2.1.2椭圆的简单几何性质 第1课时
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第1课时 椭圆的简单几何性质[A 基础达标]1.椭圆25x 2+9y 2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A .5、3、0.8 B .10、6、0.8 C .5、3、0.6D .10、6、0.6解析:选B.把椭圆的方程写成标准形式为x 29+y 225=1,知a =5,b =3,c =4.所以2a =10,2b =6,ca=0.8.2.一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则该椭圆的标准方程是( )A.x 216+y 29=1或x 29+y 216=1 B.x 225+y 29=1或y 225+x 29=1 C.x 225+y 216=1或y 225+x 216=1 D .椭圆的方程无法确定解析:选C.由题可知,a =5且c =3,所以b =4, 所以椭圆方程为x 225+y 216=1或y 225+x 216=1.3.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的方程是( )A.x 24+y 216=1或x 216+y 24=1B.x 24+y 216=1 C.x 216+y 24=1 D.x 216+y 220=1 解析:选C.由已知a =4,b =2,椭圆的焦点在x 轴上,所以椭圆方程是x 216+y 24=1.故选C.4.已知焦点在x 轴上的椭圆:x 2a2+y 2=1,过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ,B两点,且|AB |=1,则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.154D.33解析:选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2-1,0),不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2-1,12,可得a 2-1a 2+14=1,解得a =2,椭圆的离心率为e =a 2-1a =32.故选A.5.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,若存在点P 为椭圆上一点,使得∠F 1PF 2=60°,则椭圆离心率e 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,22 解析:选C.在△PF 1F 2中,设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则m +n =2a ,根据余弦定理,得(2c )2=m 2+n 2-2mn cos 60°,配方得(m +n )2-3mn =4c 2,所以3mn =4a 2-4c 2,所以4a 2-4c 2=3mn ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m +n 22=3a 2,即a 2≤4c 2,故e 2=c 2a 2≥14,解得12≤e <1.故选C.6.与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点,且短轴长为45的椭圆方程是________. 解析:依题意得椭圆的焦点坐标为(0,5),(0,-5),故c =5,又2b =45,所以b =25,a 2=b 2+c 2=25,所以所求椭圆方程为x 220+y 225=1.答案:x 220+y 225=17.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的标准方程为________.解析:设椭圆的长半轴长为a ,由2a =12知a =6. 又e =c a =32,故c =33, 所以b 2=a 2-c 2=36-27=9.所以椭圆标准方程为x 236+y 29=1.答案:x 236+y 29=18.在平面直角坐标系xOy 中,F 1,F 2分别为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点.已知点P (a ,b ),△F 1PF 2为等腰三角形,则椭圆的离心率e =________.解析:设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)(c >0),由题意得|PF 2|=|F 1F 2|,即(a -c )2+b 2=2c .把b 2=a 2-c 2代入,整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2+ca-1=0,解得c a =-1(舍去)或c a =12.所以e =c a =12.答案:129.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点,焦点在y 轴上,其离心率为12,焦距为8;(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到长轴上同侧顶点的距离为3.解:(1)由题意知,2c =8,c =4,所以e =c a =4a =12,所以a =8,从而b 2=a 2-c 2=48,所以椭圆的标准方程是y 264+x 248=1.(2)由已知⎩⎨⎧a =2c ,a -c =3,所以⎩⎨⎧a =23,c = 3.从而b 2=9,所以所求椭圆的标准方程为x 212+y 29=1或x 29+y 212=1. 10.如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,A ,B 是椭圆的顶点,P 是椭圆上一点,且PF 1⊥x 轴,PF 2∥AB ,求此椭圆的离心率.解:设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).如题图所示,则有F 1(-c ,0),F 2(c ,0),A (0,b ),B (a ,0),直线PF 1的方程为x =-c ,代入方程x 2a 2+y 2b2=1,得y =±b 2a ,所以P ⎝⎛⎭⎪⎫-c ,b 2a . 又PF 2∥AB , 所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|=|AO ||OB |,所以b 22ac =ba,所以b =2c .所以b 2=4c 2,所以a 2-c 2=4c 2,所以c 2a 2=15.所以e =c a =55. [B 能力提升]11.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP →·FP →的最大值为( )A .2B .3C .6D .8解析:选C.由题意得F (-1,0),设点P (x 0,y 0),则y 20=3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 204(-2≤x 0≤2), OP →·FP →=x 0(x 0+1)+y 20=x 20+x 0+y 20=x 20+x 0+3⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 204=14(x 0+2)2+2,当x 0=2时,OP →·FP →取得最大值为6.12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B ,C 两点,且∠BFC =90°,则该椭圆的离心率是________.解析:由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32a ,b 2,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ,b 2,F (c ,0),则由∠BFC =90°得BF →·CF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫c +32a ,-b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c -32a ,-b 2=c 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-b 22=0⇒3c 2=2a 2⇒e =63.答案:6313.如图,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB =90°,求椭圆的离心率; (2)若AF 2→=2F 2B →,AF 1→·AB →=32,求椭圆的方程.解:(1)若∠F 1AB =90°,则△AOF 2为等腰直角三角形,所以有|OA |=|OF 2|,即b =c . 所以a =2c ,e =c a =22. (2)由题意知A (0,b ),F 1(-c ,0),F 2(c ,0). 其中,c =a 2-b 2,设B (x ,y ). 由AF 2→=2F 2B →⇔(c ,-b )=2(x -c ,y ), 解得x =3c 2,y =-b2,即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2,-b 2.将B 点坐标代入x 2a 2+y 2b2=1,得94c 2a 2+b 24b 2=1,即9c 24a 2+14=1, 解得a 2=3c 2.①又由AF 1→·AB →=(-c ,-b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2,-3b 2=32⇒b 2-c 2=1,即有a 2-2c 2=1.②由①②解得c 2=1,a 2=3, 从而有b 2=2.所以椭圆方程为x 23+y 22=1.14.(选做题)已知椭圆x 2+y 2b2=1(0<b <1)的左焦点为F ,左、右顶点分别为A ,C ,上顶点为B ,过F ,B ,C 三点作⊙P ,且圆心在直线x +y =0上,求此椭圆的方程.解:设圆心P 的坐标为(m ,n ),因为圆P 过点F ,B ,C 三点,所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上,也在BC 的垂直平分线上,FC 的垂直平分线方程为x =1-c2.① 因为BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,b 2, k BC =-b ,所以BC 的垂直平分线方程为y -b 2=1b ⎝⎛⎭⎪⎫x -12②由①,②联立,得x =1-c 2,y =b 2-c2b ,即m =1-c 2,n =b 2-c2b.因为P (m ,n )在直线x +y =0上, 所以1-c 2+b 2-c2b =0,可得(1+b )(b -c )=0, 因为1+b >0,所以b =c ,结合b 2=1-c 2得b 2=12,所以椭圆的方程为x 2+y 212=1,即x 2+2y 2=1.。
《椭圆的简单几何性质》教学设计椭圆的简单几何性质《椭圆的简单几何性质》教学一. 教材分析1. 教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时:椭圆的简单几何性质。
在此之前,学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程,这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。
而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合,让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上,充分认识到“由数到形,由形到数”的转化,体会了数与形的辨证统一,也从中体验了学数学的乐趣,受到了数学文化熏陶,为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。
2. 教材的内容安排和处理本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时,主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用,在解析几何中,利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次,因此可根据学生实际情况及认知特点,改变了教材中原有研究顺序,引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手,按照通过图形先发现性质,在利用方程去说明性质的研究思路,循序渐近进行探究。
在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用,而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透,通过教师合理的情境创设,师生的共同讨论研究,学生的亲身实践体验,使学生真正意义上理解在解析几何中,怎样用代数方法研究曲线的性质,巩固数形结合思想的应用,达到切实地用数学分析解决问题的能力。
3. 重点、难点:教学重点:掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用教学难点;利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
二. 学生的学情心理分析我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题,解决问题的能力不是很强,但是他们的思维活跃,参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础,因此依据以上特点,在教学设计方面,我打算借助多媒体手段,创设问题情境,结合图形启发引导,组织学生合作探究等形式,都符合我班学生的认知特点,为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。