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九年级数学学科导学案主备人： 审核人 审批领导 授课时间 编号 2612课题26.3.3实际问题与二次函数——桥洞问题课型 自学互学展示课例2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m ，顶部C 离地面的高度为4.4m ，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m ，装货宽度为 2.4m 。
这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、试一试有一抛物线拱桥，已知水位在AB 位置时，水面的宽度是 m ，水位上升4 m 就达到警戒线CD ，这时水面宽是 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5 m 速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M 处．三、重点练习如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米．（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱P A 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）学习目标 1．会建立直角坐标系解决实际问题； 2．会解决桥洞水面宽度问题．重点 体会二次函数中的建模思想 难点体会二次函数中的建模思想环节预设学习过程一、基本知识练习1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为 ． 2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ）A ．3mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9m 3．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A ．50m B ．100m C ．160m D ．200m 二、立体引领例1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？课后 反思2 0.5 0.4单位：m 4634ＯＮ ＭＣ Ｄ ＡＢ x yCABO。
26.3。
3二次函数的应用一．选择题(共8小题)1．一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米)和运行时间t（秒）的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是（）A．1米B．3米C．5米D．6米2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆)之间分别满足:y1=﹣x2+10x,y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（)A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元3．向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的( ）A．第9。
5秒B．第10秒C．第10.5秒D．第11秒4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm,BD=2cm．则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A．y=(x+3）2B．y=（x+3）2C．y=（x﹣3)2D．y=（x﹣3）25．烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t(s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为（)A．2s B．4s C．6s D．8s6一小球被抛出后,距离地面的高度h（米)和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=﹣5t2+20t﹣14，则小球距离地面的最大高度是（）A．2米B．5米C．6米D．14米7．烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t （s）的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s8．某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s）之间满足二次函数y=（x＞0）,若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为（)A．40 m/s B．20 m/s C．10 m/s D．5 m/s二．填空题（共6小题）9．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时,水面的宽度为_________ 米．10．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________ ．11．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30,且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为_________ 元．12．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、(4，2）、（2，6）．如果P （x，y）是△ABC围成的区域(含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是_________ ．13．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x（米）的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________ 米．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元)的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________ 件（用含x的代数式表示）．三．解答题（共8小题）15．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件．(1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少?(2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？16．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2)当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少？［参考公式:抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是］．17．某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W(元）与销售价x(元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时,每天的销售利润最大？最大利润是多少?（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少?18．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃,y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b,y B=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示)，当x=40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；(2）当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？19．“丹棱冻粑"是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高?20．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价,投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大？最大利润是多少?（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)21．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40％．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x(元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1)试确定y与x之间的函数关系式；（2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润?最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．22．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元?（2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元?26。
26.3 实践与探索
第3课时二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
知|识|目|标
1．通过回忆一次函数与一元一次不等式的关系，观察二次函数图象，理解二次函数与一元二次不等式的关系．
2．在理解二次函数性质的基础上，通过类比、分析，能归纳总结出二次函数与一元二次方程的关系，会熟练运用二次函数的图象解一元二次方程．
3．通过方程与函数间的转化，会判断抛物线与x轴的交点个数或者根据抛物线与x轴的交点个数求参数的取值范围．
目标一理解二次函数与一元二次不等式的关系
例1 教材补充例题画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题：
(1)当x取何值时，y>0？当x取何值时，y<0?
(2)能否用含x的不等式来描述(1)中的问题？
【归纳总结】二次函数与一元二次不等式的关系：
关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0与关于x的二次函数y＝ax2＋bx ＋c存在内在联系，抛物线在x轴上方的点的横坐标的集合即不等式ax2＋bx＋c＞0的解集，抛物线在x轴下方的点的横坐标的集合即不等式ax2＋bx＋c＜0的解集．
目标二会用图象法求一元二次方程的解(或近似解)
例2 教材补充例题用图象法求方程2x2－3x－2＝0的解．(用两种方法求解)
【归纳总结】利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解的“三种方法”：
步骤
结论
方法一直接作出二次函数y＝ax2＋bx＋c的
图象
图象与x轴的交点的横坐标就是一元
二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
方法二先将一元二次方程变形为ax2＋bx＝
－c，再在同一直角坐标系中画出抛物
线y＝ax2＋bx和直线y＝－c
两图象的交点的横坐标就是方程ax2
＋bx＋c＝0的根
方法三先将一元二次方程化为x2＋
b
a
x＋
c
a
＝
0，移项后得x2＝－
b
a
x－
c
a
，再在同一
直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直
线y＝－
b
a
x－
c
a
两图象交点的横坐标就是方程ax2＋
bx＋c＝0的根
目标三掌握抛物线与轴的交点情况与一元二次方程的根的关系
例3 教材补充例题已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1(k为常数)的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k<4 B．k≤4
C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3
知识点二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
判别式Δ＝b2－4ac b2－4ac>0b2－4ac＝0b2－4ac<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
的图象
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 两个不相等的实数根x
＝
－b±b2－4ac
2a
两个相等的实数根x1＝x2＝
－
b
2a
无实数根
关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)
x<x1或x>x2x≠－
b
2a
全体实数
ax2＋bx＋
c<0(a>0)
x1<x<x2无实数解无实数解
已知抛物线y＝x2＋mx＋m－1与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴的负半轴相交，且x12＋x22＋x1x2＝7，求m的值．
解：依题意可知，x1，x2是一元二次方程x2＋mx＋m－1＝0的两根，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝m－1.
∵x12＋x22＋x1x2＝7，
∴(x1＋x2)2－x1x2＝7，
即m2－m＋1＝7，
解得m1＝3，m2＝－2.
∴m的值为3或－2.
指出以上解答过程中存在的错误，并改正．
教师详解详析
【目标突破】
例1 解：如图．(1)由图象可知，当x ＜－1或x ＞3时，y ＞0；当－1＜x ＜3时，y ＜0.
(2)可以用含x 的不等式来描述(1)中的问题：当x 2－2x －3＞0时，x ＜－1或x ＞3；当x 2
－2x －3＜0时，－1＜x ＜3.
例2 解：(解法一)画函数y ＝2x 2
－3x －2的图象，如图①所示． 由图象可知2x 2
－3x －2＝0的解是x 1＝－12
，x 2＝2.
(解法二)将2x 2
－3x －2＝0变形，得2x 2
＝3x ＋2，分别画出函数y ＝2x 2
与y ＝3x ＋2在同一平面直角坐标系中的图象(如图②所示)，由图象知它们交点A 的横坐标为－12，交点B 的横坐标
为2，即方程2x 2
－3x －2＝0的解为x 1＝－12
，x 2＝2.
例3 [答案] B 【总结反思】
[反思] 错在未根据题意对m 的值进行取舍． 改正如下：
依题意可知，x 1，x 2是一元二次方程x 2
＋mx ＋m －1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m －1.
∵x 12＋x 22
＋x 1x 2＝7，
∴(x 1＋x 2)2
－x 1x 2＝7，
即m 2
－m ＋1＝7， 解得m 1＝3，m 2＝－2.
∵抛物线与y 轴的负半轴相交， ∴m －1＜0，∴m ＜1，
∴m ＝3不符合题意，舍去， ∴m 的值为－2.。
