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高中数学异面直线所成角PPT课件

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高中数学精品课件：空间角

高中数学精品课件：空间角

图7-46-8
与平面ABCD所成的角,由已知得∠MBA=45°,则MA=MB,此时O为AB的中点.
连接OC,由∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2DC,得四边形AOCD为矩形,所以
OC⊥AB,所以CO⊥平面MAB,又MA⊂平面MAB,所以OC⊥MA.
图7-46-8
[总结反思] (1)求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角,作二面角的平面角最常用的方法是 利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理). (2)对于建立空间直角坐标系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出 两个平面的法向量,并转化为求两个法向量的夹角来完成.
.
题组二 常错题 ◆索引:二面角取值范围出错;线面角范围出错;不能正确构建线面垂直及斜线 段在底面上的射影.
6.在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为
.
7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 45° .
图7-46-8
图7-46-8
方法二:二面角D-MA-C的大小即为二面角B-MA-D的大小与二面角B-MA-C大
小的差,由(1)可知二面角B-MA-D的大小为90°,
所以二面角D-MA-C的正弦值即为二面角B-MA-C的余弦值.
过M作MO⊥AB于O(图略),因为平面MAB⊥平面ABCD,平面 MAB∩平面ABCD=AB,所以MO⊥平面ABCD,∠MBO即为MB
A
证明:连接AC(图略),由题知△ACD为等边三角形,因为M为AD的中点,所以 CM⊥AD,又AD∥BC,所以CM⊥BC,因为平面ABCD⊥平面PBC,且平面 ABCD∩平面PBC=BC,CM⊂平面ABCD,所以CM⊥平面PBC,故CM⊥PB.

高中数学必修二《异面直线成角》PPT

高中数学必修二《异面直线成角》PPT

了作图方便，点O宜选在何处？
b
b'
O
a
a' o
b'
a' o'
知识探究（二）：异面直线所成的角的范围
思考1:我们规定两条平行直线的夹角为0°， 那么两条异面直线所成的角的取值范围是什 么？
（00，900]
如果两条异面直线所成的角是90° 则称这两条直线互相垂直 两条互相垂直的异面直线a，b记作a⊥b.
基础练习1
如图,已知长方体ABCD-EFGH中，AB=AD= 2 3,
AE = 2
H
G
(1)求BC 和EG 所成的角? E
F
2
(2)求AE 和BG 所成的角?
2 3D
C
解：(21)∵∵GBFF∥∥BACE∴∴∠∠FEBGGF（（或或其其A补补角角）2）3为为异异面B
直线面A直E线和BBCG和所E成G的所角成,的∴角Rt.△在BRFt△G中EF,∠G BFG
D
25 B
F
c
所以Βιβλιοθήκη 变式1如图，在四面体ABCD中，E，F分别
是棱AD，BC的中点,已知AB=CD=10且异面
直线AB和CD所成的角为60
A
则EF= 5或5 3
E
D
G
B
F
c
所以
例2 ：正方体ABCD—A1B1C1D1中 E作是出B异B面1的直中线点A,EF是与CBCF所1的成中的点角.
E'
变式2
知识探究（一）：异面直线所成的角
思考1:两条异面直线之间有一个相对的 倾斜度，若将两异面直线分别平行移动， 它们的相对倾斜度是否发生变化？
思考2:设想用一个角反映异面直线的相 对倾斜度，但不能直接度量，你有什么 办法解决这个矛盾？

高中数学人教B版选修2-1 第三章3.2.3 直线与平面的夹角PPT

高中数学人教B版选修2-1 第三章3.2.3 直线与平面的夹角PPT
au
l
a
u
3、二面角
②法向量法如将图，二向面量角转n 化 为， 二m 面 角的两，个面的法向量的夹角。
则二面角l 的大小 ＝〈m,n 〉
m,n
m
n
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
L
uv
若二面角 l 的大小为(0,)则 co s
A(0,0,0), M(6,2,6)
z
A1
B1 M
D1
NC 1
由A 1N5,可得 N (0,4,3)
A
Dy
设 A M 平 的 ( 6 ,2 ,6 ) 面 法 A n N , (x ( 0 ,向 , y 4 ,,z 3 ) ) 由 ,.量 x B
AM
•n
0
即 6x2y6z 0
| sin
AN •n 0
棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，3 在线段BC上
是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?
若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
z P
A
D x
By E
C
解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分
别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系， 设BE=m，则 A ( 0 ,0 ,0 ) ,P ( 0 ,0 ,1 ) ,D (3 ,0 ,0 ) ,E ( m ,1 ,0 ) ,
(1)求证：PA//平面EDB
P
(2)求证：PB 平面EFD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
F
E
D A
C B
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的

高中数学 空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件

高中数学 空间图形的基本关系与公理 1_4_2 公理4(平行公理)与异面直线所成的角课件

目标导航
预习引导
2.等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补.
预习交流 2
如果两个角的两条边分别对应平行且方向相同 ,那么这两个角的 关系如何?如果有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反,那么这 两个角的关系如何? 提示:相等;互补.
目标导航
预习引导
3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.
第 2 课时
公理 4(平行公理)与异面直线所成的角
目标导航
预习引导
学习目标
1.记住并会应用公理 4. 2.理解等角定理的条件和结论. 3.知道什么是空间四边形. 4.知道什么是异面直线所成的角,会求简单的异面直线所成的角. 重点:公理 4 及其应用以及异面直线所成角的求法. 难点:对异面直线所成的角的理解和求法. 疑点:怎样求异面直线所成的角?
= ,请回答并证明当空间四边形 ABCD 的四条边及点
2 3
G,H 满足什么条件时,四边形 EFGH,
(1)为平行四边形? (2)为菱形?
问题导学
当堂检测
思路分析:由
������������ ������������
=
������������ ������������
= ,可想到证明 EF∥AC;为使四边形 EFGH
2 3
2 3
理由:由(1)知,若
=
������������ ������������
= ,
3 5 2 5 2 3
2 3
则四边形 EFGH 为平行四边形,且 EF= AC,EH= BD.若 AC= BD, 则 EF= AC= BD=EH. ∴ 平行四边形 EFGH 为菱形.
3 5 2 5

异面直线所成角(公开课)ppt课件

异面直线所成角(公开课)ppt课件

异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ
注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π- θ
可编辑课件
18
b
O
a’
a
α
借助于平面α,使两条异面直线移动到相交,
是研究异面直线所成的角时必备法宝.
可编辑课件
19
思路整理：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
B
o
D
M 可编辑课件
14
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
N
B
o
D
M 可编辑课件
15
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
（3）求异面直线AM、CN所成的角。
N
B
D
E
M 可编辑课件
16
C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
练习1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC, M 、 N分别是
AB、CD的中点
（1） M N=
C1 N
A1
M
D
B1
C
B
N
C

新版高中数学北师大版必修2课件1.4.2等角定理与异面直线所成的角

新版高中数学北师大版必修2课件1.4.2等角定理与异面直线所成的角
这两个角互补. ( × ) (5)两条异面直线所成角的范围为[0°,90°). ( ×)
-7-
第2课时 等角定理与异面直线所成的角
首页
Z H 自主预习 IZHUYUXI
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
一题多解
探究一等角定理的应用
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱 AD和A1D1的中点.求证:
-12-
第2课时 等角定理与异面直线所成的角
首页
Z H 自主预习 IZHUYUXI
合作学习
EZUOXUEXI
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
一题多解
解:(1)所在直线与BC'是异面直线的棱
有:AA',DD',A'B',DC,AD,A'D'.
(2)因为AD'∥BC',所以AD'与B'C所成的角就是BC'与B'C所成的角.
探究一
探究二
一题多解
解法1(直接平移法)如图所示.
连接A1C1,B1D1交于点O,取DD1的中点G, 连接GA1,GC1,OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1,故∠GOA1或其补角就是 异面直线DB1与EF所成的角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
D当堂检测 ANGTANG JIANCE
2.异面直线所成的角
如图所示,过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线 l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线 a,b所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角,我们称这两条直 线互相垂直.记作:a⊥b.

高二数学异面直线成的角PPT优秀课件

问题：什么叫异面直线？
想一想：我们可以从哪些方面研究两条异面 直线的位置关系？
1.异面直线所成角
2.异面直线之间距离
▪ 看书第12页，思考下列问题： ▪ 1.什么叫异面直线所成角？ ▪ 2.异面直线所成角范围是什么？ ▪ 3.书中所谓“空间点O”的位置怎样？
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
例2.在四面体S-ABC中，异面直线SA与BC所成
角为90度, E, F分别为SC、AB 的中点，SA＝2，BC ＝4，求异面直线EF 与SA 所成的角.
S
E A
D
F
C
B
S
E
AGD C NhomakorabeaF B1.求异面直线所成角的基本思想是什么？
化“异面”为“共面”，通过解三角形求 角.体现了化归的数学思想。
2.求异面直线所成角的步骤有哪些？
）
2
▪ 2. 已知两条异面直线分别平行于一个150度角的两
边，那么这两条异面直线所成角为___3_0__0 ___
练习二
正 方 体ABCD- A1B1C1D1 中 , AC、BD 交 于 O, 则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
思考题： 长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
异面直线所成角的范围是
（0，π2 ]
b′
b
O
a
a′
“空间点O”的位置 任意
例1.指出下面正方体中两条异面直线
所成角，说说理由。空间点选在哪？
（ 1） AB与 CC1 （ 2） A B与 D 1B1(3)AD1与 A1B

两异面直线所成的角--2008年河南省高中数学优质课课件及教案10

9．2两条异面直线所成的角[教学目的]：1、知识目标：理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成角。

2、能力目标：培养学生的识图、作图能力、在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及解决问题和分析问题的能力。

3、情感目标：在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点。

[教学重点和难点]：教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。

教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。

[课时安排]：共一课时[教学过程]：一、新课引入师：同学们，我们来共同欣赏一幅动画。

请仔细观察画面，两条汽车路线与飞机航线的相对位置关系是空间两直线位置关系中的哪一种？又有哪些不同？（请同学们共同回答）师：本节课我们就来学习两条异面直线所成的角。

（板书课题：9.2两条异面直线所成的角）二、讲授新课（一）、异面直线所成的角1、引言：师：为了解决这个问题，我们先来做两个实验。

下面我们做第一个实验：一张纸上画有两条能相交的直线ａ、ｂ（但交点在纸外）．现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出ａ、ｂ所成角的大小？师：请同学们按照实验要求进行实验，并说出实验的操作方法？师：（找一个学生回答后，接着放动画演示）请问这三种方法下得出的结果是否相同？为什么相同？（引导学生回顾等角定理）师：下面我们再做第二个实验，现在有两条异面直线ａ、ｂ，它们之间有一定的角度关系，你用什么方法可以度量它们的角度。

（请同学们思考）师：通过这个实验我们找出了作异面直线所成角的方法。

那么接下来，该如何来概括异面直线所成角的定义呢？请同学们组织好语言，举手回答。

（在同学回答的同时，及时补充修正。

最后和全休同学一块儿来熟悉定义，老师板书定义）2、异面直线所成角的定义：【用多媒体显示定义】已知异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．师：针对这个定义，请同学们来思考两个问题。

空间角的计算PPT课件(高中数学)


2.已知直线l是平面 的斜线,直线l的方向向量
为e , 平面 的法向量为 n ,设直线l和平面
的所成角为1 , e与
关系如何? l
n 的夹角为 2 ,
n
则 1,2
的
e
e
(1)若 e, n 的夹角
1
2
2.
(2)若 e, n的夹角
1
2
2
.
是钝角,则两直线的所成角
2
2 [0,2 ],则两直线的所成角
3.二面角 l 的两个半平面, 法向量分
3.已知两个相交平面, 法向量分别为 n1, n2,
求两平面所成的锐二面角的大小.
(1)n1 (1,1, 0), n2 (0, 1, 1) (2)n1 (1, 1,1), n2 (2,1,1)
1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, AB∥CD,PA⊥面ABCD, PA=AD=DC=1,AB=2,M是 棱PB的中点. (1)求证:面PAD⊥面PCD;
(3)在直线PA上求一点M,使得EM⊥CBz . (4)求面PAD和面PBC所成二 P 面角的余弦值.
(5)求二面角A-PB-C的余弦值.
D
A
x
E C
y
B
3.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱 形，且∠BCD=∠BCC1=∠DCC1=600.
(1)求证:CC1⊥BD;
(2)当 CD 的值是多少时,
空间角的计算
复习:
1.已知空间两异面直线l1,l2的方向向量分别为e1, e2,
设l1与l2的所成角为 , e1,e2的夹角为 , 则 ,
关系如何?
l1
e1
e2
e2

人教A版高中数学必修二《异面直线所成的角》PPT


a
bαa'源自θo•b'
异面直线所成角的范围?
想一想？
异面直线所成的角的范围是：（0°＜θ≤90°）
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?
解答：
答: 这个角的大小与O点的位置无关.
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
4、等角定理：_空_间__中__如__果__两_个__角__的__两__边_分__别__平__行， _那__么__这_两__个__角__相__等_或__互__补__。______
试一试： 请两位同学上台分别摆出两组异面直线.
知识回顾：
平面内两条直线相交成四个角，其中不大于90°的角 称为它们的夹角
（ B ）(A)300
(B)450
(C)600
(D)900
S
E A
D
F
C
B
课堂小结：
1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中， 一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。
2、计算角的大小，要遵循“作——证——算——答”四 步骤。
3、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”，也即 “化异面为共面”，“化空间为平面”，它突出体现了转 化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若直观性不 强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于计算的直观性。 作答时要注意异面直线所成的角的范围的约束。
这个很 重要哦
（3）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说 这两条直线互相垂直，两条互相垂直的异面直线a，b，
记作a⊥b
说明空间的垂直有相交垂直和异面垂直，区别在于一个是相交，一个是异面.
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∴ AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角
∵ 在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450
∴ 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。
②∵在面A1B1CD中， ∵ A1B1/ CD ∴ A1D//B1C
∴ AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角
∵ 在△AB1C中，AB1和CC1所成的角是600
C1
F1
所成的角(或补角)，
A1
B1
E1
在A1C1E中，
D
A 1 C 1=5 ,A 1 E = 25 ,C 1 E = 3 A
由余弦定理得
cosA1C1E=
5 5
C B
F E
A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 5
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
方法归纳： 补形法 如正方体、长方体等，其目的在于易于发
2、求角的方法：解平面图形（一般为三角形）
用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
思考：
c o E sP =P F 2 E P2 F E2F = 2 3= 1 ∴ EP=F 120
2 PP EF 2 2
即异面直线AD和BC成600角
.
12
小结：
1、求异面直线所成的角要认识到：空间的角可以用 平面的 角来定义，体现了立体几何中的降维思想。
定角一般方法有：（1）平移法（常用方法） （2）补形
AB、CD的中点.且EF= 3 ．
求:异面直线AD和BC所成的角.
A
G
E
D
B
F
解:设P为AC中点,连结EP、FP. 则
C
PE=1BC ,PF=1AD . 且PE//BC, PF//AD
2
2
∴ PE与PF所成的锐角（其补角）就是异面直线BC与AD所成的角.
在△PEF中, PE=PF=1, EF= 3
60
a
A1
由余弦定理， cos∠EBG=2/5
C1 B1
想一想： 还有其它定角的方法吗？
取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF
D
N
C
则∠FNC为所求角。
A
M
B
D1
A 1
D A
D1
C 1
A 1
B1
D C
A B
C
D1
1
A 1
B1
D C
BA
C 1
B1
P
C B
.
7
例2、长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm
AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦
.
8
解法二：
如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F，
连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 D1
∴异面直线AB1和A1D所成的角是6. 00 。
5
求异面直线所成角的步骤有哪些？
★求角的步骤：
1. 做（利用定义画平行线，移到同一 平面）
2. 证（简单论证） 3. 求（解平面图形，通常将角置于一 个三角形中，利用平面几何知识解决）
正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点，
如图，画出下面各题中指定的异面直线所成的角
3 ．范围:(0°，]2
.
4
2.异面直线所成的角的求法:
例1：如图正方体AC1，
D
C
①求异面直线AB1和CC1所成角的大小 A ②求异面直线AB1和A1D所成角的大小
〖分析〗 1、做异面直线的平行线
B
D D1
1
C
2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解
A1
D1
1
B1
解: ①∵ CC1//BB1
现两条异面直线的关系。
练习1
在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且 SA=BC, E, F分别为
SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于
（ B(A）)300
(B)0
(C)600
(D)900
S
E A
D
F
C
B
S
E
G
A
F B
.
11
2. 在空间四边形ABCD中, AD=BC=2, E、F分别是
已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。
解：如图，取A1B1的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M
取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N D1
则∠EBG即为所求角。 在△EBG中
BG=BE= 5
2
a, F C1 =
6 2
.
2
一.定义:直线a、b是异面直线，经过空间
任意一点 O ,分别引直线a′∥a , b′∥ b。 我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做 异面直线a和b所成的角.
.
3
说明：1 ．a和b所成的角的大小与空间点的选取无关.
2 ．实质：把a和b平行移动使之相交,把抽象的空 间位置用平面内具体的角来体现.