高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
（四）函数的单调性1.函数单调性的定义（局部性质）（1）设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值,,21x x ①数：当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调增函数；（形：从左往右看图象逐渐上升；）②当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调减函数（形：从左往右看图象逐渐下降.）（2）等价形式：任意,21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f （或写成0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ）都表明)(x f 在区间上单调增. 注：xy 1=的单调减区间为)0,(-∞和),0(+∞,单调区间有两段一般需要用“和”，不能“ ”. 2.判断单调性的方法（用来证明单调性的只有定义法和导数法）（1）定义法:取值，作差，变形，定号，结论. （2）利用函数的运算性质：若)(),(x g x f 为增函数，则)()(x g x f +为增，)0)((>a x af 为增，)(x f 为增，)0)((<a x af 为减，)(1x f 为减. （注：只能用“增”+“增”⇒“增”，“减”+“减”⇒减，其他不能确定单调性.）（3）复合函数单调性法则：同增异减.（内函数与外函数单调性相同，则整体增；内函数与外函数单调性相反，则整体减.）（4）导数法函数)(x f y =在区间D 上单调增⇔0)('≥x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0；函数)(x f y =在区间D 上单调减⇔0)('≤x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0.（注：如果问单调区间，不要带等号.令,0)('>x f 求单调增区间；令,0)('<x f 求单调减区间.）（5）图像法3.分段函数求单调性的方法①左段单调性与整体一致；②右段单调性与整体一致；③若整体增（减），则左段函数在端点的函数值)(≥≤右段函数在端点的函数值.。
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2.2 函数的单调性与最值【核心素养分析】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 为最大值M 为最小值【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].【典型题分析】高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间)例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ； 当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 【举一反三】（2020·山东青岛二中模拟）函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．【答案】[2，＋∞) (－∞，－3] 【解析】令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， 所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)。
