线性规划中目标函数的几何意义

借助目标函数的几何意义解线性规划问题
线性规划问题是企业决策分析中常见的问题，它利用目标函数的几何意义来求解，目标函数的几何意义就是通过特定的函数曲线使得所求的最优解能够达到的最佳的位置及形状，以达到实现优化的最大化或者最小化的目的。

下面以做公司生产原料决策为例，讲解目标函数几何意义。

企业要求以X1和X2为两种原料采购，采购成本分别为1元和2元，通过原材料加工生产制成品，售价为3元每台。

线性规划问题就是在一定的条件下，如何选择X1和X2的采购量，用更少的采购成本来达到最高的利润。

假设有约束条件，比如最多只能采购3个X1和2个X2，那么，目标函数的几何意义表示的是把X1和X2的采购量作为变量，利润作为函数的函数曲线，在X1和X2的采购量满足约束条件的前提下，把曲线微调，把利润最大化，称为最佳曲线。

因此，结合目标函数几何意义，最终企业可以从曲线最高点处，获得最优原材料采购量，比如最高点处极大值为9，则最优解是，X1=3，X2=2，则最高利润为27元。

线性规划问题可以借助目标函数的几何意义来解决，也就是说，解决线性规划问题的问主要就是把函数曲线的极大值调整到可以实现最大化或最小化的结果位置。

从而可以有效的获得最优解。

高三数学线性规划试题答案及解析1.，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D．【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线的斜率，要与直线或的斜率相等，∴或．【考点】线性规划．2.已知最小值是5，则z的最大值是（）A．10B．12C．14D．15【答案】A【解析】首先作出不等式组所表示的平面区域，如图中黄色区域，则直线-2x+y+c=0必过点B（2，-1），从而c=5,进而就可作出不等式组所表示的平面区域，如图部的蓝色区域：故知只有当直线经过点C（3，1）时，z取最大值为：，故选A．【考点】线性规划．3.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.4.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序执行以下运算：已知，求的最大值.作出表示的区域如图所示，由图可知，当时，最大，最大值为.选C.【考点】程序框图与线性规划.5.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】作出可行域:oyxA(1，1)由图可知，当直线过点时，目标函数取最小值为3，选B.【考点】线性规划6.已知x，y满足条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域，如下图所示，将目标函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目标函数取到最大值，，得，故．【考点】线性规划．7.若变量满足约束条件，则的最大值为_________.【答案】【解析】作出不等式组表示的区域如下,则根据线性规划的知识可得目标函数在点处取得最大值,故填.【考点】线性规划8.设x，y满足约束条件，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80B．4C．25D．【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程＝(3＋1)2＋82＝80.组，得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax9.已知实数满足，则目标函数的取值范围是．【答案】【解析】可行域表示一个三角形ABC，其中当直线过点A时取最大值4，过点B时取最小值2，因此的取值范围是.【考点】线性规划求取值范围10.设变量满足，则的最大值和最小值分别为（）A．1，-1B．2，-2C．1，-2D．2，-1【答案】B【解析】由约束条件，作出可行域如图，设，则，平移直线，当经过点时，取得最大值，当经过点时，取得最小值，故选．【考点】线性规划.11.（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14B．16C．17D．19【答案】B【解析】依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．12.若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为A．－6B．－2C．0D．2【答案】A【解析】的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y =" -" 6取最小值。

三种目标函数的几何意义一、 教学目标：知识目标：1. 了解线性规划意义，并会简单的运用；2. 能解决一些非线性目标函数的最值问题。

能力目标：提高学生的作图能力、分析能力，培养学生运动变化的数学思维。

情感目标：通过自主学习、合作学习培养学生的团队合作精神。

二、教学重点：三种目标函数的几何意义。

教学难点：非线性函数最值问题。

三、教学工具：powerpoint 课件、几何画板 四、教学过程：我们已经学习过线性规划的有关知识，请看下面的问题：【问题】求y x z +=2的最大值，使x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 。

（学生自行解答，教师巡视并作个别辅导。

在大部分学生完成后，提问学生：） 1. 题目中给出的是关于x ，y 的代数表达式，做题时依据什么能转化为图形？2. 要正确解答问题，首先要弄清楚z 的意义，你能给大家分享一下你的想法吗？其他同学还有没有不同想法？3. 在得出z 的最值时，要说清x 与y 的取值，那么x 与y 应该在什么范围内取值呢？不等式组表示的区域我们在线性规划里面称作什么？（多媒体给学生演示z 的变化过程，让学生体会“运动变化”的数学思想。

然后给出上述问题的详细解答过程）【变式1】在上述问题中，如果把目标函数改写成y x z 32+=，那么z 的几何意义又是什么呢？如果改成y x z -=2呢？上述题目和变式1中提到的目标函数为直线型：By Ax z +=，即y A B x z B z B=-+，为直线在y 轴上的截距。

z 的几何意义就是直线在y 轴上截距的B 倍。

至于z 与截距是否同时取到最值，还要看B 的符号。

【变式2】如果把题目中目标函数改写成23++=x y z ，那么z 的几何意义会是什么？最值如何呢？如果是改写成xy z 2+=，最值又如何？ 学生分组探究，寻找解决问题的方法。

找学生分享自己的想法。

（多媒体演示，z 的变化过程）在解决变式2中两个函数最值时，不同之处是什么？（当定点与区域内的点连线斜率都存在时，z 有最值；当定点与区域内的点连线斜率有不存在情况时，z 没有最值，但可以把z 的取值范围写出来。

目标函数的几何意义目标函数的几何意义目标函数在数学中是用来描述最优化问题的数学函数。

在最优化问题中，我们希望通过对给定条件下的多个可行解进行比较，找到使目标函数取得最优值的解。

目标函数的几何意义是通过对函数的图像进行分析和解释，来理解和说明问题的最优解。

首先，我们来看一元函数的情况。

对于一个一元的目标函数，其图像是一个曲线。

我们可以通过绘制目标函数的图像来直观地观察函数的特点。

例如，如果目标函数是一个二次函数，它的图像是一个抛物线。

我们可以看到抛物线的顶点是函数的极小值点，这是最优解的可能位置。

在图像上，我们可以推断出目标函数的最优解将在极小值点处取得。

对于多元函数的情况，我们需要将目标函数的图像表示在更高维的空间中。

我们可以将目标函数表示为一个曲面，其中曲面的高度表示目标函数的值。

通过观察这个曲面，我们可以获得一些有关最优解位置和形式的信息。

在多元函数的情况下，最优解的位置是曲面上的一个点，使得点的邻域中没有其他点比它更好。

这个点被称为最优解点或最小值点。

在图像上，最小值点就是曲面的一个局部最低点。

最优化问题的目标就是在这个曲面上找到这个最低点，寻找其它点比这个点更低的可能性非常小。

除了寻找最低点，目标函数的几何意义还包括判断函数的性质和拓扑结构。

通过分析目标函数的曲面，我们可以确定函数的凸性、连续性和存在最优解的区域等性质。

例如，对于一个凸函数，其曲面呈现一个凸状。

这意味着任意两点连线上的曲面点都位于该曲线下方。

因此，凸函数的最低点也是全局最低点。

总结来说，目标函数的几何意义可以帮助我们直观地理解最优化问题，并帮助我们找到问题的最优解。

通过对函数图像的观察和分析，我们可以获得关于函数的性质和拓扑结构的信息。

理解目标函数的几何意义可以为我们设计和优化问题的解决方案提供指导。

目标函数几何意义在变化线性规划是高中数学的重要内容之一，它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题．由于目标函数在不断地变呈动，现出多样性和隐蔽性，所以我们要认真研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化．下面举例说明：一、目标距离化．例1．已知实数x，y满足,则的最大值是分析，目标函数的几何意义是表示可行域内的点到点（1，1）的距离的平方，画出可行域可求得解：如图，作出可行域，则可知行域内点（4，1）到可点（1，1）的距离最大，从图形中可只是3，故．例2．已知实数满足，求的最大值．分析：这个目标函数就显得有点“隐蔽”了，注意到目标函数有个绝对值符号，联想到点到直线的距离公式的结构特点，那么就可顺利解决了．，也是说表示为可行域内的点到直线距离的倍．解：作出可行域，（如上图）可知可行域内的点（7，9）到直线的距离最大，所以二、目标角度化．已知为直角坐标系原点，的坐标均满足不等式组，则的最小值等于．分析：作出相应的可行域，可知越大，则越小，所以可知在（1，7）（4，3）此时与原点O的张角最大解：画出可行域，不失一般性，不妨设P（1，7），Q（4，3）；则，，则，所以．三、目标斜率化．例4．已知变量满足约束条件，则的取值范围是_____.分析，观察的结构特征，令人想到平面内的两点间的斜率公式，可得表示可行域内的点与原点之间的斜率，结个可行域可得其取值范围是，具体的过程留给聪明的读者．四、目标投影化．例5．已知点（O为原点）的最大值为．分析：这个目标函数更为隐蔽了，表示的是是方向上的投影．解：作出可行域，则可知P（5，2），则=（5，2），则在上的投影是PQ，可看作点P到直线是距离五、目标面积化．例6已知实数满足，求的最大值．分析：表示可行域内的点（正好在第一象限）到两坐标轴距离的乘积的两倍，即过该点作两坐标轴的垂线，长线段与两坐标轴所围成的面积的2倍，可知当时取得最大值，最大值是同学们应该知道目标函数是直线的截距的这种类型的基础上，还要知道距离、投影、斜率、角度、面积等几种常见的形式．这样我们的在解决线性规划问题上才能心中有“形”．下面提供部分习题请同学们完成．（1）若函数是定义在上的函数，则函数的值域是（）A．B．C．D．（2）约束条件，目标函数的最小值是（3）已知（是坐标原点）的最大值为答案：（1）D （2）0 （3）5。

从目标函数的几何意义探求线性规划问题新教材试验修订本中“简单的线性规划”是新增加的内容,在线性约束条件下研究目标函数的最值问题是一类常见题型。

在近几年高考试题中都有所体现,若能借助于目标函数的几何意义解题,可提供直观明了的解题思路,解题也显得迅速简捷。

本文通过对目标函数几何意义的诠释来解几类线性规划中的最值问题。

一、借助于平面向量的数量积解一类线性规划问题形如z=ax+by的目标函数,可以把它看成平面内的向量=(a,b)与向量=(x,y)的数量积即z==cosθ,因为为定值,所以z的最值主要由cosθ决定的,即向量在向量方向上的投影。

例1.(2005年山东卷15)设x、y满足约束条件x+y≤5,3x+2y≤12,0≤x≤3,0≤y≤4则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点(x,y)是_______。

图1解析:作出可行域如图1,设n(x,y)为可行域内的任意一点,m(6,5),则z==cos∠mon,由数量积的几何意义(如图所示)得,当n(x,y)在a(2,3)时,在上的投影最大,即z=6x+5y取得最大值,zmax=27。

二、借助于两点间的距离解一类线性规划问题形如z=(x-a)2+(y-b)2的目标函数,可以把它看成点m(a,b)与点n(x,y)间距离的平方,即z=mn2,问题转化为研究m、n两点间距离平方的最值,又m为定点,所以z的最值主要由可行域内n点位置决定。

例2.已知2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0求z=x2+y2的最值,并求出z取得最值时x、y的值。

图2解析:作出满足约束条件的可行域如图2。

设p(x,y)为可行域内任意一点,目标函数z可视为o、p两点间的距离的平方,问题转化为研究距离平方的取值范围,由图易知可行域内,点c到原点o的距离最远,即:zmax=oc2=13,此时x=2,y=3。

又过o作直线ab:2x+y-2=0的垂线,垂足d(,),可知点d到原点的距离最近,即zmin=od2=。