广东中考数学专题训练二几何综合题圆题

广东中考圆的综合
1.如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切
于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tan B=4
3，求⊙O的半径．
2.如图，AD是O的直径，PA与O相切于点A，连接OP，过点A作AB OP
⊥，垂足为C，交O于点B，连接PB并延长交AD的延长线于点E，连接BD．
（1）求证：PB是O的切线；
（2）若6
BD=，8
AB=，求sin E
∠．
3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，OE ∥AC 交BC 于E ，过点B 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点D ，连接DC 并延长交BA 的延长线于点F ．
（1）求证：DC 是⊙O 的切线；
（2）若∠ABC ＝30°，AB ＝8，求线段CF 的长．
4.如图，已知AB 是O 的直径，CB AB ⊥，CD 切圆O 于点D ，连AC ，BD ，AC 与BD 交于点M ．
（1）求证：//AD OC ；
（2）若3CD =，2AD =，求CM MA
的值．。

题型五 圆的综合题针对演练1. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，过圆心O 的直线垂直AB 于点D ，交⊙O 于点C 和点E ，连接AC 、BC 、OB ，cos ∠ACB ＝13，延长OE 到点F ，使EF ＝2OE .(1)求证：∠BOE ＝∠ACB ; (2)求⊙O 的半径；(3)求证：BF 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆外一点，连接AC 、 BC ，分别与⊙O 相交于点D 、点E ，且AD DE，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接BD 、DE 、AE .(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)试判断△DEC 的形状，并说明理由；(3)若⊙O 的半径为5，AC ＝12，求sin ∠EAB 的值．第2题图3. (2016某某9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C 作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．第3题图4. (2016某某10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC 于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．第4题图5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．第5题图6. (2015省卷24，9分)⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.(1)如图①，若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；(2)如图②，在DG 上取一点K ，使DK ＝DP ，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形； (3)如图③，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥AB .第6题图7. (2017原创)如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 和点D ，点E 为DC的中点，连接OE 交CD 于点F ，连接BE 交CD 于点G .(1)求证：AB ＝AG ；(2)若DG ＝DE ，求证：GB 2＝GC ·GA ；(3)在(2)的条件下，若tan D ＝34，EG ＝10，求⊙O 的半径．第7题图8. (2015达州)在△ABC 的外接圆⊙O 中，△ABC 的外角平分线CD 交⊙O 于点D ，F 为AD上一点，且AF BC ，连接DF ，并延长DF 交BA 的延长线于点E .(1)判断DB 与DA 的数量关系，并说明理由； (2)求证：△BCD ≌△AFD ；(3)若∠ACM ＝120°，⊙O 的半径为5，DC ＝6，求DE 的长．第8题图9. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为点D .(1)求证：△ACD ∽△ABC ； (2)求证：∠PCA ＝∠ABC ；(3)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CG 于点F ，连接BE ，若sin P ＝35，CF ＝5，求BE的长．第9题图10. (2016某某9分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点M ，若H 是AC 的中点，连接MH.(1)求证：MH 为⊙O 的切线；(2)若MH ＝32，tan ∠ABC ＝34，求⊙O 的半径；(3)在(2)的条件下分别过点A 、B 作⊙O 的切线，两切线交于点D ，AD 与⊙O 相切于N 点，过N 点作NQ ⊥BC ，垂足为E ，且交⊙O 于Q 点，求线段NQ 的长度．第10题图11. 如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，∠PAC ＝∠B ，AD 为⊙O 的直径，过C 作CG ⊥AD 交AD 于E ，交AB 于F ，交⊙O 于G.(1)判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)求证：AG 2＝AF ·AB ；(3)若⊙O 的直径为10，AC ＝25，AB ＝45，求△AFG 的面积．第11题图12. (2016某某10分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O .(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)已知AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D ，tan D ＝12，求AEAC 的值；(3)在(2)的条件下，设⊙O 的半径为3，求AB 的长．第12题图【答案】1．(1)证明：如解图，连接OA，第1题解图∵CE⊥AB，，∴AD＝BD＝2，AE BE∴∠ACE＝∠BCE，∠AOE＝∠BOE，又∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠BOE ＝∠ACB ； (2)解：∵cos ∠ACB ＝13，∴cos ∠BOD ＝13，在Rt △BOD 中，设OD ＝x ，则OB ＝3x ， ∵OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴x 2＋22＝(3x )2，解得x ＝22， ∴OB ＝3x ＝322，即⊙O 的半径为322；(3)证明：∵FE ＝2OE ， ∴OF ＝3OE ＝922，∴OB OF ＝13， ∵OD OB ＝13， ∴OB OF ＝OD OB， ∵∠BOF ＝∠DOB ， ∴△OBF ∽△ODB ，∴∠OBF ＝∠ODB ＝90°，即OB ⊥BF ， ∵OB 是⊙O 的半径， ∴BF 是⊙O 的切线．2．(1)证明：如解图，连接DO ，交AE 于点G ，则DO ＝BO ，第2题解图∴∠ABD ＝∠ODB ，∵AD DE =，∴∠ABD ＝∠EBD ，∴∠ODB ＝∠EBD ，∴DO ∥BC ，∴∠ODF ＝∠CFD ，∵DF ⊥BC ，∴∠CFD ＝90°，∴∠ODF ＝90°，即OD ⊥DF ，又∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：△DEC 是等腰三角形，理由如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，又∵BD ＝BD ，∠ABD ＝∠EBD ，∴△ABD ≌△CBD (ASA)，∴AD ＝CD .∵AD DE =，∴AD ＝DE ，∴CD ＝DE ，∴△DEC 是等腰三角形；(3)解：由(2)可知AD ＝12AC ＝6， ∵AD DE =，∴OD ⊥AE ，∠ABD ＝∠DAE ，∴sin ∠DAE ＝DG AD .在Rt △ADB 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝610，∴DG 6＝610， ∴DG ，∴OG ＝OD －DG ，∴在Rt △AGO 中，sin ∠EAB ＝OG OA ＝1.45＝725. 3．(1)解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠CDE ＝90°；………………………………………………(2分)第3题解图(2)证明：如解图，连接OD ，∵∠CDE ＝90°，F 为CE 中点，∴DF ＝12CE ＝CF ， ∴∠FDC ＝∠FCD .又∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠ODC ＋∠FDC ＝∠OCD ＋∠FCD ，∴∠ODF ＝∠OCF ，∵EC ⊥AC ，∴∠OCF ＝90°，∴∠ODF ＝90°，即OD ⊥DF ，又∵OD 为⊙O 的半径，∴DF 为⊙O 的切线；…………………………………………(5分)(3)解：在△ACD 与△ECA 中，∵∠ADC ＝∠ACE ＝90°，∠EAC ＝∠CAD ，∴△ACD ∽△AEC ，∴AC AE ＝AD AC∴AC 2＝AD ·AE ，又∵AC ＝25DE ，∴20DE 2＝(AE －DE )·AE∴AE ＝5DE ，∴AD ＝4DE ，∵在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴CD ＝2DE ，又∵在⊙O 中，∠ABD ＝∠ACD ，∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝AD CD＝2.…………………………(9分)4．(1)解：直线l 与⊙O 相切．理由如下：如解图，连接OE 、OB 、OC .第4题解图∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，∴BE CE ，∴∠BOE ＝∠COE ，又∵OB ＝OC ，∴OE ⊥BC ，∵l ∥BC ，∴OE ⊥l ，又∵OE 为⊙O 的半径，∴直线l 与⊙O 相切；…………………………………………(3分)(2)证明：∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF ＝∠CBF ，又∵∠CBE ＝∠CAE ＝∠BAE ，∴∠CBE ＋∠CBF ＝∠BAE ＋∠ABF .又∵∠EBF ＝∠CBE ＋∠CBF ，∠EFB ＝∠BAE ＋∠ABF ，∴∠EBF ＝∠EFB ，∴BE ＝EF ；……………………………………………………(6分)(3)解：∵BE ＝EF ，DE ＝4，DF ＝3，∴BE ＝EF ＝DE ＋DF ＝7，∵BE CE =，∴∠DBE ＝∠BAE ，∵∠DEB ＝∠BEA ，∴△BED ∽△AEB ，∴DE BE ＝BE AE ，即47＝7AE， 解得AE ＝494，…………………………………………………(9分) ∴AF ＝AE －EF ＝494－7＝214.………………………………(10分) 5．(1)证明：∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC AD ＝AD ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，∴BE ＝CE ；(2)解：四边形BFCD 是菱形．理由如下：∵AD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BE ＝CE ，∵CF ∥BD ，∴∠FCE ＝∠DBE ，在△BED 和△CEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠FCE BE ＝CE∠BED ＝∠CEF ＝90°， ∴△BED ≌△CEF (ASA)，∴BD ＝CF ，∴四边形BFCD 是平行四边形，∵∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD ，∴四边形BFCD 是菱形；(3)解：∵AD 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，BE ＝CE ，∴∠ECD ＝∠CAE ，∵∠AEC ＝∠DEC ＝90°，∴Rt △CDE ∽Rt △ACE ，∴DE CE ＝CE AE，∴CE 2＝DE ·AE ，设DE ＝x ，则AE ＝AD －DE ＝10－x ，∵BC ＝8，∴CE ＝12BC ＝4， ∴42＝x (10－x )，解得x ＝2或x ＝8(舍去)，在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.6．(1)解：∵点P 为BC 的中点，PG 为⊙O 的直径，∴BP ＝PC ，PG ⊥BC ，CD ＝BD ，∴∠ODB ＝90°，∵D 为OP 的中点，∴OD ＝12OP ＝12OB ， ∴∠OBD ＝30°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝60°；………………………………………………(3分)(2)证明：由(1)知，CD ＝BD ，在△PDB 和△KDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠BDP ＝∠CDK DP ＝DK，∴△PDB ≌△KDC (SAS)，∴BP ＝CK ，∠BPO ＝∠CKD ，∵∠AOG ＝∠BOP ，∴AG ＝BP ，∴AG ＝CK ，∵OP ＝OB ，∴∠OBP ＝∠BPO ，又∵∠G ＝∠OBP ，∴∠G ＝∠BPO ＝∠CKD ，∴AG ∥CK ，∴四边形AGKC 是平行四边形；……………………………(6分)(3)证明：∵CE ＝PE ，CD ＝BD ，∴DE ∥PB ，即DH ∥PB ，∵∠G ＝∠BPO ，∴PB ∥AG ，∴DH ∥AG ，∴∠OAG ＝∠OHD ，∠G ＝∠ODH .∵OA ＝OG ，∴∠OAG ＝∠G ，∴∠ODH ＝∠OHD ，∴OD ＝OH ，在△OBD 和△OPH 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OH ∠DOB ＝∠HOP OB ＝OP，∴△OBD ≌△OPH (SAS)，∴∠OHP ＝∠ODB ＝90°，∴PH ⊥AB .……………………………………………………(9分)7．(1)证明：如解图，连接OB ，第7题解图∵AB 为⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，∴∠ABG ＋∠OBG ＝90°，∵点E 为DC 的中点，∴OE ⊥CD ，∴∠OEG ＋∠FGE ＝90°，又∵OB ＝OE ，∴∠OBG ＝∠OEG ，∴∠ABG ＝∠FGE ，∵∠BGA ＝∠FGE ，∴∠ABG ＝∠BGA ，∴AB ＝AG ；(2)证明：如解图，连接BC ，∵DG ＝DE ，∴∠DGE ＝∠DEG ，由(1)得∠ABG ＝∠BGA ，又∵∠BGA ＝∠DGE ，∴∠A ＝∠GDE ，∵∠GBC ＝∠GDE ，∴∠GBC ＝∠A ，∵∠BGC ＝∠AGB ，∴△GBC ∽△GAB ，∴GB GA ＝GC GB，∴GB 2＝GC ·GA ；(3)解：如解图，连接OD ， ∵在Rt △DEF 中，tan ∠EDF ＝EF DF ＝34， ∴设EF ＝3x ，则DF ＝4x ，由勾股定理得DE ＝5x ，∵DG ＝DE ，∴DG ＝5x ，∴GF ＝DG －DF ＝x .在Rt △EFG 中，由勾股定理得GF 2＋EF 2＝EG 2，即x 2＋(3x )2＝(10)2，解得x ＝1，设⊙O 半径为r ，在Rt △ODF 中，OD ＝r ，OF ＝r －3，DF ＝4， 由勾股定理得OF 2＋FD 2＝OD 2，即(r －3)2＋42＝r 2，解得r ＝256， ∴⊙O 的半径为256.8．(1)解：DB ＝DA .理由如下：∵CD 平分∠ACM ，∴∠MCD ＝∠ACD ，∵∠ACD 和∠ABD 都是AD 所对的圆周角，∴∠ACD ＝∠ABD ，∴∠MCD ＝∠ABD ，又∵∠MCD ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠ABD ，∴DB ＝DA ；(2)证明：如解图，连接AF ，第8题解图∵AD ＝BD ，∴AD BD =，∵AF BC =，∴DF CD =，∴AF ＝BC ，DF ＝DC ，在△BCD 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝ADBC ＝AF DC ＝DF，∴△BCD ≌△AFD (SSS)；(3)解：∵∠ACM ＝120°，∴∠MCD ＝∠ACD ＝60°，∴∠ABD ＝∠BAD ＝∠BDA ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，如解图，连接DO 并延长与AB 交于点G ，则∠ADO ＝30°，过点O 作OH ⊥AD 于点H ，则AD ＝2DH ＝2OD ·cos30°＝53，∵∠ADF ＋∠DAF ＝∠AFE ＝∠ACD ＝60°，∠ADE ＋∠E ＝∠BAD ＝60°， ∴∠DAF ＝∠E ，∵∠ADF ＝∠EDA ，∴△ADF ∽△EDA ，∴DA DE ＝DFDA ，∴DE ＝DA 2DF ，∵DF ＝DC ＝6，DA ＝53，∴DE ＝252.9．(1)证明：∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，∵CG ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∵∠CAD ＝∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ；(2)证明：如解图，连接OC .第9题解图∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC ，∴∠PCO ＝90°，∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°，∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠PCA ＝∠ABC ；(3)解：∵AE ∥PC ，∴∠PCA ＝∠CAF ，∵AB ⊥CG ，∴AC AG ，∴∠ABC ＝∠ACF ，∵∠PCA ＝∠ABC ，∴∠CAF ＝∠ABC ，∴∠ACF ＝∠CAF ，∴FA ＝FC ，∵CF ＝5，∴AF ＝5，∵AE ∥PC ，∴∠FAD ＝∠P ，∵sin P ＝35， ∴sin ∠FAD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4，CD ＝8，在Rt △COD 中，设CO ＝r ，则有r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10，∴AB ＝2r ＝20，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴sin ∠EAB ＝35，∴BE AB ＝35， ∴BE 20＝35， ∴BE ＝12.10．(1)证明：如解图①，连接OM 、CM ，第10题解图①∵BC 为⊙O 的直径，∴∠AMC ＝∠BMC ＝90°，∵H 是AC 的中点，∴HC ＝HM ＝12AC ， ∴∠HMC ＝∠HCM ，∵OM ＝OC ，∴∠OMC ＝∠OCM ，∴∠OMH ＝∠OCH ，∵∠ACB ＝90°＝∠OCH ，∴∠OMH ＝90°，即OM ⊥MH ，又∵OM 为⊙O 的半径， ∴MH 为⊙O 的切线；…………………………………………(3分)(2)解：∵MH ＝32， ∴AC ＝2MH ＝3，在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝AC BC ＝34， ∴BC ＝4，故⊙O 的半径为2；……………………………………………(5分)(3)解：如解图②，过点D 作DP ⊥AC 于点P ，连接ON ，第10题解图②则DP ＝BC ＝4，BD ＝PC ，设DB ＝DN ＝x ，则AP ＝3－x ，∵AN ＝AC ＝3，∴AD ＝x ＋3.在Rt △ADP 中，由勾股定理得，(x ＋3)2－(3－x )2＝42，解得x ＝43， ∴DN ＝BD ＝43，AD ＝133， ∵QN ⊥BC ，AC ⊥BC ，BD ⊥BC ，∴AC ∥NQ ∥DB ，∴DN AD ＝BE BC ，即43133＝BE 4， ∴BE ＝1613， ∴OE ＝OB －BE ＝1013， ∴EN ＝ON 2－OE 2＝2413， ∴NQ ＝2EN ＝4813.……………………………………………(9分) 11．(1)解：直线PA 与⊙O 相切．理由如下：∵AD 为⊙O 的直径， CG ⊥AD ，∴AD 垂直且平分CG ，∴AC ＝AG ，∴∠ACG ＝∠AGC ，∵∠AGC＝∠B，∠PAC＝∠B，∴∠PAC＝∠ACG，∴PA∥CG，∵CG⊥AD，∴PA⊥AD，又∵AD为⊙O的直径∴直线PA是⊙O的切线；【一题多解】如解图①，连接DC，第11题解图①则∠B＝∠ADC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC＋∠DAC＝90°.又∵∠PAC＝∠B，∴∠ADC＝∠PAC，∴∠PAC＋∠DAC＝90°，即DA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．(2)证明：由垂径定理得AC AG，∴∠ACG＝∠B，∵∠CAB＝∠FAC，∴△ABC∽△ACF，∴ACAF＝ABAC，∴AC2＝AF·AB，又∵AC＝AG，∴AG 2＝AF·AB；【一题多解】此题还可以通过连接BG，证明△GAB∽△FAG，从而证得AG2＝AF·AB.(3)解：由(2)得AG2＝AF·AB，∵AG＝AC＝25，AB＝45，∴(25)2＝45AF，∴AF＝5，如解图②，连接BD，则∠ABD＝90°，第11题解图②由勾股定理得BD＝AD2－AB2＝102－（45）2＝25，∵∠AEF＝∠ABD＝90°，∠EAF＝∠BAD，∴△AEF∽△ABD，∴AEAB＝AFAD＝EFBD，∴AE45＝510＝EF25，∴AE＝2，EF＝1，在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2＝AC2－AE2，∴CE＝（25）2－22＝4，∵CE＝EG，∴EG＝4，∴FG＝EG－EF＝ 4－1＝3，∴1132322AFGS FG AE==⨯⨯=△.12．(1)证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，第12题解图∵AO 平分∠CAB ，OC ⊥AC ，垂足为点F ，∴OF ＝OC ，即OF 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；…………………………………………(3分)(2)解：如解图，过点D 作DP ⊥AC 交AC 延长线于点P ， ∵∠ACB ＝90°，DP ⊥AC ，∴CO ∥DP ，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝∠CDP ，∵tan ∠CDO ＝12， ∴tan ∠OCD ＝12. 连接DQ ，设DQ ＝a ，则CD ＝2a ，CQ ＝5a ，∴CO ＝OD ＝OE ＝5a 2， 在Rt △CPD 中，设CP ＝b ，则DP ＝2b ，CD ＝5b ，∴b ＝255a ，则PC ＝255a ，PD ＝455a ， ∵CO ∥DP ，∴△ACO ∽△APD ，∴OC PD ＝AC AP ＝AO AD ，即5a 2455a ＝AC 255a ＋AC ＝AO 5a 2＋AO ， 解得AC ＝253a ，AO ＝556a ， ∴AE ＝AO －OE ＝556a －5a 2＝53a ， ∴AE AC ＝53a 253a ＝12；……………………………………………(7分)(3)解：由(2)知AE AC ＝12， 设AE ＝c ，则AC ＝2c ，在Rt △ACO 中，(2c )2＋32＝(c ＋3)2，解得c ＝2，∴AF ＝AC ＝2c ＝4，在△BFO 和△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠B ∠BFO ＝∠BCA ，∴△BFO ∽△BCA ， ∴BF BC ＝FO CA ＝BO AB， 设BF ＝x ，BO ＝y ，∴x3＋y ＝34＝y 4＋x ，解得：x ＝727，y ＝757， ∴AB ＝AF ＋BF ＝4＋727＝1007.……………………………(10分)。

广州初三数学圆测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 圆的半径为5，直径为（）A. 10B. 15C. 20D. 25答案：A2. 已知圆的直径为10，那么这个圆的周长是（）A. 20πB. 30πC. 40πD. 50π答案：C3. 圆的半径为3，那么它的面积是（）A. 9πB. 12πC. 15πD. 18π答案：A4. 一个圆的半径扩大2倍，那么它的面积扩大（）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍答案：B5. 一个圆的直径是另一个圆的直径的2倍，那么这个圆的面积是另一个圆的面积的（）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍答案：B6. 已知圆的半径为4，那么它的直径是（）A. 8B. 12C. 16D. 20答案：A7. 一个圆的周长是另一个圆的周长的2倍，那么这个圆的半径是另一个圆的半径的（）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍答案：A8. 一个圆的面积是另一个圆的面积的4倍，那么这个圆的半径是另一个圆的半径的（）A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍答案：A9. 一个圆的半径扩大3倍，那么它的周长扩大（）A. 3倍B. 6倍C. 9倍D. 12倍答案：A10. 一个圆的直径扩大4倍，那么它的面积扩大（）A. 4倍B. 16倍C. 64倍D. 256倍答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 圆的周长公式为：C = ______。

答案：2πr12. 圆的面积公式为：S = ______。

答案：πr²13. 一个圆的半径为5，那么它的直径是 ______。

答案：1014. 一个圆的直径为8，那么它的半径是 ______。

答案：415. 一个圆的周长为20π，那么它的半径是 ______。

答案：1016. 一个圆的面积为9π，那么它的半径是 ______。

答案：317. 一个圆的半径扩大2倍，它的周长扩大 ______倍。

答案：218. 一个圆的半径扩大3倍，它的面积扩大 ______倍。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE ≌△OCN ． ∴OE=ON ，AE=CN ．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM ， ∴△OME ≌△OMN ．∴MN=ME=AM+AE ． ∴MN=AM+CN ，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4． ∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化． 考点：旋转的性质.2．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y. （1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 1422=x . 【解析】分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122x （），再判断出2OA OC DMOE OD OD==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论． 详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ．（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ．∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM =2，∴AE=122x -（）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD==， ∴22DM OA y OD OE x =∴=+，．（02x ≤＜） （3）（i ） 当OA =OC 时．∵111222DM BM OC x ===．在Rt △ODM 中，222124OD OM DM x =-=-． ∵2121224xDM y OD x x=∴=+-，．解得1422x -=，或1422x --=（舍）． （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ．∵∠ACO ＞∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO ＞∠AOC ，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO =α．∵∠CAO ＞∠M ，∠M =90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA =2α＞90°．∵∠BOA ≤90°，∴此种情况不存在． 即：当△OAC 为等腰三角形时，x 的值为1422-．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y 关于x 的函数关系式是解答本题的关键．3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ． （1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）若DB 平分∠ADC ，AB =52AD ，∶DE =4∶1，求DE 的长．【答案】(1)见解析;(2)5【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．详解：（1）连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB=52．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD•AE．设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．4．矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．（1）当t=0时，点F的坐标为；（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．【答案】（1）F（3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t的值为245或325.【解析】试题分析：（1）先确定出DF，进而得出点F的坐标；（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO=30°，即可得出结论；（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t=0时．∵AB=CD=8，F为CD中点，∴DF=4，∴F（3，4）；（2）当t=4时，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，点E是AB的中点，OE=12AB=4，BO=43，∴点B下滑的距离为843-．（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，∴AF22FD AD+，①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t=，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325． 综上所述：当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，t 的值为245或325． 点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO =30°，解（3）的关键是判断出当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt △FAE ∽Rt △ABD ，是一道中等难度的中考常考题．5．如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥BC,垂足为H ，连接OB ． (1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;(2)如图2,在弧AC 上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB 取点G ，使AG ∥OB ，若∠BAC=600， 求证:GF=GD;(3)如图3,在(2)的条件下,AF 、BC 的延长线相交于点E,若AF ：FE=1:9，求sin ∠ADG 的值。