§ 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理1、一次函数y=ax+b （a ≠0） 图像是一条直线.和x 轴的交点是0x ，ab x -=0. 一次方程ax+b=0的解是abx -=0①a>o 时，图像如图1，当0x x >时，函数值0>y ；当0x x <时，函数值0<y .一次不等式ax+b ＞0，（a ＞0）的解是： ；ax+b ＜0，（a ＞0）的解是： ；②a<o 时，图像如图2，当0x x >时，函数值0<y ；当0x x <时，函数值0>y .一次不等式ax+b ＞0，（a ＜0）的解是： ；ax+b ＜0，（a ＜0）的解是： ；2、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.3、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图 5Oy①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量1x x <或2x x >时，函数值 大于零；当21x x x <<时，函数值 零；当21x x x 或=时，函数值 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是： ;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解是：)0(,02><++a c bx ax 的解是： )0(,02>≤++a c bx ax 的解是： ②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值 零；当0x x =时，函数值 零;对于任意实数x ，函数值都不会 零. 对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解是：)0(,02><++a c bx ax 的解是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解是：③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均 零；即对于任意实数x ，函数值都不可能 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解是：4、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内） 注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行 ②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法． 典例分析例1、解下列不等式1、3x 2+5x-2>02、9x 2-6x+1>03、x 2-4x+5>04、-x 2+x+1<05、-x 2+4x-4>0 6、3x 2+6≤19x例2、 解不等式23⎪⎭⎫⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.例3、已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解.当堂检测：1.（1）2x 2-3x-2>0; （2）x 2-3x+5<0 ;（3）- 3x 2+6x>2; （4）-6 x 2+3x-2≤0.（5）()()021≤-+x x2.不等式()()123++≥-x x x x 的解是3.不等式0262≥-+x x 的解是4.二次方程02=++c bx ax 的两根为2-，3，0<a ，那么02>++c bx ax的解为 5.不等式022>++bx ax 的解为3121<<-x ，则=+b a ，不等式022<++bx ax 的解为 .拓展1.若关于x 的不等式()∞∞->--,02的解为a ax x ，则实数a 的取值范围是 .拓展2.在R 上定义运算(),1:y x y x -=⊗⊗若不等式()()1<+⊗-a x a x 对任意实数x 均成立，则 a 的取值范围为。
不等式一、 【归纳初中知识】初中阶段我们已经学习过一元一次不等式的解法，但在高中学习中往往不够用，我们来总结一下已经学习过不等式的解法：解b ax >应该分三种情况讨论：1. 若0=a ，且0≥b ，不等式无解；若0,0<=b a ，不等式有无数解2. 若0>a ，则解为ab x >3. 若0<a ，则解为a b x < 二、 【衔接高中知识】我们在高中阶段主要会接触到三类不等式：1. 一元二次不等式：其通常求解方法有“因式分解乘积法”、“二次函数图像法”；2. 分式不等式：其主要求解方法为将分式不等式转化为整式不等式；3. 简单的高次不等式：常用求解方法为“因式分解乘积法”规律总结：①一般地，解不等式先使不等式右边为______②一般地，对于一元二次不等式)0(02<>++c bx ax ，先化二次项系数为_______，然后找出方程02=++c bx ax 的两根21,x x ，最后根据不等号：小于取______，大于取_____。
三、 【例题精讲】例1：因式分解法解不等式：062<-+x x例2：因式分解法解不等式：3522->-x x例3：图像法解不等式0122<++-x x例4：已知不等式022>++bx ax 的解集为321<<-x ，求022<++a bx x 的解集例5：解不等式：（1）0113<+-x x （2） 1312≥+-x x例6：解不等式：0)12)(2(2<--+x x x课后习题1、不等式0262<--x x 的解集为______________2、不等式0322<--x x 的解集为_________________________3、已知不等式02<+-b ax x 的解集为32<<x ，则不等式012≥+-bx ax 的解为_______4、不等式12<-x 的解集为_______________5、不等式0)3)(2)(1(<+-+x x x 的解集为____________________6、不等式04322>--x x 的解集为____________________________7、不等式221>-+x x 的解集为________________8、解不等式0)6)(2(2≥-++x x x9、解不等式：063222<++--+x x x x。
初高中数学衔接学习专题6 二元二次方程组的解法我们知道含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．至少有一个二次项、最高次不超过二次且包含两个未知数的整式方程组叫做二元二次方程组．通常由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成，或由两个二元二次方程组组成。
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。
由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
【例题1】判断下列二元二次方程解的情况：（1）2240,+-=x y y（2）2246130,+--+=x y x y（3）2224100.+-++=x y x y【解】由（1）得()2224+-=x y ，有无数组解；由（2）得()()22230-+-=x y ，只有一个解23=⎧⎨=⎩x y ； 由（3）得()()22125-++=-x y ，无解。
【小结】与二元一次方程不同，二元二次方程组的解可能有无穷多组、只有一解或无解。
【例题2】解方程组：222142=⎧⎪⎨+=⎪⎩y xx y 【解】把y=2x 代入另一方程得到：222491424+==x x x 即：249=x ，解得2x .3=±所以方程组的解为2343⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ，23.43⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y 【小结】（1） 本题中的方程组是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，这是二元二次方程组在高中数学应用中主要的类型；（2）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；⑤写出答案．(3) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(4) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【例题3】解关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1①，x 2a 2＋y 2b 2＝1②，【解】由①得=-+b y x b c③，代入②式得到：22221⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+=b x b x c a b ， 即：222111⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭x x a c ， 即：2221120⎛⎫+-= ⎪⎝⎭x x a c c ，解得0=x 或222222211==++a c c x a c a c 所以方程组的解为⎩⎨⎧x ＝2a 2c a 2＋c 2，y ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝b ， 【小结】本题仍然是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，只不过两个方程中都含有字母。
（初升高）高一数学衔接班第7讲——二元二次方程组一、学习目标：1、了解“代入消元法”的基本思想和一般步骤；掌握用“代入法”解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；2、通过对二元二次方程组解法的学习，渗透“消元”、“降次”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
3、体会数学知识之间的内在联系，养成深入观察、分析的良好习惯。
二、学习重点：1、会用“代入消元法”解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组；2、理解解二元二次方程组的基本思想。
三、课程精讲：新知探秘：什么样的方程组是二元二次方程组？如何解二元二次方程组？ 1、二元二次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程。
例如：xy ＝1，x 2－y ＝0，x －y －2xy ＝－3都是二元二次方程；x －y ＝1，x 2y ＝0都不是二元二次方程。
2、二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组。
知识点一：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解。
其中蕴含着转化的思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。
【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 思路导航：由于方程（1）是二元一次方程，故可由方程（1），得2y x =，代入方程（2）消去y 。
解：由（1）得：2y x = （3）将（3）代入（2）得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入（3）得：12y =；把1x =-代入（3）得：22y =-。
∴原方程组的解是：12121122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或。
点津：（1）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①把由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程（3）； ②把方程（3）代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程（3），求相应的未知数的值； ⑤写出答案。
