!几何攻略(word版)

目录第一章几何图形初步第一节由点数线图 1 第二节中点图 2 第三节角平分线图 4 第四节旋转三角形 6 第一章单元三级演练7第二章相交线与平行线第一节三线八角图12 第二节侧“M”图13第三节笔尖图15 第四节鸟嘴图16 第五节靴子图18 第六节同旁内角角平分线图20 第七节平移基本图形21 第二章单元三级演练23第三章三角形第一节A字双三角形28 第二节対顶三角形29 第三节燕尾角31 第四节三角形内角平分线的交角33 第五节三角形外角平分线的交角35 第六节三角形内、外角平分线的交角37 第七节三角形同一顶点角平分线与高线的夹角38 第二章单元三级演练40第四章全等三角形第一节三角形的中线倍长46 第二节过端点向中线作垂线构造全等三角形48 第三节利用角平分线截相等构造全等三角形49 第四节利用角平分线作垂直构造全等三角形51 第五节角平分线+垂直构建等腰三角形53 第六节用等腰直角三角形构建“三垂直”全等形55 第七节用等腰直角三角形构建“旋转”全等形57 第四章单元三级演练59第五章轴对称第一节最短路线图64 第二节纸条折叠图65 第三节三角形折角图67 第四节中垂线图68第五节等腰三角形的腰高关系图70第六节等腰三角形三线合一图72第七节等腰三角形外角关系图75第八节双等腰三角形76第五章单元三级演练78第六章勾股定理第一节双垂形83 第二节30°和45°的直角三角形 85 第三节直角三角形的折叠 86 第四节“羊角”图 88 第五季共顶点的等腰直角三角形三点共线图 89 第六节勾股定理与其逆定理组合图 90 第七节旋转“勾逆”特殊角 9293第八节第六章单元三级演练 95第七章平行四边形第一节作平行线构造平行四边形101 第二节中线倍长构造平行四边形102 第三节构造斜边中线图103 第四节中点四边形105 第五节过平行四边形对称中心的直线图106 第六节与正方形有关的三垂直108第七节正方形与45°的基本图 110第八节 111第九节正方形中的垂直线段 113 第七章单元三级演练 115第八章旋转第一节等腰型旋转121 第二节半径型旋转123 第三节互补型旋转125 第四节双等腰直角型旋转128 第五节60°与90°旋转 131 第八章单元三级演练 133第九章圆第一节半径三角形141 第二节垂径定理142第三节垂径定理推论144第四节半径、弦心距、弦长三量关系146 第五节圆心角、弦、弧间关系147 第六节圆周角、圆心角间关系149 第七节圆内接四边形151 第八节圆中垂直弦152 第九节圆中内角平分线154 第十节圆中外角平分线156 第十一节四点共圆图158 第十二节圆中直径160 第十三节切线三判定162 第十四节切线长基本图164 第十五节垂径切线图166 第十六节三角形内切圆168 第十七节内外心中的等腰形170 第九章单元三级演练172第十章相似第一节图形相似中的“比例尺”181 第二节“A字”相似三角形183第三节双“A字”型相似图186第四节“X”型相似三角形190 第五节双“X”型相似图194 第六节“蝴蝶”型相似图197 第七节“燕尾”型相似图200 第八节“母子”型相似图202 第九节“旋转”型相似图206 第十节“射影”型相似图210 第十一节“三垂直”型相似图212 第十二节“一线三等角”型相似图217 第十章单元三级演练222第十一章锐角三角函数第一节“一字并肩”型直角三角形229 第二节“子母”型直角三角形232 第三节“步步高”型直角三角形236 第四节“藕断丝连”型直角三角形239 第十一章单元三级演练242 参考答案249第一章 几何图形初步第一节 由点数线图基本图形与结论同一平面内，不共线的n 个点确定(12n n -）条直线；同一直线上的n 个点确定(12n n -）条线段 如图1—1—1，两点确定一天直线，不共线的三点确定三条直线，n 个点（其中任意三点都不共线）确定(12n n -）条直线例题解析例1：过平面内四点可以画几条直线？点拔：根据四点的共线情况讨论 解：（1）当四点共线时，可以画一条直线（2）当其中三点共线时，第四点在这条直线外时，可以画4条直线； （3）当任意三点都不共线时，可以画6条解题反思：每过一个点都要n -1条直线，n 个点一个有n (n -1)条直线，因为每条直线都计了两次，所以一共可以画(12n n ）-条直线，由直线上的点数线段、由相交直线数交点、由射线数角也可依此规律. 经典演练1、平面内5条相交直线最多可以有几个交点？n 条直线呢？解：平面内5条直线相交最多的交点数就是任意3点都不在同一直线上，所以最多的交点数是10个，n 条直线最多的交点是(12n n ）-2、从A 城到B 城的高铁一共有10站（含起点和终点站），需要制造多少种车票？ 解：最多要制造90种车票3、如图1—1—2，在∠MON 内部引4条射线，一共构成多少个角？ 解：一共有15个角图1—1—1A 2A 1第二节 中点图基本图形与结论线段被某一点分成的两条线段的中点间的距离等于原线段长的一半.如图1—2—1，点P 为线段AB 上一点，D 、E 分别为线段AP 、BP 中点，AB=a ，则有2a DE =证明：2222AP BP AB aDE DP PE =+=+==例题解析例1：如图1—2—2，P 为线段AB 上任意一点，D 为线段AP 上靠近A 点的三等分点，E 为线段PB 上靠近B 的三等分点，AB=15，求DE 的长.点拔：P 是动点，所以不能分别求DP 、EP ，从而相加，需将DE 转化成已知线段AB . 解：22210333AP PB ABDE DP PE =+=+== 解题反思：中点图为解决线段的有关计算提供了一种化零为整的思路，如果和代数方法结合会显得更加巧妙.经典演练1、如图1—2—3，P 为线段AB 延长线上一点，D 为线段AP 上靠近A 点的四等分点，E 为线段BP 上靠近B 的四等分点，AB=20，求DE 长.解：∵ D ，E 分别为AP 、BP 的四等分点∴ 33,44PD AP PE BP == 又 3333()154444DE DP EP AP BP AP BP AB =-=-=-==2、如图1—2—4，C 、A 、B 、D 在同一直线上，E 为CA 中点，F 为CB 中点，P 为AD 中点，Q 为BD 中点，AB=10，CA=4，BD=6，试判断EF 与PQ 的数量关系,解：∵ E 为CA 中点 ∴ 12CE AC =∵ F 为CB 中点 ∴ 12CF BC =11()522EF FC EC BC AC AB =-=-==∵ P 为AD 中点 12P D A D =Q 为BD 中点 ∴12QD BD = 11()522PQ PD QD AD BD AB =-=-==∴ EF=PQ3、如图1—2—5，直线AB 上有一点P ，点M 、N 分别为线段PA 、PB 的中点，AB=14. （1）若点P 在线段AB 上，且AP=8，求线段MN 的长（2）若点P 在线段AB 上运动，试说明线段MN 的长度与点P 在直线AB 的位置无关 （3）如图1—2—6，若点C 为线段AB 的中点，点P 在线段AB 的延长线上，下列结论： ①PA PB PC-的值不变， ②PA PBPC +的值不变，请选择一个正确的结论并求其值.解：（1）∵ 点M 、N 分别为线段PA 、PB 的中点∴118422PM AP ==⨯=, 111()(148)3222PN PB AB AP ==-=⨯-=∴ MN=PM+PN=4+3=7（2）∵ 点M 、N 分别为线段PA 、PB 的中点 ∴12PM AP =12PN PB = ∴ 11()722MN PM PN AP PB AB =+=+==（3）∵ 点C 为线段AB 的中点∴ AB=2BC ∴ PA+PB=AB+PB+PB=2BC+2PB=2(BC+PB)=2PC ∴22PA PB PCPC PC+==第三节 角平分线图基本图形与结论一条射线分已知角所得的两个角的平分线所构成的夹角等于已知角的一半.如图1－3－1，OC 是∠AOB 内部的一条射线，OD 、OE 分别是∠AOC 、∠COB 的角平分线.则有∠DOE ＝12∠AO B ．此图的结论与实用价值与中点图类似，它在数量关系和位置关系上都可以进行变化．图1－3－1例题解析【例1】如图1－3－2，从∠AOB 的顶点D 处引一条射线OC ,OE 、OF 分别为∠AOC 、∠COB 的角平分线，∠AOB ＝ 90.(1)射线OC 在∠AOB 内部时,求∠EOF 的度数；(2)射线OC 在∠AOB 外部时,如图1－3－3，求∠EOF 的度数．图1－3－2 图1－3－3【点拨】 解题思路可类比第2节的例题.将∠EOF 分割成∠EOC 和∠FOC ，再用角平分线定义转换成 ∠AOC 和∠BOC 的倍数，然后合并成∠AOB 的倍数.【解】(1) ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝111190452222AOC BOC AOB ∠+∠=∠=⨯=．(2)∠EOF ＝∠FOC －∠EOC ＝111190452222BOC AOC AOB ∠-∠=∠=⨯=.【解题反思】 此图中的拆分、整合的转化思想是关键，化整为零，化零为整，集中思路向已知条件(90)靠拢．经典演练EBOFBOB1．如图1－3－4，OC 是从∠AOB 的顶点O 处引出的一条射线，OP 、OQ 分别平分∠AOC 、∠BOC ，∠POQ ＝35，∠BOC －∠AOC ＝10，求∠BOC 的大小．【答案】∠BOC ＝40.∵∠POQ ＝11135222AOC BOC AOB ∠+∠=∠=, ∠AOB ＝70＝∠BOC ＋∠AO C .又∵∠BOC －∠AOC ＝10, ∴∠BOC ＝40.2．如图1－3－5，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，∠MON ＝m ，∠BOC ＝n ，则∠AOD 的度数为( )． A. ()m n+ B. (2)m n+ C. (2)m n- D. (2)m n+【答案】 C3.已知：如图1－3－6(1),∠AOB 和∠COD 共顶点，OB 、OD 重合，OM 为∠AOD 的平分线,ON 为∠BOC 的平分线,,AOB COD αβ∠=∠=.(1)如图1－3－6(2)，若90,30αβ==，则∠MON ＝________________； (2)如图1－3－6(3)，若∠COD 绕O 点逆时针旋转，且BOD β∠=，求∠MON ；(3)如图1－3－6(4)，若2αβ=，∠COD 绕D 点逆时针旋转，OE 平分∠BOD ，以下两个结论：①AOD COE∠∠为定值；②∠AOD －∠COE 为定值；请选择正确的结论，并说明理由．ABONACAB (D )A【答案】 (1) 60；(2) ∵122MOD AOD αγ+∠=∠=, 122NOB COB βγ+∠=∠=,∴∠MON ＝∠MOD ＋∠NOB －∠DOB ＝222αγβγαβγ++++-=；(3) ①2AODCOE∠=∠.设∠BOD ＝2x ，则∠AOD ＝a ＋2x ＝2β＋2x ， ∠COE ＝x ＋β， ∴2AODCOE∠=∠.AAD第四节 旋转三角形基本图形与结论如图1－4－1，三角形ABC 绕点A 旋转得到三角形''AB C ，则有， ①''BAB CAC ∠=∠, ②''''BAC B AC BAC B AC ∠+∠=∠+∠．图1－4－1例题解析【例1】如图1－4－2，直角三角形ABC 绕点A 旋转得到三角形''AB C ，90BAC ∠=. (l )问'BAB ∠与'CAC ∠的大小关系，并说明理由； (2)求'BAC ∠与'B AC ∠的数量关系．【点拨】 主要抓住旋转前后的角度数不变和运用等量加（减）等量来进行角度的计算．【解】 (1)∵ ''90BAB CAB ∠+∠=,''90CAC CAB ∠+∠=,∴''BAB CAC ∠=∠. (2)''''''9090180BAC B AC BAC C AC B AC BAC C AB ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=+=【解题反思】 三角形在旋转过程中会产生一些相等的角，比如旋转角相等，旋转前后的角相等，这些角在角度的计算与转化过程中有着不可或缺的作用．经典演练1．将一副三角尺按如图1－4－3位置摆放，甲、乙、丙、丁四位同学观察图形后分别得出一个结论． 甲：∠AOB ＝∠COD 乙：∠DOA ＋∠BOC ＝180 丙：∠BOA ＋∠DOC ＝90 丁：图中小于平角的角有6个 其中正确的结论有( )．A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】 B (甲和乙的说法是正确的)2．如图l －4－4，等边△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE 处，使∠BAE ＝90，则∠CAD ＝______________.BBAD图l －4－4 【答案】 303．如图l －4－5，∠BOA ＝∠DOC ＝α．(l )a ＝100时，∠DOA ＋∠BOC 的值为多少？(2)当三角形DOC 绕点D 旋转到如图1－4－6的位置时，∠DOA ＋∠BOC 的值为多少？ (3)当三角形DOC 绕点D 旋转任一角度时，∠DOA ＋∠BOC 的值为一定值，求α的值.【答案】(1) ∠DOA ＋∠BOC ＝200； (2)∠DOA ＋∠BOC ＝3602α-；(3) 当图形位置如图1－4－5时,∠DOA ＋∠BOC ＝2α；当图形位置如图1－4－6时,∠DOA ＋∠BOC ＝3602α-；∴当∠DOA ＋∠BOC 值为一定值时, 应有36022αα-=, 解得90α=.BDDAA第一章 单元三级演练夯实基础1．把∠AOB 对折3次后展开，所有的折痕和∠AOB 的两边一共可形成多少个角？【答案】 36个2．如图,已知线段AD ＝6 cm ，线段AC ＝BD ＝4cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，求线段EF 的长．第2题【答案】 AB ＝2cm ，EF ＝1cm ， CD ＝2cm ， CF ＝1cm ， BC ＝AD －AB －CD ＝2cm ，EF ＝EB ＋BC ＋CF ＝1＋2＋1＝4cm.3．如图，∠AOB 是平角，OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠COB ，当射OC 绕点O 旋转时，∠MON 的大小是否变化，如果不变，求∠MON 的大小．第3题【答案】 ∠MON ＝∠MOC ＋∠NOC ＝11190222AOC BOC AOB ∠+∠=∠=.4．将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如图所示，那么∠1＝______________度．第4题【答案】 15提升能力5．从A 城到口城的高铁原有10个站（包括A 、B 两站），后来由于需要中间增加一个站，这样需要增加几种车票？【答案】 20种6.已知线段AB ＝10cm ，点C 是直线AB 上一点，BC ＝4cm ，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，求线段CBAOMN 的长．【答案】 当C 在线段AB 上或其延长线上时,MN ＝5cm .7.如图，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，若∠MON ＝60°， ∠BOC ＝20°，求∠AOD 的度数.答案：解：∠NOD ＋∠AOM ＝∠NOC ＋∠BOM ＝∠MON －∠BOC ＝60°－20°＝40°， ∠AOD ＝∠MON ＋∠NOD ＋∠AOM ＝60°＋40°＝100°.8.如图1，将两个直角三角板的直角顶点重合在一起， （1）若∠AOE ＝125°，则∠BOD ＝ . （2）若∠AOE ＝4∠BOD ，则∠BOE ＝ . （3）将图1中的三角板DOE 绕点O 旋转到图2，图3的位置时，图1中∠BOD ＋∠AOE ＝ ，图2中∠BOD ＋∠AOE ＝ ；图3中∠BOD ＋∠AOE ＝ ；请就图2说明理由.答案：（1）55°；（2）54°；（3）180°，180°，180°。