双曲线知识点总结及练习题

1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零❶常数(小于|F 1F 2|)❷的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a ＞0，c ＞0. 2．双曲线的标准方程和几何性质x ≤－a 或x ≥a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R若将双曲线的定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支，具体是左支还是右支视情况而定．设双曲线上的点M 到两焦点F 1，F 2的距离之差的绝对值为2a ，则0＜2a ＜|F 1F 2|，这一条件不能忽略． ①若2a ＝|F 1F 2|，则点M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；②若2a ＞|F 1F 2|，则点M 的轨迹不存在； ③若2a ＝0，则点M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.[熟记常用结论]1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？ 提示 若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a . 4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线． (2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④双曲线方程λ=-22y x 5等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 7．共轭双曲线1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线． (2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1B.y 264＋x 248＝1C.x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. (3)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的一动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．2．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 内切圆的圆心在直线x ＝2上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24－y 221＝1(x ＞2)B.y 24－x 221＝1(y ＞2)C.x 221－y 24＝1 D.y 24－x 22＝1 4．已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为__________． 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2D ．2]经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73 B.54 C.43 D.53题型一：双曲线定义问题1.“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的( )2.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件3.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是 .题型二：双曲线的渐近线问题1.双曲线42x －92y =1的渐近线方程是( )A . y =±23x B.y =±32x C.y =±49x D.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是()A .22y －42x =1 B.42x －22y =1 C.42y －22x =1 D.22x －42y =1题型三：双曲线的离心率问题1已知双曲线 x 2a 2 － y 2b2 = 1 (a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且∣PF 1∣=4∣PF 2∣,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A ．43 B ．53 C ．２ D ．732.已知21,F F 是双曲线)0(,12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2 D. 33.过双曲线M:2221y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )4.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( )A.22 B. 2 C .2 D. 225..已知双曲线12222=-by a x (a>0,b<0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C .[2,+∞) D.(2,+∞)题型四：双曲线的距离问题1.设P 是双曲线22ax －92y =1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A.1或5 B.6 C .7 D.92.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是A.(33-,33) B. (-3,3) C .[ 33-,33] D. [-3,3]3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____.题型五：轨迹问题1.已知椭圆x 2+2y 2 =8的两焦点分别为F 1、F 2，A 为椭圆上任一点。

双曲线知识点填空:1．双曲线的标准方程: (焦点在y 轴上)； （焦点在x 轴上）2．双曲线标准方程的统一形式： 当 时，此方程表示的是 ；当 相等的时候，双曲线叫做 。

*统一形式的使用是鉴于不知道双曲线或者椭圆的 所处的位置。

3．椭圆的第一定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离之 为 |F 1F 2|的常数的点的轨迹叫做椭圆。

其中F 1、F 2叫做 ,|F 1F 2|叫做 。

此常数为2a,则其表达式为：|PF 1|+|PF 2|=所以：当2a> 时，其轨迹是 ；当2a< 时，其轨迹 ；当2a= 时，其轨迹为 。

4．双曲线第一的定义： 与两定点 、 的距离之 的 为 |F 1F 2|的常数的点的轨迹叫做 。

此常数为 ，表达式为：||PF 1| |PF 2||= 。

若当a< 时，其轨迹是 ；当a> 时，其轨迹 ；当a= 时，其轨迹为以 、 为两端点的两条 （即线段|F 1F 2|的 和反向 ） 注意：当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，点p 的轨迹为靠近 的双曲线的 ；当|PF 1|-|PF 2|=-2a 时，点p 的轨迹即为靠近 的另一支（左支）。

a 、b 、c 满足 关系。

椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 为常数（ ），当 ，点的轨迹方程是椭圆；*当 ，点的轨迹方程是双曲线；当 ，点的轨迹方程是抛物线。

5．双曲线的几何性质：（1）双曲线的范围：|x| ,故双曲线是在两条直线 的外侧，是无限延伸的。

（2）顶点坐标（焦点在x 轴上）： ，其中|A 1A 2|叫做 = ；|B 1B 2|叫做 = ；所以半实轴长= ，半虚轴长= 。

（3）渐近线：焦点在x 轴上的渐近线方程： ；y 轴上：（4）双曲线的离心率：e= ,当双曲线的离心率越大，双曲线的“张口”越（5）等轴双曲线：即 = （a=b ）,渐近线方程： ，两条渐近线的夹角为 ，离心率为双曲线练习题:1．θ是第三象限角，方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是 （ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线2．“a b<0”是“方程ax 2+b y 2 =c 表示双曲线”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件3．一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2-8x +12=0都外切，则动圆心的轨迹为（ ） A ．抛物线 B ．圆 C ．双曲线的一支 D ．椭圆4．双曲线虚半轴长为5，焦距为6，则双曲线离心率是（ ） A ．35 B ．53C ．23D ．32 5．过点P （2，-2）且与22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．14222=-x y B ．12422=-y x C ．12422=-x yD ．14222=-y x 6．双曲线191622=-y x 右支上一点P 到右准线距离为18，则点P 到右焦点距离为（ ） A ．245 B ．558 C ．229 D ．532 7．过双曲线x 2-22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，这样的直线有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条 8．双曲线3x 2-y 2=3的渐近线方程是 （ ）A ．y =±3xB ．y =±31xC ．y =±3xD ．y =±33x 9．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为 （ ）A ．3B ．26C ．36D ．33 10．设双曲线12222=-by a x （0<a <b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．332 11．11422=-+-t y t x 表示双曲线，则实数t 的取值范围是 ． 12．双曲线191622-=-y x 的准线方程是 ． 13．焦点为F 1（-4，0）和F 2（4，0），离心率为2的双曲线的方程是 ．14．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ．15．已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．(12分) 16．双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，两准线间距离为29，并且与直线)4(31-=x y 相交所得弦的中点的横坐标是32-，求这个双曲线方程．(12分)(考点:待定系数法,韦达定理,中点公式)17．F 1、F 2是116922=-x y 双曲线的两个焦点，M 是双曲线上一点，且3221=⋅MF MF ，求三角形△F 1MF 2的面积．（12分）(考点:定义法)18．一炮弹在A 处的东偏北60°的某处爆炸，在A 处测到爆炸信号的时间比在B 处早4秒，已知A 在B 的正东方、相距6千米， P 为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒1千米）求A 、P 两地的距离．(14分)(考点:双曲线定义,求直线方程,两点之间距离公式)16．(12分) [解析]：设双曲线方程为12222=-by a x （a >0，b>0），∵两准线间距离为29，∴c a 22⋅=29，得=2a 49c ，c c b 4922-= ① ∵双曲线与直线相交，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-)4(3112222x y b y a x 得0)916(98)9(222222=+-+-a b x a x a b ， 由题意可知0922≠-a b ，且32)9(298222221-=--=+a b a x x 2297b a =⇒ ② 联立①②解得：92=a ，72=b 所以双曲线方程为17922=-y x ． 17．（12分） [解析]：由题意可得双曲线的两个焦点是F 1（0，-5）、F 2（0，5）， 由双曲线定义得：621=-MF MF ，联立3221=⋅MF MF 得21MF +22MF =100=221F F ， 所以△F 1MF 2是直角三角形，从而其面积为S =162121=⋅MF MF 18．(14分) [解析]：以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A （3，0）、B （－3，0） 3,5,2614||||===∴<⨯=-c b a PA PB15422=-∴y x P 是双曲线右支上的一点 ∵P 在A 的东偏北60°方向，∴360tan == AP k ． ∴线段AP 所在的直线方程为)3(3-=x y解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-==-00)3(315422y x x y y x ⎩⎨⎧==358y x 得 ， 即P 点的坐标为（8，35） ∴A 、P 两地的距离为22)350()83(-+-=AP =10（千米）．。

、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F i与F2的距离之差的绝对值等于定长（V|F I F2|）的点的轨迹2a F1F2 （a为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

差的绝对值。

（2）2a v|F i F2|。

当|MF1|—|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支;当|MF1|—|MF2|=—2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支;当2a=|F1F21时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单或两b。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较X2、y2的分母的大小，而是X2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上要注意两点：（1）距离之V二、双曲线的标准方程b2c2 a2X焦点在X轴上：务a2 yb2(a> 0,2焦点在y轴上：芯a(a> 0,（1）如果x2项的系数是正数，则焦点在X轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上。

a不一定大于边之差小于第三边当2a > IF1F2时，动点轨迹不存在。

a2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线I （准线）的距离之比是常数e（e> 1）时，这个动c 点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线b> 0)2 2 2 2(2)与双曲线冷占1共焦点的双曲线系方程是二2y1a2 b2八2 k b2 k2 2(3 )双曲线方程也可设为：—乂l(mn 0)m n三、双曲线的性质标准方程(焦点在x轴) 标准方程(焦点在y轴)双曲线第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2)的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

M MF1 MF2 2a 2a |证|y yF2F iF i第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线I的距离的比是常数e,当e 1时, 动点的轨迹是双曲线。

定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e ( e 1 )叫做双曲线的离心率。

双曲线知识点总结及经典练习题圆锥曲线（三）------双曲线知识点一：双曲线定义平面内与两个定点F i , F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F I F2| ）的点的轨迹称为双曲线•即：||MF1 | |MF2 || 2a,（2a | F1 F2 |）。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.1.双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：『囲-f耳卜力兰區禺|，这可以借助于三角形中边的相关性质两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的绝对值”常数□满足约束条件：1纠卜戸场1“—1瓦码1^ - ■），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若|^|-|^| = 2^<|^|严>0 ），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3•若常数a 满足约束条件：||珂T輕卜加=|垃也则动点轨迹是以F i、F2为端点的两条射线（包括端点）；若常数a满足约束条件：||〃1卜『码|| =加二・冈珂|，则动点轨迹不存在；5 •若常数a 0,贝劇点轨迹为线段F i F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线的标准方程1•当焦点在工‘轴上时，双曲线的标准方程，其中/二F十沪.2•当焦点在，轴上时，双曲线的标准方程：—L -………V ，其中r a—沖+护注意：1 •只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方程；2•在双曲线的两种标准方程中，都有''-；3•双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当匕的系数为正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为■；当厂的系数为正时，焦点在T轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线性质1、双曲线, 下（a> 0，b> 0）的简单几何性质一 f y(1)对称性：对于双曲线标准方程r 丁(a>0, b>0),把x换成一x,或把y换成一y,或把x、y同时换成一X、一y,方程都不变，所以双曲线一-- (a> 0, b> 0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。

双曲线知识点归纳总结例题分析双曲线基本知识点补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（⼀般⽽⾔是a=b ，但有些地区教材版本不同，不⼀定⽤的是a,b 这两个字母）；（2）其标准⽅程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离⼼率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意⼀点到中⼼的距离是它到两个焦点的距离的⽐例中项；（6）等轴双曲线上任意⼀点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意⼀点处的切线与两条渐近线围成三⾓形的⾯积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中⼼以逆时针⽅向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。

所以反⽐例函数y=k/x 的图像⼀定是等轴双曲线。

例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满⾜126PF PF -=，则点P 的轨迹⽅程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习⼀:如果双曲线的渐近线⽅程为34y x =±，则离⼼率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离⼼率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习⼆:双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离⼼率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线⽅程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准⽅程为。

双曲线知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线的轨迹叫作双曲线..这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距两焦点的距离叫作双曲线的焦距. . 注意：注意：1. 1. 双曲线的定义中，常数双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；的一支；3. 3. 若常数若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。

的垂直平分线。

知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点， ，焦距范围，，对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 轴长 实轴长=，虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.2.等轴双曲线等轴双曲线等轴双曲线 : : :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。

其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.3.与双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上）轴上）4.4.焦点三角形的面积焦点三角形的面积2cot221qb SF PF =D ，其中21PF F Ð=q 5.5.双曲线的焦点到渐近线的距离为双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=|=±±2aa ＞c ＞0， a 22－c 22=b 22（b ＞0）0＜a ＜c ， c 22－a 22=b 22（b ＞0）， ，（a＞b＞0）（a＞0，b＞0，a不一定大于b）典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（）D．A．B．C．试题分析：由题意可知，因为渐近线方程为 所以渐近线的方程为 2、已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是A．B．C．D．试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．考点：双曲线离心率．3、已知双曲线（a>0，b>0）的一条渐近线为，则它的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：由已知得，又在双曲线中有，所以得到；故选A．4、若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________. 试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：. 5、双曲线的离心率 ．试题分析：双曲线即为，其中6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．4B．C．D．试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，由，则，在中应用余弦定理得：，得，则7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为（）A．18B．C．D．试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为.9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为. 10、双曲线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：由题意知，又，∴，∴. 11、双曲线的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4试题分析：双曲线方程可变形为，所以. 12、双曲线：的渐近线方程是（）A．B．C．D．试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D. 14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k>1或k<-1，因此答案选B。

双曲线专题一、学习目标：1.理解双曲线的定义；2.熟悉双曲线的简单几何性质；3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目.二、知识点梳理定 义1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于21F F ）的点的轨迹2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e ee （＞1）的点的轨迹标准方程-22a x 22b y =1()0,0>>b a -22a y 22bx =1()0,0>>b a 图 形性质范围a x ≥或a x -≤，R y ∈R x ∈，a y ≥或a y -≤对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点渐近线x aby ±= x ba y ±= 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B焦点 ()0,1c F -，()0,2c F()c F -,01，()c F ,02轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2离心率1>=ace ，其中22b a c += 准线准线方程是c a x 2±=准线方程是ca y 2±=三、课堂练习1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．12.已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．84.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝15.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．6.已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.567.已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．8.双曲线C 的中点在原点，右焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，渐近线方程为y ＝±3x .(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线L ：y ＝kx ＋1与双曲线交于A ，B 两点，问：当k 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？双曲线专题参考答案参考答案：1.【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.【答案】 D2.【解析】 设右焦点为F ′，依题意，|PF |＝|PF ′|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF ′|＋4＋|P A |＝|PF ′|＋|P A |＋4≥|AF ′|＋4＝5＋4＝9.【答案】 93.【解析】 由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝2，|F 1F 2|＝2 2.因为∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|×12＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.【答案】 B4.【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x 29－y 2＝1.【答案】 A5.【解析】 双曲线8x 2－y 2＝8可化为标准方程x 2－y 28＝1，所以a ＝1，c ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝6.因为点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，所以|PF 1|＝|F 1F 2|＝6，或|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，当|PF 1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝6－2＝4，所以△PF 1F 2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F 2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】 16或206.【解析】 不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62，|MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝52 6.而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.故选C. 【答案】 C7.【解】 (1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4. (2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y23＝1(x >1)．8.【解】 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，由焦点坐标得c ＝233，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，结合c 2＝a 2＋b 2得a 2＝13，b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 213－y 2＝1，即3x 2－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0，由Δ>0，且3－k 2≠0，得－6<k <6，且k ≠±3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又x1＋x2＝－2kk2－3，x1x2＝2k2－3，所以y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，所以2k2－3＋1＝0，解得k＝±1.。

一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

要注意两点：（1）距离之差的绝对值。

（2）2a ＜|F 1F 2|。

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l （准线2ca ）的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。

这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）（1）如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。

a 不一定大于b 。

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上（2）与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （3）双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝五、 弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=。

双曲线知识点及例题一、双曲线的定义平面内到两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）的距离之差的绝对值等于常数\（2a\）（＼（0 ＜2a ＜｜F_1F_2|＼））的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点\（F_1\）、＼（F_2\）叫做双曲线的焦点，两焦点之间的距离\（｜F_1F_2|＼）叫做焦距，记为\（2c\）。

二、双曲线的标准方程焦点在\（x\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{x^2}｛a^2}＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

焦点在\（y\）轴上的双曲线标准方程为：＼（＼frac{y^2}｛a^2}＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\）），其中\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

三、双曲线的几何性质1、范围焦点在\（x\）轴上的双曲线，＼（x\）的取值范围是\（x ＼leq a\）或\（x ＼geq a\）；＼（y\）的取值范围是\（R\）。

焦点在\（y\）轴上的双曲线，＼（y\）的取值范围是\（y ＼leq a\）或\（y ＼geq a\）；＼（x\）的取值范围是\（R\）。

2、对称性双曲线关于\（x\）轴、＼（y\）轴和原点都对称。

3、顶点焦点在\（x\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼）。

4、渐近线焦点在\（x\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x\）；焦点在\（y\）轴上的双曲线的渐近线方程为\（y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x\）。

5、离心率双曲线的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（e ＞ 1\）），它反映了双曲线的开口大小。

四、例题解析例 1：已知双曲线的方程为\（＼frac{x^2}｛9} ＼frac{y^2}｛16} ＝1\），求其顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程和离心率。