－1，|OB |＝2＋1． ∴|OA |•|OB |＝1＝r O 2，∴A ,B 是⊙O 的一对反演点． ∵M ,N 是⊙O 上点，∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |．故①正确．设|NB ||NA |＝k ，则由|AB |k ＋1＋|AB |k －1＝2r O ，得2k ＋1＋2k －1＝2⇒k ＝2＋1． ∴|MB ||MA |＝|NB ||NA |＝2＋1，|MA ||MB |＝|NA ||NB |＝12＋1＝2－1．∴|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22．故选A ． 3．设A (－c ,0)，B (c ,0)(c ＞0)为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值a (a ＞0)，求点P 的轨迹．〖解析〗设P (x ,y )，由|P A ||PB |＝a (a ＞0)，得(x ＋c )2＋y 2(x －c )2＋y 2＝a⇒(a 2－1)x 2＋(a 2－1)y 2－2c (a 2＋1)x ＋c 2(a 2－1)＝0．当a ＝1时，方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为[x －c (a 2＋1)a 2－1]2＋y 2＝(2aca 2－1)2．∴当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点(c (a 2＋1)a 2－1,0)为圆心，以2ac|a 2－1|为半径的圆．4．在平面直角坐标系xOy 中，设圆C 的半径为1，圆心在直线l ：y ＝2x －4上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点B (2,4)作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆心C 的横坐标为a ，已知点A (0,3)，若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求a 的取值范围．〖解析〗(1)解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，∴⊙C 的圆心为C (3,2)，半径r ＝1． ①当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝2，满足题意．②当切线斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0， 则|3k －2－2k ＋4|k 2＋1＝1⇒k ＝－34．此时切线方程为3x ＋4y －22＝0．综上，所求切线方程为x ＝2或3x ＋4y －22＝0．(2)设M (x ,y )，则由MA ＝2MO ，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，即x 2＋(y ＋1)2＝4． 记⊙D ：x 2＋(y ＋1)2＝4，则D (0,－1)，r D ＝2．又M 在⊙C 上，∴|r －r D |⩽|CD |⩽ r ＋r D ⇔1⩽|CD |⩽3． 又C (a ,2a －4)，∴1⩽a 2＋(2a －3)2⩽3⇒0⩽a ⩽125．【注】∵MA ＝2MO ，∴点M 的轨迹是以A ,O 为反演点的圆，且圆的圆心在AO 的延长线上．其半径r 满足：2r ＝32＋1＋32－1⇒r ＝2．设圆的圆心为D (0,b )(b ＜0)，则AD →＝(0,b －3)，OD →＝(0,b )．由AD →•OD →＝r 2，得b (b －3)＝4⇒b ＝－1或b ＝4．∴⊙D ：x 2＋(y ＋1)2＝4．5．如图，圆C ：x 2＋y 2－(1＋a )x －ay ＋a ＝0． (1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ,N (点M 在点N 的左侧)，过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ,B ，问：是否存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ?〖解析〗(1)∵⊙C ：(x －a ＋12)2＋(y －a 2)2＝2a 2－2a ＋14，∴C (a ＋12,)，r ＝2a 2－2a ＋12．∵⊙C 与x 轴相切，∴|a |2＝2a 2－2a ＋12⇒a ＝1．∴⊙C ：(x －1)2＋(y －12)2＝14．(2)令y ＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0⇒x ＝1或x ＝a (a ＞1)．∴M (1,0)，N (a ,0)．假设存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ． ①当直线AB 不重合于x 轴时，设l AB ：x ＝ty ＋1，A (ty 1＋1,y 1)，B (ty 2＋1,y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 2＋y 2＝4，得(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0．∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1．∵∠ANM ＝∠BNM ，∴k NA ＋k NB ＝0⇒y 1ty 1＋1－a ＋y 2ty 2＋1－a ＝0⇒2ty 1y 2＋(1－a )(y 1＋y 2)＝0⇒2t (a －4)t 2＋1＝0．又t ∈R ，∴a ＝4．②当直线AB 重合于x 轴时，恒有∠ANM ＝∠BNM ． 综上，存在实数a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．【注】令y ＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0⇒x ＝1或x ＝a (a ＞1)．∴M (1,0)，N (a ,0)． ∵∠ANM ＝∠BNM ，∴M ,N 是⊙O 的一对反演点．∴OM •ON ＝r 2⇒a ＝4． 故存在实数a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．6．已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0． (1)求直线l 所过定点A 的坐标．(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长． (3)已知点M (－3，4),在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．〖解析〗(1)∵l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0⇔(3x －y )m ＋(x ＋y －4)＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3．∴l 过定点A (1,3)． (2)由平面几何知识知，当l ⊥AC 时，l 被⊙C 截得弦长最短．由题有C (0,4)，r ＝2，∴k AC ＝－1，∴k l ＝1⇒3m ＋1m －1＝1⇒m ＝－1．此时，C 到l 的距离为d ＝|AC |＝2．∴最短弦长为2r 2－d 2＝22． (3)由题知，l MC ：y ＝4．假设存在定点N (t ,4)满足题意．设P (x ,y )，则|PM |2|PN |2＝(x ＋3)2＋(y －4)2(x －t )2＋(y －4)2＝6x ＋9＋x 2＋(y －4)2－2tx ＋t 2＋x 2＋(y －4)2．又由P 在⊙C 上，得x 2＋(y －4)2＝4．∴|PM |2|PN |2＝6x ＋13－2tx ＋t 2＋4．若|PM ||PN |为常数，则需6－2t ＝13t 2＋4⇔t ＝－43或t ＝－3． 当t ＝－3时，N (－3,4)与M 重合，不符合题，舍去． 当t ＝－43时，N (－43,4)，此时|PM ||PN |＝32．综上可知，在直线MC 上存在定点N (－43,4)，使得|PM ||PN |为常数32．【注】由题知，l MC ：y ＝4．若|PM ||PN |为常数，则知N 是⊙C 的反演点中一点．设N (t ,4)(－3＜t ＜0)，则|MC |＝3，|NC |＝－t ．∴由|MC |•|NC |＝r 2，得－3t ＝4⇒ t ＝－43．∴N (－43,4)，|MN |＝53．设|PM ||PN |＝k ，则53k ＋1＋53k －1＝4⇒k ＝32或k ＝－23(舍)． 故在直线MC 上存在定点N (－43,4)，使得|PM ||PN |为常数32．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点Q (0,1)，过点P (0,4)的直线l 与圆O 交于不同的两点A ,B (不在y 轴上)．(1)若直线l 的斜率为3，求AB 的长度；(2)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值，并求出该定值； (3)设AB 的中点为M ，是否存在直线l ，使得MO ＝62MQ ?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．〖解析〗(1)由题知，l ：y ＝3x ＋4．∴O 到l 的距离为d ＝432＋12＝410．∴|AB |＝2r 2－d 2＝22－(410)2＝4155．(2)设l ：y ＝kx ＋4，A (x 1,kx 1＋4)，B (x 2,kx 2＋4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4x 2＋y 2＝4，得(k 2＋1)x 2＋8kx ＋12＝0． ∴Δ＝64k 2－48(k 2＋1)＝16(k 2－3)＞0，x 1＋x 2＝－8k k 2＋1，x 1x 2＝12k 2＋1．∴k 1＋k 2＝kx 1＋3x 1＋kx 2＋3x 2＝2k ＋3(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －2k ＝0．∴k 1＋k 2为定值，定值为0．【注】由题知，l PQ ：x ＝0，|OP |＝4，|OQ |＝1，r ＝2． ∴|OP |•|OQ |＝r 2，∴P ,Q 是⊙O 的一对反演点．∴QA 与⊙O 的另交点B ′是B 关于y 轴的对称点，QB 与⊙O 的另交点A ′是A 关于y 轴的对称点． ∴QA 与QB 关于y 轴对称．∴k 1＋k 2＝0． (3)〔法一〕设M (x ,y )，则由MO ＝62MQ ， 得x 2＋y 2＝62x 2＋(y －1)2⇒x 2＋y 2－6y ＋3＝0⇒x 2＋(y －3)2＝6． 由(2)知，M (－4k k 2＋1,4k 2＋1)，∴(－4k k 2＋1)2＋(4k 2＋1)2－6×4k 2＋1＋3＝0⇒k ＝±153，与k 2＞3矛盾．∴满足条件的l 不存在． 〔法二〕设M (x ,y )，则由MO ＝62MQ ， 得x 2＋y 2＝62x 2＋(y －1)2⇒x 2＋y 2－6y ＋3＝0⇒x 2＋(y －3)2＝6． 又OM →＝(x ,y )，PM →＝(x ,y －4)，OM →⊥PM →，∴OM →•PM →＝x 2＋y (y －4)＝0⇒x 2＋y 2－4y ＝0⇒x 2＋(y －2)2＝4(0⩽y ＜1)．解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6y ＋3＝0x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝±152y ＝32．又0⩽y ＜1，该方程组无解，即满足条件的M 不存在．∴满足条件的l 不存在．8．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．〖解析〗(1)设C (a ,0)(a ＞－52)，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．∴⊙C ：x 2＋y 2＝4．(2)①当l AB 的斜率为不为0时，设l AB ：x ＝my ＋1，A (my 1＋1,y 1)，B (my 2＋1,y 2)，N (t ,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 2＋y 2＝4，得(m 2＋1)y 2＋2my －3＝0．∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋1，y 1y 2＝－3m 2＋1．若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＋k BN ＝0⇒y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0⇒2my 1y 2－(t －1)(y 1＋y 2)＝0⇒－6mm 2＋1＋2m (t －1)m 2＋1＝0⇒m (t －4)＝0，又m ∈R ，∴t ＝4．②当直线AB 重合于x 轴时，恒有∠ANM ＝∠BNM ． 综上，存在点N (4,0)，使得x 轴平分∠ANB ．【注】由题知，l OM ：y ＝0．∵∠ANO ＝∠BNO ，∴M ,N 是⊙O 的一对反演点，且N 在OM 的延长线上． 设N (t ,0)(t ＞1)，则OM ＝1，ON ＝t ．∴OM •ON ＝r 2⇒t ＝4． 故存在点N (4,0)，使得x 轴平分∠ANB ．。

阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。

它不仅具有深刻的理论内涵，还在众多实际问题中有着广泛而重要的应用。

要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。

阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹所形成的圆。

简单来说，假如有两个定点 A 和 B，一个动点 P，并且满足｜PA|／｜PB| ＝定值 k（k ≠ 1），那么点 P 的轨迹就是一个圆。

这个圆有着一些有趣的性质。

比如说，圆心在线段AB 的中垂线上；而且，当两个定点之间的距离固定，以及比值 k 确定时，这个圆的大小和位置也就唯一确定了。

那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？让我们一起来看看。

在几何问题中，阿波罗尼斯圆常常能帮助我们巧妙地解决一些难题。

比如，在三角形中，如果已知某两条边的长度以及它们的比值，要求第三边的取值范围，这时就可以通过构建阿波罗尼斯圆来找到答案。

在物理学中，阿波罗尼斯圆也有它的身影。

例如，在研究两个点电荷之间的电场分布时，如果电荷的电荷量之比为定值，那么等势线的形状就类似于阿波罗尼斯圆。

在工程领域，阿波罗尼斯圆同样发挥着重要作用。

在建筑设计中，当需要确定一些特定的位置关系，以保证结构的稳定性和美观性时，阿波罗尼斯圆的知识能够提供有效的解决方案。

在数学竞赛中，阿波罗尼斯圆更是屡见不鲜。

很多看似复杂的竞赛题目，一旦引入阿波罗尼斯圆的概念，往往就能迎刃而解。

接下来，通过一个具体的例子来感受一下阿波罗尼斯圆的魅力。

假设在平面直角坐标系中，有两个定点 A(0, 0)和 B(4, 0)，动点 P 满足｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，求点 P 的轨迹方程。

首先，设点 P 的坐标为（x, y)。

则｜PA| ＝√（x²＋ y²)，｜PB| ＝√（x 4)²＋ y²。

因为｜PA| ／｜PB| ＝ 1/2，所以√（x²＋ y²) ／√（x 4)²＋ y²＝1/2。