2014年湖南师大附中理科实验班数学测试 初试卷

湖南师范大学附属中学2013-2014学年高二数学上学期第三次月考试题 理新人教A 版命题人：师大附中高二数学备课组本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

得分：______________一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若f ′(x )＝3，则 f （x 0－m ）－f （x 0）3m等于A ．3 B.13C ．－1D ．12．θ是第三象限角，方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是 A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆3．火车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中火车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是4．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 A.13 B.510 C.910 D.455．已知命题p ： x ∈(－∞，0)，3x >5x；命题q ： x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x <sin x ，则下列命题为真命题的是A ．p ∧qB ．綈p ∨qC ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )6．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1 和直线l 2的距离之和的最小值是A.355B.115C. 2 D ．37．若双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则此双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±24x D. y ＝±28x 8．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 29－1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为A ．32B ．8C ．16D ．4选择题答题卡9．若动点P 与定点F (1，1)的距离和动点P 与直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹方程是______．10．若双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5，0)的距离为172，则点P 到点(－5，0)的距离是________________．11．设点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＋S △IPF 2＝2S △IF 1F 2，则该椭圆的离心率是__________．12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a .则直线CD 与平面AB 1D 1所成的角的余弦值为________．13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P .若∠PF 1F 2＝30°，则该双曲线的离心率为______．14．已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为______．15．曲线C 是平面内到直线l 1：x ＝－1和直线l 2：y ＝1的距离之积等于常数k 2()k >0的点的轨迹．给出下列四个结论：①曲线C 过点(－1，1)；②曲线C 关于点(－1，1)对称；③若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，则||PA ＋||PB 不小于2k ；④设P 0为曲线C 上任意一点，则点P 0关于直线x ＝－1、点(－1，1)及直线y ＝1对称的点分别为P 1、P 2、P 3，则四边形P 0P 1P 2P 3的面积为定值4k 2.其中，所有正确结论的序号是__________________．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)已知f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0，3)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝2x ＋1. (Ⅰ)求y ＝f (x )的解析式；(Ⅱ)求y ＝f (x )的单调递增区间．17．(本题满分12分)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．(Ⅰ)求证：AB1⊥A1D；(Ⅱ)求点C到平面A1BD的距离；18.(本题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且过点(0，1)．(Ⅰ)求此椭圆的方程；(Ⅱ)已知定点E (－1，0)，直线y ＝kx ＋2与此椭圆交于C 、D 两点．是否存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．19．(本题满分13分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面边长均为2，侧棱长为1，点D 在棱A 1C 1上． (Ⅰ)若D 为A 1C 1的中点，求证：直线BC 1∥平面AB 1D ；(Ⅱ)设二面角A 1－AB 1－D 的平面角为θ，A 1D →＝λA 1C 1→(0<λ<1)，试探究当λ为何值时，能使tan θ＝2?抛物线P：x2＝2py上一点Q(m，2)到抛物线P的焦点的距离为3，A，B，C，D为抛物线上的四个不同的点，其中A、D关于y轴对称，D(x0，y0)，B(x1，y1), C(x2，y2)，－x0<x1<x0<x2，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线．(Ⅰ)求p的值；(Ⅱ)证明：∠CAD＝∠BAD；AD，△ABC的面积为48，求直线BC的方程．(Ⅲ)D到直线AB、AC的距离分别为m、n，且m＋n＝2||已知椭圆x 2＋y 24＝1的左、右两个顶点分别为A ，B .双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1. 设点P 在第一象限且在双曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T .(Ⅰ)设P, T 两点的横坐标分别为x 1，x 2，证明x 1² x 2＝1；(Ⅱ)设△TAB 与△POB (其中O 为坐标原点)的面积分别为S 1与S 2 ，且PA →²PB →≤15，求S 21－S 22的取值范围．湖南师大附中2015届高二第一学期第三次月考试题数学(理科)参考答案一、选择题 1．C 【解析】 f （x 0－m ）－f （x 0）3m ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3²f （x 0－m ）－f （x 0）－m ＝1－3² ⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x 0－m ）－f （x 0）－m ＝－1.2．A 【解析】因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，原方程可化为x 2cos θ＋y 2sin θcos θ＝1，又cos θ<0，sin θcos θ>0，故原方程表示焦点在y 轴上的双曲线．3．B 4.C5．D 【解析】因为当x ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫35x>1，即3x >5x，所以命题p 为真，从而綈p 为假．因为当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x －sin x ＝sin x （1－cos x ）cos x >0，即tan x >sin x ，所以命题q 为假．所以p ∧(綈q )为真，故选D.6．C 【解析】因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标F (1，0)，准线方程为x ＝－1，所以设P 到准线的距离为PB ，则PB ＝PF .P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离为PA ，所以PA ＋PB ＝PA ＋PF ≥FD ，其中FD 为焦点到直线4x －3y ＋6＝0的距离，所以FD ＝||4－0＋632＋42＝105＝2，所以距离之和最小值是2，选C.8．D 【解析】双曲线的右焦点为(4，0)，抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以p2＝4，即p ＝8.所以抛物线方程为y 2＝16x ，焦点F (4，0)，准线方程x ＝－4，即K (－4，0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 216，y ， 过A 做AM 垂直于准线于M ，由抛物线的定义可知|AM |＝|AF |，所以|AK |＝2|AF |＝2|AM |，即|AM |＝|MK |，所以y 216－(－4)＝y ，整理得y 2－16y ＋64＝0，即(y －8)2＝0，所以y ＝0，所以S △AFK ＝12|AF |y ＝12³8³8＝32，选A.二、填空题 9．x －3y ＋2＝0 10.332 【解析】因左顶点到右焦点的距离为9＞172，故点P 只能在右支上，所以||PF 1＝332为所求．11.12 12.6313.3＋1 【解析】因为∠PF 1F 2＝30°，PF 1⊥PF 2，所以||PF 2＝c ，||PF 1＝3c .由双曲线的定义可知，||PF 1－||PF 2＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以c a ＝23－1＝3＋1，即双曲线的离心率为3＋1.14．设底面边长为a ，则高h ＝SA 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝9－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝139a 4－12a 6，设y ＝9a 4－12a 6，则y ′＝36a 3－3a 5，当y 取最值时，y ′＝36a 3－3a 5＝0，解得a ＝0或a ＝23，故当a ＝23时，体积最大，此时高h ＝ 3.15．②③④ 【解析】设动点为(x ，y )，则由条件可知||x ＋1²||y －1＝k 2.①将(－1，1)代入得0＝k 2，所以不成立．故方程不过此点，所以①错．②把方程中的x 被－2－x 代换，y 被2－y 代换，方程不变，故此曲线关于(－1，1)对称．②正确．③由题意知点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在直线l 1，l 2上，则||PA ≥||x ＋1，||PB ≥||y －1，所以||PA ＋||PB ≥2||PA ||PB ＝2k ，故③正确．④由题意知点P在曲线C 上，根据对称性，则四边形P 0P 1P 2P 3的面积为2||x ＋1²2||y －1＝4||x ＋1²||y －1＝4k 2.所以④正确．综上所有正确结论的序号是②③④.三、解答题17．【解析】解法一：(Ⅰ)取BC 中点O ，连结AO .∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC . ∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥BD .连结B 1O ，在正方形BB 1C 1C 中，O ，D 分别为BC ，CC 1的中点，∴B 1O ⊥BD . ∴BD ⊥平面AB 1O .∴BD ⊥AB 1.(4分 )又在正方形ABB 1A 1中，AB 1⊥A 1B ，又BD ∩A 1B ＝B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD .∴AB 1⊥A 1D .(6分)(Ⅱ)△A 1BD 中，BD ＝A 1D ＝5，A 1B ＝22，∴S △A 1BD ＝6，S △BCD ＝1.在正三棱柱中，A 1到平面BCC 1B 1的距离为 3.(9分) 设点C 到平面A 1BD 的距离为d .由VA 1－BCD ＝VC －A 1BD 得13S △BCD ²3＝13S △A 1BD ²d ，(10分)∴d ＝3S △BCD S △A 1BD ＝22.∴点C 到平面A 1BD 的距离为22.(12分) 解法二：(Ⅰ)取BC 中点O ，连结AO . ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC .∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AD ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)，(4分)∴AB 1→＝(1，2，－3)，A 1D →＝(－1，－1，－3)． ∵AB 1→²A 1D →＝－1－2＋3＝0，∴AB 1→⊥A 1D →. ∴AB 1⊥A 1D .(6分)(Ⅱ)设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． A 1D →＝(－1，－1，－3)，BD →＝(－2，1，0)．∵n ⊥A 1D →，n ⊥BD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ²A 1D →＝0，n ²BD →＝0，∴⎩⎨⎧－x －y －3z ＝0，－2x ＋y ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝2x ，z ＝－3x .令x ＝1得n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量．(9分) ∵BC →＝(－2，0，0)，∴点C 到平面A 1BD 的距离d ＝||BC →²n n ＝||－222＝22.(12分)18．【解析】(Ⅰ)根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63b ＝1a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝1c 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(5分)(Ⅱ)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，由直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，解得k 2>1.(7分)设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1²x 2＝91＋3k2，假设存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过E 点，则EC →²ED →＝0， 即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，(9分)而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝9（k 2＋1）1＋3k 2－12k （2k ＋1）1＋3k2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2>1.(11分)所以存在k ＝76，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．(12分)(Ⅱ)法一：过点D 作DM ⊥A 1B 1于M ，则DM ⊥平面ABB 1A ，过点M 作MN ⊥AB 1于N ，连结DN ，则∠MND 为二面角A 1－AB 1－D 的平面角．(6分)过点A 1作A 1F ⊥AB 1于F ，因为A 1D →＝λA 1C 1→(0<λ<1)，则A 1M A 1B 1＝A 1D cos 60°A 1C 1＝λ2，DM ＝A 1D sin 60°＝62λ.(8分)因为A 1A ＝1，A 1B 1＝2，则AB 1＝3，所以A 1F ＝A 1A ³A 1B 1AB 1＝63.(9分)因为MN A 1F ＝MB 1A 1B 1＝A 1B 1－A 1M A 1B 1＝1－λ2，则MN ＝63⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2.(10分)所以tan θ＝DMMN＝62λ63⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2＝3λ2－λ.由已知，3λ2－λ＝2，则λ＝45. 故当λ＝45时，能使tan θ＝2.(13分)法二：以AB 的中点O 为原点，如图所示建立空间直角坐标系，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，1.(6分) 因为A 1D →＝λA 1C 1→(0<λ<1)，则点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62λ，λ－12，1.(7分) 设n 1＝(x ，y ，z )为平面AB 1D 的一个法向量， 由AD →²n 1＝0，B 1D →²n 1＝0，得n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3λλ－2，6λ2－λ.(9分)又n 2＝(1，0，0)为平面AA 1B 1的一个法向量，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1²n 2||n 1||n 2＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3λλ－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6λ2－λ2＝2－λ10λ2－4λ＋4.(10分) 因为tan θ＝2，则cos θ＝55，即cos 〈n 1，n 2〉＝55， 所以2－λ10λ2－4λ＋4＝55. 化简，得5λ2＋16λ－16＝0，即(5λ－4)(λ＋4)＝0.因为0<λ<1，则λ＝45.故当λ＝45时，能使tan θ＝2.(13分)21．【解析】(Ⅰ)设点P ()x 1，y 1，T ()x 2，y 2()x i >0，y i >0，i ＝1，2， 直线AP 的斜率为k (k >0)，则直线AP 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋y 24＝1，整理得(4＋k 2)x 2＋2k 2x ＋k 2－4＝0，解得x ＝－1或x ＝4－k 24＋k 2，故x 2＝4－k24＋k 2.同理可得x 1＝4＋k24－k2.所以x 1²x 2＝1.(Ⅱ)设点P (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)()x i >0，y i >0，i ＝1，2， 则PA →＝(－1－x 1，－y 1)，PB →＝(1－x 1，－y 1)．因为PA →²PB →≤15，所以(－1－x 1)(1－x 1)＋y 21≤15，即x 21＋y 21≤16.因为点P 在双曲线上，则x 21－y 214＝1，所以x 21＋4x 21－4≤16，即x 21≤4.因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，则1<x 1≤2.因为S 1＝12||AB ||y 2＝||y 2，S 2＝12||OB ||y 1＝12||y 1，所以S 21－S 22＝y 22－14y 21＝(4－4x 22)－(x 21－1)＝5－x 21－4x 22.由(Ⅰ)知，x 1² x 2＝1，即x 2＝1x 1.设t ＝x 21，则1<t ≤4，S 21－S 22＝5－t －4t.设f (t )＝5－t －4t ，则f ′(t )＝－1＋4t 2＝（2－t ）（2＋t ）t2， 当1<t <2时，f ′(t )>0，当2<t ≤4时，f ′(t )<0，所以函数f (t )在(1，2)上单调递增，在(]2，4上单调递减． 因为f (2)＝1，f (1)＝f (4)＝0，所以当t ＝4，即x 1＝2时，(S 21－S 22)min ＝f (4)＝0；当t ＝2，即x 1＝2时，(S 12－S 22)max ＝f (2)＝1，所以S 21－S 22的取值范围为[]0，1.。

2013年湖南师大附中理实班自主招生考试数学试卷（二）一、选择题：每小题4分，共32分．1．（4分）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果做了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差2．（4分）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元3．（4分）如图所示，是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个4．（4分）如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（）A．S B．S C．S D．S5．（4分）如图所示，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H 分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积是（）A．B．C．D．6．（4分）若关于x的不等式组有解，则函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或27．（4分）若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是二次函数y=ax2+bx+c（abc≠0）的图象上的两点，且y1=y2，则当x=x1+x2时，y的值为（）A．0 B．c C．﹣ D．8．（4分）如图所示，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（）A． B．C． D．二、填空题：每小题4分，共32分．9．（4分）计算：（a+b）÷•=．10．（4分）已知α、β是方程x2+（m﹣2）x+1=0两根，则（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值为．11．（4分）如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么这两条对角线的夹角是．12．（4分）某班级共48人，春游时到湖州太湖山庄划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金元．13．（4分）甲去上海进货，乙去广州进货，结果同样的衬衫共100件，都以每件a元的价格卖出，甲赚800元，乙赚1800元．若甲按乙的价格进原数量衬衫，乙按甲的价格进原数量衬衫，也都以每件a元的价格卖出，两个人赚钱一样多，则甲进件衬衫．14．（4分）以边长为7，24，25的三角形的最大角的顶点为圆心，画一个与最长边相切的圆，则圆的半径长为．15．（4分）已知二次函数y=ax2﹣4x+13a有最小值﹣24，则a=．16．（4分）方程的解是．三、解答题：每小题12分，共36分．17．（12分）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y 与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省最少运费为多少元？18．（12分）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=，x2=．∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？（4）如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：①这个图象所研究的矩形A的两边长为和；②满足条件的矩形B的两边长为和．19．（12分）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）2013年湖南师大附中理实班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共32分．1．（4分）（2013•湖南自主招生）为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果做了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．方差【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．【解答】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级的初中毕业联欢会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．故选：A．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．2．（4分）（2002•福州）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元【专题】压轴题．【分析】求出三角形地的面积即可求解．如图所示，作BD⊥CA于D点．在Rt△ABD中，利用正弦函数定义求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC=150°，∴∠DAB=30°，∵AB=20米，∴BD=20sin30°=10米，=×30×10=150（米2）．∴S△ABC已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要150a元．故选C．【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．3．（4分）（2013•湖南自主招生）如图所示，是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，则构成这个几何体的小正方体的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【分析】由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．【解答】解：由三视图易得最底层有6个正方体，第二层有2个正方体，那么共有6+2=8个正方体组成．故选：D．【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．4．（4分）（2013•湖南自主招生）如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，∠ADC=∠BCA，AC=6，DB=5，△ABC的面积是S，则△BCD的面积是（）A．S B．S C．S D．S【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵∠ADC=∠BCA，∠A是公共角，∴∠ABC=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，∴AC：AD=AB：AC，∵AB=AD+BD=AD+5，∴AD（AD+5）=36，解得AD=4或﹣9，负值舍去，∴AD=4，△ABC的面积是S，△ACD的面积就是S，△BCD的面积=S．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题的关键是求得△ACD∽△ABC．5．（4分）（2013•湖南自主招生）如图所示，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF +S△BFG）×2+S四边形EFGH．【解答】解：设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF +S△BFG）×2+S四边形EFGH，即：3a×5a=（2a×a÷2+a×4a÷2）×2+1，9a2=1，则a=（a＞0），故矩形的面积=3a×5a=．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形面积求法，本题从矩形的面积表示方法入手进行计算是解题关键．6．（4分）（2013•湖南自主招生）若关于x的不等式组有解，则函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣图象与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a的取值范围，然后求出函数y=（a﹣3）x2﹣x﹣的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x轴的交点个数．【解答】解：∵关于x的不等式组有解，∴3a﹣2＞a+2，即a＞2，令y=0，（a﹣3）x2﹣x﹣=0，△=（﹣1）2﹣4×（a﹣3）×（﹣）=a﹣2，∵a＞2，∴a﹣2＞0，∴函数图象与x轴的交点个数为2．当a=3时，函数变为一次函数，故有一个交点，故选D．【点评】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax2+bx+c的关系．7．（4分）（2013•湖南自主招生）若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是二次函数y=ax2+bx+c （abc≠0）的图象上的两点，且y1=y2，则当x=x1+x2时，y的值为（）A．0 B．c C．﹣ D．【分析】抛物线上，纵坐标相等的两点是对称点，其对称轴是两点横坐标的平均数，再与对称轴的公式比较可求x的值，代入函数解析式可求y的值．【解答】解：当y1=y2时，p1，p2是抛物线上关于对称轴对称的两点，此时，对称轴﹣=，即x=﹣，把x=﹣代入y=ax2+bx+c中，得y=c．故选B．【点评】本题运用了抛物线的对称性解题．8．（4分）（2013•湖南自主招生）如图所示，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（）A． B．C． D．【分析】连接OB、OC，过O作OD⊥BC于点D，则可知S=S△ABC，可知阴影△BOC部分面积=扇形OBC的面积，再计算扇形OBC的面积即可．【解答】解：连接OB、OC，过O作OD⊥BC于点D，∵BC∥OA，∴点A到BC的距离等于点O到BC的距离，=S△ABC，∴S△BOC∴阴影部分面积=扇形OBC的面积，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∵OA=2，OB=OC=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=60°，又BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，∴△BOC为等边三角形，∴BC=OA，∴扇形OBC的面积==，∴阴影部分面积为，故选B．【点评】本题考查扇形面积的计算，把所求面积化为扇形面积是解题的关键．二、填空题：每小题4分，共32分．9．（4分）（2013•湖南自主招生）计算：（a+b）÷•=﹣a．【专题】计算题；分式．【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=（a+b）••=﹣a．故答案为：﹣a【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．（4分）（2013•湖南自主招生）已知α、β是方程x2+（m﹣2）x+1=0两根，则（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值为4．【分析】根据所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化后即可得出答案．【解答】解：∵α、β是方程x2+（m﹣2）x+1=0两根，∴α+β=2﹣m，αβ=1，α2+（m﹣2）α+1=0，β2+（m﹣2）β+1=0，∴α2+mα+1=2α，β2+mβ+1=2β，∴（1+mα+α2）（1+mβ+β2）=2α•2β=4αβ=4，故答案为：4．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题．11．（4分）（2013•湖南自主招生）如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB、AC，那么这两条对角线的夹角是60°．【分析】连结BC，根据正方体和正方形的性质得到AB=AC=BC，再根据等边三角形的判定方法得△ABC为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．【解答】解：连结BC，如图，∵AB、AC和BC都是正方体的三个面的对角线，∴AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠CAB=60°．故答案为60°．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质：三条边都相等的三角形为等边三角形；等边三角形的三边相等，三个内角都等于60°．也考查了正方体与正方形的性质．12．（4分）（2013•湖南自主招生）某班级共48人，春游时到湖州太湖山庄划船，每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，则该班至少要花租金232元．【专题】优选方案问题．【分析】根据每只小船坐3人，租金16元，则合元/人；每只大船坐5人，租金24元，则合4.8元/人，要想花少的租金则要尽可能多的租大船，根据48=5×9+3可得需要租9条大船和1条小船，即可得需付租金．【解答】解：∵每只小船坐3人，租金16元，每只大船坐5人，租金24元，∴租小船合元/人；租大船合4.8元/人；那么要想花较少的租金就要尽可能多的租大船，∵48=5×9+3，∴需要租9条大船和1条小船，则需付租金=24×9+16×1=232（元）．故答案填：232．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键在于最省钱方案的选择，明确大船小船相对一个人的租金是解题的关键．13．（4分）（2013•湖南自主招生）甲去上海进货，乙去广州进货，结果同样的衬衫共100件，都以每件a元的价格卖出，甲赚800元，乙赚1800元．若甲按乙的价格进原数量衬衫，乙按甲的价格进原数量衬衫，也都以每件a元的价格卖出，两个人赚钱一样多，则甲进40件衬衫．【分析】根据题意可以得到甲的每件的利润和乙的每件的利润，从而可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．【解答】解：设甲进了x件衬衫，解得，x=40或x=﹣200（舍去）经检验x=40是原分式方程的根，故答案为：40．【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14．（4分）（2013•湖南自主招生）以边长为7，24，25的三角形的最大角的顶点为圆心，画一个与最长边相切的圆，则圆的半径长为．【分析】先根据勾股定理的逆定理得出边长为7，24，25的三角形是直角三角形，再利用切线的性质可知所求圆的半径长为最长边上的高，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵72+242=252，∴这个三角形是直角三角形，最长边是25，∴画一个与最长边相切的圆，则圆的半径长为最长边上的高，∵最长边上的高为：7×24÷25=，故答案为．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，切线的性质，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长．15．（4分）（2013•湖南自主招生）已知二次函数y=ax2﹣4x+13a有最小值﹣24，则a=．【分析】先根据二次函数有最小值确定出a＞0，再根据最值公式列方程求解即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣4x+13a有最小值﹣24，∴a＞0，y min====﹣24，整理得，13a2+24a﹣4=0，解得a1=﹣2（舍去），a2=．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，通常有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．16．（4分）（2013•湖南自主招生）方程的解是x=﹣5.5．【专题】计算题．【分析】先将方程变形为，﹣=﹣，根据左右两边分别通分，整理求得结果即可．【解答】解：原方程变形为：﹣=﹣，去分母，得（x+2）（x+3）=（x+8）（x+9），整理，得12x+66=0，解得x=﹣5.5，经检验，x=﹣5.5是原方程的解．故答案为：﹣5.5．【点评】本题考查了解分式方程，注：将分母小的移到一边，分母大的移到一边，通分后即可找到规律．三、解答题：每小题12分，共36分．17．（12分）（2003•广州）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y 与x之间的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省最少运费为多少元？【专题】压轴题．【分析】（1）总费用=0.6×A型车厢节数+0.8×B型车厢节数．（2）应分别表示出两类车厢能装载的甲乙两种货物的质量．35×A型车厢节数+25×B型车厢节数≥1240；15×A型车厢节数+35×B型车厢节数≥880．（3）应结合（1）的函数，（2）的自变量的取值来解决．【解答】解：（1）6000元=0.6万元，8000元=0.8万元，设用A型车厢x节，则用B型车厢（40﹣x）节，总运费为y万元，依题意，得y=0.6x+0.8（40﹣x）=﹣0.2x+32；（2）依题意，得化简，得，即，∴24≤x≤26，∵x取整数，故A型车厢可用24节或25节或26节，相应有三种装车方案：①24节A型车厢和16节B型车厢；②25节A型车厢和15节B型车厢；③26节A型车厢和14节B型车厢．（3）由函数y=﹣0.2x+32知，x越大，y越少，故当x=26时，运费最省，这时y=﹣0.2×26+32=26.8（万元）答：安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省，最小运费为26.8万元．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组．18．（12分）（2013•湖南自主招生）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=2，x2=．∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？（4）如图，在同一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形B的两边长，请你结合刚才的研究，回答下列问题：①这个图象所研究的矩形A的两边长为1和8；②满足条件的矩形B的两边长为和．．【专题】开放型．【分析】（1）用解一元二次方程的方法求一元二次方程的根即可；（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简再根据方程的判别式解答即可；（3）同（2）；（4）由图可知，一次函数解析式为y=﹣x+4.5，反比例函数解析式为y=，组成方程组，消去y求出方程的根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出m，n 的值即可．同理可求出满足条件的矩形B的两边长．【解答】解：（1）解此方程得．x1=2和x2=；（2）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣3x+2=0，∵△=9﹣16＜0，∴不存在矩形B．（3）满足（m+n）2﹣8mn≥0时，矩形B存在．由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn=0，∴△=（m+n）2﹣8mn≥0．（4）①1和8．由图可知，一次函数解析式为y=﹣x+4.5，反比例函数解析式为y=，组成方程组得到，整理得x2﹣4.5x+4=0，∴x1+x2=4.5，x1x2=4，于是，得或，②和．由题意知，解得，或．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根；（4）若一元二次方程有实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．19．（12分）（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）【专题】压轴题．【分析】（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）．三角形OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．【解答】解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC∴，∴FG==3cm∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC∴OP∥AC∴x==×3=1.5（s）∴当x为1.5s时，OP∥AC．（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm∵EG∥AH∴△EFG∽△AFH∴∴AH=（x+5），FH=（x+5）过点O作OD⊥FP，垂足为D∵点O为EF中点∴OD=EG=2cm∵FP=3﹣x∴S=S△AFH﹣S△OFP四边形OAHP=•AH•FH﹣•OD•FP=•（x+5）•（x+5）﹣×2×（3﹣x）=x2+x+3（0＜x＜3）．（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24 =×S△ABC则S四边形OAHP∴x2+x+3=××6×8∴6x2+85x﹣250=0解得x1=，x2=﹣（舍去）∵0＜x＜3∴当x=（s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24．【点评】本题是比较常规的动态几何压轴题，第1小题运用相似形的知识容易解决，第2小题同样是用相似三角形建立起函数解析式，要说的是本题中说明了要写出自变量x的取值范围，而很多试题往往不写，要记住自变量x的取值范围是函数解析式不可分离的一部分，无论命题者是否交待了都必须写，第3小题只要根据函数解析式列个方程就能解决．参与本试卷答题和审题的老师有：sjzx；Liuzhx；lanyan；王学峰；sd2011；CJX；zhangCF；Ldt；sks；守拙；110397；zgm666；HJJ；星期八；bjy；zhjh；lanchong；郝老师；蓝月梦；MMCH（排名不分先后）菁优网2017年3月20日。

2014·湖南卷(理科数学)1．[2014·湖南卷] 满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( )A.12＋12iB.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i1．B [解析] 因为z ＋i z ＝i ，则z ＋i ＝z i ，所以z ＝ii －1＝i （－1－i ）（i －1）（－1－i ）＝1－i 2.2．[2014·湖南卷] 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2＜p 3B ．p 2＝p 3＜p 1C ．p 1＝p 3＜p 2D ．p 1＝p 2＝p 32．D [解析] 不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为nN.3．[2014·湖南卷] 已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．C [解析] 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.4．[2014·湖南卷] ⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．204．A [解析] 由题意可得通项公式T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫12x 5－r (－2y )r ＝C r 5⎝⎛⎭⎫125－r (－2)r x 5－r y r ，令r＝3，则C r 5⎝⎛⎭⎫125－r (－2)r ＝C 35×⎝⎛⎭⎫122×(－2)3＝－20.5．[2014·湖南卷] 已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ，命题q ：若x ＞y ，则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5．C [解析] 依题意可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题．由真值表可知p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∧(綈q )为真，(綈p )∨q 为假．6．[2014·湖南卷] 执行如图1-1所示的程序框图．如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4，5]D ．[－3，6]6．D [解析] (特值法)当t ＝－2时，t ＝2×(－2)2＋1＝9，S ＝9－3＝6，所以D 正确． 7．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打A ．1B ．2C ．3D ．47．B [解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得r ＝6＋8－102＝2.8．[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－18．D [解析] 设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1. 9．[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且 ∫2π30f(x)d x ＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是( ) A ．x ＝5π6 B ．x ＝7π12C ．x ＝π3D ．x ＝π69．A [解析] 因为∫2π30f(x)d x ＝0，即∫2π30f(x)d x ＝－cos (x －φ)2π30＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－φ＋cos φ＝0，可取φ＝π3，所以x ＝5π6是函数f(x)图像的一条对称轴．10．、[2014·湖南卷] 已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1e) B ．(－∞，e)C.⎝⎛⎭⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎫－e ，1e10．B [解析] 依题意，设存在P (－m ，n )在f (x )的图像上，则Q (m ，n )在g (x )的图像上，则有m 2＋e －m －12＝m 2＋ln(m ＋a )，解得m ＋a ＝ee －m －12，即a ＝ee －m －12－m (m ＞0)，可得a ∈(－∞，e)．(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分)11．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．11．ρcos θ－ρsin θ＝1 [解析] 依题意可设直线l ：y ＝x ＋b ，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.由|AB |＝2可知圆心(2，1)在直线l ：y ＝x ＋b 上，即l ：y ＝x －1，所以l 的极坐标方程是ρcos θ－ρsin θ－1＝0.12．[2014·湖南卷] 如图1-3所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于12.32[解析] 设圆的半径为r ，记AO 与BC 交于点D ，依题可知AD ＝1.由相交弦定理可得1×(2r －1)＝2×2，解得r ＝32.13．[2014·湖南卷] 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －53＜x ＜13，则a ＝________．13．－3 [解析] 依题意可得－3＜ax －2＜3，即－1＜ax ＜5 ，而－53＜x ＜13，即－1＜－3x ＜5，所以a ＝－3.(二)必做题(14～16题)14．[2014·湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.14．－2 [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.15．[2014·湖南卷] 如图1-4，的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba＝________．15．1＋2 [解析] 依题意可得C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a ，F ⎝⎛⎭⎫a2＋b ，b ，代入抛物线方程得a ＝p ，b 2＝2a ⎝⎛⎭⎫a 2＋b ，化简得b 2－2ab －a 2＝0，即 b a 2－2⎝⎛⎭⎫b a －1＝0，解得ba ＝1＋ 2. 16．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．16．1＋7 [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA ＋OB ＋OD ＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA ＋OB ＋OD |2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin (α＋φ)，所以(|OA →＋OB →＋OD →|2)max ＝8＋27，即|OA →＋OB →＋OD →|max ＝7 ＋1. 17．、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率．(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．17．解：记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25，数学期望为E (X )＝0×215＋100×15＋120×415＋220×25＝300＋480＋132015＝210015＝140.18．、[2014·湖南卷] 如图1-5AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．18．解：(1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.(2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD .因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217， sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD sin ∠CAD＝32114×277－⎝⎛⎭⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝ACsin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA ＝7×32216＝3.19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1­OB 1­D 的余弦值．19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC .同理DD 1⊥BD . 因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD .而AC ∩BD ＝O ，因此CC 1⊥底面ABCD . 由题设知，O 1O ∥C 1C .故O 1O ⊥底面ABCD .(2)方法一： 如图(a)，过O 1作O 1H ⊥OB 1于H ，连接HC 1.由(1)知，O 1O ⊥底面ABCD O 1O ⊥A 1C 1.又因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，因此A 1C 1⊥B 1D 1，从而A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，所以A 1C 1⊥OB 1，于是OB 1⊥平面O 1HC 1. 进而OB 1⊥C 1H .故∠C 1HO 1是二面角C 1­OB 1­D 的平面角．不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7.在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2＝1＋127＝197.故cos ∠C 1HO 1＝O 1HC 1H ＝237197＝25719.即二面角C 1­OB 1­D 的余弦值为25719.方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O ­xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)．易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1­OB 1­D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是cos θ＝|cos 〈，〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故二面角C 1­OB 1­D 的余弦值为25719.20．、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．20．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n .而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝⎛⎭⎫122n ＝（－1）2n ＋122n.④由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n 2n －1＝1＋12·1－⎝⎛⎭⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 21．、、、[2014·湖南卷] 如图1-7，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．21．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 1x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧y ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2. 22．、[2014·湖南卷] 已知常数a ＞0，函数f (x )＝ln(1＋ax )－2xx ＋2.(1)讨论f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)＞0，求a 的取值范围．22．解：(1)f ′(x )＝a1＋ax －2（x ＋2）－2x （x ＋2）2＝ax 2＋4（a －1）（1＋ax ）（x ＋2）2.(*)当a ≥1时，f ′(x )>0，此时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． 当0<a <1时，由f ′(x )＝0得x 1＝21－a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝－21－a a 舍去.当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，x 1)上单调递减， 在区间(x 1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，21－a a 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a a ，＋∞上单调递增．(2)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0<a <1.又f (x )的极值点只可能是x 1＝21－a a 和x 2＝－21－aa，且由f (x )的定义可知，x >－1a且x ≠－2，所以－21－a a >－1a ，－21－a a ≠－2，解得a ≠12.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而f (x 1)＋f (x 2)＝ln(1＋ax 1)－2x 1x 1＋2＋ln(1＋ax 2)－2x 2x 2＋2＝ln[1＋a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－4x 1x 2＋4（x 1＋x 2）x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝ln(2a －1)2－4（a －1）2a －1＝ln(2a －1)2＋22a －1－2.令2a －1＝x .由0<a <1且a ≠12知，当0<a <12时，－1<x <0；当12<a <1时，0<x ＜1. 记g (x )＝ln x 2＋2x－2.(i)当－1<x <0时，g (x )＝2ln(－x )＋2x －2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(－1，0)上单调递减， 从而g (x )<g (－1)＝－4<0.故当0<a <12时，f (x 1)＋f (x 2)<0.(ii)当0<x <1时，g (x )＝2ln x ＋2x－2，所以g ′(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2<0，因此，g (x )在区间(0，1)上单调递减，从而g (x )>g (1)＝0.故当12<a <1时，f (x 1)＋f (x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.。

2014年湖南师大附中理科实验班数学测试 初试卷学校:__________________ 姓名:__________________ 电话:__________________一、选择题(8小题, 每小题2分, 共16分)1.如图, 体育课上, 小君的铅球成绩为5.6 m, 他投出的铅球落在 ( )A. 区域①B. 区域②C. 区域③D. 区域④2.如果实数x 满足(2)50x x +-=, 那么代数式243[1](1)1x x x x ++÷--的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 63.如图, 数轴上A , B 两点表示之间表示整数的点共有 ( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个4.下列命题正确的个数是 ( )①若代数式有意义, 则x 的取值范围为x ≤1且x ≠0. ②2013年长沙市上半年完成生产总值(GDP)3235.97亿元, 保留五个有效数字用科学记数法表示为3.2360×103元. ③若反比例函数m y x= (m 为常数), 当x >0时, y 随x 增大而增大, 则一次函数y =﹣2x+m 的图象一定不经过第一象限.④若函数的图象关于y 轴对称, 则函数称为偶函数, 下列三个函数: y =3, y =2x +1, y=x 2中偶函数的个数为1个.A. 0B. 1C. 2D. 35.如图, 将面积为5的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置, 平移的距离是边BC 长的两倍, 那么图中的四边形ACED 的面积为 ( )A. 10B. 15C. 20D. 256.观察下列等式: 31＝3, 32＝9, 33＝27, 34＝81, 35＝243, 36＝729, 37＝2187…解答下列问题: 3＋32＋33＋34…＋32014的末位数字是 ( )A. 2B. 3C. 7D. 97.由数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成无重复数字的三位偶数有 ( )A. 36个B. 52个C. 100个D. 120个8.如图, 在平面直角坐标系中, Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上,顶点B 的坐标为(3, 点C 的坐标为(12, 0), 点P 为斜边OB 上的一动点, 则PA ＋PC 的最小值为 ( )A.B. C.二、填空题(6小题, 每小题3分, 共18分)1.已知3,1a b ab +=-=-, 则22______a b -=.2.已知a , b 可以取﹣2,﹣1, 1, 2中任意一个值(a ≠b ), 则直线y=ax+b 的图象经过第四象限的概率是______.3.如图, 直线l 1∥l 2∥l 3, 点A , B , C 分别在l 1, l 2, l 3上. 若∠1=70°, ∠2=40°,则∠ABC=______.4.如图, 王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时, 测得影子CD 的长为1米, 继续往前走3米到达E 处时, 测得影子EF 的长为2米,已知王华的身高是1.5米, 那么路灯A 的高度AB 等于______.5.如图, 直线y x t =+和抛物线2y x bx c =++相交于(1,0),(4,3)A B 两点,则t 的值为______, 不等式2(1)0x b x c t +-+->的解集为______.6.如图, 将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起, 其中∠ACB =∠E =90°, BC =DE =6, AC =FE =8,顶点D 与边AB 的中点重合, DE ⊥AB 交AC 于点H , DF 交AC 于点G , 则重叠部分(△DGH )的面积为______.三、解答题(4小题, 每小题9分, 共36分)1.观察分析下列方程: ①23x x +=, ②65x x +=, ③ 127x x+=, …, 请利用它们所蕴含的规律, 求关于x 的方程22242n n x n x ++=+-(n 为正整数)的根.2.如图, AB 是⊙O 的直径, 点C 在⊙O 上, 点P 是直径AB 上的一点(不与A , B 重合). 过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q .(1) 在线段PQ 上取一点D , 使DQ=DC , 连接DC , 试判断CD 与⊙O 的位置关系, 并说明理由.(2) 若3cos 5B , BP =6, AP =1, 求QC 的长.3.佳乐和佩怡两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券, 各自设计了一种方案.佳乐: 如图, 设计了一个可以自由转动的转盘, 随意转动转盘, 指针指向阴影区域时, 佳乐得到入场券, 否则佩怡得到入场券.佩怡: 将三个完全相同的小球分别标上数字1, 2, 3后放入一个不透明的袋子中, 从中随机取出一个小球, 然后放回袋子, 混合均匀后, 再随机取出一个小球, 若两次取出的小球上的数字之和为偶数, 佩怡得到入场券, 否则佳乐得到入场券. 请你运用所学的概率知识, 分析佳乐和佩怡的设计方案对双方是否公平?4.我们知道, 经过原点的抛物线解析式可以是y＝ax2＋bx(a≠0).(1) 对于这样的抛物线: 当顶点坐标为(1, 1)时, a＝______;当顶点坐标为(m, m), m≠0时, a与m之间的关系式是______;(2) 如果b≠0, 且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx (k≠0)上, 请用含k的代数式表示b;(3) 现有一组过原点的抛物线, 顶点A1, A2, …, A n在直线y＝x, 横坐标依次为1, 2, …, n (n为正整数, 且n为正整数, 且n≤12), 分别过每个顶点作x轴的垂线, 垂足记为B1, B2, …, B n, 以线段A n B n为边向右作正方形A n B n C n D n. 若这组抛物线中有一条经过点D n, 求所有满足条件的正方形边长.2014年湖南师大附中理科实验班数学测试数学测试 复试卷 学校:__________________ 姓名:__________________ 电话:__________________一、填空题(5小题, 每小题3分, 共15分)1.若|m|, |n|是直角三角形的两条直角边, 则这个直角三角形的斜边长为______, 其中m , n 满2|24|(34)42m n m m -+-=-.2.已知实数对(,)x y 满足方程22(2)3x y -+=, 记y x的最小值, 最大值分别为,a b , 则22______a b +=.3.若任取n 个整数, 必能从中取出3个数, 它们的和能被3整除, 则n 的最小值是______.4.设[]x 表示不超过实数x 的最大整数, 比如[2.1]2,[1]1==. 若实数a 满足53a a -=, 则[]______a =. 5.如图, 在梯形ABCD 中, 1//,,3DC DC AB MN AB =为中位线, //EF AB 且通过AC 与BD 的交点, 点,E F 分别在,AD BC 上. 则梯形CDEF , 梯形FEMN , 梯形NMAB 面积的连比等于______.三、解答题(4小题, 共35分)1.(8分)如图, 在ABC ∆中, BAC ACB ∠=∠. ,M N 分别是边BC BAM CAN ∠=∠, 并且AMN MAN ∠=∠. 求MAC ∠.2.(9分)若干个人相聚, 其中有些人彼此认识, 已知:(1) 如果某两个人有相等数目的熟人, 则他俩没有公共的熟人;(2) 有一个人至少有56个熟人.证明: 可找出一个聚会者, 他恰好有56个熟人.3.(9分)已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与一次函数y x =的图象两个交点的横坐标为12,x x , 且1210x x a<<<. (1) 试用12,,a x x 表示,b c ;(2) 若10t x <<, 当x t =时, 二次函数的值记为()f t , 证明: 1()t f t x <<.4.(9分)已知有正整数k , 使得871513n n k <<+成立. 求正整数n 的最小值.2014年湖南师大附中理科实验班数学测试卷 初试答案学校:__________________ 姓名:__________________ 电话:__________________一、选择题(8小题, 每小题2分, 共16分)1.如图所示, 体育课上, 小君的铅球成绩为5.6 m, 他投出的铅球落在 ( )A. 区域①B. 区域②C. 区域③D. 区域④分析: C.2.如果实数x 满足(2)50x x +-=, 那么代数式243[1](1)1x x x x ++÷--的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 6分析: C. 22222432112151[1]3(1)1(1)32353x x x x x x x x x x x x x +++-++++÷=⋅===---++--. 3.如图, 数轴上A , B 两点表示之间表示整数的点共有( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个分析: B.4.下列命题正确的个数是 ( )①若代数式2x x-有意义, 则x 的取值范围为x ≤1且x ≠0. ②2013年长沙市上半年完成生产总值(GDP)3235.97亿元, 保留五个有效数字用科学记数法表示为3.2360×103元. ③若反比例函数m y x= (m 为常数), 当x >0时, y 随x 增大而增大, 则一次函数y =﹣2x+m 的图象一定不经过第一象限.④若函数的图象关于y 轴对称, 则函数称为偶函数, 下列三个函数: y =3, y =2x +1, y=x 2中偶函数的个数为1个.A. 0B. 1C. 2D. 3分析: A.5.如图, 将面积为5的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置, 平移的距离是边BC 长的两倍, 那么图中的四边形ACED 的面积为 ( )A. 10B. 15C. 20D. 25分析: B.6.观察下列等式: 31＝3, 32＝9, 33＝27, 34＝81, 35＝243, 36＝729, 37＝2187…解答下列问题: 3＋32＋33＋34…＋32014的末位数字是 ( )A. 2B. 3C. 7D. 9分析: A. ∵31＝3, 32＝9, 33＝27, 34＝81, 35＝243, 36＝729, 37＝2187…∴末尾数, 每4个一循环,∵2014÷4＝503…2,7.由数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成无重复数字的三位偶数有 ( )A. 36个B. 52个C. 100个D. 120个分析: B.8.如图, 在平面直角坐标系中, Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上,顶点B 的坐标为(3, 点C 的坐标为(12, 0), 点P 为斜边OB 上的一动点, 则PA ＋PC 的最小值为 ( )A. B. C.分析: B. 如图, 作A 关于OB 的对称点D , 连接CD 交OB 于P , 连接AP , 过D 作DN ⊥OA 于N , 则此时PA ＋PC 的值最小, 求出AM , 求出AD , 求出DN 、CN , 根据勾股定理求出CD , 即可得出答案.如图, 作A 关于OB 的对称点D , 连接CD 交OB 于P , 连接AP , 过D作DN ⊥OA 于N , 则此时PA ＋PC 的值最小.∵DP =PA , ∴PA ＋PC =PD ＋PC =CD .∵B (3, ∴AB OA =3, ∠B =60°. 由勾股定理得: OB由三角形面积公式得:12×OA ×AB =12×OB ×AM , 即12×12×AM , ∴AM =32, ∴AD =2×32=3. ∵∠AMB =90°, ∠B =60°, ∴∠BAM =30°, ∵∠BAO =90°, ∴∠OAM =60°.∵DN ⊥OA , ∴∠NDA =30°, ∴AN =12×AD =32. 由勾股定理得: DN ∵C (12, 0), ∴CN =3－12－32=1.在Rt △DNC 中, 由勾股定理得: DC 2. 即PA ＋PC 的最小值是2. 二、填空题(6小题, 每小题3分, 共18分)1.已知3,1a b ab +=-=-, 则22______a b -=.分析: 22|||()()|3||a b a b a b a b -=+-=-, ||a b -===所以2||a b -=, 则22a b -=-2.已知a , b 可以取﹣2,﹣1, 1, 2中任意一个值(a ≠b ), 则直线y=ax+b 的图象经过第四象限的概率是______.分析: 列表得出所有等可能的结果数, 找出a 与b 都为正数,为直线y=ax+b 不经过第四象限的情况数, 即可求出不经过第四象限的概率, 进而求出经过第四象限的概率. 所有等可能的情况数有12种, 其中直线y=ax+b 不经过第四象限情况数有2种, 则251126P =-=.3.如图, 直线l 123123则∠ABC=______.分析: 110°.4.如图, 王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时, 测得影子CD 的长为1米,继续往前走3米到达E 处时, 测得影子EF 的长为2米, 已知王华的身高是1.5米, 那么路灯A 的高度AB 等于______.分析: 6米. 由中心投影知△GCD ∽△ABD , △EFH ∽△BFA ,∴BD CD ＝AB CG , BF EF ＝ABEH . ∴BD 1＝AB 5.1, BF 2=AB 5.1. ∴BF 2＝BD 1, 即BC +52＝BC +11. 解得BC ＝3. ∴AB 5.1＝82, 解得AB ＝6.5.如图, 直线y x t =+和抛物线2y x bx c =++相交于(1,0),(4,3)A B 两点,则t 的值为______, 不等式2(1)0x b x c t +-+->的解集为______.分析: 把(1,0)A 代入y x t =+得1t =-.不等式2(1)0x b x c t +-+->等价于2x bx c x t ++>+. 由图象观察可知, 当14x x <>或时, 抛物线2y x bx c =++的图象位于直线y x t =+的上方, 所以此时2x bx c x t ++>+.6.如图, 将两块全等的直角三角形纸片△ABC 和△DEF 叠放在一起, 其中∠ACB =∠E =90°, BC =DE =6, AC =FE =8,顶点D 与边AB 的中点重合, DE ⊥AB 交AC 于点H , DF 交AC 于点G , 则重叠部分(△DGH )的面积为______. 分析: ∵△ABC ≌△FDE, ∴∠B=∠1∵∠C=90°, ED ⊥AB, ∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,∴∠B=∠2, ∴∠1=∠2 ∴GH=GD∵∠A+∠2=90°, ∠1+∠3=90° ∴∠A=∠3, ∴AG=GD, ∴AG=GH ∴点G 是AH 的中点. 在Rt △ABC 中, AB= 10 ∵D 是AB 的中点, ∴AD=12AB=5 在△ADH 与△ACB 中, ∵∠A =∠A, ∠ADH=∠ACB=90°,∴△ADH ∽△ACB, ∴AD DH AC CB =, 586DH =, ∴154DH =, ∴S △DGH ＝12S △ADH ＝12×12×DH·AD=14×154×5=7516.三、解答题(4小题, 每小题9分, 共36分)1.观察分析下列方程: ①23x x +=, ②65x x +=, ③ 127x x+=, …, 请利用它们所蕴含的规律, 求关于x 的方程22242n n x n x ++=+-(n 为正整数)的根. 分析: 由①, 得方程的根为x ＝1或x ＝2; 由②, 得方程的根为x ＝2或x ＝3; 由③, 得方程的根为x ＝3或x ＝4. ∴方程ab x a b x+=+(,a b 为正整数)的根为x ＝a 或x ＝b . ∴22242n n x n x ++=+-可化为(2)(2)(2)2n n x n n x +-+=++-. ∴此方程的根为2x n -=或22x n -=+, 即2x n =+或4x n =+.2.如图, AB 是⊙O 的直径, 点C 在⊙O 上, 点P 是直径AB 上的一点(不与A , B 重合). 过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q .(1) 在线段PQ 上取一点D , 使DQ=DC , 连接DC , 试判断CD 与⊙O的位置关系, 并说明理由.(2) 若3cos 5B =, BP =6, AP =1, 求QC 的长. 分析: (1) CD 是⊙O 的切线, 理由如下:连接OC . 因为OC=OB , 所以1B ∠=∠.因为DC=DQ , 所以2Q ∠=∠. 于是12B Q ∠+∠=∠+∠.又因为PQ AB ⊥, 所以90B Q ∠+∠=, 则1290∠+∠=.所以(12)90DCO QCB ∠=∠-∠+∠=, 即有OC DC ⊥, 故CD 是⊙O 的切线.(2) 连AC. 因为AB 是⊙O 的直径, 所以90ACB ∠=.在Rt ABC ∆中, 321cos ()cos (16)55BC AB B AP BP B ==+=+⨯=. 在Rt BPQ ∆中, 5610cos 3BP BQ B ==⨯=. 所以21291055QC BQ BC =-=-=. 3.佳乐和佩怡两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券, 各自设计了一种方案.佳乐: 如图所示, 设计了一个可以自由转动的转盘, 随意转动转盘, 指针指向阴影区域时, 佳乐得到入场券, 否则佩怡得到入场券.佩怡: 将三个完全相同的小球分别标上数字1, 2, 3后放入一个不透明的袋子中, 从中随机取出一个小球, 然后放回袋子, 混合均匀后, 再随机取出请你运用所学的概率知识, 分析佳乐和佩怡的设计方案对双方是否公平?分析: 佳乐设计的方案:P (佳乐得到入场券)＝()36070100360+-＝3619, P (佩怡得到入场券)＝36070100+＝3617. ∵3619＞3617, ∴佳乐设计方案不公平. 佩怡设计的方案列表如右:∴P (佩怡得到入场券)＝P (和为偶数)＝95, P (佳乐得到入场券)＝P (和不是偶数)＝94. ∵95＞94, ∴佩怡设计的方案也不公平. 4.我们知道, 经过原点的抛物线解析式可以是y ＝ax 2＋bx (a ≠0).(1) 对于这样的抛物线: 当顶点坐标为(1, 1)时, a ＝______;当顶点坐标为(m , m ), m ≠0时, a 与m 之间的关系式是______;(2) 如果b ≠0, 且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kx (k ≠0)上, 请用含k 的代数式表示b ;(3) 现有一组过原点的抛物线, 顶点A 1, A 2, …, A n 在直线y ＝x , 横坐标依次为1, 2, …, n (n 为正整数, 且n 为正整数, 且n≤12), 分别过每个顶点作x 轴的垂线, 垂足记为B 1, B 2, …, B n , 以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n . 若这组抛物线中有一条经过点D n , 求所有满足条件的正方形边长.分析: (1) 当顶点坐标为(1, 1)时, a ＝－1;当顶点坐标为(m , m ), m ≠0时, a 与m 之间的关系式是1a m=-. (2) 设抛物线的顶点的坐标为(m , km ), 则222()2y a x m km ax amx am km =-+=-++.对照y ＝ax 2＋bx , 可得20,2.am km b am ⎧+=⎨=-⎩ 由此得到b ＝2k . (3) 正方形的顶点D 1, D 2, …, D n 的坐标分别为(2, 1)、(4, 2)、(6, 3)、(8, 4)、(10, 5)、(12, 6)、(14, 7)、(16, 8)、(18, 9)、(20, 10)、(22, 11)、(24, 12), 这些点在直线12y x =上.由(1)知, 当抛物线的顶点(m , m )在直线y ＝x 上时, 1a m =-. 根据抛物线的对称性, 抛物线与x 轴的交点为原点O 和(2m , 0).所以顶点为(m , m )的抛物线的解析式为1(2)y x x m m=--. 联立12y x =和1(2)y x x m m =--, 可得点D 的坐标为33(,)24m m . 当m 分别取正整数4、8、12时, 对应的点D 为D 3(6, 3)、D 6(12, 6)、D 9(18, 9), 它们所对应的正方形的边长分别为3、6、9.2014年湖南师大附中理科实验班数学复试卷答案学校:__________________ 姓名:__________________ 电话:__________________一、填空题(5小题, 每小题3分, 共15分)1.若|m|, |n|是直角三角形的两条直角边, 则这个直角三角形的斜边长为______, 其中m , n 满2|24|(34)42m n m m -+-=-.分析:53.2.已知实数对(,)x y 满足方程22(2)3x y -+=, 记y x 的最小值, 最大值分别为,a b , 则22______a b +=.分析: 令y tx =. 则22(1)410t x x +-+=.由2222(4)4(1)06t t a b ∆=--+≥⇒≤+=.3.若任取n 个整数, 必能从中取出3个数, 它们的和能被3整除, 则n 的最小值是______.分析: 5. 一方面, 0, 1, 2, 3这4个数中任取3个的和不被3整除.另一方面, 整数除以3, 余数有3类, 即0, 1, 2. 任何5个整数, 如果有3个除以3余数在同一类, 它们的和可以被3整除. 否则5个数中至少有3个数除以3, 余数互不相同, 它们的和被3整除.4.设[]x 表示不超过实数x 的最大整数, 比如[2.1]2,[1]1==. 若实数a 满足53a a -=, 则[]______a =.分析: 原方程等价于253a a -+=, 03a a <≥或.设0x =, 则2450x x +-=, 解得121,5x x ==-(舍去).于是2121310a a a a =⇒--=⇒== 故[]13a =-或.5.如图, 在梯形ABCD 中, 1//,,3DC DC AB MN AB =为中位线, //EF AB 且通过AC 与BD 的交点, 点,E F 分别在,AD BC 上. 则梯形CDEF , 梯形FEMN , 梯形NMAB 面积的连比等于______. 分析: 5:7:20. 易证梯形CDEF 梯形NMAB , 梯形CDMN 梯形FEAB .设1DC =, 则1133,(13)2,(12)222AB MN EF ==+==+=. 设梯形CDEF 的面积为1, 则梯形NMAB 的面积为4. 再设梯形FEMN 的面积为x , 注意到23MN AB =, 由梯形CDMN 梯形FEAB 得: 21247()4395x x x +==⇒=+. 所以梯形CDEF , 梯形FEMN , 梯形NMAB 的面积的连比为71::45:7:205=. 三、解答题(4小题, 共35分)1.(8分)如图, 在ABC ∆中, BAC ACB ∠=∠. ,M N 分别是边BC 上两点BAM CAN ∠=∠, 并且AMN MAN ∠=∠. 求MAC ∠. 分析: 设BAM x ∠=, 则2MAN BAC x ∠=∠-. 又(180)1802MAN AMN B x BAC ACB x BAC x ∠=∠=∠+=-∠-∠+=-∠+, 于是2180260BAC x BAC x BAC x ∠-=-∠+⇒∠=+.所以60MAC BAC BAM ∠=∠-∠=.2.(9分)若干个人相聚, 其中有些人彼此认识, 已知:(1) 如果某两个人有相等数目的熟人, 则他俩没有公共的熟人;(2) 有一个人至少有56个熟人.证明: 可找出一个聚会者, 他恰好有56个熟人.分析: 考虑聚会者中熟人最多的人(如果不止一个, 则任取其中之一), 记为A . 设A 认识了n 个人12,,,n B B B .由于任意两人,i j B B 都以A 为共同熟人, 由条件(1)知,i j B B 熟人的数目不相等,于是, 12,,,n B B B 各人的熟人数互不相等, 且均不超过n (根据n 的最大性),因此, 必然是1,2,,n .再根据条件(2)知56n ≥. 因此1,2,,n 中包含着56, 即12,,,n B B B 中必有人恰好认识56人.3.(9分)已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与一次函数y x =的图象两个交点的横坐标为12,x x , 且1210x x a<<<. (1) 试用12,,a x x 表示,b c ;(2) 若10t x <<, 当x t =时, 二次函数的值记为()f t , 证明: 1()t f t x <<.分析: (1) 由已知得2ax bx c x ++=, 即2(1)0ax b x c +-+=, 其两根分别为12,x x . 则12121,b c x x x x a a-+=-=, 于是1212()1,b a x x c ax x =-++=. (2) 当10t x <<时, 有2212()(1)()()f t t at bt c t at b t c a t x t x -=++-=+-+=--. 由120,0t x x a <<<>得, 12()()0a t x t x -->, 从而()0()f t t f t t ->⇒>.又21112112()()()()()[1()]f t x at bt c x a t x t x t x t x a x t -=++-=--+-=---. 由1210t x x a<<<<得, 12()[1()]0t x a x t ---<, 从而11()0()f t x f t x -<⇒<. 所以1()t f t x <<.4.(9分)已知有正整数k , 使得871513n n k <<+成立. 求正整数n 的最小值. 分析: 由815n n k <+得78n k > ①; 由713n n k <+得67n k < ②. ,n k 都是正整数, 所以由①得78,n k r r =+为正整数 ③; 由②得67,n k s s =-为正整数 ④. 78⨯-⨯③④消去k , 得7815n r s =+≥.当1,13r s k ===时, 15n =.所以正整数n 的最小值为15.。

2014年湖南省师大附中高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知全集为R，集合A={-1，0，1}，B={x|（）x≤1}，则A∩∁R B等于（）A.（-∞，0）B.[0，+∞）C.{-1}D.{0，1}【答案】C【解析】解：∵集合A={-1，0，1}，B={x|（）x≤1}={x|x≥0}，∴∁R B={x|x＜0}，则A∩∁R B={-1}，故选：C．解指数不等式求得B，根据补集的定义求得∁R B，再根据两个集合的交集的定义求得A∩∁R B．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A.a2＜b2B.ab2＜a2bC.＜D.＜【答案】C【解析】解：A选项不正确，因为a=-2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为＜⇔a＜b，故当a＜b时一定有＜；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．3.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A.m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB.α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC.α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD.α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【答案】B【解析】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直；若α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，α⊥β，α∩β=m时，与线面垂直的判定定理比较缺少条件n⊂α，则n⊥β不一定成立．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒b∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a ⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．4.设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞）【答案】A【解析】解：由f（-x）=-f（x），，，即=，1-x2=（2+a）2-a2x2此式恒成立，可得a2=1且（a+2）2=1，所以a=-1则＜即＞＜解得-1＜x＜0故选A首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a，然后由对数函数的单调性解之．本题主要考查奇函数的定义，同时考查对数函数的单调性．5.设f（n）=（）n（n∈N*，i为虚数单位），则集合{x|x=f（n）}中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：当n=1时，f（1）==i，当n=2，f（2=（）2=当n=3，f（3）=（）3=-=-i，当n=4时，f（4）=（）4=1，当n=5时，f（5）=（）5=（）=i，则f（n）的取值具备周期性，周期为4，其中x=f（n）=i，-1，1，-i共4个元素，故选：D利用复数的基本运算先化简即可得到结论．本题主要考查复数的运算，利用复数的基本运算先化简是解决本题的关键．6.为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间X（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②10～20分钟；③20～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A.3800B.6200C.0.38D.0.62【答案】C【解析】解：由图知输出的S的值是运动时间超过20分钟的学生人数，由于统计总人数是10000，又输出的S=6200，故运动时间不超过20分钟的学生人数是3800事件“平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的”频率是=0.38故选C本题考查循环结构，由图可以得出，此循环结构的功能是统计出运动时间超过20分钟的人数，由此即可解出每天运动时间不超过20分钟的人数，从而计算出事件“平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的”频率，选出正确选项本题考查框图--循环结构的理解，解题的关键是理解框图，由框图得出运算规则来，本题是一个以统计为背景的考查框图的题，此类题是新教材实验区这几年高考中常出现的题型，其特征是用框图告诉运算规律，再由此运算规律计算出所求的值，应注意总结其做题的规律．7.（理）若变量x，y满足约束条件，则z=|y-2x|的最大值为（）A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】解：变量x，y满足约束条件，表示的可行域如图：可行域中x∈[0，2]，y∈[1，2]．所以目标函数z=|y-2x|经过的交点A（2，1）时取得最大值：|1-2×2|=3．故选D．画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的点，求出目标函数的最大值．本题考查简单的线性规划的应用，考查作图能力与计算能力．8.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数．给出下列函数：①f（x）=sinx+cosx；②f（x）=（sinx+cosx）；③f（x）=sinx；④f（x）=．其中“互为生成”函数的是（）A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】D【解析】解：①f（x）=sinx+cosx=；②=．③f（x）=sinx；④．显然只有①④，可以经过平移两个函数的图象能够重合，②③两个函数之间，与①④要想重合，不仅需要平移，还必须有伸缩变换才能实现．故选D化简函数①②，使之成为一个角的一个三角函数的形式，观察①②③④，不难推出满足题意的函数，即可得到选项．本题是基础题，实质考查函数图象的平移和伸缩变换问题，只要掌握基本知识，领会新定义的实质，不难解决问题．9.设M（x0，y0）为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A.（0，2）B.[0，2]C.（2，+∞）D.[2，+∞）【答案】C【解析】解：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|=y0+2＞4，所以y0＞2故选C由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|可由y0表达，由此可求y0的取值范围本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用．抛物线上的点到焦点的距离往往转化为到准线的距离处理．10.对数列{a n}，如果∃k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2+…+λk a n 成立，其中n∈N*，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列；③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】解：①∵{a n}是等比数列，∴a n=，a n+1=qa n，∴∃k=1，λ=q，使a n+k=qa n+k-1成立，∴{a n}为1阶递归数列，故①成立；②∵{a n}是等差数列，∴a n=a1+（n-1）d，∴∃k=2，λ1=2，λ2=-1，使a n+2=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2成立，∴{a n}为2阶递归数列，故②成立；③∵若数列{a n}的通项公式为，∴∃k=3，λ1=3，λ2=-3，λ3=1，使a n+3=λ1a n+k-1+λ2a n+k-2+λ3a n+k-3成立，∴{a n}为3阶递归数列，故③成立．故选D．利用等差数列、等比数列和数列{a n}的通项公式为的性质，根据k阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解k阶递归数列的定义．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=1，则AD的长为______ ．【答案】【解析】解：∵∠B=30，∠AOC与∠B同时对应着弧AC，∴∠AOC=60°∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=1，∵∠OAD=90°，∠D=30∴AD=•AO=．故答案为：根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，得到∠AOC=60°，根据含有60°角的等腰三角形是一个等边三角形，可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=1，利用勾股定理求得AD的长．本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，本题解题的关键是应用含有30°角的直角三角形的性质做出有关的数据，本题是一个基础题．12.已知a∈R，若关于x的方程x2+x+|a-|+|a|=0有实根，则a的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：x2+x+|a-|+|a|=0即|a-|+|a|=-（x2+x），令y=-（x2+x），分析可得，y≤，若方程x2+x+|a-|+|a|=0有实根，则必有|a-|+|a|≤，而|a-|+|a|≥，当且仅当0≤a≤时，有|a-|+|a|=，故且仅当0≤a≤时，有|a-|+|a|=-（x2+x）成立，即x2+x+|a-|+|a|=0有实根，可得实数a的取值范围为，，故答案为：，．将方程进行移项，然后再根据利用绝对值的几何意义进行求解．此题考查绝对值不等式的解法及其几何意义，解题的关键是利用零点分段法进行求解，此类题目是高考常见的题型．13.已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，，＜，则曲线C1与C2交点的极坐标为______ ．【答案】，【解析】解：我们通过联立解方程组，＜解得，即两曲线的交点为，．故填：，．直接将曲线C1，C2的极坐标方程联立方程组，解关于ρ，θ的方程组即得交点的极坐标．本题考查极坐标方程，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．14.cos（-）= ______ ．【答案】-【解析】解：cos（-）=cos=cos（3π-）=cos（2π+π-）=cos（π-）=-cos=-．故答案为：-原式利用余弦函数为偶函数化简，将角度变形后利用诱导公式化简，计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．15.从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为______ kg；若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正、负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为______ ．【答案】64.5；【解析】解：体重的平均值为45×0.05+55×0.35+65×0.3+75×0.2+85×0.1=2.25+19.29+19.5+15+8.5=64.5．在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中抽取的人数之比为0.3：0.2：0.1=3：2：1，故这三组内的男生中抽取的人数分别为12×=6，12×=4，12×=2，所有的选法有=66种，这两人身高不在同一组内的选法有6×4+6×2+4×2=44种，故这两人身高不在同一组内的概率为=．故答案为64.5，．用每一组的体重的平均乘以该组的频率，相加即得所求体重的平均值．先求出这三组内的男生中抽取的人数，根据所有的选法有种，这两人身高不在同一组内的选法有44种，由此求得两人身高不在同一组内的概率．本题主要考查等可能事件的概率，频率分步直方图的应用，属于中档题．16.已如数列T A={x|x=a i+a j，1≤i＜j≤n，card（T A）表示集合T A中元素个数．（1）若A：1，3，5，7，9，则card（T A）______ ；（2）若a i+1-a i=c（c为常数，1≤i≤n-1），则card（T A）= ______ ．【答案】7；，，【解析】解：（1）∵1+3=4，1+5=6，1+7=3+5=8，3+9=5+7=12，1+9=3+7=10，5+9=14，7+9=16，∴T A={4，6，8，10，12，14，16}，∴card（T A）=7．（2）当c=0时，a i+1=a i，数列{a n}为常数列，任意两个项的和都相等为常数，card（T A）=1；当c≠0时，∵a i+1-a i=c（c为常数），∴数列{a n}为等差数列，首项为a1，公差为c，∴a i=a1+（i-1）c，a j=a1+（j-1）c，其中1≤i＜j≤n．∴a i+a j=2a1+（i+j-2）c，∵i+j有n-1+n-1-2+1=2n-3种取法，∴此时T n中的元素个数为2n-3．故答案分别为：7，card（T A）=，，．（1）由于集合A共有5个元素，任取两个数共有种取法，可得到7个不同的和，即可得出．（2）对c分类讨论：当c=0时，a i+1=a i，数列{a n}为常数列，即可得出；当c≠0时，由于a i+1-a i=c（c为常数），可知：数列{a n}为等差数列，利用等差数列的性质即可得出．本题考查了集合的有关知识、等差数列的性质、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金、对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额ξ的分布列与期望．【答案】解：（1）设A k表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3，由题意知A1，A2，A3独立，且P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=∵该单位一年内获赔的对立事件是A1，A2，A3都不发生，∴该单位一年内获赔的概率为．（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000，===，===，P（ξ=27000）=P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=，综上知，ξ的分布列为设ξk表示第辆车一年内的获赔金额，=1，2，3，则ξ1有分布列∴同理得，综上有Eξ=Eξ1+Eξ2+Eξ3≈1000+900+818.18=2718.18（元）【解析】（1）设A k表示第k辆车在一年内发生此种事故，k=1，2，3、由题意知A1，A2，A3之间相互独立，正难则反，该单位一年内获赔的对立事件是A1，A2，A3都不发生，用对立事件的概率做出结果．（2）由题意知ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000，看出这四个数字对应的事件，做出事件的概率，写出分布列，求出期望，概率在解时情况比较多，要认真．本题最后一问可以这样解：由ξ的分布列得=（元）18.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．（1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？（2）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．【答案】解：（1）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则，，，易得平面ABC的一个法向量为，，则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：＜，＞（*），于是问题转化为二次函数求最值，而，，当θ最大时，sinθ最大，所以当时，，同时直线PN与平面ABC所成的角θ得到最大值．（2）已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，即可得到平面ABC的一个法向量为，，，设平面PMN的一个法向量为，，，，，．由得，解得．令x=3，得，，，于是∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，∴＜，＞，解之得：，故点P在B1A1的延长线上，且．【解析】（1）以AB、AC、AA1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，可得向量的坐标关于λ的表示式，而平面ABC的法向量，，，可建立sinθ关于λ的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角θ达到最大值；（2）根据垂直向量的数量积等于0，建立方程组并解之可得平面PMN的一个法向量为，，，而平面PMN与平面ABC所成的二面角等于向量、所成的锐角，由此结合已知条件建立关于λ的方程并解之，即可得到λ的值，从而确定点P的位置．本题给出特殊三棱柱，探索了直线与平面所成角的最大值，并求二面角为45度时动点的位置，着重考查了用空间向量求直线与平面的夹角和用空间向量求平面间的夹角等知识，属于中档题．19.已知数列{a n}中，a1=a，a2=t（常数t＞0），S n是其前n项和，且．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）试确定数列{a n}是否是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；（Ⅲ）令，求证：2n＜b1+b2+…+b n＜2n+3．（n∈N*）．【答案】（Ⅰ）解：令中n=1，即得a=0…（2分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得：，即有2S n=na n，又有2S n-1=（n-1）a n-1（n≥2）两式相减得：2a n=na n-（n-1）a n-1（n≥2），即（n-2）a n=（n-1）a n-1（n≥2），…（5分）于是（n-3）a n-1=（n-2）a n-2，（n-4）a n-2=（n-3）a n-3，…，a3=2a2（n≥3），以上n-4个等式相乘得：a n=（n-1）a2=（n-1）t（n≥3），…（8分）经验证a1，a2也适合此式，所以数列{a n}是等差数列，其通项公式为a n=（n-1）t．…（9分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可得，从而可得=＞2，故b1+b2+…+b n＞2n；…（11分）b1+b2+…+b n=2n+2[（1-）+（-）…+]=2n+2（1+-）＜2n+3综上有，2n＜b1+b2+…+b n＜2n+3．（n∈N*）…（13分）【解析】（Ⅰ）递推式中令n=1，即得a=0；（Ⅱ）由递推式，再写一式，两式相减，可得（n-2）a n=（n-1）a n-1（n≥2），再用叠乘法，可得数列{a n}是等差数列，从而可求通项公式；（Ⅲ）确定得=，利用裂项法，即可证得结论．本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项，正确运用求和公式是关键．20.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：（1）y=；（2）y=4lgx-3．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？【答案】解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：当x∈[10，1000]时，①f（x）是增函数；②f（x）≤9恒成立；③恒成立．（3分）（Ⅱ）（1）对于函数模型：当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则＜．所以f（x）≤9恒成立．（5分）因为函数在[10，1000]上是减函数，所以＞．从而，即不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．（8分）（2）对于函数模型f（x）=4lgx-3：当x∈[10，1000]时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（1000）=4lg1000-3=9．所以f（x）≤9恒成立．（10分）设g（x）=4lgx-3-，则．当x≥10时，＜，所以g（x）在[10，1000]上是减函数，从而g（x）≤g（10）=-1＜0．所以4lgx-3-＜0，即4lgx-3＜，所以＜恒成立．故该函数模型符合公司要求．（13分）【解析】（Ⅰ）设奖励函数模型为y=f（x），根据“奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，说明在定义域上是增函数，且奖金不超过9万元，即f（x）≤9，同时奖金不超过投资收益的20%．即．（Ⅱ）根据（I）去判断，（1）对于函数模型，由一次函数的性质研究，是否满足第一，二两个条件，构造函数，由反比例函数性质研究是否满足第三个条件．（2）对于函数模型f（x）=4lgx-3，由对数函数的性质研究是否满足第一，二两个条件，再用作差法研究是否满足第三个条件即：4lgx-3-＜0，即4lgx-3＜，所以＜恒成立．本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．21.已知双曲线-=1的左、右顶点分别为A1和A2，M（x1，-y1）和N（x1，y1）是双曲线上两个不同的动点．（1）求直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程；（2）过点P（l，0）作斜率为k（k≠0）的直线l交轨迹C于A、B两点，①求•的取值范围；②若=λ，问在x轴上是否存在定点E，使得⊥-λ？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）设直线A1M与A2N的交点为Q（x，y），∵A1，A2是双曲线的左、右顶点，∴A1（-2，0），A2（2，0），∵M（x1，-y1）和N（x1，y1）是双曲线上两个不同的动点．∴直线A1M：y=（x+2），直线A2N：，两式相乘，得：y2=（x2-4），而M（x1，-y1）在双曲线上，∴，即，∴∴直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程是．（2）①设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x3，y3），B（x4，y4），由，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，∴，，∴y3y4=k（x3-1）•k（x4-1）=k2x3x4-k2（x3+x4）+k2，从而=x3x4+y3y4=（k2+1）x3x4-k2（x3+x4）+k2=-，令t=4k2+3，t≥3，则=-（），∵t≥3，∴0＜，＜＜，∴-4＜，故的取值范围是[-4，-）．②设在x轴上存在点E（x0，0），则=（1-x3，-y3），，，∵，∴-y3=λy4，∵y4≠0，∴，∵，，，，，，∴=（x3-x0-λx4+λx0，y3-λy4），又∵，∴，∴x3-x0-λx4+λx0=0，将，，代入上式，并整理，得：，当y3+y4≠0时，，当y3+y4=0时，k=0不合题意，∴在x轴上存在定点E，使得⊥-λ，E点坐标为E（4，0）．【解析】（Ⅰ）设直线A1M与A2N的交点为Q（x，y），由已知得y2=（x2-4），由此能求出直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程是．（2）①设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x3，y3），B（x4，y4），由，得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能推导出的取值范围．②设在x轴上存在点E（x0，0），则=（1-x3，-y3），，，由，得，由，得：，由此推导出在x轴上存在定点E，使得⊥-λ，E点坐标为E（4，0）．本题考查点的轨迹方程的求法，考查向量积的取值范围的求法，考查满足条件的定点坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22.已知a＞0，函数f（x）=lnx--x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若A、B是曲线y=f（x）上的任意不同两点，其横坐标分别为m、n，曲线y=f（x）在x=t处的切线与直线AB平行，求证：m+n＞2t．【答案】解：（1）∵f （x）=，（x＞0），令f （x）＞0，解得：0＜x＜，令f （x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）∵y=f（x）在x=t处的切线与直线AB平行，∴f （t）==+-1，又f （）=-1++，∴f （t）-f （）=[ln-]+-，不妨设m＞n，且=μ，则由m＞0，n＞0，知μ＞1，设g（μ）=lnμ-，则μ＞1时，g （μ）＞0，∴g（μ）在（1，+∞）递增，从而g（μ）＞g（1）=0，即ln-＞0，又-＞-=0，∴f （t）-f （）＞0，即f （t）＞f （），令h（x）=f （x）=-1+，则h （x）=--＜0，∴f （x）在（0，+∞）递减，而＞0，t＞0，故由f （t）＞f （）知＞t，即m+n＞2t．【解析】（1）先求出f （x）=，（x＞0），解不等式从而求出函数的单调区间；（2）由f（t）==+-1，得f（t）-f（）=[ln-]+-，不妨设m＞n，且=μ，设g（μ）=lnμ-，从而g（μ）＞g（1）=0，得f （t）＞f （），故由f （t）＞f （）知＞t，即m+n＞2t．本题考查了函数的单调性，导数的应用，考查不等式的证明，是一道综合题．。

湖南师大附中2014届高三月考试卷(二)数学（理科）命题：湖南师大附中高三数学备课组一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内,复数21iz i=+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】∵22(1)112i i i z i i -===++，其共轭复数是1i -，故选D ． 2．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ） A ．2- B ．2C ．2-或2D ．0【解析】原式＝ααααcos |sin ||cos |sin +，由题意知角α的终边在第二、四象限，αsin 与αcos 的符号相反，所以原式等于0，故选D ．3．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A ．54 B ．27 C ．18 D ． 9 【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，其体积为1633183.⨯⨯⨯=故选C4.我校高三年级共有24个班，学校为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为48，则抽到的最小编号为（ ）A ．2 B.3 C ．4 D ．5 【解析】设最小编号为x ，则462636483,x x ++⨯+⨯==.故选B5．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM ＝16CB ＋23,CA 则MA MB ⋅＝（ ）A ．1-BC ．2-D ．【解析】建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)，∴(0,1)MA =,(2)MB =-．∴2MA MB ⋅=-．故选C ．6．设函数)(x f ＝22,0,,0x x bx c x ->⎧⎨++≤⎩，若0)2(),0()4(=-=-f f f ，则关于x 的不等式)(x f ≤1的解集为（ ）A ．(,3][1,)-∞--+∞B ．[3,1]--C ．[3,1](0,)--+∞D ．[3,)-+∞【解析】当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4， 当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，)(x f ＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[3,1](0,)--+∞．故选C ．7．已知x ，y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则13x =时，y ＝( ) A ．1.45B ．13.8C ．13D ．12.8 【解析】依题意得，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线y ^＝0.95x ＋a 必过样本中心点(x ，y )，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ，由此解得a ＝1.45，从而当13x =时，计算得13.8y =，故选B ． 8．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为（ ） A ．0B ．3C ．6D ．9【解析】由值域为[0)+∞，，当2=0x ax b ++时有240a b =-=V ，即24a b =， ∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭．∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a x <+<22a a x <<．∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，∴)()622aa --==，解得9c =．故选D ．9．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得213PF PF =，则双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．2]C ．(1,2]D ．(1,)+∞【解析】由213PF PF =及双曲线定义得12||||2PFPF a -=，从而1||3PF a =，2||PF a =，又12||2F F c =．因为点P 在右支上运动，所以1212||||||PF PF F F +≥，得42a c ≥，即2ca≤，又1e >．故填12e <≤．故选C ．10．已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2015)f =（ ）A ．12B ．14C ．14-D ．0【解析】取1x =，0y =得21)0(=f ． 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，得周期为6，从而1(2015)4f =． 法二：取x n =，1y =,有()(1)(1)f n f n f n =++-,同理(1)(2)()f n f n f n +=++， 联立得(2)(1)f n f n +=--，所以T =6，故1(2015)(5)4f f ==．故选B ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知曲线12y x -=在点(1,1)处的切线为直线l ，则l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【解析】94．11．从区间[]5,5-内随机取出一个数x ，从区间[]3,3-内随机取出一个数y ，则使得4x y +≤的概率是 ．【解析】1213．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴四个不同学校支教，不同的分配方案有 种（用数字作答）．【解析】先分组，考虑到有2个是平均分组，得221164212222C C C C A A 两个两人组两个一人组，再全排列得：221146421422221080C C C C A A A ⋅⋅=，故填1080． 14．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且sin 0ϕ<，则()f x 的单调递增区间是 ．【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()s i n ()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.又sin 0ϕ<，所以(21),6k k Z πϕπ=++∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=-+，由3222262k x k πππππ+++剟，得263k x k ππππ++剟，故填2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦． 15．将自然数按如下图排列，其中处于从左到右第m 列从下到上第n 行的数记为(,)A m n ，如(3,1)4A =，(4,2)12A =，则(1,)A n =________，(10,10)A =________．【解析】填(1)2n n +，181 由(1,2)(1,1)2(1,3)(1,2)3(1,4)(1,3)4(1,)(1,1)A A A A A A A n A n n-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪--=⎪⎩，相加得(1)(2)(1,)(1,1)2n n A n A -+-=，从而(1)(1,)2n n A n +=． 类似可求出(1)(,1)12m m A m -=+．进而(,2)(,1)1(,3)(,2)2(,4)(,3)3(,)(,1)1A m A m m A m A m m A m A m m A m n A m n m n -=+⎧⎪-=+⎪⎪-=+⎨⎪⎪--=+-⎪⎩，得(1)(1)(2)(,)122m m n m n A m n --+=++．10(101)(101)(2010)(10,10)118122A --+∴=++=三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点21(,cos )2θP 在角α的终边上，点2(sin ,1)θ-Q 在角β的终边上，且12⋅=-OP OQ ．（1）求θ2cos 的值； （2）求)sin(βα+的值．解：（1）因为12⋅=-OP OQ ，所以2211sin cos 22θθ-=-，即2211(1cos )cos 22θθ--=-，所以22cos 3θ=， 所以21cos 22cos 13θθ=-=． ………………5分 （2）因为 22cos 3θ=，所以21sin 3θ=，所以)32,21(P 点，)1,31(-Q 点，又点12(,)23P 在角α的终边上，所以54sin =α，53cos =α ． …………………8分同理 10103sin -=β，1010cos =β， …………………10分 所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+43(55=+⨯=12分 17．（本题满分12分）坛子中有6个阄，其中有3个标记是“中奖”，另外3个标记是“谢谢参与”，甲、乙、丙三人分两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙顺序依次抽取，当有人摸到“中奖”阄时，摸奖随即结束．（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙中奖的概率分别是多少？ （2）若按不放回抽取，甲、乙、丙中奖的概率分别是多少？（3）按不放回抽取，第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金10000元，第二轮摸奖时才中奖可获得奖金6000元，求甲、乙、丙三人所获奖金总额ξ的分布列与数学期望．B解：（1）若按有放回抽取，设甲、乙、丙中奖分别为事件A 1、B 1、C 1，则甲中奖的概率为)(1A P 16921)21(213=⋅+=乙中奖的概率为)(1B P 32921)21(21214=⋅+⋅=丙中奖的概率为)(1C P 64921)21(2121215=⋅+⋅⋅= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）若按不放回抽取，设甲、乙、丙中奖分别为事件A 2、B 2、C 2，则 甲中奖的概率为)(2A P 201141526363=⋅⋅+=乙中奖的概率为)(2B P 1035363=⋅=丙中奖的概率为20310320111)()(1)(222=--=--=B P A P C P ．．．．．．．．．．．．8分 （3）设三人获得的奖金总额为ξ，ξ的可能取值有10000和6000元两种情况． 法一：201415263)6000(=⋅⋅==ξP 20192011)6000(1)10000(=-==-==ξξP P 法二：按不放回抽取，第一轮摸奖时甲、乙、丙中奖分别为事件A 3、B 3、C 3，则==)10000(ξP )()()()(333333C P B P A P C B A P ++=++2019435263536363=⋅⋅+⋅+=． 20120191)10000(1)6000(=-==-==ξξP P ． ∴奖金总额ξ的分布列为故奖金总额的数学期望98002060002010000=⨯+⨯=ξE 元． ．．．．．．．．12分 18．（本题满分12分）如图,四面体A-BCD 中， AD BCD ⊥面,BC CD ⊥，2,AD BD ==M 是AD 的中点,P 是BMD ∆的外心,点Q 在线段AC 上,且 4AC QC =.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求四面体A-BCD 的体积.【解析】证明(Ⅰ)方法一:如图,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)4AC QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC ;方法二:如图所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的四等分点H ,使3DH CH =, 且4AC QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////PO QH PQ OH ∴,且OH BCD ⊂面,所以//PQ 面BDC ; ………………6分 (Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒=== 在RT BCG ∆中,2sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在Rt BHG ∆中,13HG =∴=,所以在Rt CHG ∆中tan tan 603CG CHGHG ∠==== tan (0,90)6060BDCααα∴=∈∴=∴∠=BCD A BCDCD BC S V ∆-∴==∴== (12)注：用向量法解答酌情计分19．（本题满分13分）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a 万元. 甲超市前n (n ∈N*)年的总销售额为)2(22+-n n a 万元；从第二年起，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额多a n 1)32(-万元.（Ⅰ）设甲、乙两超市第n 年的年销售额分别为a n ，b n 万元，求a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将于当年底被另一超市收购. 若今年（2014年）为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由. 【解】（Ⅰ）设甲超市前n 年的总销售额为n S 万元，则2(2)2n a S n n =-+. 当2≥n 时，221(2)[(1)(1)2](1)22n n n a aa S S n n n n n a -=-=-+----+=-. 所以(1)(1)(2)n an a n a n =⎧=⎨-≥⎩ ………………3分由题设，当2n ≥时，a b b n n n 11)32(--=-，且1b a =，则)()()(123121--++-+-+=n n n b b b b b b b b2121()22223()()3[1()]2333313nn n a a a a a a --=++++==--L . 显然1b a =满足上式，故23[1()]3nn b a =-. ………………7分（Ⅱ）若乙超市能被甲超市收购，则1(2)2n n b a n <≥，即213[1()](1)32n a n a -<-.因为a ＞0，则216[1()]3n n ->-，即26()70(2)3nn n +⋅->≥.设2()6()7(2)3nf n n n =+⋅-≥，则1222(1)()16[()()]12()0333n n n f n f n ++-=+-=-⋅>，即f (n ＋1)＞f (n )，所以f (n )是增函数. ………………11分因为76522128(6)6()111033148f =⋅-=-=-<，72(7)6()03f =⋅>，则 当n ≤6时，f (n )＜0，当n ≥7时，f (n )＞0.故到第7年底，即2020年底乙超市将被甲超市收购. ……………13分20．（本题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于)2a c -. （1）证明：椭圆上的点到2F 的最短距离为a c -；（2）求椭圆的离心率e 的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆2F 与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若OA ⊥OB ，求直线l 被圆2F 截得的弦长L 的最大值。

2014-2015学年度高二年级期中考试试卷（理科）考试范围：选修2-1；选修2-2，选修2-3排列组合 考试时间：120分钟；命题：湖南师大附中高二数学备课组 审题：吴锦坤 一、填空题（共10题每题5分，满分50分） 1、“2x <”是“2320x x -+<”成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为232012x x x -+<⇔<<,因为122x x <<⇒<且2x <⇒12x <<,所以“2x <”是“2320x x -+<”成立的必要不充分条件,故选B.2、有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种 【答案】C【解析】 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有C 26C 15＝75(种)．3、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： 1:2p z =22:2p z i =3:p z 的共轭复数为1i +4:p z 的虚部为1-其中的真命题为（） A.23,p p B.12,p p C.,p p 24 D.,p p 34【答案】C 【解析】i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212， 所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.4、5)221(y x -的展开式中32y x 的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20 【答案】A【解析】 由题意可得通项公式r r r r y x C T )2()21(551-=-+，令r ＝3，则C r 5⎝⎛⎭⎫125－r (－2)r ＝C 35×⎝⎛⎭⎫122×(－2)3＝－20.5、设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体P -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P -ABC 的体积为V ，则r ＝( )A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 由类比推理可知，选项C 正确．6、在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A 123S S S ==B 12S S =且 31S S ≠C 13S S =且 32S S ≠D 23S S =且 13S S ≠【答案】D【解析】作出各点，求出对应面积即可.7、点P 与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ）【答案】A.【解析】由题意可知，圆222222:C x y a b c +=+=，画出如下示意图，从而可知1290F PF ∠=，又∵12212PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=，2160PF F ∠=， ∴123231cPF PF c c a e a-=-=⇒==+. 8、若点P 是函数2()ln 2f x x x =-上任意一点，则点P 到直线220x y --=的最小距离为 （ ） 553235 【答案】D 【解析】法一：设P （x ，23ln 2x x -），点P 到直线220x y --=的距离d =223|2ln 2|221x x x -+-+=23|2ln 2|25x x x -+-+，设()g x =232ln 22x x x -+-+，()g x '=123x x-+- =(31)(1)x x x+-，当0＜x ＜1时，()g x '＜0，当x ＞1时，()g x '＞0，∴()g x 在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，所以min [()]g x =(1)g =32，∴min d min 5=3510，故选D.法二：函数上与直线距离最短的点即为与直线平行的切线与函数图像相切的切点， 设切点为),(00y x ，则2)(0='x f ，得10=x ，从而切点为)23,1(，又点到直线的距离公式得结论为D.9、在各项均不为0的数列{n a }中，若1a =1，2a =13，21212n n n n n n a a a a a a ++++=+）（*∈N n ,则2015a =（ ）A.14027B.14028C.14029D.14031【答案】C【解析】∵数列{n a }的各项均不为0，故将21212n n n n n n a a a a a a ++++=+两边同除以12n n n a a a ++得，12211n n n a a a ++=+， ∴数列{1n a }是首项为1，公差为2的等差数列，∴20151a =4029，∴2015a =14029，故选C.10、已知'()f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且)5()(x f x f -=,5()'()02x f x -<若1212,5x x x x <+<，则下列结论中正确的是( ) A ．12()()f x f x <B ．12()()0f x f x +>C ．12()()0f x f x +<D ．12()()f x f x > 【答案】D【解析】由题意知函数)(x f 图像关于25=x 对称，且在),25(+∞为增函数，在)25,(-∞为减函数，又1212,5x x x x <+<，则251<x ，25221<+x x ，结合图像可知答案D 二、填空题（共5题每题5分，满分25）11、在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线的渐近线方程是2y x =±，且经过点，则该双曲线的方程是．【答案】2214y x -= 【解析】由渐近线2y x =±，知双曲线方程可设为：λ=-422y x ，将点代人得1=λ12、若62)(xb ax +的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．【答案】2【解析】T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2. 13、()2-2|sin |x x dx ππ+=⎰=________.【答案】2 【解析】由题可得,()222222sin sin x x dx xdx x dxππππππ---+=+⎰⎰⎰2002sin xdx π=+⎰()2cos cos 022π⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦,故填2.14、已知z ∈C ，且|z ﹣2﹣2i|=1，i 为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是. 【答案】3【解析】设yi x z +=（R y x ∈,)，满足|z ﹣2﹣2i|=1的点均在以C 1（2，2）为圆心， 以1为半径的圆上，所以|z+2﹣2i|的最小值是C 1，C 2连线的长为4与1的差，即为3.15、已知任意一个正整数的三次幂可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可表示为7911++，则我们把7、9、11叫做33的“数因子”，若3n 的一个“数因子”为2015，则n =【答案】45【解析】由图可知，3n 可表示为n 个连续奇数的和，而所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，所以前n 个正整数的三次幂的“数因子”共有，故2015是第1008个奇数. ，所以344的最大“数因子”是第990个奇数，345的最大“数因子”是第1035个奇数，故第1008个奇数——2015应是345的一个“数因子”.三、解答题（共6题每满分75）16．（本小题满分12分）已知函数1(2)1()3(2)2151()2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩（x ∈R ），（1）求函数()f x 的最小值；（2）已知m ∈R ，p ：关于x 的不等式2()22f x m m ≥+-对任意x ∈R 恒成立；q ：函数2(1)x y m =-是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．解：（1）min 1(2)1()3(2)()=f(-2)=12151()2x x f x x x f x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩作出图像，可知 （4分）（2）22:+2-21-31:-1>1p m m m q m m m ≤⇒≤≤⇒（8分）∵0-3m 11p q p q p q m m ≤≤⎧⎪∴≤≤⎨≤≤⎪⎩1或为真，且为假若真假时，则解得（10分）>1<-32<-3m m p q m m m m ⎧⎪⎨⎪⎩或若假真时，则解得或CA故实数m 的取值范围是(-,-3))∞⋃⋃∞ （12分）17．(本小题满分12分) ，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．分 （2分分②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即由于分，即12分18.(本小题满分12分)如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中,1A A ⊥底面ABC ,点A 在平面1A BC 中的投影为线段1A B 上的点D . （1）求证：BC ⊥1A B（2）点P 为AC 上一点,若AP PC =,2AD AB BC ===,求二面角C B A P --1的平面角的余弦值【解析】（1）证明:1AA ⊥平面ABC 且BC ⊆平面ABC .1AA BC ∴⊥且三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱 2分AD ⊥平面1A BC 且BC ⊆平面1A BC∴AD BC ⊥3分又1AA ⊆平面1A AB ,AD ⊆平面1A AB ,1A AAD A =,∴BC ⊥平面1A AB ,1BC A B ⊥5分（2）由（1）可得BC ⊥平面1A AB ,AB ⊆平面1A AB ,从而BC AB ⊥,如图,以点B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -7分在Rt ABD ∆中,AD =2AB =,0sin ,602AD ABD ABD AB ∠==∠=, 在直三棱柱111ABC A B C -中,01tan60AA AB ==8分 则()()()(10,0,0,0,2,0,1,1,0,B A P A ,()1,1,0BP =,(10,2,BA =,()2,0,0BC =,设平面1PA B 的一个法向量为()1,,n x y z =,则有11100200x y n BP y n BA ⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪=⎪⎩⎩,可得(13,3,n -. 9分 设面1CA B 的一个法向量为()2,,n x y z =,则22100n BC n BA ⎧=⎪⎨=⎪⎩020x y =⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩,即(20,n =-, 10分 则12121227cos ,7n n n n n n <>==, 所以二面角1P A B C --. 12分 19.(本小题满分13分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：[)[]321640,10,3025401600,30,50x x y x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩，且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品。

必考Ⅰ部分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若 sinα <0 且 tan α>0，则α是A．第一象限角 B ．第二象限角C．第三象限角 D ．第四象限角2．已知扇形的周长为 8 cm，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为A． 4 cm2B． 6 cm2C． 8 cm2D． 16 cm 223． tan 3π的值为33A. 3B．－3C. 3D．－ 31＋ tan15 °4.＝1－ tan15 °A．－ 3B．－ 1C. 3D． 1315．已知α是锐角，a＝4， sinα， b＝cosα，3，且 a∥ b，则α等于A． 15°B． 45°C． 75°D． 15°或 75°6．计算 2sin 15°· cos 30 °＋ sin 15 °等于22A. 2B．－233C. 2D．－27．已知向量a＝(1， n)，b＝(－1，n)，若2a－ b 与 b 垂直，则| a|等于A． 1 B.2C． 2D． 48．将函数y＝ 5sin 3x 的象向左平移π个位，得到的象的解析式是3．＝5sin 3x＋πB．＝5sin3x－πA y3y3 C．y＝5sin 3x D．y＝－5sin 3 x9．函数f ( x2x＋π2x－π) ＝sin4－ sin4是A．周期π的奇函数B．周期π的偶函数C．周期2π的奇函数D．周期2π的偶函数10．函数f (x) ＝ sin( ω＋φ )(>0，ω >0) 的部分象如所示，f(1)＋(2) ＋⋯A x A f＋f(11)的等于A． 2B．2＋2C． 2＋2 2D．－2－22答卡号12345678910得分答案二、大共 3 小，每小 5 分，分 15分；把答案填在答卡中号后的横上．11．a＝ (log 2x，2)， b＝(1，－1)， a⊥ b， x＝________．112.已知sin x＋cos x＝2，sin 2 x＝________．→→13．已知△ABC中，AC＝4，AB＝ 2，若G△ABC的重心，AG·BC＝ _________．三、解答：本大共 3 小，共 35 分；解答写出文字明、明程或演算步．14． ( 本分11 分 )π 3已知函数 f ( x)＝2cos x sin x＋3－2.(1)求函数 f ( x)的最小正周期及函数 f ( x)的零点的集合；(2)在定的坐系内，用五点作法画出函数f ( x)在一个周期内的象．15.( 本题满分12 分 )ππ已知函数 f ( x)＝sin x＋6＋sin x－6＋cos x＋ a 的最大值为 1.(1)求常数 a 的值；(2)求使 f ( x)≥0成立的取值集合．16.( 本题满分 12 分 )已知向量 a＝(sinθ，－ 2) 与b＝ (1 ， cos θ ) 互相垂直，其中θ ∈ 0，π2 .(1)求 sin θ和 cos θ的值；10π(2)若 sin( θ －φ ) ＝10， 0<φ< 2，求 cos φ的值．必考Ⅱ部分 ( 共 50 分 )451．设α，β均为锐角，且 sinα＝5， sin( α －β) ＝13，则 cos β＝ ________．2．定义两个平面向量a，b的一种运算a?b＝|a| |b| sinθ， ( 其中向量a，b的夹角为θ ) ，则以下等式中：①若a ∥b则? ＝0；a b②a?b＝ b?a；③ λ ( a?b) ＝ ( λa) ?b；2 2④( a?b) 2＋ ( a·b) 2＝|a|·|b| .其中恒成立的是________( 填写序号 ) ．3． ( 本题满分13 分 )x x x x1己知向量 a＝2sin2，1－2cos 2，b＝ cos 2， 1＋2cos2，函数f ( x) ＝ log 2( a·b) ．(1)求函数 f ( x)的定义域和值域；(2)求函数 f ( x)的单调区间．4.( 本题满分13 分 )湖南师大附中高一年级第二学期期中考试数学(A) 参考答案－ ( 这是边文，请据需要手工删加 )湖南师大附中高一年级第二学期期中考试数学 (A) 参考答案一、选择题题号12345678910答案C A D C D A C D A C二、填空题311． 412. －413.4三、解答题14．解： (1) f ( x) ＝ 2cos x sinππ－3 x cos＋ cos x sin32 3133＝ 2cos x2sin x＋2cos x－2 133＝2sin 2x＋2( 1＋cos 2x)－2＝ sin2x＋π3∴函数 f ( x)的最小正周期为π.令sin 2x＋π＝，得2x＋π ＝π，得x＝kπ－π∈Z)，303k26 ( k所以 f ( x)的零点的集合为x| x＝kπ－π，k∈Z.(5分 )26ππ15．解： (1) 函数f ( x) ＝ sin x＋6＋sin x－6＋cos x＋aπ＝2sin x＋6＋a由最大值为2＋a＝ 1，解得a＝－ 1.(6分)π1(2) 由 f ( x ) ≥0得 sin x ＋ 6 ≥ 2，∴ π6 ＋ 2k π ≤ x ＋π6 ≤ 5π6＋ 2k π ，k ∈ Z2π故使 f ( x ) ≥0成立的取值集合为{ x |2 k π ≤ x ≤ 3 ＋ 2k π ， k ∈ Z} ． (12 分 )16．解： (1) ∵ a ⊥ b ，∴ sin θ － 2cos θ ＝ 0，即 sinθ ＝ 2cos θ .∵ sin 2θ＋ cos 2θ ＝ 1， ∴ 4cos 2θ＋ cos 2θ ＝1，21∴ cos θ＝ 5.π52 5∵ θ ∈ 0， 2 ，∴ cos θ ＝ 5 ， sin θ ＝ 5.(6 分 )π π π (2) ∵0< θ ， φ < ，∴－<θ － φ <，222∴ cos( θ － φ ) ＝ 1－ sin 23 10（ θ －φ ）＝ 10 ，故 cos φ ＝ cos[ θ － ( θ－ φ )] ＝ cos θ cos( θ － φ ) ＋sin θ sin( θ － φ )5 310 2 5 10 2＝ 5 ×10 ＋5 × 10 ＝ 2 .(12分)必考Ⅱ部分56 1. 652．①②④解：①恒成立；②恒成立；③ λ ( a ?b ) ＝ λ| a | | b | sin θ ，( λ a ) ?b ＝ | λ a | | b | sin φ ，( φ 是 λ a 与 b 的夹角 ) ，当 λ <0 时不成立；④由a ?b ＝ | a bθ ，＝a bθ 知，( a ?b ) 2＋· 2＝ | a |2 b 2·，| | | sina ·b | | | | cos( a b )| |所以④恒成立；xxx x2x3．解：(1) 因为 a ·b ＝ 2sin 2cos 2＋ 1－ 2cos 21＋ 2cos 2 ＝ sin x ＋1－ 2cos 2＝ sinx － cos x ＝ 2sin x － π . (2 分 )4由 sin x － π π <2k π ＋ π ，4 >0，得 2k π <x － 4π5π即 2k π ＋ 4 <x <2k π ＋ 4 ， k ∈ Z.所以 f ( x ) 的定义域是 2k π＋ π ， 2k π ＋ 5π， k ∈ Z.(4 分 )4 4 因为 0< 2sin x － π≤ 2，则 f ( x ) ≥ log 1 2＝－ 1，42所以 f ( x)的值域是1.(6分 )－，＋∞2(2) 由题设f ( x) ＝ log 1 2sin x－π.24若 f ( x)为增函数，则y＝2sin x－π为减函数，4ππ所以 2kπ＋2≤x－4 <2kπ＋π，3π5π即 2kπ＋4≤x<2kπ＋4，3π5π故 f ( x)的递增区间是2kπ＋4， 2kπ＋4， k∈Z. (10分 )若 f ( x)为减函数，则y＝2sin－πx 4为增函数，所以 2kπ <x－π4≤ 2kπ＋π2，即 2kπ＋π4 <x≤2kπ＋3π4，故 f ( x)的递减区间是2kπ＋π， 2kπ＋3π， k∈Z.(13分 ) 444．解： (1) 由题意可知，点M为 PQ的中点，所以OM⊥ AD.设 OM与 BC的交点为 F，则 BC＝2R sinθ， OF＝ R cosθ.1AB＝ OF－2AD＝ R cosθ － R sinθ.(4分 )所以＝·＝ 2sin θ (cos θ－ sinθ ) ＝2(2sinθ cos θ － 2sin2 S AB BC R R R Rθ )＝R2(sin 2θ －1＋cos 2θ)22θ＋π20，π.(8分 )＝ 2R sin4－ R，θ∈4πππ3π(2) 因为θ ∈0，4，则 2θ＋4∈ 4，4.π ππ时， S 有最大值．(10所以当 2 θ＋4＝2，即θ＝8分 )max22－1) ×452＝0.414 ×2 025 ＝ 838.35.S ＝( 2－1)R＝(πABCD的面积 S有最大值838.35 m 2. (13分 )故当θ ＝8时，矩形→得22＝ 3.5．解： (1) 设点Q( x，y) ，由 | QC|（ x－1）＋（ y＋2）即( x－1) 2＋ ( y＋ 2) 2＝9. ⋯(3 分 ) (2)P 作 C的切，切点 E， F，EC＝3，PC＝6，∴∠ EPC＝30°，→→从而 PC与 PQ角的范[0 ， 30° ] ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (8分) (3)的 l 存在， l ： y＝ x＋t ，由y＝ x＋ t? 2x2＋ (2 ＋ 2t ) x＋t2＋ 4t－ 4＝0⋯⋯※22（x－1）＋（ y＋2）＝9(9 分 )A( x1，y1)， B( x2，y2)，x1＋ x2＝－( t ＋1)， x1x2t 2＋4t －4， (10 分 )＝2由，→⊥→ ，OA OB→ →即 x1x2＋ y1y2＝0.(11分 )∴ OA·OB＝0,而y1y2＝( x1＋ t )( x2＋ t )＝ x1x2＋ t ( x1＋ x2)＋ t 2，(12分)∴ x1x2＋ y1y2＝2x1x2＋ t ( x1＋ x2)＋ t 2＝0，得 t 2＋3t －4＝0，(13分)∴ t ＝－4或 t ＝1，∴存在直l ：y＝ x－4或 y＝ x＋1.(14分)。

2014届湖南师大附中高三第二次月考理科数学试卷（带解析）一．选择题1．已知全集{2,4,6,8,10}U =，集合,M N 满足{4}M N =,(){10}U C N M =，则M =（ ）A ．{2,4}B ．{4,8,10}C ．{4,6,10}D ．{4,10}2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0，则下列说法正确的是 ( )A ．p ⌝：∃x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为真命题B ．p ⌝：∃x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为假命题C ．p ⌝：∀x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为真命题D ．p ⌝：∀x ∈R ，2330x x >－＋，且p ⌝为假命题3．动点(cos ,sin )P θθ()R θ∈关于直线2y x =-的对称点是P '，则PP '的最大值为（ ）A ．2-B 1C ．．2+4．已知函数2()2f x x ax b =-+，则“12a <<”是“(1)(3)f f <”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若1OA =，4OB =，2OA OB ⋅=，OA OB OC +=，则△ABC 的面积是 （ ）A ．1B ．2CD ．6．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.12πB.C.3πD.7．点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222x y a b C :+=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中12F F 、分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ）A1 BD1 8．在平面直角坐标系中，记抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P落在区域A 内的概率为827，则k 的值为（ ） A.13 B.23 C.12 D.34二、填空题9．复数1i i+的虚部等于 . 10．设常数R ∈a ，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则a = . 11．若数列{}n a 满足：11a =，且对任意的正整数m ，n 都有2m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式n a = ．12．某种机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该种机器使用年限为10年时 维修费用约 万元（结果保留两位小数）．13．设0t >，函数122()log x x t f x x x t ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩的值域为M .若4M ∉，则t 的取值范围是 .14．5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有____种．15．对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a ，b(a ＜b)，使当x ∈[a ，b]时，f(x)的值域也是[a ，b]，则称函数f(x)为“布林函数”，区间[a ，b]称为函数f(x)的“等域区间”.（1）布林函数()f x =的等域区间是 . （2）若函数2)(++=x k x f 是布林函数，则实数k 的取值范围是 .三、解答题16．已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x x m n =-=，设函数()f x m n = （1）求()f x 在区间[]0,π上的零点；（2）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别是,,a b c ，且满足2b ac =，求()f B 的取值范围．17．一个袋子里装有7个球,其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个,编号分别为1，2，3.从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同).(Ⅰ)求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；(Ⅱ)在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.18．知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,0)M ，椭圆短轴的端点是12B B 、，且12MB MB ⊥.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点.试问x 轴上是否存在异于M 的定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.19．某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．（1）设第n 年该生产线设备低劣化值为n a ，求n a 的表达式；（2）若该生产线前n 年设备低劣化平均值为n A ,当n A 达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由.20．已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 满足：①对任意的12,m m ，12m m ≠，当12()()f m f m =时，有120m m +<成立；②对12,[1,1],x x ∀∈-12()()1f x f x e -≤-恒成立.求实数a 的取值范围.2014届湖南师大附中高三第二次月考理科数学试卷（带解析）参考答案1．D【解析】试题分析：因为[()]()U M C N M N M =，所以{10}{4}{4,10}M ==，故选B. 考点：集合的基本运算2．C【解析】试题分析：依题意，命题p ：∃x ∈R ，x 2－3x ＋3≤0的否命题为不存在x ∈R ，使得x 2－3x＋3≤0，即对任意的x ∈R ，2330x x >－＋.又223333()024x x x =-+>－＋，所以命题p 为假命题，所以p ⌝为真命题，故本题选C.考点：对含一个量词的命题进行否定、一元二次不等式3．D【解析】试题分析：依题意知，动点(cos ,sin )P θθ在以原点为圆心的单位圆上，原点O 到直线2y x =-的距离01d ==>，所以直线2y x =-与单位圆圆O 相离.设动点P与直线2y x =-的距离为d ，则2PP d '=.max 011d d =+,所以PP '的最大值为2.所以选D.考点：直线与圆的位置关系、点关于直线对称4．A【解析】试题分析：函数2()2f x x ax b =-+，所以(1)12f a b =-+，(3)96f a b =-+，12a <<，所以1296a a -<-，即(1)(3)f f <；反过来，(1)(3)f f <时，得1296a b a b-+<-+得2a <，不能得到12a <<.所以“12a <<”是“(1)(3)f f <”的充分不必要条件. 考点：充分条件与必要条件、一元一次不等式5．C【解析】试题分析：因为OA OB OC +=，所以OA OC OB BC =-=，OB OC OA AC =-=，又1OA =、4OB =，所以1BC =、4AC =，2OA OB ⋅=即2BC AC ⋅=，设BC 与AC 的夹角为θ，易知θ与BCA ∠为对顶角，所以BCA θ=∠.cos 14cos 2BC AC BC AC θθ⋅=⋅=⨯=，得1c o s 2θ=，所以1cos 2BCA ∠=，sin 2BCA ∠=，所以1sin 2ABC S BC AC BCA ∆=⋅∠= 考点：平面向量的数量积、三角形面积公式6．C【解析】试题分析：依题意可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，其中底面ABCD 是边长为1的正方形，棱PA 、AB 、AD 两两相互垂直，且1PA =.所以该几何体是正方体的一部分（如下图所示）,其外接球即正方体PFGH ABCD-的外接球.所以外接球半径12R PC =，而PC =R =.表面积243S R ππ==.考点：三视图、球的表面积、正方体的外接球7．A【解析】试题分析：由题意知，双曲线1C 的焦点分别为(,0)c 和(,0)c -，其中222c a b =+，且0c >.不妨设1(,0)F c ，2(,0)F c -.又因为12212PF F PF F ∠=∠，根据大边对大角原则，12PF PF >.又因为点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222x y a b C :+=+的一个交点，所以点P 在双曲线右支上，根据对称性，不妨设点P 在第一象限.222c a b =+,所以12F F 、在圆22222x y a b C :+=+上，且12F F 为圆2C 直径. 1290F PF ∠=,2160PF F ∠=,122F F c =,21,PF c PF ∴==,可求得1()2P c ，代入22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，化简得22222234b c a c a b -=，与222c a b =+联立，得22222222()34()c a c a c a c a --=-，得4224840ca c a -+=，所以222(43)c aa ==，又0c a >>，所以22(4c a =+，24(1+=，所以(1)ca =，即双曲线1C 离心率为1c a=+考点：双曲线的简单几何性质、求根公式8．A【解析】试题分析：易知抛物线2y x x =-开口向下，对称轴为12x =.令20y x x =-=，得0x =或1.所以抛物线2y x x =-与x 轴所围成的平面区域M 即抛物线2y x x =-在x 轴上方的部分,其面积为1231200111()()023236x x x x dx -=-=--=⎰.联立2(0)y x x y kx k ⎧=-⎨=>⎩得抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)的交点为（0,0）和2(1,)k k k --.因为该抛物线与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827.所以交点2(1,)k k k --应该在区域M 内，即10k ->，所以1k <.区域A 面积为12322331200(1)(1)(1)(1)[()]()232236kkx x k x k k k k x x k x d x --------=--=-=⎰.由点P 落在区域A 内的概率为827得3(1)186627k -=⋅，213k ∴-=，13k =. 考点：定积分的应用、几何概型9．-1【解析】 试题分析：因为21(1)111i i i i i i i ++-===--，所以复数1i i +的虚部等于-1. 考点：复数的定义与运算10．-2【解析】 试题分析：52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中第1r +项为2515()()r r r r a T C x x -+=⋅，若含7x 的这一项，则257()rr x x x-=，所以2(5)7r r --=，为1r =，所以7x 项的系数为15510C a a ==-，即2a =-.考点：二项式定理11．2n【解析】试题分析：令1m =，由2m n m n a a a m n+=++得112n n a a a n +=++，又11a =，所以121n n a a n +-=+.因此213a a -=325a a -=437a a -=…………121(2)n n a a n n --=-≥上述1n -个式子累加得：211357(21)(321)1,(2)2n n a a n n n n --=++++-=+-=-≥，11a =，所以2,(2)n a n n =≥，又11a =满足该式.所以数列{}n a 的通项公式2n a n =.考点：累加法求数列的通项公式、等差数列的求和公式12．12.38【解析】试题分析：依题意， 2.2 3.8 5.5 6.57.055y ++++==，易知4x =， 1.23b =.所以5 1.2340.08a yb x =-=-⨯=.即回归方程ˆ 1.230.08y x =+，将10x =代入，得12.38y =.即该种机器使用年限为10年时维修费用约12.38万元.考点：线性回归方程13．1(,2]16【解析】 试题分析：因为2x y =在R 上是增函数且值域为(0,)+∞,所以x t <时，()2x f x =的范围为(0,2)t；因为12log y x =在(0,)+∞上是减函数且值域为R ，所以x t ≥时，12()log f x x=的范围为12(,log ]t -∞，()f x 的值域为M ，且4M ∉，所以有12224121log 41616t t t t t ≤⎧⎧≤⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨<>⎪⎪⎩⎩.即t 的取值范围为1(,2]16. 考点：指数函数与对数函数的单调性与值域14．150【解析】试题分析：将5名志愿者分到3个不同的地方参加义务植树，且每个地方至少有一名志愿者，则分配至3地的人数模式只有“1、1、3”与“1、2、2”这两种模式.设这3地分别为甲、乙、丙.(1)当分配的人数模式是“1、1、3”时，即甲、乙、丙3地中有一地是3个人，其他两地都只有1人,则共有13235260C C A ⋅⋅=（种）.即先从三地中选一地是分配3个人的，再从5名志愿者中选三人派到该地.剩余2人再分配至其余两地.(2) 当分配的人数模式是“1、2、2”时,即甲、乙、丙3地中有一地是1个人，其他两地都有2人,则共有11235490C C C ⋅⋅=（种）.即先从三地中选一地是只分配1个人的，再从5名志愿者中选1人派到该地.剩余4人再选出2人分配至其余两地中的某地，那剩余2人即是最后一地所得.综上所述，共有60+90=150种方案.考点：排列与组合15．（1）[0,1]；（2）]2,49(--. 【解析】试题分析：（1）因为()f x =x∈[a，b]时，f(x)∈[f (a)，f(b)]. 令f(a)＝a ，且f(b)＝ba =(0)b b a =>≥，则a ＝0，b ＝1.故布林函数()f x =[0,1].（2）因为2)(++=x k x f 是增函数，若2)(++=x k x f 是布林函数，则存在实数a ，b(－2≤a＜b)，使()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a .所以a ，b 为方程2++=x k x的两个实数根，从而方程k x =.t =，则22(0)k t t t =--≥.当0t =时，2k =-；当12t =时，94k =-. 由图可知，当924k -<≤-时，直线y k =与曲线22(0)y t t t =--≥有两个不同交点，即方程 22(0)k t t t =--≥有两个不等实根，故实数k 的取值范围是9(,2]4--. 考点：新概念的理解、方程的根与函数的图像16．（1）3π、π；（2）(1,0]-. 【解析】试题分析：（1）先由平面向量数量积的坐标表示得到()f x ，然后由三角函数的倍角公式进行降次，再将函数()f x 的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式.令()0f x =，在区间[]0,π解得3x π=或π，即得到零点3π、π；（2）由条件及余弦定理，通过基本不等式可得1cos 2B ≥，又根据角B 是三角形内角，从而得到其范围，再代入即可得()f B 的取值范围. 试题解析：因为向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x x m n =-=，函数()f x m n =. 所以21cos ()cos cos 2222xx x x f x x +=-=- 111cos sin()22262x x x π=--=--3分 （1）由()0f x =，得1sin()62x π-=. =+266x k πππ-∴， 5=+266x k k Z πππ-∈或， =+23x k ππ∴， =+2x k k Z ππ∈或，又[]0,x π∈，3x π∴=或π.所以()f x 在区间[]0,π上的零点是3π、π. 6分 （2）在ABC ∆中，2b ac =，所以222221cos 2222a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-==≥=. 由1cos 2B ≥且(0,)B π∈，得(0,],3B π∈--666B πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦从而，10分 11sin()(,]622B π-∈-∴， 1()sin()(1,0]62f B B π=-+∈-∴ 12分 考点：1.数量积的坐标表示；2.余弦定理；3.三角函数的性质.17．(Ⅰ)6；(Ⅱ) 5EX =.【解析】 试题分析：(Ⅰ)分别算出取出四个球的取法数以及取出的4个球中含有编号为3的球的取法种数，后者与前者之比即为所求.(Ⅱ)可知随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.然后将每种可能取值的概率计算出，即可列出分布表.再由期望的计算公式即可得出期望. 试题解析：(Ⅰ)设“取出的4个球中，含有编号为3的球”为事件A ，由题意，取出四个球共有47C 取法.其中含有编号为3的球的取法有13222525C C C C +种.则76C C C C C )(4725223512=+=A P . 所以，取出的4个球中，含有编号为3的球的概率为76. 4分 (Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.351C C )1(4733===X P ， 354C C )2(4734===X P ， 72C C )3(4735===X P ， 74C C )4(4736===X P ， 8分随机变量X的数学期望57473352351=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . 12分 考点：1.随机事件的概率；2.离散型随机变量及分布列；3.期望.18．（1）22194x y +=；（2）存在，9(,0)2P .【解析】试题分析：（1）由离心率为3可得到一个关于a b 、的方程，再根据MB 1⊥MB 2即可得2,3b a ==；（2）本题采用“设而不求”的方法，将A ，B 两点坐标设出，但不求出.注意到PM 平分APB ∠，则直线,PA PB 的倾斜角互补这个性质,从而由斜率着手，以韦达定理为辅助工具，得出点P 的坐标.试题解析：（1）由222222519a b a e a b-===-得23b a = 又12MB MB ⊥,知12MB B ∆是等腰直角三角形，从而2,3b a ==.所以椭圆C 的方程是22194x y +=. 5分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为2x my =+由222,1.94x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(49)16200m y my ++-=，所以1221649m y y m -+=+ ①，12y y ⋅=22049m -+② 8分 若PM 平分APB ∠，则直线,PA PB 的倾斜角互补， 所以0P A PB k k += 设(,0)P n ，则有12120y yx n x n+=--， 10分 将11222,2x my x my =+=+代入上式，整理得12122(2)()0my y n y y +-+=， 将①②代入得(29)0n m -+=，由于上式对任意实数都成立，所以92n =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使平分PM 平分∠APB. 13分 考点：1.椭圆的简单几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.斜率公式.19．（1）722,7516(),84n n n n a n -+≤⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）第九年. 【解析】试题分析：（1）可知7n ≤时，n a 构成等差数列；8n ≥时n a 构成等比数列.然后由条件即可得出n a 的表达式，注意写出分段函数的形式；（2）先写出nS n即n A 的表达式，然后判定其单调性，得出n A 是增函数，从而求出12n A ≥时n 的取值范围.所以得到第九年需要更新该生产线.试题解析：（1）当7n ≤时，数列{}n a 是首项为4，公差为2的等差数列，42(1)22n a n n ∴=+-=+ 3分当8n ≥时，数列{}n a 是首项为7a ，公比为54的等比数列，又716a =，7516()4n n a -∴=⨯∴n a 的表达式为722,7516(),84n n n n a n -+≤⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩ 6分 （2）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当17n ≤≤时，24(1)3n S n n n n n =+-=+当8n ≥时，由777751()55470,1680()1054414n n n S S S ---==+⨯⨯=⋅--该生产线前n 年设备低劣化平均值为73,17580()104,8n n n n n S A n n n -+≤≤⎧⎪⎪==⎨⋅-⎪≥⎪⎩9分 当17n ≤≤时，数列{}n A 为单调递增数列；当8n ≥时，11n n S S n n+-+7580()(1)10440(1)n nn n -⋅-+=>+， 所以{}n A 为单调递增数列. 11分 又7891012,11.2512,12.7812,789S S S=<=<≈>则第九年需要更新该生产线. 13分 考点：1.等差及等比数列的通项公式；2.等差及等比数列的求和公式；3.数列的单调性. 20．（1）()f x 在(,0)-∞上单调递减，()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）(1,]e . 【解析】试题分析：（1）先对()f x 求导，分析出导函数是单调递增的，并得(0)0f '=.从而得到(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>.即求出函数()f x 的单调区间；（2）先由（1）中的单调区间知12m ,m 异号.再证明结论：当1a >时，对任意的0x >有()()f x f x >-成立；01a <<时，对任意的0x >有()()f x f x <-成立.从而得出当1a >时，有120m m +<成立.然后在1a >的范围内研究对12,[1,1],x x ∀∈-12()()1f x f x e -≤-恒成立问题.通过在[1,1]-求()f x 的最值，再由最大值与最小值的差要小于或等于1e -从而得到实数a 的取值范围. 试题解析：（1）()ln 2ln x f x a a x a '=+-，令()ln 2ln x g x a a x a =+-，则2()ln 20x g x a a '=+>，从而()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，即()f x '在(,)-∞+∞内单调递增，又(0)0f '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,0)-∞上单调递减，()f x 在(0,)+∞上单调递增. 4分 （2）①由（1）可知，当12m m ≠，12()()f m f m = 时，12m ,m 必异号，不妨设10m >，20m <. 我们先证明一个结论：当1a >时，对任意的0x >有()()f x f x >-成立；01a <<时，对任意的0x >有()()f x f x <-成立.事实上，22()()ln ln x x f x f x a x x a a x x a ->-⇔+->++2ln 0x xa a x a -⇔-->构造函数()2ln x x t x a a x a -=--，()ln ln 2ln ln (2)x x x x t x a a a a a a a a --'=+-=+-220x x a a -+-≥=，(当且仅当0x =时等号成立).又(0)0t =当(0,1)a ∈时，()0t x '≤，所以()t x 在(0,)+∞上是单调递减，()(0)0t x t <=此时，对任意的0x >有()()f x f x <-成立.当(1,)a ∈+∞时，()0t x '≥，所以()t x 在(0,)+∞上是单调递增，()(0)0t x t >=此时对任意的0x >有()()f x f x >-成立；当1a >时，211()()()f m f m f m =>-，由于()f x 在∞（-，0）上单调递减，所以21m m <-，120m m +<.同理01a <<，120m m +>.当12()()f m f m =时，当且仅当1a >时，有120m m +<成立. 8分 ②1a >时，由（1）可得min [()](0)1f x f ==，max [()]max{(1),(1)},f x f f =- 又11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln ,f f a a a a a a a--=+--++=-- 构造函数1()2ln ((1,))h a a a a a =--∈+∞，2'2212(1)()10,a h a a a a-=+-=≥所以()h a 在上[1,)+∞单调递增，又(1)0h =所以，当1a >时()0h a >，即(1)(1)f f >-，所以max [()](1)1ln f x f a a ==+-.因为1212max min ,[1,1],()()()()ln x x f x f x f x f x a a ∀∈--≤-=-,若要题设中的不等式恒成立，只需ln 1a a e -≤-成立即可.构造函数()ln 1,(1,)a a a e a ϕ=---∈+∞,11()10a a a aϕ-'=-=>所以()a ϕ在(1,)+∞上递增. 又()0e ϕ=所以，由()0a ϕ≤得a e ≤, 12分 又1a >所以1a e <≤, 因此a 的取值范围为(1,]e . 13分 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数的最值；3.常见函数的求导法则.。