第九节 函数图形的简单组合与变换

函数图像课题：函数的图象教学目标：1．熟练掌握基本函数的图象；2．能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质； 3．能够正确运用数形结合的思想方法解题．教学重点：熟练基本函数的图象并掌握图象的初等变换． 教学过程： 知识回顾：数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.考点：作图，识图，用图（注意抓住特殊点，零点，与坐标轴的交点） 三种变换1．平移变换： （1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． 2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称； （4）函数1()y fx -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称；（5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称. 3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 一画图1、画出下列函数的图像 (1)（2）|1|||1x x y --=练习（1）112++=x x y （2）2()|45|f x x x =--二识图12. （湖北卷）函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是（ D ）16、(安徽文7)图中的图象所表示的函数的解析式为(A)|1|23-=x y (0≤x ≤2) (B) |1|2323--=x y(0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)解析：图中的图象所表示的函数当0≤x ≤1时，它的解析式为32x y =，当1<x ≤2时，解析式为332y x =-+，∴解析式为|1|2323--=x y (0≤x ≤2)，选B 。

横坐标取相反数 纵坐标不变
y=f(x)与y=f(-x)图象关
横坐标、纵坐标 同时取相反数
y=f(x)与y=-f(-x)图象
对 称 变 换Biblioteka 于y轴对称关于原点对称
问题2：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的 图象的关系，并画出它们的示意图. (4)y=log2x (3)y=-2-x (1)y=2-x (2)y=-2x
2 x (x1 )1 1 1 y x 1 x 1 x1
1 y x x换成x-1
1 y x 1
向右平移1个单位
y
O
1 -1
（1，-1）
x
向下平移1个单位
1 y 1 x 1
例3.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y y y y
1
O
1 1 x
O
1 x -1
O
-1
x
O1
x
（x,y)和(-x,y) 关于y轴对称！ （x,y)和(y,x) y 轴y=x 与和 y=f(-x) 的图象关于 对称； 关于直线 对 （ x,y)和(-x,-y) 对 （1）y=f(x) （x,y) (x,-y) 称！ 关于原点对称！ x 轴 对称； 与 y=-f(x) 的图象关于 关于x 轴对称！ 称 （2）y=f(x) 变 （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称；
y=f(x-1) 1 -1 O 1
x
y=f(x)-1 -1
a>0,向左平移a个单位 y=f(x+a)左右平移 a<0,向右平移|a|个单位 k>0,向上平移k个单位 y=f(x)+k 上下平移 k<0,向下平移|k|个单位

8/20/2019
第一章 函数
例4 已知 y x 3 的图形，作 y x3 1和
y x3 2 的图形。
如图所示
y
y x3 1
y x3
1
y x3 2
O
xLeabharlann 28/20/2019第一章 函数
内容小结 本节主要介绍了利用已知函数的图形，作
出其他函数图形的几种的方法。这些方法也是 我们作图时常用的方法。
将两图形的纵坐标迭加起来即可。
例1
已知 y x及y 1
x
y
作 y x 1 的图形。
x
如图所示
y 1 x
Ox
y x 1 x
yx
x
8/20/2019
第一章 函数
（二）图形的翻转
【定义】已知 y f(x)的图形，作 yf(x)
的图形，可在同一横坐标处，将 f ( x ) 图形的纵 坐标改变正负号。若图形在 x 轴的上方，翻转
到下方；若图形在 x 轴的下方，翻转到上方。
即 作关于 x 轴对称的图形。 y y x2 1
例2 已知 y x2 1 的
1
图形，作 yx2 1 的图形。
O
1
x
如图所示
yx2 1
8/20/2019
第一章 函数
（三）图形的放缩 【定义】已知y f(x)的图形，作 ykf(x) 的图形（ k 为不等于0的常数）。 当 k 1 时，在同一横坐标处将 f ( x ) 图形 的纵坐标放大 k 倍； 当 0k1时，将 f ( x ) 图形的纵坐标缩小 k 倍； 当 k 0 时，既缩小又翻转。
主要方法 迭加、翻转、放缩、平移
作业 P45 57--60

函数的图像和变换函数是数学中非常重要的概念，它描述了一种映射关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。

在数学函数的图像和变换中，我们将探讨不同类型的函数以及它们在平面直角坐标系中的图像和变换。

一、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数是最简单的函数类型，它的表达式可以写为y=ax+b，其中a和b为常数。

线性函数的图像是一条直线，斜率a决定了直线的斜率方向和倾斜程度，常数b决定了直线与y 轴的交点。

2. 幂函数：幂函数是由形如y=x^n的表达式定义的函数，其中n为常数。

当n为正数时，幂函数的图像呈现递增或递减的曲线，曲线的陡峭程度取决于n的大小。

当n为负数时，曲线则在x轴正方向和y轴正方向之间交替。

3. 指数函数：指数函数由形如y=a^x的表达式定义，其中a为常数且大于0且不等于1。

指数函数的图像是一条通过点(0,1)的递增曲线，沿着x轴正方向迅速上升。

4. 对数函数：对数函数是指满足y=log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。

对数函数的图像是一条递增曲线，曲线的陡峭程度由底数a的大小决定。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

这些函数的图像是关于坐标轴对称的波动曲线。

二、函数的图像变换函数的图像可以通过一系列变换实现形状、位置或大小的改变。

以下是常见的函数图像变换：1. 平移：通过在函数表达式中加上常数c，可以使得函数图像沿着x轴或y轴平移。

例如，对于线性函数y=x+1，如果我们在函数表达式中加上常数1，则函数图像整体上移1个单位。

2. 反转：通过对函数表达式中的x或y取相反数，可以使函数图像在x轴或y轴方向上发生反转。

例如，对于线性函数y=x，如果我们将函数表达式中的x替换为-x，则函数图像将在y轴上对称。

3. 缩放：通过在函数表达式中乘以常数d，可以实现函数图像的缩放。

如果d大于1，则函数图像会在坐标轴方向上拉伸；如果d介于0和1之间，则会在坐标轴方向上收缩。