高一数学课件：平面向量单元复习2(人教A版必修4)

择决定命运，环境造就人生！
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

r rC
A
a?b OA ? OC
练习1: 如图， ABCD的两条对角线相交于点M ,且 uuur r uuur r r r uuuur uuur uuuur AB a，AD b，用a、b表示AM、BD、和MD.
rD b
A
C
M
ar B
练习2：在 ABC中，AB=2,AC=4, A
PE ^ AB, PD ^ AC, AD = 2, AE =1,求 E
A
B
P
C
解：Q 点P为线段BC的中点，
\
uuur BP
=
uuur PC
即AP
AB
AC
AP .
AP 1 ( AB AC ). 2
又BC AC AB,从而
A
AP BC AP ( AC AB)
1 ( AB AC ) ( AC AB)
2
B
P
C
1(
AC
2
2
AB ) 6.
2
问题3：在ABC中，AB 2，AC 4， 若点 P为三角形的外心，求 AP • BC的值 。
A
E
D P
C
B
F
uuur uuur 问题3：若点P为DABC的外心, 求 AP ? BC的值.
A
uuur
uuur uuur
解：将BC转化为AC - AB,得
AP BC AP ( AC AB) AP AC AP AB
B
P
图2
C
AP AC cosPAC AP AB cosPAB
A
G B
F P
E
C
小结:
1、向量数量没有运算，向量只是一个 “路标”．因为有了运算，向量的 力量无限．

专题突破
第二章 章末归纳总结
数学 ·人教A版 · 必修4
专题一 有关向量的共线问题 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)．若ka＋2b与2a－4b
平行，求实数k的值． [分析] 本题考查两向量的共线问题，要求学生熟练掌握
两向量共线的条件．
第二章 章末归纳总结
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[解析] ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)， 2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ka＋2b与2a－4b平行， ∴(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得k＝－1.
→ OP
与
→ OQ
垂
直，求x的值．
第二章 章末归纳总结
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[解析]
∵
→ OP
＝(2cosx＋1,2cos2x＋2)，
→ OQ
＝(cosx，－
1)，
∴由两向量垂直的条件得cosx(2cosx＋1)－1×(2cos2x＋2)
＝0，
即2cos2x＋cosx－2(2cos2x－1)－2＝0.
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
[点拨] 本题易犯的三点错误： (1)求a＝2e1＋e2或b＝－3e1＋2e2的模时，错认为|a|＝ 22＋12 或|b|＝ －32＋22 ，这是因为e1与e2不是互相垂直的 单位向量，所以(2,1)或(－3,2)不是a或b的坐标，要将其转化 成模的平方． (2)求点乘e1·e2时极易漏掉cosθ， 应为e1·e2＝|e1||e2|cosθ(θ为e1与e2的夹角)．

4. 两点间的距离:
|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
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一、知识要点：
4. 两点间的距离:
|A| B(x 1x 2)2(y1y2)2
5. 夹角公式:
cosab x1x2y1y2
ab x12y12 x22y22
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第二章复习(一)
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一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律：
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一、知识要点：
1. 实(((321数)))(与((a向a)b量)a)的(积aa)的a运ba算律：
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二、重要结论：
1. AB 中 ,C若 O AO BOC 0, 则 O为 AB 的 C重 . 心 2. AB中 C, 若OAOBOBOC OAOC,则O为AB的 C 垂.心
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二、重要结论：
2
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三、典型例题：
例1.已 O 知 为AB内 C 一,点 AOB15o,0 BOC90o, 设OA a, OBb,OCc, 且a2, b1, c3, 用a与b表 示 c.
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四、基础练习：
3. AB中 C, 若OAOBOC0, 且OAOBOC1, 则ABC 为等边三.角形

uur a0 (
2, 2
2) 2
ur b0
(
4
41 41
,
5
41 ) 41
题型二：利用向量知识证明
例27.（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
r
r
证则明rar：arr2 设bra1r2aa1ra2b21,(bar a212,abb2122r,),
b
rb22
(b1,
b2
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
3)坐标表示 a xi y j (x, y)
r uuur a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
a MN (xN xM , yN yM )
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
r
在正八r边形A1Ar2Ar3……A8中，设A1A2= a ，
A1A8u=uubu，r 试uu用uuuar
，b表示：
uuuuur uuuur
uuuuur
uuuur
A2 A3, A2 A4, A4 A5, A5 A6, A6 A7 , A7 A8
A6 A7
A5 A4
A8
A3
b
A1 a A2
uuuur r r A2 A3 2a b
|a|
可正可负可为零
二r.基本运算（r 坐标途径）
若a r
( r
x1,
y1 ),
b
(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) rr

变式：若等边 ABC 的边长为 2
3 ，平面内一点
M
满足 CM
1
CB
2 CA
,则
63
MA• MB ________.
题型五: 向量与三角函数的综合
例 已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0, ) ．
2 （1）求 sin 和 cos 的值；
（2）若 sin( ) 10 , 0 ，求tan( )的值．
4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理， 平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。
1. (湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,
且 =2 ， =2 ， =2 ,则
（）
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
A
解:
E F
D.既不平行也不垂直
B
C
D
仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：
例 已知 ABC，AD 为中线，求证 AD2 1 AB2 AC2 BC 2
2
2
例 设两个向量 e1 、e2 ，满足| e1 | 2 ，| e2 | 1 ，e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2
与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.
3
3
OM ,ON, MN
B
D
M
N C
A O
题型三: 向量平行与垂直的条件
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA• PB PB • PC PC • PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的

D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
知识梳理 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用

第四章 平面向量复习
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1
(二) 要点概述 1.平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 2.平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 3.平面向量基本定理与共线向量定理 4.平面向量的坐标运算 5.平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 6.平面向量与三角、物理等知识的融合
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2
四、典型题归纳： （一）向量的基本概念和运算律
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3
（二）向量的坐标运算
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4
（三）向量与函数的交汇 （四）平面向量与三角的交汇
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5
（五）平面向量的判断题
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6
[作业精选，巩固提高]
• 复习参考题：A组2，3,5
完整版pห้องสมุดไป่ตู้t
7

解：设点 B 的坐标为（x,y），
则 OB (x, y), AB (x 5, y 2)
OB AB
∴ x（ x-5） +y（ y-2） =0
即 x2+y2 – 5x – 2y=0
①
又 OB AB
∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10x+4y=29 ②
2024/11/3
由①、②解得：
2
2a b
b2
3
ab
3
2024/11/3
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15、如图，E是正方形ABCD的边AB延
长线上的一点，F在BC上，且BE=BF， 用向量的坐标法证明：AF⊥CE
2024/11/3
D
C
F
A
BE
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3、已知三个力 f1、f2、f3 作用于同一质点,且 | f1 | 20, | f2 | 30, | f3 | 40 (单位:牛)若三个力在同一平面
内且两两的夹角都为1200,求协力的大小和方向
y
B
f2
oθ
f3
x
C
A f1
2024/11/3
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例2:已知向量a (cos 3 x,sin 3 x),b (cos x , sin x),
22
2
2
且x
0,2
,
求
:
(1)a
b及
a
b
;
(2)若f
(x)
a
b
2
a
b
的最小值是-
3 2
, 求的值.
x1
y1
7 2
23或xy22
3 为