等式和方程

方程的定义和等式的性质
方程的定义和等式的性质
一、方程的定义
含有未知数的等式叫做方程。

即：
1.方程中一定有一个或一个以上含有未知数的代数式；
2.方程式是等式，但等式不一定是方程。

等式：含有等号的式子叫做等式(数学术语)。

形式：把相等的两个数（或字母表示的数）用“=”连接起来。

等式基本性质：
二、等式的性质
等式两边同时加上、减去、乘以、除以（除数不为0）同一个整式，等式仍然成立。

等式具有传递性。

用式子表达为：若a=b，那么a+c=b+c。

若a=b，那么a·c=b·c。

若a=b，那么a²=b²。

性质 1 等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式的值不变。

若a=b 那么a+c=b+c 性质2 等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式的值不变。

若a=b 那么有a·c=b·c 或a÷c=b÷c （c≠0）性质 3 等式具有传递性。

若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an。

方程和等式之间的关系方程和等式是数学中的重要概念，它们在解决实际问题和描述数学关系中起着关键作用。

方程和等式之间存在紧密的联系，它们既是数学语言中的重要组成部分，又具有深刻的数学内涵。

在本文中，我们将探讨方程和等式之间的关系，并通过具体例子来说明它们在数学中的应用。

让我们来了解方程和等式的定义。

方程是指包含未知数的数学表达式，其形式为“等号两边有表达式”的形式。

等式是方程的一种特殊形式，它要求等号两边的表达式的值相等。

可以说，等式是方程的一种特殊情况。

例如，2x + 3 = 7就是一个方程，而2x + 3 = 5就是一个等式。

方程和等式在数学中有着广泛的应用。

它们是解决实际问题的有力工具，可以用来描述各种数学关系。

例如，在代数中，我们可以通过方程和等式来解决未知数的问题。

通过建立方程和等式，我们可以求解未知数的值，从而解决各种实际问题。

这些问题可以涉及到各个领域，如物理、化学、经济等。

通过方程和等式，我们可以建立数学模型，对实际问题进行分析和求解。

在数学中，方程和等式的解是非常重要的。

解是指使方程或等式成立的未知数的值。

通过解方程和等式，我们可以求解未知数的值，并得到准确的结果。

解方程和等式的方法有很多种，如代入法、消元法、配方法等。

每种方法都有其适用的情况和使用的技巧。

通过灵活运用这些方法，我们可以解决各种复杂的数学问题。

方程和等式还可以用来描述数学关系。

数学关系是指数学中的各种关系，如等差数列、等比数列、函数关系等。

通过建立方程和等式，我们可以准确地描述数学关系，并分析其性质和规律。

例如，在等差数列中，通过建立等式，我们可以求解出数列中的任意一项的值。

在函数关系中，通过建立方程，我们可以求解函数的零点和极值，进而分析函数的图像和性质。

方程和等式的应用还可以延伸到其他数学领域，如几何、概率等。

在几何中，方程和等式可以用来求解各种几何问题，如求解直线与平面的交点、求解圆与直线的交点等。

在概率中，方程和等式可以用来描述事件的概率，通过求解方程和等式，我们可以计算出事件发生的概率，并进行概率的推导和分析。

等式与方程的解法在数学中，等式和方程是我们常常遇到的两个概念。

它们在数学问题的解决中起着重要的作用。

本文将介绍等式和方程的基本概念以及它们的解法方法。

一、等式的解法等式是具有相等关系的数学表达式。

求解等式的解，就是找出使得等式成立的数值。

下面介绍两种常见的等式解法方法。

1.1 值的代入法值的代入法是求解等式的最直观的方法之一。

假设有一个等式x + 5 = 10，我们要求解x的值。

我们可以将x的值依次代入等式中，直到找到符合等式成立的值。

当我们将x = 5代入等式时，得到5 + 5 = 10，显然这不是一个正确的解。

继续尝试，当我们将x = 10代入等式时，得到10 + 5 = 10，仍然不满足等式。

最后，当我们将x = 5代入等式时，得到5 + 5 = 10，满足等式，因此我们可以得出结论，x = 5是等式的解。

通过值的代入法，我们可以逐一尝试不同的数值，找到等式的解。

1.2 变量的移项法变量的移项法是求解较复杂等式的一种常用方法。

当等式中含有未知数和常数时，我们可以通过变量的移项以简化等式的形式，再进行求解。

例如，考虑等式2x + 3 = 7，我们要求解x的值。

首先，我们可以将常数3移到等式的右侧，得到2x = 7 - 3。

继续化简等式，得到2x = 4。

最后，通过除以系数2，我们可以得到x = 2，即等式的解。

通过变量的移项法，我们可以通过移动项的位置来简化等式，使我们更容易求解。

二、方程的解法方程是一个含有未知数的等式。

与等式不同的是，方程通常不止一个解。

在解决方程时，我们要找到所有使方程成立的未知数的取值。

下面介绍两种常见的方程解法方法。

2.1 因式分解法因式分解法是一种寻找方程解的有效方式。

当方程可以分解成更简单的形式时，我们可以利用因式分解的思想，找到方程的根。

例如，考虑方程x^2 - 4 = 0，我们要求解x的值。

我们可以将方程进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2) = 0。

第一课方程一、等式：左右两边相等的式子叫做等式。

二、方程：叫做方程。

三、等式的性质：①等式两边同时，所得结果仍然是等式；②等式两边同时，所得结果仍然是等式。

四、解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程。

利用等式性质解方程解方程 x－28=32方程两边同时加上28使等号左边只剩x方程得解解方程 16x=256方程两边同时除以16方程得解五、解方程过程中遇到的几大类型：①x－2.5=3.6 ②x＋6.7=17.5 ③1.7x=5.1④12.6－x=4.8 ⑤x÷3.4=2.7 ⑥6÷x=1.5六、列方程解应用题：读懂题意，找出等量关系，根据等量关系设未知数，从而列出方程，求未知数的值。

例：根据题意列方程解答。

比x少17.2的数是22.8有关方程的常见题型：1. 看图列方程。

= = =2、下面的式子中不是方程的有（）A、X＝0B、3m＝nC、X＋1.9＞2.53、哪一个x的值能使方程10x = 0.1的左右两边相等？x = 10 □x = 0.1 □x = 0.01□4、如果4X－28=12，那么4X的值是（）。

A、3B、40C、105、列算式或方程解答：（1）从10里减去58与34的和，差是多少？（2）57比一个数的2倍少27，这个数是多少？6、方程一定是等式，等式却不一定是方程。

………………………………（）7、我国参加28届奥运会的男运动员138人，女运动员比男运动员的2倍少7人。

男、女运动员一共多少人？8、世界人均占有森林面积大约是0.65公顷，相当于我国人均占有森林面积的5倍。

我国人均占有森林面积大约是多少公顷？（列方程解答）习题一、我会填1、含有（）的（）是方程。

例如（）。

2、李晓红去年重25千克，今年比去年重x千克，今年重（）千克。

3、一个平行四边形的底是x厘米，高是底的2倍，那么高是（）厘米。

4、等式两边同时加上或减去（），所得结果仍然是等式。

这是（）的性质。

5、根据“原有x本书，借出56本，还剩60本”可以用以下方程表示数量关系：（）或（）7、三个连续自然数中，中间一个数是a，最小的一个数是（），最大的一个数是（），这三个数的和是（）。

等式与方程的意义等式与方程，这俩概念啊，就像一对亲兄弟，看着相似，可又有不同的地方。

咱先说说等式吧。

等式啊，就像一个天平，两边得是平的。

比如说3 + 2 = 5，这就是个等式。

左边3加2得到的结果和右边的5是一样重的，就像天平两边放着同等重量的东西，稳稳当当的。

你看生活里也有很多等式的例子呢。

好比说你去买苹果，一个苹果2块钱，你买了3个，给了老板10块钱，老板找你4块钱。

那这个过程就可以写成2×3 + 4 = 10这样一个等式。

这里面的数字关系就像一个小秘密，被等式这个神奇的东西给揭示出来了。

那方程呢？方程啊，就像是一个带着小问号的天平。

比如说x + 3 = 5，这个x就是我们要找的那个小秘密。

方程就像是在等式的基础上，藏了一个小宝贝，让我们去把它找出来。

这个小宝贝可能是个数字，也可能是个能代表数字的东西。

方程就像是一场小冒险，我们要通过一些线索来找到这个x到底是多少。

就好比你知道一个盒子加上3个苹果就等于5个苹果，那这个盒子里有几个苹果呢？这个盒子就像是那个x，我们得想办法算出它代表的数量。

等式和方程的意义可大着呢。

在我们解决实际问题的时候，它们就像两个小助手。

比如说你要装修房子，你知道客厅的长是x米，宽是3米，面积是15平方米。

那根据长方形面积公式，就可以列出方程3x = 15。

这个方程就像一把钥匙，能帮我们打开求出客厅长度的门。

如果没有等式和方程，我们就像在黑暗里摸索，只能瞎猜客厅的长度。

这多不靠谱啊。

再打个比方，你和小伙伴们分糖果。

你知道一共有y颗糖果，要平均分给5个小伙伴，每人能分到4颗。

那我们就可以列出方程y÷5 = 4。

这个方程就像一个小侦探，能帮我们找出糖果的总数。

要是没有方程这个概念，我们可能就得一个一个地数，多麻烦呀。

从数学的角度来看，等式是一种陈述，是一种两边相等的关系的展示。

而方程呢，是一种更有挑战性的等式，它是在找那个能让等式成立的未知的数或者量。

等式就像是一个平静的湖面，我们一眼就能看到它的全貌。

等式和方程的应用一、等式的概念与性质1.等式的定义：表示两个数或表达式相等的式子，用等号“=”连接。

2.等式的性质：a.两边同时加减同一个数，等式仍成立；b.两边同时乘除同一个非零数，等式仍成立；c.等式两边交换位置，等式仍成立；d.等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍成立。

二、方程的概念与解法1.方程的定义：含有未知数的等式，简称方程。

2.方程的解法：a.代入法：将方程中的未知数替换为具体的数值，求出方程的解；b.移项法：将方程中的未知数移到等式的一边，常数移到另一边，使未知数系数化为1；c.合并同类项法：将方程中的同类项合并，简化方程；d.因式分解法：将方程进行因式分解，求出方程的解；e.求根公式法：对于一元二次方程，利用求根公式求解。

三、方程的应用1.实际问题中的应用：a.行程问题：速度、时间和路程的关系；b.利润问题：售价、成本和利润的关系；c.浓度问题：溶质、溶剂和溶液的关系；d.比例问题：比例、外项和内项的关系。

2.方程在科学计算中的应用：a.物理中的力学问题：力、质量、加速度的关系；b.化学中的反应问题：反应物、生成物和反应速率的关系；c.生物学中的种群问题：种群数量、增长率的关系。

四、等式和方程在生活中的应用1.购物问题：计算商品总价、找零等；2.Time 问题：计算时间差、周期等；3.测量问题：计算长度、面积、体积等；4.分配问题：计算分配比例、分配数量等。

五、等式和方程的拓展应用1.函数关系式：用等式表示两个变量之间的关系；2.不等式：表示两个数或表达式的大小关系；3.系统方程：多个方程组成的求解体系。

习题及方法：1.等式性质习题：已知等式 2x + 3 = 13，求 x 的值。

答案：将等式两边同时减去3，得到 2x = 10，再将等式两边同时除以2，得到 x = 5。

解题思路：利用等式的性质，将常数项移到等式右边，未知数系数化为1。

2.方程解法习题：已知方程 5x - 8 = 2x + 1，求 x 的值。

等式方程知识点总结一、等式方程的基本概念1.1 等式与方程首先，我们需要明确等式与方程的概念。

等式是指两个表达式之间用等号连接起来的数学式子，例如：2x + 3 = 7就是一个等式。

而方程则是含有未知数的等式，例如：2x + 3 = 7就可以看作是一个包含未知数x的方程。

因此，方程是等式的一种特殊形式，它描述了未知数与已知数之间的关系。

1.2 等式方程的种类根据等式方程所含未知数的次数和方程的次数，等式方程可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等多种类型。

其中，一元一次方程最为常见，它的一般形式可以表示为ax + b = c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。

一元二次方程的一般形式则是ax^2 + bx + c = 0，其中a≠0。

1.3 等式方程的解解是指使得方程成立的未知数的取值，对一元一次方程来说，它的解就是使得等式两边相等的x的值。

对于一元一次方程ax + b = c，它的解可以表示为x = (c - b)/a。

而一元二次方程的解则需要用到求根公式。

二、等式方程的解法2.1 方程的移项变元法移项变元法是解一元一次方程最常用的方法之一。

其步骤是将方程两边的式子进行移项，使得方程的未知数x单独出现在一边，然后根据移项后等式仍然成立的原则，得出方程的解。

例如，对于方程2x + 3 = 7，首先将等式两边的常数项3移动到方程的右侧，得到2x = 7 - 3，然后再将系数2移到右侧，得到x = (7 - 3)/2，最终得到x = 2，这就是方程的解。

2.2 方程的加减法对于包含两个未知数的二元一次方程，可以利用方程的加减法来求解。

其基本思路是通过加减法使得两个方程的某一项消失，从而得到一个只含有一个未知数的方程，再利用移项变元法求解即可。

例如，对于方程2x + 3y = 7和3x - 2y = 1，可以通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数的系数，得到一个只含有一个未知数的方程，然后再利用移项变元法求解。

等式与方程；1）含有未知数的等式叫做方程。

表示数字或算式相等的式子叫等式；方程式一定是等式，等式不一定是方程。

2）解方程时不要忘记写“解”字；方程的解不需写单位名称；3）在等式的两边同时加上或减去相同的数，等式不变，这是等式的性质；4）等式的两边同时乘以或除以一个不等于0的数，等式不变，这也是等式的性质。

5）因为两个数的和一定时，他们的差越小，积越大；二、公倍数和公因数1、公倍数和最小公倍数：1）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；2）一个数的倍数是无限的，所以几个数的公倍数也是无限的；3）几个公倍数中最小的一个是这几个数的最小公倍数；4）因为几个数的公倍数是无限的，所以只能求出它们最小的公倍数；5）两个数中较大的数是较小数的倍数时，他们的最小公倍数就是较大的数；两个数字为互质数时候，他们的最小公倍数就是他们的积；2、公因数和最大公因数：6）一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是这个数本身；7）几个数公有的因数叫做这几个数的公因数；8）两个公因数个数是有限的，其中最大的公因数叫做最大公因数；9） 1是所有非零自然数的公因数；10）如果两个数的最小公倍数是1，那么它们的最大公因数就是111）甲数是乙数的倍数，乙数就是两数的最大公因数，甲数就是两数的最小公倍数；例如（18 9），最小公倍数是18，最大公因数是9三、分数：1、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数；2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份叫做分数单位；3、真分数/分数：分子比分母小的分数叫做真分数；分母大于或等于分子的分数叫做假分数；4、带分数：分子不是分母倍数的假分数，可以写成整数和真分数合成的数叫做带分数；5、把假分数化成带分数时，要用分子除以分母，商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母则保持不变；6、在分数里，把单位1平均分成多少份的数是分母；表示取了多少份的数叫做分数的分子；7、在分数里，分母不能为零；8、分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（零除外）分数的大小不变，这叫做分数的基本性质；9、在分数里，真分数总是小于假分数，因为真分数小于1，假分数大于或等于1；五、圆形1、画圆时，针尖固定的一点叫做圆心，用字母O表示；圆心确定圆的位置，半径或直径确定圆的大小；圆形是轴对称图形，有无数条对称轴，任何一条通过圆心的直线都是圆的对称轴；2、连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径用字母r表示；3、通过圆心并且两端都在圆上的线段叫直径。

等式与方程 【知识要点】一、方程1、等式的意义：表示相等关系的式子叫做等式。

如：25-5=202、方程：含有未知数的等式是方程。

如：28-x =123、两者之间的关系：方程一定是等式；等式不一定是方程。

4、方程成立的条件：（1）必须是等式； （2）必须设有未知数二、解方程1、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

解方程：求方程的解的过程。

2、等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

（2）等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。

3、解方程的方法：（1）等式的性质；（2）四则运算各部分的关系：一个加数＝和-另一个加数 减数＝被减数-差 被减数＝减数＋差一个因数＝积÷另个因数 除数＝被除数÷商 被除数＝商×除数（3）移项。

4、等式的检验：将方程的解代入原方程看方程两边是否相等。

注意：解方程的时候要注意三点：1、要写“解”字；2、所有的等号要上下对齐；3、解完方程，要养成检验的好习惯。

【经典例题】【例1.1】下面的式子中，是等式的在后面（ ）里画“√”。

x +18=36（ ） x +2﹥10（ ） 72-x （ ） x =3（ ）等式方程【例1.2】哪些是等式，哪些是方程，请填入相应的横线上。

(填序号)①3+x=12②3.6+x③4+17.5=21.5④48+x﹤63等式______________________；方程：_____________________。

【练习1】判断。

（1）含有未知数的式子叫方程。

（）（2）等式都是方程。

（）（3）方程都是等式。

（）（4）10＝4x－8不是方程。

（）【例2】练习：1、解方程x-18=2020+3x=452x-4=133x+12=15x÷26=528x=33.6x÷25=1512x=108【练习2】解方程32+4x=4672-3x=181.2x-3=11.46.3x×3=22.6834÷3.2x=2.1255.6x÷1.12=10【例3】解方程并检验x -97=145 1.15+x =6.8 x ÷3=2.1 15x =240 -x【练习3】解方程并检验13.5-x =8.2 3x =3.9 28÷x =42 7.6+x =34.5【例4】填空。