新人教版必修4高中数学2.5.1《平面几何的向量方法》练习题

2.5 平面向量应用举例2．5.1 平面几何中的向量方法一、基础达标1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是( )A ．2 5 B.52 5 C ．3 5 D.72 5 [答案] B[解析] BC 中点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，5，∴|AD→|＝525.2．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点 [答案] D[解析] ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝0. ∴OB →·CA→＝0. ∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ， ∴O 为三条高的交点．3．已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x[答案] D[解析] P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(－x ，－y ) 则P A →·PB →＝(－2－x )(－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝－2x .4．已知平面向量a ，b ，c ，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成角相等，则|a ＋b ＋c |＝( )A. 3 B ．6或 2 C ．6 D ．6或3 [答案] D5．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0 [答案] A[解析] 设P (x ，y )为直线上一点，则AP →⊥a ，即(x －2)×2＋(y －3)×1＝0，即2x ＋y －7＝0.6．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________． [答案] x ＋3y －7＝0[解析] 设P (x ，y )是所求直线上任一点，直线3x －y ＋1＝0的方向向量为(1,3)，由(x －1，y －2)·(1,3)＝0得x ＋3y －7＝0.7．已知：▱ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形．证明 设AB →＝a ，AD →＝b ， 由于四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC→＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD→＝AD →－AB →＝b －a . ∵AC ＝BD ，∴|a ＋b |＝|b －a |. ∴|a ＋b |2＝|b －a |2.∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|b |2－2a ·b ＋|a |2. ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b ，即AB →⊥AD →.∴AB ⊥A D. ∴四边形ABCD 是矩形． 二、能力提升8．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形[答案] D[解析] 由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得角A 的平分线垂直于BC .∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°. 故△ABC 为正三角形，选D.9．(2013·福建理)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4，2)，则四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 [答案] C[解析] 因为在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，AC →·BD →＝0，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直，又|AC→|＝12＋22＝5，|BD→|＝(－4)2＋22＝25，该四边形的面积：12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 10．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． [答案] [π6，56π][解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为： S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56π. 11．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明) 证明 连接OP ，设向量OA→＝a ，OP →＝b ， 则OB →＝－a 且P A →＝OA →－OP →＝a －b ， PB→＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴P A →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴P A →⊥PB →， 即∠APB ＝90°.12．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于F ，连接DF .求证：∠ADB ＝∠FDC .证明 如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)， 于是AD →＝(－2,1)， AC→＝(－2,2)， 设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0， 即(x ，y )·(－2,1)＝0， ∴－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →， 而FC→＝(－x,2－y )， 因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0， 即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，DC →＝(0,1)， DF →·DC→＝13， 又DF →·DC→＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ， ∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55， 又cos ∠ADB ＝|BD →||AD→|＝15＝55，∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC . 三、探究与创新13.如图所示，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A 、点B ，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .证明 设PD →＝λCD →，并设△ABC 的边长为a ，则有 P A →＝PD→＋DA →＝λCD→＋13BA →＝λ(23BA →－BC →)＋13BA → ＝13(2λ＋1) BA →－λBC →，又EA →＝BA →－13B C →.∵P A →∥EA→，∴13(2λ＋1) BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →.于是有： ⎩⎪⎨⎪⎧13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k .解得，λ＝17.∴P D →＝17C D →.∴BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋67CD →＝BC →＋67(BD →－BC →)＝17 BC →＋47BA →.C D →＝23BA →－BC →. 从而BP →·CD →＝(17BC →＋47B A →)·(23BA →－BC →) ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0.∴BP →⊥CD →.∴BP ⊥DC .。

高中新课程数学（新课标人教A版）必修四《2.5.1平面几何中的向
量方法》评估训练
双基达标限时20分钟
1．在△ABC中，若AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，则．
5 C60 m1 m，W＝|G|·h＝20×错误! J＝10 J
答案10 J
10．已知作用于原点的两个力F1＝3,4，F2＝2，－5，现增加一个力F，使这三个力F1，F2，F的合力为0，则F＝________
解析∵F1＋F2＋F＝0，∴F＝－F1－F2＝－3，－4＋－2,5＝－5,1．
答案－5,1
11．2022·宁波高一检测已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，
1若D为斜边AB的中点，求证：CD＝错误!AB；
2若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长用m、n表示．
解以C为坐标原点，以边CB、CA所在的直线分别为轴、轴建立坐标系，如图，A0，m，Bn,0．1∵D为AB的中点，∴D错误!，
∴错误!，错误!，
∴错误!，设F,0，则错误!，
错误!，
∵A、E、F共线，∴错误!＝λ错误!，∴错误!
即＝错误!，即F错误!∴错误!
12．创新拓展如图所示，用两根分别长5错误! m
和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，
平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
解由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角，设A处所受的力为F a，B处所受的力为F b，
∴错误!
解得|F a|＝150错误!－50错误!，故A处受力的大小为150错误!－50错误!N。

高中数学人教A版必修4 第二章平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法（3）一、单选题1. 如图在△ABC所在平面上有一点P，满足++＝，则△PAB与△ABC 的面积之比是()A. B. C. D.二、填空题在平行四边形ABCD中，已知AD=1, AB=2,对角线BD=2，则对角线AC=________.已知向量=(1, 2)，=(1, 1)且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.三、解答题用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.在▱ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD，求证：M，N，C三点共线．．参考答案与试题解析高中数学人教A 版必修4 第二章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法（3）一、单选题1.【答案】A【考点】向量的减法及其几何意义向量的加法及其几何意义向量数乘的运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：PA →+PB →+PC →=AB →PA →+PB →+PC →−AB →=0→即PA →+PB →+PC →+BA →=0→…PA →+PA →+PC →=0→2PA →+PC →=0¯…点P 在线段AC 上，且AC =3|PA|用加△PAB 的面积与△ABC 的面积之比是13故选A ．二、填空题【答案】J6【考点】解三角形【解析】此题暂无解析【解答】在△ABD 中，AD =1,AB =2，对角线BD =2，由余弦定理可得cos A =12+22−222×1×2=14 cos ∠ABC =cos (π−A )=−cos A =−14，在△ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =4+1−2×1×1×(−14)=6 故对角线:AC =√6，应填√6[ -．olu(0,+∞)【考点】数量积的坐标表达式【解析】l∵ a →=(1,2),b →=(1,1)，…a →+λb →=(1+λ,2+λ)∵ a →与a →+λb →的夹角为锐角，________a →,(a →+λb →)>0，且a →与a →+b →不共线，1×(1+λ)+2×(2+λ)>0，且1×(2+λ)−2×(1+λ)≠0解得入>−53且λ≠0，故答案为λ>−53且|λ≠0【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】见解析【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】【证明】试题分析：由向量的模表示长度相等，再平方化简为向量数量积为零得垂直，即得矩形试题解析：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O 且AC =BD,AB →=AO →+OB →,AD →=AO →+OD →所以AB →⋅AD →=(AO →+OB →)⋅(AO →+OD →)=AO →2+AO →⋅OD →+OB →⋅AO →+OB →⋅OD →=0所以AB →⊥AD →，即AB ⊥AD所以平行四边形ABCD 是矩形．【解答】此题暂无解答【答案】见解析向量加减混合运算及其几何意义【解析】试题分析．设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC,BO =OD ，把AB →和DC →用AC →和DB →表示，则两个向量相等，即AB =DC 且AB//DC ，得证．试题解析：证明．设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC,BO =OD∴ AB ¯=12AC →+12DB →,DC →=12DB →+12AC → AB →=DC →.即AB =DC 且AB//DC所以四边形ABCD 是平行四边形，即对角线互相平分的四边形是平行四边形【解答】此题暂无解答【答案】见解析【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】试题分析．设H 是高线BE 、CF 的交点，且设AB →=a,AC →=b,AH →=ℎ，把BH →⋅CH →和BC →用所设的基底表示，又BH →⊥AC →,CH →⊥AB →,代入化简可得AH →⊥BC →，得证．试题解析：r →．证明：设H 是高线BE 、CF 的交点，且设AB →=a,AC →=b,AH →=ℎ，则有BH →=ℎ−a,CH →=ℎ−bBC →=b −a,∴ BH ⊥AC,CH ⊥AB(ℎ−a )⋅b =(ℎ−b )a =0化简得，ℎ(b −a )=0⇔AH ¯⊥BC →所以，三角形三条高线交于一点【解答】此题暂无解答【答案】见解析【考点】向量的共线定理【解析】MN →=BN →−BM →因为BM →=12BA →,BN →=13BD →=13(BA →+BC →),所以MN →=13BA →+13BC →−12BA → =13BC →−16BA →. 由于MC →=BC →−BM →=BC →−12BA →可知MC →=3MN →，即MC →⋅MN →又因为MC 、MN 有公共点M ，所以M 、N 、C 三点共线【解答】此题暂无解答。

1高中数学 2.5.1平面几何中的向量方法限时训练新人教A 版必修41．在△ABC 中，若AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则( )． A.BD →＝CE → B.BD →与CE →共线 C.BE →＝BC → D.DE →与BC →共线2．在四边形ABCD 中，AB →＝－CD →，AC →·BD →＝0，则四边形为( )． A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．菱形3．若物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5,1)，则共点力对物体所做的功W 为( )．A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．24．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b <0，则△ABC 的形状为( )． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形25．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )． A ．三个内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条高的交点8．一个重20 N 的物体从倾斜角30°，斜面长1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．9．已知作用于原点的两个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，现增加一个力F ，使这三个力F 1，F 2，F 的合力为0，则F ＝________. 10．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．11．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝12AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长(用m、n表示)．12．(创新拓展)如图所示，用两根分别长5 2 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．3。