张喜林制2.1.4 数乘向量考点知识清单1．实数λ与向量a 的积是一个____，记作____，它的模与方向规定如下：=||)1(a λ(2)当0>λ时，a λ的方向与a 的方向____；当0<λ时，a λ的方向与a 的方向____；当0=λ时 2．实数与向量的积的运算律是：=)()1(a μλ ; =+a ))(2(μλ ; =+)()3(b a λ .3．向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的要点核心解读1．数乘向量的一般定义实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作a a λλ,的长|,|||||a a λλ=)0(=/a a λ的方向.;00⎩⎨⎧<>反方向时，与当同方向；时，与当a a λλ当0=λ或0=a 时，00=a 或,00=λ如图2 -1-4 -1所示．2．数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向放大或缩小． 3．数乘向量的运算律数乘向量运算满足下列运算律：设μλ、为实数，则;))(1(a a a μλμλ+=+ ;)()()2(a a λμμλ=b a b a λλλ+=+)()3(（分配律）．4．向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，也叫做向量的初等运算．向量的线性运算可与实数的运算一样地进行，典例分类剖析考点1 实数与向量的运算[例1] 计算下列各式：;21)2)(1(a ⨯- );(3)(2)2(b a b a --+ );)(())()(3(b a b a +---+μλμλ);(3)(4)4(b a b a --+ );32()2(3)5(c b a c b a -+-+- ⋅+++--)132(152)42(31)(52)6(b a b a b a[解析] 运算律是运算的依据．这里的运算律包括：向量加（减）法运算律，以及数乘向量的运算律，其运算过程，很像“合并同类项”．.)1()212(21)2)(1(a a a a -=-=⨯-=⨯-+-=+-+=⋅--+)32(3322)(3)(2)2(a a b a b a b a b a .5)32(b a b b +-=+ ))(())()(3(b a b a +---+μλμλ)()()()(b a b a b a b a +++--+-=μλμλ b a b a b a b a μμλλμμλλ++---+-= .22b a λμ-=.73344)(3)(4)4(b a b a b a b a b a +=+-+=--++--+-=-+-+-b a c b a c b a c b a 2363)32()2(3)5(.673c b a c +-= )132(152)42(31)(52)6(b a b a b a +++--b a b a b a 152615434325252++---=b a )15263452()1543252(+--++-= .00000=+=+=b a [点拨] (1)数乘向量的运算律为==a a )()(λμμλa a )(),(μλλμ+.)(,b a b a a a λλλμλ+=++= (2)由于实数与向量的积的运算与实数中代数式的化简计算十分相似，要充分利用好知识的迁移，以便更好地掌握实数与向量的运算．1．(1)已知---++x a x a x （4)2(3)3(0)=+b a （其中a ，b 为已知向量），求x ；(2)已知⎩⎨⎧=-=+:,32,43b y x a y x 其中a ，b 为已知向量，求x ，y ．考点2 数乘向量作田问题[例2] 如图2-1-4 -2，已知向量a 的长度为2，方向水平向右；向量b 的长度为3，方向为北偏东,45 以0为起点，分别作出有向线段.3,2b a b a +-+[解析]2．如图2 -1-4 -3所示，已知向量1e 与2e 不共线，求作向量⋅-2132e e考点3平面图形中的向量表示[例3] 如图2-1-4 -4所示，已知□ABCD 的边BC 、CD 上的中点分别为KL ，且,AL ,21e e Ak == 试用21e e 、表示.BC -、[解析] 解法一：设,21,x x ==、则 .4121L ,21B 11x e D x e A -=-=又.,,DL x =++=由得,412121e x e x =-+解方程，得=x ,323412e e -即⋅-=123234e e BC 由,21,1x e AB AB CD -=-=得⋅+-=213234e e CD 解法二：设,,y CD x BC ==则⋅-=-=y x 21,21由AL DL AD Ak BK AB =+=+,得⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-=+-②①2121,21e y x e x y 用-2乘以②与①相加得,222121e e x x -=-解得 ),2(3212e e x -=即⋅-=-=12123234)2(32e e e e同法得),2(3221e e y +-=即,323421e e +-=解法三：如图2 -1-4 -5所示，延长BC 与AL 的延长线相交于点E则△DIA ≌△CLE ．从而,2AL AE =.23,CE == 由,Ak AE KE -=得,22312e e -=即=-=)2(3212e e ⋅-123234e e仿上法可得⋅+-=+-=21213234)2(32e e e e CD [点拨] 解法一中设一个未知向量，列了一个向量方程；解法二中则是设两个未知向量，列了一个向量方程组，这和列一元一次方程、二元一次方程组解应用题相类似；解法三中是原图形添加辅助线后，直接看到了所需要的向量关系，这显然要以较多的平面几何知识作基础，不过确实简便有效．3．如图 2 -1-4 -6所示，OADB 是以向量b a ==,为边的平行四边形，又,31,31CD CN BC BM ==试用a 、b 表示.MN ON OM 、、学业水平测试1．m∈R．下列说法正确的是( )． A ．若,0=ma 则必须0=mB ．若,0,0=/=/a m 则a m a 与方向相同C ．若,0,0=/=/a m 则||||a m ma =D ．若,0,0=/=/a m 则a m a 与共线2．若G 为△ABC 的重心，F E D 、、分别为CA BC AB .、的中点，则GC GB GA ++等于( )．GD A 6. GD B 6.- GE C 6.- 0.D3．如图2 -1-4 -8所示，G 为△ABC 的重心，设,,b AC a AB ==试用a 、b 来表示：=BC )1( =)2( =)3( =)4(4．已知向量a 、b ，求满足方程组⎩⎨⎧=+=-by x a y x 2,2的x 、y ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，求向量CD CB AB +-⋅的模．6．如图2 -1-4 -9，已知⋅==213,3|e OB e OA (1)若C 、D 是AB 的三等分点，求;OD OC 、 (2)若C 、D 、E 是AB 的四等分点，求.、、高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分 ） 一、选择题（5分×8 =40分）1．已知),(3)(5x b a x -=+则=x ( )．b a A 8385.- b a B 8583.- b a C 8385.+- b a D 8583.+- 2．如图2 -1-4 -10所示．D 、E 、F 分别是△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点，则++等于( )．A -.B 21.-AC C . 0.D3．设AM 是△ABC 的BC 边上的中线，若,,b BC a AB ==则AM 等于( )．b a A 21.- a b B -21. b a C +21. b a D 21.+4．已知21G G 、分别为222111C B A C B A ∆∆与的重心，且=21A A ,,,3212211e C C e B B e ==则=21G G ( )．)(21.321e e e A ++ )(31.321e e e B ++ )(32.321e e e C ++ )(31.321e e e D ++- 5．（2006年湖南高考题）如图2 -1-4 -11所示，OM //AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且,O y x +=则实数对,(x )y 可以是( )．)43,41.(A )32,32.(-B )43,41.(-C )57,51.(-D6．（2006年广东高考题）如图2 -1 -4 -12所示，0是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( )．A 21.+- B 21.-- C 21.- D 21.+7．（2007年北京高考题）已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且,0.2=++OC 那么( )．A =.B 2.=C 3.=D 02.=8．（2010年湖北高考题）已知△ABC 和点M 满足++.0=若存在实数m 使得AM m AC AB =+成立，则=m ( )2.A3.B4.C5.D二、填空题（共20分）9．（6分）已知,120,1||||,21o AOB O e e =∠====且又,5||=且平分,AO B ∠用21,e e 表示=10．（6分）（2005年全国高考题）△ABC 的外接圆的圆心为0，两条边上的高的交点为OB OA m +=(OH H,),C O +则实数=m11.（8分）（2006年安徽高考题）在□ABCD 中，N b a ,,==为AC 上一点且M ,3=为BC的中点，则=MN （用 a ，b 表示）． 三、解答题（10分×4 =40分） 12.计算：);2(9)23(6)1(b a b a +-+-⋅++---+)]67(7321[67]32)23[(21)2(a b a b a b a13.若,123,24,3212121e e c e e b e e a +-=+=+-=将向量a 写成c b 21λλ+的形式．14.如图2-1-4 -13所示，在△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是将分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设.,b a ==试用a 和b 表示D .、15.如图2-1 -4 -14所示，E 、F 分别为任意四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，求证：⋅+=)C (21F D AB E。
