((完整版))双曲线知识点归纳总结例题分析,推荐文档

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例 4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是
(A) x 2 -y2=1 和 y 2 - x 2 =1 (B) x 2 -y2=1 和 y2- x 2 =1
3
93
3
3
(C)y2- x 2 =1 和 x2- y 2 =1
3
3
(D) x 2 -y2=1 和 x 2 - y 2 =1
3
93
同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1， F2 分别为 ( 5，0) 和 ( 5，0) ，点 P 在双曲线上
c
焦点到 准线的 距离
焦点 F1 （ F2 ）到准线 l1 （ l2 ）的距离为 c a2
c
焦点 F1 （ F2 ）到准线 l2 （ l1 ）的距离为 a2 c
c
渐近线 方程
ybx a
xb y a
共渐近 线的双
x2 a2
y2 b2
k （k 0）
y2 a2
x2 b2
k（k
0）
曲线系
方程
资料
同步练习二:双曲线
x2 a2
y2 b2
1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．
例
3、设 P
是双曲线
x2 a2
y2 9
1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x
2y
0，
F1，
F2 分别是双
曲线的左、右焦点，若 PF1 3 ，则 PF2 的值为 ．
同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为 (0，，， 2) (0 2) ，且经过点 (2， 15) ，则双曲线的标准方程为
且 PF1 PF2 ，且 △PF1F2 的面积为 1，则双曲线的方程为（ ）
Ａ． x2 y2 1
23
Ｂ． x2 y2 1
32
资料
Ｃ． x2 y2 1
4
Ｄ． x2 y2 1
4
例 5、与双曲线 x2 y 2 1 有共同的渐近线，且经过点 A (3,2 3} 的双曲线的一个焦点到一条 9 16
顶点坐 （ a ,0） ( a ,0)
(0, a ,) (0， a )
标
离心率
e c (e 1) a
准线方
x a2 c
y a2 c
程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 2a2
c
顶点到 准线的 距离
顶点 A1 （ A2 ）到准线 l1 （ l2 ）的距离为 a a2
c
顶点 A1 （ A2 ）到准线 l2 （ l1 ）的距离为 a2 a
渐近线的距离是（ ）
（A）8
（B）4
（C）2
（D）1
同步练习五:以 y 3x 为渐近线，一个焦点是 F（0，2）的双曲线方程为（ ）
例 6、下列方程中，以 x±2y=0 为渐近线的双曲线方程是
(A) x2 y2 1 16 4
x2 (B)
y2
1
4 16
(C) x2 y2 1 2
(D)x2 y2 1 2
M MF1 MF2 2a2a F1F2
P
yy
x
F1
Fx 2
yy F2
xx
P
F1
定义
第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ，当 e 1 时，动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲 线的准线，常数 e （ e 1 ）叫做双曲线的离心率。
双曲线
基本知识点
双曲线
标准方程（焦点在 x 轴） x 2 y 2 1(a 0,b 0) a2 b2
标准方程（焦点在 y 轴） y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
第一定义：平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值是常数（小于 F1F2 ）
的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
补充知识点：
等轴双曲线的主要性质有： （1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是 a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b 这 两个字母）； （2）其标准方程为 x^2-y^2=C，其中 C≠0； （3）离心率 e=√2； （4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直； （5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点 的距离的比例中项； （6）等轴双曲线上任意一点 P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被 P 所平分； （7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数 a^2； （8）等轴双曲线 x^2-y^2=C 绕其中心以逆时针方向旋转 45°后，可以得到 XY=a^2/2，其 中 C≠0。 所以反比例函数 y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。
P
yy
P
x
F1
Fx 2
Hale Waihona Puke Baidu
yy P F2
xx
P
F1
范围
x a，yR
y a，xR
对称轴 x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
资料
对称中 原点 O(0, 0)
心
焦点坐 F1(c, 0) F2 (c, 0)
F1(0, c) F2 (0, c)
标
焦点在实轴上， c a2 b2 ；焦距： F1F2 2c
同步练习六:双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点是(0，3)，那么 k 的值是
例 7、经过双曲线
的右焦点 F2 作倾斜角为 30°的弦 AB，
（1）求|AB|.
（2）F1 是双曲线的左焦点，求△F1AB 的周长．
同步练习七过点（0，3）的直线 l 与双曲线
高考真题分析
只有一个公共点，求直线 l 的方程。
16 9
同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为 y 3 x ，则离心率为（ ）
4
Ａ． 5
3
Ｂ． 5
4
Ｃ． 5 或 5
34
Ｄ． 3
例 2、已知双曲线 x2 y2 1的离心率为 e 2 ，则 k 的范围为（ ）
4k
Ａ． 12 k 1
Ｂ． k 0
Ｃ． 5 k 0
Ｄ． 12 k 0
双曲线
x a
2 2
y2 b2
1与直线 y kx b 的位置关系：
直线和 双曲线 的位置
x2
利用
a
2
y2 b2
1转化为一元二次方程用判别式确定。
y kx b
二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。
相交弦 AB 的弦长 AB 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
通径： AB y2 y1
例题分析：
资料
例 1、动点 P 与点 F1(0，5) 与点 F2 (0， 5) 满足 PF1 PF2 6 ，则点 P 的轨迹方程为（ ）
Ａ． x2 y2 1
9 16
Ｃ． x2 y2 1( y ≥ 3)
16 9
Ｂ． x2 y2 1
16 9
Ｄ． x2 y2 1( y ≤ 3)