人教版数学高一-人教A版必修4练习 2.5平面向量应用举例

自主广场我夯基 我达标1.已知A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),则△ABC 的形状是（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形思路解析：∵A(1,2)、B(2,3)、C(-2,5),∴AB =(1,1),BC=(-4,2),AC =(-3,3). ∵·=1×(-3)+1×3=0,∴⊥,即∠A=90°.∴△ABC 为直角三角形. 答案：A2.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,则向量AB 的坐标为_____________.思路解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程,然后求解. 设=(x,y),则=(x-4,y-2).由已知⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-+-=+=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⊥3,1)2()4(0)2()4(||||2222y x y x y x y y x x AB OB ABOB 或⎩⎨⎧-==.1,3y x 故B(1,3)或B(3,-1).∴ =(-3,1)或(-1,-3).答案：(-3,1)或(-1,-3)3.已知两恒力F 1(3,4)、F 1(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).试求： (1)F 1、F 2分别对质点所做的功； (2)F 1、F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：设物体在力F 作用下位移为S ,则所做的功为W=F ·S . 解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). (1)W 1=F 1·AB =(3,4)·(-13,-15)=-99(焦耳). W 2=F 2·AB =(6,-5)(-13,-15)=-3（焦耳）.（2）W=F ·=(F 1+F 2)·=［(3,4)+(6,-5)］·(-13,-15)=(9,-1)·(-13.-15)=-102（焦耳）. 4.如图2-5-9，在△ABC 中,D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,G 是它的重心,已知D 点的坐标是(1,2),E 点坐标是(3,5),F 点坐标是(2,7),求A 、B 、C 、G 的坐标.图2-5-9思路分析：根据D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 的中点,得=.从而求出A 点坐标,B 、C 、G 点的坐标求法与此类似.解：设A(x 1,y 1),由已知得EF 平行且等于AD. ∴DA =EF ,∴(x 1-1,y 1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2),∴⎩⎨⎧=--=-,22,1111y x 解得⎩⎨⎧==.4,011y x∴A(0,4).同理，可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE 过点G. 设G(x 2,y 2),由=2,得(x 2,y 2-4)=2(3-x 2,5-y 2).∴⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=--=.314,2,2104,26222222y x y y x x ∴G(2,314). 5.设a 、b 、c 是两两不共线的三个向量.(1)如果a +b +c =0,求证以a 、b 、c 的模为边,必构成一个三角形； (2)如果向量a 、b 、c 能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系? 思路分析：运用向量加法的三角形法则及多边形法则即可解答. 解：(1)如下图,作=a ,=b ,=c .按向量加法的多边形法则有BD =BC +CA +AD =a +b +c =0.∴B 与D 重合,故向量a 、b 、c 能构成一个三角形.(2)设向量a 、b 、c 能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则,有AB +BC =AC ,即AB +BC +CA =0. ∵a =-,b =-,c =-，∴a 、b 、c 有下列四种关系之一即可：①a +b -c =0;②a +b +c =0;③a -b -c =0;④a -b +c =0.6.如图2-5-10所示，△ABC 三边长为a 、b 、c ,以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径,试判断P 、Q 在什么位置时, BP ·有最大值?图2-5-10思路分析：先构造向量表示和,然后运用向量的运算建立目标函数,再利用向量的数量积a ·b ≤|a ||b |求解.解：∵AB +BP =AP ,AC +CQ =AQ =-AP ,∴BP ·=(AP -AB )·(-AP -)=-2AP +AB ·AP +AB ·-AP ·-r 2+AB ·+AP ·(AB -AC )=AB ·AC +AP ·CB -r 2 =cbcos ∠BCA+AP ·CB -r 2.∵r 、a 、b 、c,∠BAC 均为定值,故当且仅当AP ·CB 有最大值时，BP ·有最大值. 而当与同向共线时，其夹角为0°，有·=ra.∴当∥,且与反向时,·有最大值bccos ∠BAC+ar-r 2.我综合 我发展7.在四边形ABCD 中,·=0,且=,则四边形ABCD 是（ ） A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 思路解析：由·=0,得AB ⊥BC,又=,∴AB 与DC 平行且相等.从而四边形ABCD 是矩形. 答案：C8.平面上有两个向量e 1=(1,0),e 2=(0,1),今有动点P 从P 0(-1,2)开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|e 1+e 2|.另一点Q 从Q 0(-2,1)出发，沿着与向量3e 1+2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e 1+2e 2|.设P 、Q 在t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当PQ ⊥P 0Q 0时，t=____________.思路解析：应用垂直的条件列方程即可.∵P 0(-1,2),Q 0(-2,1), ∴00Q P =(-1,-3).又∵e 1+e 2=(1,1),∴|e 1+e 2|=2.∵3e 1+2e 2=(3,2), ∴|3e 1+2e 2|=13.∴当t 时刻时,点P 的位置为(-1+t,2+t),点Q 的位置为(-2+3t,-1+2t).∴=(-1+2t,-3+t),∵PQ ⊥P 0Q 0, ∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.∴t=2. 答案：29.如图2-5-11,已知A 、B 、C 是不共线的三点,O 是△ABC 内的一点,若++=0,求证：O 是△ABC 的重心.图2-5-11思路分析：以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-,从而得||=2||，即O 为△ABC 的重心. 证明：由于OA +OB +OC =0, ∴=-（+）,即+是的相反向量,以、为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD 中,设与交于E 点,则=，=,∴AE 是△ABC 的中线,且|OA |=2|OE |,故O 是△ABC 的重心.10.在△ABC 内求一点P,使2AP +22CP BP +的值最小.思路分析：根据已知条件,可设CA =a , CB =b ,再把2AP +22CP BP +表示成关于向量CP=x 的函数,进而求出该函数的最小值.解：如下图,设CA =a , CB =b ,CP=x ，则AP =x -a , BP =x -b ,∴2AP +22CP BP +=(x-a )2f(x-b )2+x 2=3x 2-2(a +b )x+b 2=3［x-31 (a +b )］2+a 2+b 2-31(a +b )2. 根据向量运算的意义知,当x=31(a +b )时,2AP +22CP BP +有最小值.设M 为AB 的中点,易知a +b =2CM . 当x=31(a +b )时,=32,也即P 为△ABC 的重心时, 222CP BP AP ++的值最小,为a 2+b 2-31(a +b )2.11.如图2-5-12(1),有两条相交成60°的直线xx 1、yy 1,交点为O.甲,乙分别在Ox 、Oy 1上,起初甲位于离O 点3 km 的A 处,乙位于离O 点1 km 的B 处.后来两个人同时用每小时4 km 的速度,甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动.图2-5-12(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?［如图2-5-12(2),在三角形中有如下结论：b 2=a 2+c 2-2accosB ］. 思路分析：以甲、乙两人t 时刻的位置和O 三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解：(1)起初两人分别在A 、B 两点,则|OA |=3,|OB |=1. ∴|AB |=||2+||2-2||||cos60°=9+1-2×3×1×21=7. ∴|AB |=7km,即起初两人相距7公里.(2)设甲、乙两人t 小时后的位置分别是P 、Q 则|AP |=4t,|BQ |=4t, 又∵甲沿xx 1的方向,乙沿yy 1的方向运动. ∴当0≤t≤43时, |PQ |2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t 2-24t+7;当t ＞43时,||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t 2-24t+7(t ＞0). 综上||2=48t 2-24t+7=48(t-41)2+4,t ∈［0,+∞),∴当t=41时,即在第15分钟末时,PQ 最短,两人最近,最近距离为2 km.12.在静水中划船的速度是每分钟40米,水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O 处出发,沿着垂直于水流的航线到达对岸,试问小船的行进方向应指向哪里?思路分析：速度是向量,根据本题的已知和所求,可以用向量加法运算予以解决.解：用向量OA 的长度和方向分别表示水流的速度和方向,用OB 表示船行进的方向,它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB,连结OC.依题意OC ⊥OA,BC=OA=20,OB=40, ∴∠BOC=30°,船应沿上游与河岸夹角为30°的方向行进.13.不顾国际社会的强烈反对,美国于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v |=10nmk/h.令v =λ1e 1+λ2e 2,基底e 1、e 2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30°,e 1方向正东,e 2方向为北偏东60°,试求λ1、λ2的值. 思路分析：本题实质就是利用平面内的一组基底表示向量v. 解：建立如图所示的直角坐标系,则e 1=(1,0),e 2=(23,21),v =(5n,35n).∵e 1、e 2不共线, ∴v=λ1e 1+λ2e 2=λ1(1,0)+λ2(23,21). (5n,35n)=(λ1+23λ2,21λ2). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.352,523221n n λλλ ∴λ1=-10n,λ2=103n.。

马鸣风萧萧高中数学学习材料唐玲出品2.5 平面向量应用举例班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习·练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为A. B.5N C.10N D.2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.3．(2012·安徽省合肥一中质检)过△ABC内部一点M任作一条直线EF,AD⊥EF于D,BE ⊥EF于E,CF⊥EF于F,都有++=0,则点M是△ABC的()A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点4．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图，已知灯具的重力为10N，则每根绳子的拉力大小是____.精心制作仅供参考唐玲出品5．如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.6．在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,且||=||=1,+=+=0,cos∠DAB=.求|+|与|+|的值.7．某人骑车以速度a向正东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.8．(2012·湖南省衡阳一中模考)如图,在△ABC中,·=0, ||=8,||=6,l为线段BC 的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求·的值;(2)判断·的值是否为一个常数,并说明理由.能力提升1．根据指令(r,θ)(r≥0,−180°<θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ(按逆时针方向旋转θ为正，按顺时针方向旋转θ为负)，再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点(4,4).(2)机器人在完成(1)中指令后，发现在点(17,0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动.已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时马鸣风萧萧间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令取.2．如图，已知扇形OAB的周长2+，面积为，并且.(1)求的大小；(2)如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中、，求的最大值与最小值的和；(3)若点C、D在以O为圆心的圆上，且.问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.精心制作仅供参考唐玲出品2.5 平面向量应用举例详细答案【基础过关】1．A2．C3．B【解析】本题主要考查向量的几何意义.根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,++=0即为+=0,于是||=||,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,因此,点M是△ABC的三条中线的交点,故选B.4．10N5．设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.由已知可得a2-b2=c2-d2,所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,所以e·(c-d)=0.因为=+=d-c,所以·=e·(d-c)=0,所以⊥,即AD⊥BC.6．如图,在四边形ABCD中,∵+=+=0,∴=,=.∴四边形ABCD为平行四边形.又||=||=1,∴四边形ABCD为菱形.∵cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=,∴△ABD为正三角形.∴|+|=|+|=||=2||=.|+|=||=||=1.【解析】本题主要利用向量的几何意义,求解平面几何和三角形的问题.解决此类问题,首先要注意向量与几何的内在联系,并利用向量的线性运算、相等向量、共线向量等概念求解.7．设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.马鸣风萧萧如图所示,设 =-a, =-2a, =v,∵ + = ,∴ =v-a,这就是速度为a 时感到的由正北方向吹来的风速, ∵ + = ,∴=v-2a,这就是速度为2a 时感到的由东北方向吹来的风速, 由题意知∠PBO=45°, PA ⊥BO,BA=AO, ∴△POB 为等腰直角三角形,∴∠APO=45°,| | =|| = |a|,即|v|= |a|. ∴实际风速的大小是 |a|,为西北风.8．(1)以点D 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,l 所在直线为y 轴建立直角坐标系,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A( ,),此时 =(- ,-), =(-10,0), 所以 ·=-×(-10)+(-)×0=14. (2)设点E 的坐标为(0,y)(y≠0),此时=(-,y-), 所以 · =-×(-10)+(y-)×0=14为常数,故 ·的值是一个常数. 【解析】本题考查向量在几何中的应用,采用了向量的坐标表示.解题的关键是建立适当的直角坐标系,写出相应点的坐标,代入数量积公式.求平面向量数量积的步骤:首先求a 与b 的夹角θ,θ∈[0°,180°],再分别求|a|,|b|,然后再求数量积,即a·b=|a||b|cos θ.若知道向量的坐标a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a·b=x 1x 2+y 1y 2. 【能力提升】1．解：(1)如图，设点()4,4A ，所以42OA =，因为OA 与x 轴正方向的夹角为45，所以42,45r θ==，故指令为()42,45(2)设()17,0B ，机器人最快在点(),0P x 处截住小球， 由题意2PB AP =，得()()22172404x x -=-+-，整理得2321610x x +-=， 即()()73230x x -+=，所以7x =或233x =-(舍)， 即机器人最快可在点()7,0P 处截住小球.设OA 与AP 的夹角为θ，因为()()5,4,4,3,4AP OA AP ===-.精心制作仅供参考唐玲出品2cos cos818710OA AP OA APθ⋅==-=-⋅，所以18081.8798.13θ=-=又5AP =，OA 旋转到AP 是顺时针旋转，所以指令为()5,98.13-. 2．(1)设扇形半径为 ，圆心角由得或又当,时，不成立； 当 ,时，成立， 所以(2)如图所示，建立直角坐标系，则A (1，0)，B，C .由得，. 即. 则又，则，故.(3)由题可知马鸣风萧萧，当且即时【解析】本试题主要考查三角函数与平面向量的综合运用.建立适当的坐标系，将几何问题转化为代数问题，运用向量的数量积的坐标来求解运算.。

§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法课时目标 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a ∥b (b ≠0)⇔________⇔______________________. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a |＝_______ 2．直线的方向向量和法向量(1)直线y ＝kx ＋b 的方向向量为________，法向量为________．(2)直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为________，法向量为________．一、选择题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.7252．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．150°4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于( )A ．2 B.12 C ．－3 D ．－136．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________________．8．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________________.9．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状一定是__________．10．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|＝2，则OC →＝__________________.三、解答题11．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线的方程．12．P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：P A ＝EF 且P A ⊥EF .能力提升13．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB→＝PB ·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心 14．求证：△ABC 的三条高线交于一点．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)上任取两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用． ①y ＝kx ＋b 的方向向量v ＝(1，k )，法向量为n ＝(k ，－1)．②Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的方向向量v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．§2.5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法答案知识梳理1．(1)a ＝λb x 1y 2－x 2y 1＝0 (2)a·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0(3)a·b|a||b |x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(4)x 2＋y 22．(1)(1，k ) (k ，－1) (2)(B ，－A ) (A ，B ) 作业设计1．B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32，6，AD →＝⎝⎛⎭⎫－52，5， ∴|AD →|＝525.]2．D [∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为垂心．]3．B [设l 1、l 2的方向向量为v 1，v 2，则 v 1＝(4，－3)，v 2＝(1，－7)，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝255×52＝22. ∴l 1与l 2的夹角为45°.]4．B [∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．] 5．C[如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC →＝－3CE →.] 6．D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D.] 7．2解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →，∴MO →＝AO →－AM →＝(m 2－1)AM →＋n 2AN →.又∵MN →＝AN →－AM →，MN →∥MO →，∴存在实数λ，使得MO →＝λMN →，即⎩⎨⎧m2－1＝－λ，n2＝λ，化简得m ＋n ＝2. 8．－25解析 △ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝⎛⎭⎫－45＝－16， CA →·AB →＝5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝－9. ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25. 9．等腰三角形解析 ∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →) ＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2 ＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．10.⎝⎛⎭⎫－105，3105 解析已知A (0,1)，B (－3,4)， 设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形．∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.11．解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝⎛⎭⎫35，45＋⎝⎛⎭⎫－45，35＝⎝⎛⎭⎫－15，75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0.整理得：7x ＋y －29＝0.12．证明 以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP →|＝λ，则A (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫2λ2，2λ2，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0， 于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.∴|P A →|＝⎝⎛⎭⎫22λ－12＋⎝⎛⎭⎫－22λ2＝λ2－2λ＋1， 同理|EF →|＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，∴P A ＝EF .∴P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ⎝⎛⎭⎫2λ2－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ⎝⎛⎭⎫－22λ＝0，∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF . 13．C[如图，∵NA →＋NB →＋NC →＝0， ∴NB →＋NC →＝－NA →.依向量加法的平行四边形法则，知|N A →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心． ∵P A →·PB →＝PB →·PC →， ∴(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0.同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0， ∴点P 为△ABC 的垂心． 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．] 14．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高． 设BE ，CF 交于H 点， 令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ， 则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0， 即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H .小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

教材习题点拨习题2.5A 组1．解：设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则RA →＝(1－x 1，－y 1)，AP →＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得(1－x 1，－y 1)＝2(x －1，y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x ＋3，y 1＝－2y . 代入直线l 的方程y ＝2x －6，得点P 的轨迹方程为y ＝2x .2．解：(1)证明：在△ABC 中，AE →＝12a ＋12b . 易知AO →＝13a ＋13b ，∴AE →＝32AO →. ∴AE →与AO →共线．又∵AE →与AO →有共同起点，∴A ，O ，E 三点在同一直线上．由AO →＝13a ＋13b ，OE →＝13AE → ＝13×12(a ＋b )＝16a ＋16b ， ∴AO →＝2OE →.∴AO OE＝2. 同理可证，BO OF ＝CO OD＝2， 即AO OE ＝BO OF ＝CO OD＝2. (2)AO →＝13a ＋13b . 3．解：(1)s ＝AB →＝(－2，7)；(2)135. 4．解：(1)F 3的大小为3＋1；(2)F 3与F 1的夹角为150°.B 组1．解：铅球上升的最大高度为|v 0|2sin 2θ2g，最大投掷距离为2|v 0|2sin θcos θg. 2．解：船行驶到对岸所需的时间是由船行驶的实际距离与合速度决定的，也是由河的宽度d 与船的速度v 1在垂直对岸方向上的分速度决定的．(1)当船逆流行驶，与水流成钝角α1时，如图(1)，船到对岸所需时间t 1＝500|v 1sin α1|＝50sin α1.(2)当船顺流行驶，与水流成锐角α2时，如图(2)，船到对岸所需时间t 2＝500|v 1sin α2|＝50sin α2.(3)当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，如图(3)，船到对岸所需时间t 3＝500|v 1sin α3|＝50010×1＝50. 当α1与α2分别为锐角和钝角时，t 1＝50sin α1>50，t 2＝50sin α2>50. 综上所述，当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短．3．解：(1)设P (x ，y )，则AP →＝(x －1，y －2)，AB →＝(2，－22)．将AB →绕点A 沿顺时针方向旋转π4到AP →，相当于沿逆时针方向旋转7π4到AP →， 于是AP →＝⎝⎛⎭⎫2cos 7π4＋22sin 7π4，2sin 7π4－22cos 7π4 ＝(－1，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－1，y －2＝－3. 解得x ＝0，y ＝－1，即点P 的坐标为(0，－1)．(2)设曲线C 上任一点P 的坐标为(x ，y )，OP →绕O 逆时针旋转π4后，点P 的坐标为(x ′，y ′)， 则⎩⎨⎧x ′＝x cos π4－y sin π4，y ′＝x sin π4＋y cos π4，即⎩⎨⎧x ′＝22（x －y ），y ′＝22（x ＋y ）.又因为x ′2－y ′2＝3，所以12(x －y )2－12(x ＋y )2＝3. 化简得y ＝－32x.。