用穿根法解不等式(经典归纳)

高中不等式经典例题例1解不等式：(1)2x ³-x ²-15x>0;(2)(x+4)(x+5)²(2-x)³<0.分析：如果多项式 f(x)可分解为 n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正：②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式， 也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图.典型例题二例2解下列分式不等式： (1)3x−2≤1−2x+2; (2)x 2−4x+13x 2−7x+2<1分析：当分式不等式化为 f (x )g (x )<0(或≤0)时，要注意它的等价变形(1) 解：原不等式等价于3x−2≤x x+23x−2−x x+2≤03(x+2)−x (x−2)(x−2)(x+2)≤0−x 2+5x+6(x−2)(x+2)≤0可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况。

解:(1) 原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0x 1=0,x 2=−52,x 3=3顺次标上数轴， 然后从右上开始画线顺次经过三个根， 其解集如下图的阴影部分，∴原不等式解集为(2) 原不等式等价于(x+4)(x+5)³(x -2)³>0x>2 ∴原不等式解集为 或-5<x<-4或x>2}f (x )g (x )<0f (x )⋅g (x )<0;(x−6)(x+1)(x−2)(x+2)≥0{(x −6)(x +1)(x −2)(x +2)≥0(x +2)(x −2)≠0(2) 解法一：原不等式等价于2x 2−3x+13x 2−7x+2>0 (2x 2−3x +1)(3x 2−7x +2)>0{2x 2−3x +1>03x 2−7x +2>0或 {2x 2−3x +1<03x 2−7x +2<0x <13或 12<x <1或x>2，∴原不等式解集为 (−∞,13)∪(12,1)∪(2,+∞). 解法二：原不等式等价于典型例题三例3解不等式|x ²-4|<x+2 分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 |a|={a (a ≥0)−a(a <0)二是根据绝对值的性质： |x|<a −a <x <a,|x|ax >a 或x<-a, 因此本题有如下两种解法。

穿根法解高次不等式一.方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。

使用方法:①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。

②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0(2) 错误!≤1解:(1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0(2)根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。

【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为x(２ｘ＋５)(x-3)〉0顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分.(2)原不等式等价于(x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．．(5．．－．２．)．.． 二.数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。

(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０第二步:将不等号换成等号解出所有根。

穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或(2) 变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2) ≥0根据穿根法如图不等式解集为{x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}.【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。

高次不等式的穿针法（范文8篇）以下是网友分享的关于高次不等式的穿针法的资料8篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

高次不等式的穿针法（1）穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解, 再使用穿根法.注意:因式分解后, 整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根, 使等号成立的根, 标为实点, 等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线, 遇偶次重根不穿透, 遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3x 2-4x+1 (2) 1 3x -7x+2解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x(2x-1)(x-1) (2) 变形为≥0根据穿根法如图不等式解集为1 1 {x ≤x ≤1或x>2}. 3 2【例2】解不等式：(1)2x3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0) 可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1) 的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．．系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．如图(5－2) ．．．．．．．．．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。

/ 管理类联考数学核心考点精讲丨穿根法解分式不等式
在管理类联考的理论考试中，一元二次不等式是历年考试的重点，利用穿根法求解不等式是在此基础上的延伸。

文都考研dudu汇总了穿根法解分式不等式相关知识，分式不等式以及高次不等式的求解基本上都是利用穿根法进行求解的，虽然出题频率不高，但是穿根法学起来好用却并不难，希望同学们掌握这部分的内容，在考试之前多掌握些题型和做题方法。

一、不等式基本性质的理论基础
1.高次不等式求解
第一步：分解因式——因式定理、十字相乘法、分组分解法。

第二步：化最高次项系数为正或者为1。

第三步：穿线法——奇穿偶不穿，正负看区间。

2.分式不等式求解
第一步，先移项把不等式的右边化为0，左边是分式。

第二步，再通分，对左边的分式进行通分。

第三步，对分子分母同时进行因式分解。

第四步，化最高次项系数为正或者为1。

第五步，通过穿线法求得不等式的解集，找解验分母。

注：不能忘掉分母不能为0的限制。

考研选文都不当陪考族
/。

穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。

（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。

即：-1<x<1或x>2。

穿根前应注意，每项X系数均为正，否则应先则提取负号，改变相应不等号方向，再穿根。

例如(2-x)(x-1)(x+1)<0，要先化为(x-2)(x-1)(x+1)>0，再穿根。

穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。

但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。

还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。

但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。

也是奇过偶不过。

可以简单记为“奇穿过，偶弹回”或“自上而下，从右到左，奇次跟一穿而过，偶次跟一穿不过”（口诀秘籍嘿嘿）。

还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，直接把分号下面的乘上来，变成乘法式子。

继续用穿根法，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0典型事例：第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，并分解因式。

高次不等式的解法标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]高次不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)x2-4x+13x2-7x+2≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4(2)变形为 (2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为{xx< 13或12≤x≤1或x>2}.【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系数必为正；②对于．．．．．．．．．．偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．注意．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如图．．．．．(5．．－．2)．．．．数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。

数轴穿根法十二字口诀数轴穿根法是解不等式的一种常用方法，掌握好它能让解题变得轻松又高效。

说起这数轴穿根法啊，有个十二字口诀，那就是“从右往左，自上而下，奇穿偶回”。

先来说说“从右往左”。

这就好比我们走路，一般习惯先迈右脚，数轴穿根也一样，从数轴的右边开始。

比如说有个不等式：$(x - 1)(x +2)(x - 3) > 0$，我们先把方程$(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0$的根找出来，分别是 1、-2、3 。

那从右往左，就先从 3 这个根开始。

“自上而下”呢，其实就是在穿根的时候，要从上往下穿。

还是拿刚才那个不等式举例，从 3 开始穿，因为是大于 0 ，所以数轴上方是我们要的区间。

再讲讲“奇穿偶回”。

奇数个根就穿过去，偶数个根就折回来。

比如说$(x - 1)(x + 2)^2 > 0$，1 是奇数个根，穿过去；-2 是偶数个根，就不穿，折回来。

我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个学生怎么都弄不明白。

我就拿了根绳子在黑板上比划，把绳子当成数轴，用粉笔头当根，一点点给他演示。

那孩子瞪着大眼睛，一脸迷茫，我又换了个方式给他讲，终于，他恍然大悟，脸上露出了开心的笑容。

那一刻，我也特别有成就感。

在实际解题中，数轴穿根法能帮我们快速找到不等式的解集。

比如说解不等式$(x - 2)(x + 1)(x - 4) < 0$，先求出根 2、-1、4 ，然后从右往左，4 开始穿，因为是小于 0 ，所以数轴下方是我们要的区间。

注意到2 是奇数个根，穿过去；-1 是奇数个根，也穿过去。

这样就能很快得出解集。

总之，数轴穿根法这十二字口诀简单又实用。

只要多练习，多琢磨，就能熟练掌握，解题的时候就能又快又准。

希望同学们都能把这个方法运用得炉火纯青，让数学学习变得更轻松愉快！。

穿根法解不等式的原理步骤和应用范例穿根法是一种用于解不等式的方法。

其基本原理在于，通过将不等式的两边加减同一个值，使得不等式左边的平方根消失，从而简化不等式的形式。

穿根法常用于解二次不等式，特别是当不等式的左边为一个完全平方时。

以下是穿根法解不等式的步骤：1.将不等式转化为一个完全平方的形式。

如果不等式的左边不是一个完全平方，则需要对其进行平方操作，使其成为一个完全平方。

2.对不等式的两边取平方根。

根据平方根的性质，在不等式中同时取平方根并不改变不等号的方向。

3.根据取平方根的结果，得到不等式的解。

在取平方根后，需要根据不等号的方向确定不等式的解集。

以下是穿根法解不等式的应用范例：范例1:解不等式x^2-7x+12>0首先，将不等式转化为一个完全平方的形式。

通过将不等式左边进行因式分解，得到(x-3)(x-4)>0。

接下来，我们需要确定不等式(x-3)(x-4)>0的解集。

可以通过穿根法的步骤进行求解。

1.首先，我们观察到(x-3)(x-4)是一个二次函数的乘积形式，其中一个因子是(x-3)，另一个因子是(x-4)。

这两个因子之间有一个转折点，当x>4时，(x-3)(x-4)>0；当3<x<4时，(x-3)(x-4)<0；当x<3时，(x-3)(x-4)>0。

2.接下来，我们对(x-3)(x-4)取平方根。

注意到我们对一个乘积进行取平方根，即√[(x-3)(x-4)]。

3.因为√[(x-3)(x-4)]与(x-3)(x-4)的符号相同，我们可以直接对(x-3)(x-4)>0进行解析求解。

我们发现，当x>4时或x<3时，(x-3)(x-4)>0。

因此，通过穿根法，我们得到x>4或x<3是原不等式的解。

首先，我们将不等式转化为一个完全平方的形式。

通过将不等式左边进行因式分解，得到(2x+1)(x-3)≤0。