2016长郡中学理科实验班招生考试数学试卷

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若复数174a i--（,a R i ∈是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 2.以下四个命题，正确的是（ ）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程^0.212y x =+中，当变量x 每增加一个单位时，变量y 一定增加0.2单位； ④对于两分类变量X 与Y ，求出其统计量2K ，2K 越小，我们认为“X 与Y 有关系”的把握程度越小.A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④3.在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是3，则输入的实数x 的取值范围是（ ） A ．(4,10] B ．(2,)+∞ C ．(2,4] D ．(4,)+∞4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中11116,2O A O C ==，则该几何体的侧面积为（ ） A ．64 B ．80 C ．96 D ．1285.将函数()f x 的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足12|()()|2f x g x -=的12,x x ，有12min ||3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π6.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（ ） A ．932 B ．12 C ．364 D ．5647.已知函数()ln 1()f x k x k R =+∈，函数2()(45)g x f x x =-+，若存在实数k 使得关于x 的方程()sin04g x x π+=有且只有6个实数根，则这6个根的和为（ ）A ．3πB ．6C ．12D ．12π8.在菱形ABCD 中，60A =，AB =ABD ∆折起到PBD ∆的位置，若三棱锥P BCD -，则二面角P BD C --的正弦值为（ ）A ．13 B ．12 C D 9.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于点,B C ，且2||||B C C F =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD10.已知点(1,1),(4,0),(2,2)A B C -，平面区域D 由所有满足(1,1)AP AB AC a b λμλμ=+<≤<≤的点(,)P x y 组成的区域，若区域D 的面积为8，则a b +的最小值为（ ） AB ．2C ．4D ．8 11.已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，且10a b >，则112a b+的最小值为（ ） A．3- B ．3 C． D．3+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知集合2{|230}A x R x x =∈--<，{|1}B x R x m =∈-<<，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 .14.在等差数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，d 为数列{}n a 的公差，若对任意*n N ∈，都有0n S >，且249a a =，则d 的取值范围为 .15.设椭圆22:143x y C +=与函数tan 4x y =的图象相交于12,A A 两点，若点P 在椭圆C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是 .16.已知11k k n n kC nC --=（1k n ≤≤，且*,k n N ∈）可以得到几种重要的变式，如：1111k k n n C C k n--=，将1n +赋给n ，就得到11(1)k k n n kC n C -+=+，…，进一步能得到： 121101122111111111222222(12)3n n n n n n n n n n n n n C C nC nC nC nC nC n n ---------+∙++∙=+∙+∙++∙=+=∙.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：122311111111()()()3233313nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯++⨯=+ . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分） 已知函数()sin(2)cos 26f x x x π=++.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边为,,a b c ，已知()f A =，2,3a B π==，求ABC∆的面积.18. （本小题满分12分）《环境空气质量指标（AQI ）技术规定（试行）》如表1： 表1：空气质量指标AQI 分组表表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI 指数M 与当天的空气水平可见度()y km 的情况.表2：表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI 指数频数统计表.表3：（1）设100Mx =，根据表2的数据，求出y 关于x 的回归方程； （2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI 指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI 指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI 指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.（用最小二乘法求线性回归方程系数公式^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.）19. （本小题满分12分）如图所示，异面直线,AB CD互相垂直，AB =，BC =，1CD =，2BD =，3AC =，截面EFGH 分别与,,,BD AD AC BC 相交于点,,,E F G H ，且//AB 平面EFGH ，//CD 平面EFGH .（1）求证：BC ⊥平面EFGH ； （2）求二面角B AD C --的正弦值.20. （本小题满分12分）如图，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点12,P P ，过12,P P 作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且12PQ P Q ⊥. （1）求抛物线C 和圆Q 的方程； （2）过点F 作倾斜角为()64ππθθ≤≤的直线l ，且直线l 与抛物线C 和圆Q 依次交于,,,M A B N ，求||||MN AB 的最小值.21. （本小题满分12分） 已知函数2()(1)xf x x e-=+，3()12cos 2x g x ax x x =+++，当[0,1]x ∈时， （1）求证：11()1x f x x-≤≤+； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，弦CE 交AB 于D ，CD =DE =2BD =. （1）求圆O 的半径R ； （2）求线段BE 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 是参数）.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且||AB =，求直线的倾斜角α的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 关于x 的不等式lg(|3||7|)x x m +--<. （1）当1m =时，解此不等式；（2）设函数()lg(|3||7|)f x x x =+--，当m 为何值时，()f x m <恒成立？参考答案一、选择题 DDACD ACCCC DB可求22ab c x c -=，22a y c =，即2222(,)ab c a B c c-，代入双曲线可求1)b a =，则e =法二：由定义1||2BF a =，2||4BF a =，在12BF F ∆中，22212(2)(2)(4)cos 222a c a bBF F a c c+-∠==⨯⨯，化简求得1ba=，则e =法三：由双曲线定义得1||2BF a =，2||4BF a =，设切点为M ，在1R t F O M ∆中，1||MF b =，过2F 作2F H 垂直直线1CF 于点H ，则11||2||2F H MF b ==，2||2F H a =，∴||BH ==，∴11||||||22FH BF BH a b =+=+=，即1)b a =，则e =.10．【解析】由(1,1),(4,0),(2,2)A B C -，知(3,1),(1,3)AB AC ==， 设AB 与AC 的夹角为θ， 则3cos 5||||10AB AC AB AC θ∙===，所以4sin 5θ=，又由题意平面区域D 的面积4(1)||(1)||sin (1)(1)1085S a AB b AC a b θ=-∙-∙=--⨯⨯=， 解得0ab a b --=， ∴2()2a b a b ab ++=≤，∴4a b +≥. 选C. 11．【解析】由已知：(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，则：233a a +=，455a a +=-，677a a +=，899a a +=-，…，201420152015a a +=，201620172017a a +=-，则：20171(1008)1007S a b =+-=--， 则：11a b +=，∴1111121212()()123ab a b a b a b a b+=++=+++≥+，选D. 12．【解析】因为,ηξ是方程()0f x =的根，且ξ是重根，则32()()()f x x bx c x x ηξ=++=--，即得22202b c ηξηξξηξ+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，由(1,1)x ηξ∈++，则(21,1)x ξξ∈-++，又由01ξη<-<，则103ξ<<，203η-<<， 则32'23(2)()3(2)c b x x b x c b g x x x b x xηη-+-+++-+=-+++=， 令3232232()3(2)3(23)232h x x x b x c b x x x ηξξξξ=-+++-+=-+-++-， 则'22()3(1)(31)h x x ξ=--+，当(21,1)x ξξ∈-++时，''()(21)(31)(31)0h x h ξξξ<-+=+-<，所以()h x 在(1,1)ηξ++上是减函数，而323(21)82(31)(22)0h ξξξξξξ-+=-+++-=，当(21,1)x ξξ∈-++时，()(21)0h x h ξ<-+=，所以()g x 在(21,1)ξξ-++上是减函数，选择B.二、填空题13. (3,)+∞ 14. 15. 33[,]8416. 114[()1]13n n +-+ 【解析】由11(1)k k n nkC n C -+=+，得11111k k n n C C k n -+=+，111111()()313k k k k n n C C k n -+=+， 所以0122311111111()()()3233313n n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+++ 0011221111111111111()()()()13131313n n n n n n C C C C n n n n +++++=⨯+⨯+⨯++++++ 111114[(1)1][()1]1313n n n n ++=+-=-++. 三、解答题 17. ()sin(2)cos 2sin 2coscos 2sincos 2666f x x x x x x πππ=++=++312cos 23(sin 22))22223x x x x x π=+=+=+ 令222232k x k πππππ-+≤+≤+5,1212k x k k Z ππππ⇒-+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈.（2）由()f A =，1sin(2)32A π+=，又203A π<<，52333A πππ<+<，因此5236A ππ+=，解得：4A π=.由正弦定理：sin sin a bA B=，得b =又由4A π=，3B π=可得sin C =故1sin 2ABC S ab C ∆==. 18．【解析】：（1）973154x +++==，0.5 3.5 6.59.554y +++==，4190.57 3.53 6.519.558j jj x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222219731140j j x ==+++=∑，所以258455211404520b -⨯⨯==--⨯，21415()5204a =--⨯=，所以y 关于x 的回归方程是2141204y x =-+.（2）由表3知AQI 不高于200的频率为0.1，AQI 指数在200至400的频率为0.2，AQI 指数大于400的频率为0.7.设“洗车店每天亏损约200元”为事件A ，“洗车店每天收入约400元”为事件B ，“洗车店每天收入约700元”为事件C ，则()0.1P A =，()0.2P B =，()0.7P C =，（ⅰ）设洗车店每天收入为X 元，则X 的分布列为则X 的数学期望为2000.14000.27000.7550EX =-⨯+⨯+⨯=（元）.（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含12,3,21,12,3A C B B C B C C 五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：322222233330.20.70.10.70.20.20.70.70.876P C C C =+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=.19．【解析】（1）∵//AB 平面EFGH ，又∵AB ⊂平面ABD ，平面ABD平面EFGH EF =，∴//AB EF ，同理//CD HE ，∵3AB BC AC =，∴222AB BC AC +=，∴AB BC ⊥，同理BC DC ⊥，∴BC EF ⊥，同理BC EH ⊥，又∵,EF EH 是平面EFGH 内的两相交直线，∴BC ⊥平面EFGH .（2）由（1）及异面直线,AB CD 互相垂直知，直线,,AB BC CD 两两垂直，作//Cz BA ，建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则(0,0,0),(1,0,0),C D B A ，∵x 轴⊂平面ACD ，∴平面ACD 的一个法向量可设为(0,,1)n y =，∵(1DA =-，∴00D A n ∙=++，得：y =即(0,2,1n =-，又∵z 轴//平面ABD ，∴平面ABD 的一个法向量可设为(,1,0)m x =，∴0DA m x ∙=-=，得x =(3,1,0)m =，设二面角B AD C --的大小为θ，那么||2|cos |6||||23n m n m θ∙===，∴sin 6θ=，∴二面角B AD C --的正弦值为620．【解析】（1）因为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，所以12p=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.由抛物线和圆的对称性，可设圆222:()Q x y b r +-=，∵12PQ P Q ⊥，∴12PQP ∆是等腰直角三角形，则01245QPP ∠=，∴2(,)22P r b -，代入抛物线方程有242r b =-.由题可知在12,P P 处圆和抛物线相切，对抛物线24x y =求导得'2xy =，所以抛物线在点2P 处切线的斜率为4k =.由01245QPP ∠=，知14k ==，所以r =242r b =-，解得3b =. 所以圆Q 的方程为22(3)8x y +-=.（2）设直线l 的方程为1y kx =+，且tan [3k θ=∈， 圆心(0,3)Q 到直线l 的距离为d =，∴||AB == 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得22(24)10y k y -++=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则21242y y k +=+，由抛物线定义知，212||24(1)MN y y k =++=+，所以2||||16(1MN AB k ∙=+设21t k =+1k ≤≤，所以423t ≤≤，所以4||||16(2)3MN AB t ∙===≤≤，所以当43t =时，即3k =||||MN AB 有最小值3. 21.要证[0,1]x ∈时，2(1)1x x ex -+≥-，只需证明(1)(1)x x x e x e -+≥-. 记()(1)(1)x x h x x e x e -=+--，则'()()x x h x x e e -=-，当(0,1)x ∈时，'()0h x >，因此()h x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0h x h ≥=， 所以()1,[0,1]f x x x ≥-∈.要证[0,1]x ∈时，21(1)1x x ex -+≤+，只需证明1x e x ≥+， 记()1x K x e x =--，则'()1x K x e =-，当(0,1)x ∈时，'()0k x >，因此()K x 在[0,1]上是增函数，故()(0)0K x K ≥=，所以1()1f x x≤+，[0,1]x ∈. 综上，11()1x f x x -≤≤+，[0,1]x ∈. （2）（解法一）32()()(1)(12cos )2x x f x g x x e ax x x --=+-+++ 3112cos 2x x ax x x ≥----- 2(12cos )2x x a x =-+++. 设2()2cos 2x G x x =+，则'()2sin G x x x =-， 记()2sin H x x x =-，则'()12cos H x x =-，当(0,1)x ∈时，'()0H x <，于是'()G x 在[0,1]上是减函数，从而当(0,1)x ∈时，''()(0)0G x G <=，故()G x 在[0,1]上是减函数，于是()(0)2G x G ≤=，从而1()3a G x a ++≤+，所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立.下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，31()()12cos 12x f x g x ax x x x -≤----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 21(2cos )12x x a x x =-++++. 记211()2cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++，则''21()()(1)I x G x x -=++，当(0,1)x ∈时，'()0I x <，故()I x 在[0,1]上是减函数.于是()I x 在[0,1]上的值域为[12cos1,3]a a +++.因为当3a >-时，30a +>，所以存在0(0,1)x ∈，使得0()0I x >此时00()()f x g x <，即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.（解法二）先证当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-. 记21()cos 12F x x x =-+，则'()sin F x x x =-+， 记()sinG x x x =-+，则'()c o s 1G x x =-+，当(0,1)x ∈时，'()0G x >，于是()G x 在[0,1]上是增函数，因此当(0,1)x ∈时，()(0)0G x G >=，从而()F x 在[0,1]上是增函数，因此()(0)0F x F ≥=.所以当[0,1]x ∈时，211cos 2x x -≤. 同理可证，当[0,1]x ∈时，21cos 14x x ≤-. 综上，当[0,1]x ∈时，22111cos 124x x x -≤≤-. 因为当[0,1]x ∈时， 22()()(1)(12cos )2x x f x g x x e ax x x --=+-+++ 221(1)12(1)24x x ax x x ≥------ (3)a x =-+，所以当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[0,1]上恒成立.下面证明，当3a >-时，()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立，因为22()()(1)(12cos )2x x f x g x x e ax x x --=+-+++321112(1)122x ax x x x ≤-----+ 23(3)12x x a x x =+-++ 32[(3)]23x x a ≤-+. 所以存在0(0,1)x ∈（例如0x 取33a +和12中的较小值）满足00()()f x g x <. 即()()f x g x ≥在[0,1]上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(,3]-∞-.22．【解析】（1）由相交弦定理知2AD =∙， ∴18,52AD R AB ===. （2）设BE x =，连AE ，则AEB ∆为直角三角形，且知ABE ACE ∠=∠. 在ABE ∆中，cos 10x ABE ∠=， 在DBE ∆中，2222cos 22x DBE x+-∠=∙∙，由22221022x x x+-=∙∙， 得2203x =，即x =.∴BE =. 23．【解析】（1）由4cos ρθ=，得22(2)4x y -+=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )4t t αα-+=， 化简得22cos 30t t α--=.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩，∴12||||AB t t =-===∴24cos 2α=，cos α=，4πα=或34π. 24．【解析】（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<， 可得其解集为{|27}x x <<.（2）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知010t <≤，因lg y x =在(0,)+∞上为增函数，则lg 1t ≤，当10t =，7x ≥时，lg 1t =，故只需1m >即可，即1m >时，()f x m <恒成立.。

长郡理科实验班招生 考试数学试卷（四）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.已知<COSA<Sin80°，则锐角A 的取值范围是（ ） A.6080A ︒<<︒ B.3080A ︒<<︒ C.1060A ︒<<︒D.1030A ︒<<︒2.设1x 、2x 是方程20x x k ++=的两个实根，若恰有22211222x x x x k ++=成立，则k 的值为（ ） A.1-B.12或1-C.12D.12-或13.一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的14，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如右图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了.（ ）A.20分钟B.22分钟C.24分钟D.26分钟4.内角的度数为整数的正n 边形的个数是（ ） A.24B.22C.20D.185.如图，已知E 、F 点分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 的中点，BD 、DF 分别交EC 于点C 、H ，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于（ ）A.26B.28C.24D.306.张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案.此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为（ ） A.500元 B.600元 C.700元 D.800元二、填空题（每题5分，共30分）7.若14x x-=，则2421x x x =++ .8.如右图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从4点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 .9.若化简1x -25x -，则x 的取值范围是 .10.方程20x ax b ++=的两根为1x ，2x ，且3322121212x x x x x x +=+=+，则有序实数对(),a b 共有 对.11.如右图，直角坐标系中直线AB 交x 轴，y 轴于点()4,0A 与()0,3B -，现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过 秒后动圆与直线AB 相切.12.二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值4-，则a 的值为 .三、解答题（每题10分，共40分）13.已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求：代数式432234x x y x y xy xy ++++的值.14.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，直角边BC 与直角坐标系中的x 轴重合，其内切圆的圆心坐标为()0,1P ，若抛物线221y kx kx =++的顶点为A .求： （1）求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）用k 表示B 点的坐标； （3）当k 取何值时，60ABC ∠=︒.15.如图，在△ABC 中，AC BC =，CD 是AB 边上的高线，且有23CD AB =，又E ，F 为CD 的三等分点，求证：180ACB AEB AFB ∠+∠+∠=︒.16.已知二次函数2224y x mx m =-+-的图象与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），且与y 轴交于点D.（1）当点D 在y 轴正半轴时，是否存在实数m ，使得△BOD 为等腰三角形？若存.在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（2）当1m =-时，将函数2224y x mx m =-+-的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω.当直线12y x b =+与图象Ω有两个公共点时，求实数b的取值范围.数学试卷（四）参考答案一、选择题（每题5分，共30分） 1.D 2.A 3.C 4.B. 5.B 6.B 二、填空题（每题5分，共30分）7.1198. 9.14x ≤≤ 10.311.73或17312.5三、解答题（每题10分，共40分）13.解：由已知条件可知xy 和()x y +是方程217660t t -+=的两个实数根， 16t =，261111xy t x y =⎧=⇒⎨+=⎩或116x y xy +=⎧⎨=⎩当11xy =，6x y +=时，x 、y 是方程26110y y -+=的两个根 ∵36440t ∆=-<，∴此方程没有实数根.当6xy =，11x y +=时，x ，y 是方程21160u u -+=的两个根 ∴2121240∆=->，∴此方程有实数根， 这时()2222109x y x y xy +=+-= ∴432224x x y x y xy y ++++()()44222222x y x y xy x y xy x y =+++++ ()()2222222x y x y xy x y =+-++12499=14.（1）∵221y kx kx =++，∴.对称轴1x =-，易见抛物线是以Rt △ABC 的直角边AC 所在直线为对称轴，由题易得()1,1A k --，又当0x =时，1y =，则抛物线过()0,1P ， 故开口向下.（2）如图，1AC k =-，1BC CO OB OB =+=+，AB AD BD AE OB AC CE OB OB k =+=+=-+=-， 由勾股定理得()()()22211111,0111k k k k OB OB k OB OB B k k k ---⎛⎫-++=-⇒=⇒=⇒ ⎪+++⎝⎭（3）∵60ABC ∠=︒，∴tan ABC ∠=又21tan 2k ABC k-∠==210k +-=.∴12k =，22k =-.又∵0k <，∴2k =.15.证明：∵23CD AB =，且,E F 为CD 三等分点，D 为AB 中点， ∴1132CD AB =，即AD DF =，∴45AFD ∠=︒ ∴22222AF AD DF DF FE FC =+==⋅. ∴AFE CFA ∆∆:，∴CAF AEF ∠=∠. 即∴45ACD AED AFD ∠+∠=∠=︒.∴90ACD AED AFD ∠+∠+∠=︒，所以得证.16.解：令0y =得22240x mx m -+-=，解得12x m =-，22x m =+， ∴()2,0A m -，()2,0B m +，()20,4D m -. （1）∵点D 在y 轴正半轴，∴240m ->，设存在实数m ，使得BOD ∆为等腰三角形，则BO OD =，则224m m +=-， ①当20m +>时，242m m -=+，解得3x =或2x =-（舍去）； ②当20m +<时，2420m m -++=，解得1x =或2x =-（都舍去）； ③当20m +=时，点,,O B D 重合，不合题意，舍去； 综上所述，3m =，（2）当1m =-时，223y x x =+-，则()3,0A -，()1,0B 顶点为()1,4--. 因为直线12y x b =+与图象Ω由两个公共点，则当直线12y x b =+过A 点准时32b =，当直线12y x b =+过()1,0B 时，12b =-，当直线12y x b =+与223y x x =--+只有一个公共点时，7316b =，根据图像，可得1322b -<<或7316b >.“最湖南的网课”，胡哥与他的朋友们，联合出品。

2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数a﹣(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为(）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．以下四个命题,正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位;④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2,K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④B．②③C．①③D．②④3．在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10]B．（2，+∞) C．（2,4]D．（4，+∞)4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6,O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．1285．将函数f（x)的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g(x)=sin2x的图象,若对满足|f（x1）﹣g(x2)|=2的x1,x2,有｜x1﹣x2|min=,则φ=()A． B．C．D．6．长郡中学早上8点开始上课,若学生小典与小方匀在早上7:40至8：00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典比小方至少早5分钟到校的概率为(）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x)=f(x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根,则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=,将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2｜,则双曲线的离心率为（)A． B．C． D．10．已知点A（1，﹣1）,B（4，0），C（2,2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P(x,y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（)A．B．2 C．4 D．8=n（﹣1），S n是其前n项和,若S2017=﹣1007﹣b，11．已知数列{a n｝满足a n+a n﹣1且a1b＞0,则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2D．312．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′(ξ)=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g(x)=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1)内的零点个数的说法中，正确的是（)A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点 D．可能存在3个零点二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B=｛x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数m的取值范围为．14．在等差数列{a n｝中，S n为数列{a n｝的前n项和，d为数列｛a n｝的公差，若对任意n ∈N*，都有S n＞0，且a2a4=9,则d的取值范围为．15．设椭圆C： +=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围［﹣2,﹣1］，那么直线PA1斜率的取值范围是．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如:C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=(n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nCn﹣11•21+nC n﹣12•22+…+nC n﹣1n﹣1•2n﹣1=n(1+2）n﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算:C n0×+C n1×（)2+C n2×（）3+…+Cnn×（）n+1=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．(Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知,a=2，，求△ABC的面积．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1:空气质量指标AQI分组表AQI 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km)的情况．表2:AQI指数900 700 300 100空气可见度(千米）0。

长郡理科实验班招生 考试数学试卷（三）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.下列图中阴影部分面积与算式2131242-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的结果相同的是（ ）2.对于两个数，200820092009M =⨯，200920082008N =⨯.则（ ） A.M N = B.M N > C.M N < D.无法确定3.已知1sin cos 8αα⋅=，且4590α︒<<︒，则cos sin αα-的值为（ ）B. C.34D. 4.如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（ ）A.22a -<< 2a <≤ C.2a ≤D.2a ≤≤5.向高为H 的永瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如左图所示，那么水瓶的形状是（ ）6.如图，张三同学把一个直角边长分别为3cm ，4cm 的直角三角形硬纸板，在桌面上翻滚（顺时针方向），顶点A 的位置变化为12A A A →→，其中第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，使纸板一边21A C 与桌面所成的角恰好等于BAC ∠，则A 翻滚到2A 位置时共走过的路程为（ ）A.B.8πcmC.D.4πcm二、填空题（每题5分，共30分）7.若1x =，则((3221x x x -++的值是 .8.已知⊙O 的半径1OA =，弦AB 、AC 的长分别是、，则BAC ∠的度数是 .9.如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，30BAC ∠=︒，6AB =，将ABC ∆以点B 为中心逆时针旋转，使点C 旋转至AB 边延长线上的点C '处，那么AC 边转过的图形（图中阴影部分）的面积是 .10.如图，两个反比例函数1k y x =和2ky x=在第一象限内的图象依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC x ⊥轴于点C ，交2C 于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为 .11.已知,,a b c 为实数且13ab a b =+，14bc b c =+，15ac a c =+，则abcab bc ca=++ . 12.设1C ，2C ，3C ……为一群圆，其作法如下：1C 是半径为a 的圆，在1C 的圆内作四个相等的圆2C （如图），每个圆2C 和圆1C 都内切，且相邻的两个圆2C 均外切，再在每一个圆2C 中，用同样的方法作四个相等的圆3C ，依此类推作出4C ，5C ，6C …….则（1）圆2C 的半径长等于 （用a 表示）；（2）圆k C 的半径为 （k 为正整数，用a 表示，不必证明）.三、解答题（13题12分、14题14分、15题14分，共40分）13.设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程()2222330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ，（1）若22126x x +=，求m 值； （2）求22121211mx mx x x +--的最大值.14.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位,若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i2．已知狆：p：≥1，q：｜x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（) A．（﹣∞，3]B．[2，3]C．（2，3］ D．（2，3)3．已知||=1，｜|=2，,点C在∠AOB内，且∠AOC=45°,设=m+n（m,n∈R)则等于（）A．1 B．2 C．D．4．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1)，若点M(x，y）为平面区域，上的一个动点,则•的取值范围是（)A．［﹣1，0］B．［0，1］ C．[0，2］D．［﹣1,2]5．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y,z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用(单位:元）是（）A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz6．使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在［﹣，0]上为减函数的θ值为（)A．﹣B．﹣C．D．7．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x］=e+1（e是自然对数的底数）,则f（ln2)的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+38．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，｜+t|的最小值为1．（）A．若θ确定,则|｜唯一确定B．若θ确定，则｜|唯一确定C．若｜｜确定,则θ唯一确定 D．若|｜确定，则θ唯一确定9．已知函数f（x)=sinπx的图象的一部分如左图,则右图的函数图象所对应的函数解析式为(）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．10．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2,0），（1，2,1）,（2，2,2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．(理）．12．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8,AD=5，=3，•=2，则•的值是．13．过椭圆+=1（a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为．14．已知数列｛a n}满足a1=1，a n=log n（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2…a k为正整数的k （k∈N＊)叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为．15．已知函数f（x）=cosx（x∈（0,2π）)有两个不同的零点x1,x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4,若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为．三、解答题：本大题共8小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本小题设有16、17/18三个选做题，请考生任选二题作答，如果全做,则按所做前二题计分．16．如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点，=,DE交AB于点F．（1）求证:O，C,D，F四点共圆；（2）求证：PF•PO=PA•PB．17．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ）求C1,C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R），设C2与C3的交点为M,N，求△C2MN的面积．18．（2015•铜川模拟）已知a2+b2=1，c2+d2=1．（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．（Ⅱ）求a+b的取值范围．19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,，BC=1，P为△ABC内一点,∠BPC=90°（Ⅰ)若，求PA；(Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．20．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，又，求F(2）+F（﹣2）的值；（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立，求实数b的取值范围．21．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值;（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．22．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和椭圆C2:=1,离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；(Ⅱ）设P为椭圆C2上一点,过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．23．已知函数．（I）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围;（II）当m=1，且1≥a＞b≥0时,证明：．2015—2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上)第一次月考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，若=1﹣i,则z的共轭复数为(）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．【解答】解：∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．2．已知狆：p：≥1,q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，3］B．［2,3]C．（2，3]D．(2，3）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】求出p，q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由≥1，即≥0，解得2＜x≤3，由｜x﹣a｜＜1得a﹣1＜x＜a+1，若p是q的充分不必要条件，则，解得2＜a≤3．实数a的取值范围为（2，3]．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．3．已知｜|=1，||=2,,点C在∠AOB内,且∠AOC=45°，设=m+n（m，n∈R）则等于(）A．1 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】通过建立直角坐标系,利用向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式即可得出．【解答】解:如图所示，则A（1，0），B(0，2）．设C（x,y)．∵=m+n（m，n∈R），∴（x，y)=m（1，0)+n（0，2）=（m，2n)．∴x=m，y=2n．∵∠AOC=45°，∴==，解得．故选B．【点评】熟练掌握向量的坐标运算和数量积运算及其夹角公式是解题的关键．4．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）,若点M（x，y）为平面区域,上的一个动点,则•的取值范围是（）A．［﹣1，0］B．［0，1］ C．[0，2］D．[﹣1，2］【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【专题】数形结合．【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后,逐一代入•分析比较后，即可得到•的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时,•=﹣1×1+1×1=0当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1当x=0,y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故•和取值范围为[0，2］解法二:z=•=﹣x+y,即y=x+z当经过P点（0，2)时在y轴上的截距最大,从而z最大，为2．当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小,从而z最小,为0．故•和取值范围为[0，2］故选:C【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．5．有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x,y，z，且x＜y＜z,三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（)A．ax+by+cz B．az+by+cx C．ay+bz+cx D．ay+bx+cz【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】作差法逐个选项比较大小可得．【解答】解：∵x＜y＜z且a＜b＜c，∴ax+by+cz﹣（az+by+cx)=a(x﹣z）+c（z﹣x）=（x﹣z）（a﹣c）＞0,∴ax+by+cz＞az+by+cx；同理ay+bz+cx﹣（ay+bx+cz)=b（z﹣x)+c(x﹣z）=（z﹣x）(b﹣c）＜0，∴ay+bz+cx＜ay+bx+cz；同理az+by+cx﹣（ay+bz+cx）=a(z﹣y）+b（y﹣z）=（z﹣y）（a﹣b）＜0，∴az+by+cx＜ay+bz+cx,∴最低费用为az+by+cx故选:B【点评】本题考查函数的最值,涉及作差法比较不等式的大小，属中档题．6．使奇函数f（x）=sin(2x+θ)+cos（2x+θ）在［﹣，0］上为减函数的θ值为（)A．﹣B．﹣C．D．【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】首先根据已知将函数f(x)化简为f（x)=2sin(2x+θ+），然后根据函数的奇偶性确定θ的取值,将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项．【解答】解：由已知得:f（x）=2sin（2x+θ+），由于函数为奇函数，故有θ+=kπ即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰B、C选项然后分别将A和D选项代入检验，易知当θ=时,f（x)=﹣2sin2x其在区间[﹣,0］上递减，故选D、故答案为：D【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和单调性，通过对已知函数的化简，判断奇偶性以及单调性,通过对选项的分析得出结果．考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用，属于基础题．7．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x,都有f[f（x)﹣e x]=e+1(e是自然对数的底数），则f（ln2)的值等于（)A．1 B．e+l C．3 D．e+3【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f （x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t,则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数,∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1,即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．8．设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t｜的最小值为1．（）A．若θ确定，则｜｜唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若｜｜确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定【考点】平面向量数量积的运算；零向量；数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得（+t）2=+2t+，令g（t）=+2t+，由二次函数可知当t=﹣=﹣cosθ时，g（t）取最小值1．变形可得sin2θ=1，综合选项可得结论．【解答】解：由题意可得（+t）2=+2t+令g（t）=+2t+可得△=4﹣4=4cos2θ﹣4≤0由二次函数的性质可知g（t）≥0恒成立∴当t=﹣=﹣cosθ时，g（t)取最小值1．即g（﹣cosθ)=﹣+=sin2θ=1故当θ唯一确定时，||唯一确定，故选：B【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及二次函数的最值，属中档题．9．已知函数f（x）=sinπx的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对应的函数解析式为(）A．B．y=f（2x﹣1）C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换．【专题】作图题．【分析】先由图象的周期进行排除不符合的选项，再结合函数的图象所过的特殊点进行排除错误的选项,从而找出正确的选项即可．【解答】解:由已知图象可知,右图的周期是左图函数周期的,从而可排除选项C，D对于选项A：，当x=0时函数值为﹣1，从而排除选项A故选:B【点评】本题主要考查了三角函数的图象的性质的应用，考查了识别图象的能力，还要注意排除法在解得选择题中的应用．10．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），(2,2，0），（1，2,1）,（2，2，2）,给出的编号为①，②,③,④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【考点】简单空间图形的三视图．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则,可得结论．【解答】解：在坐标系中,标出已知的四个点，根据三视图的画图规则,可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】本题考查三视图的画法,做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（理)π+2．【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．【解答】解：（x+sinx）=+1﹣(﹣1)=π+2，故答案为π+2．【点评】此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质,解题的关键是找出原函数．12．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由=3，可得=+，=﹣,进而由AB=8，AD=5,=3，•=2，构造方程,进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+)•（﹣）=｜|2﹣•﹣｜｜2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．13．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e ﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，)或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力,属基础题．14．已知数列｛a n｝满足a1=1,a n=log n(n+1）（n≥2,n∈N*)．定义：使乘积a1•a2…a k为正整数的k(k∈N*)叫做“易整数"．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为2036．【考点】数列的函数特性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，及对数的换底公式知，a1•a2•a3…a k=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可．【解答】解：∵a n=log n（n+1），∴由a1•a2…a k为整数得1•log23•log34…log k(k+1)=log2（k+1)为整数,设log2（k+1）=m,则k+1=2m,∴k=2m﹣1；∵211=2048＞2015，∴区间［1，2015］内所有“易整数”为：21﹣1，22﹣1,23﹣1，24﹣1,…，210﹣1，其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．故答案为：2036．【点评】本题以新定义“易整数"为切入点,主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用．15．已知函数f(x)=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1,x2，且方程f(x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为﹣．【考点】函数的零点．【专题】计算题．【分析】函数f(x)=cosx（x∈（0,2π））有两个不同的零点x1,x2，可知x1=，x2=π，因为方程f （x)=m有两个不同的实根x3，x4,若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：m＞0和m＜0,再利用等差数列的性质进行求解;【解答】解:函数f(x）=cosx(x∈(0，2π））有两个不同的零点x1，x2，∴x1=，x2=π，∵方程f(x)=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，若m＞0则，x3,，π，x4,构成等差数列，可得公差d=﹣=π，则x1=﹣π=﹣＜0，显然不可能；若m＜0则，，x3,x4，π,构成等差数列，可得公差3d=﹣，解得d=，∴x3=+，m=cosx3==﹣，故答案为：﹣;【点评】此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题,涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；三、解答题：本大题共8小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本小题设有16、17/18三个选做题，请考生任选二题作答，如果全做，则按所做前二题计分．16．如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，=，DE 交AB于点F．（1)求证：O,C，D，F四点共圆；（2）求证：PF•PO=PA•PB．【考点】相似三角形的判定．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）连接OC,OE,证明∠AOC=∠CDE，可得O，C，D，F四点共圆;（2)利用割线定理,结合△PDF∽△POC，即可证明PF•PO=PA•PB．【解答】证明:（1）连接OC，OE，因为=，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…又因为∠CDE=∠COE,则∠AOC=∠CDE，所以O，C，D，F四点共圆．…（2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，所以PD•DC=PA•PB,…因为O，C，D，F四点共圆，所以∠PDF=∠POC，又因为∠DPF=∠OPC，则△PDF∽△POC，所以,即PF•PO=PD•PC，则PF•PO=PA•PB．…【点评】本题考查四点共圆,考查割线定理，三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．17．在直角坐标系xOy中,直线C1：x=﹣2,圆C2:（x﹣1）2+（y﹣2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程；(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R)，设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：(Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2:（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：(x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴｜MN|=｜ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．ρ【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义,属于基础题．18．（2015•铜川模拟)已知a2+b2=1，c2+d2=1．（Ⅰ）求证：ab+cd≤1．（Ⅱ）求a+b的取值范围．【考点】不等式的证明．【专题】综合题；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ)利用综合法，结合基本不等式，即可得出结论；（Ⅱ)设=（a，b），=(1，），利用｜⋅｜≤|｜⋅||，可求a+b的取值范围．【解答】（I）证明：∵a2+b2≥2ab，c2+d2≥2cd，∴a2+b2+c2+d2≥2（ab+cd），当且仅当a=b=c=d=时取“=”…又∵a2+b2=1,c2+d2=1∴2(ab+cd）≤2 …∴ab+cd≤1 …（Ⅱ）解：设=（a，b），=（1,）,∵｜⋅|≤｜|⋅｜｜，…∴|a+b｜≤2=2，∴﹣2≤a+b≤2∴a+b的取值范围为［﹣2，2]．…【点评】本题考查不等式的证明,考查求a+b的取值范围，正确运用基本不等式,合理构造向量是关键．19．如图,在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点,∠BPC=90°（Ⅰ）若,求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°,求tan∠PBA．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】(I)在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中,由正弦定理得，即,化简即可求出．【解答】解：(I)在Rt△PBC中，=,∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．(II）设∠PBA=α,在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α)=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．20．已知函数f（x）=ax2+bx+c(a＞0，b∈R，c∈R）．（Ⅰ)若函数f（x）的最小值是f（﹣1）=0,且c=1，又，求F（2）+F(﹣2)的值；(Ⅱ）若a=1，c=0，且|f(x）｜≤1在区间（0，1］上恒成立，求实数b的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ)根据函数f(x）的最小值是f（﹣1）=0，且c=1，建立方程关系,即可求F（2)+F（﹣2）的值；(Ⅱ)将不等式｜f（x）|≤1在区间（0，1]上恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）据题意，，得，∴f（x）=x2+2x+1=(x+1)2，于是，∴F（2)+F（﹣2）=（2+1）2﹣（﹣2+1）2=8．（Ⅱ）a=1，c=0时，f（x）=x2+bx，｜x2+bx|≤1在区间（0，1］上恒成立,等价于﹣1≤x2+bx≤1对0＜x≤1恒成立，即，即，在0＜x≤1时，在x=1时取最大值﹣2，而在x=1时取最小值0，故b≥﹣2且b≤0,于是﹣2≤b≤0．【点评】本题主要考查函数值的计算以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键．21．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．（1）求异面直线AC与PB所成的角的余弦值；（2）求直线BC与平面ACM所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积，求AC与PB所成的角的余弦值，（2）设=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，求出法向量，利用空间向量的数量积，直线BC与平面ACM所成角的正弦值．【解答】解：（1)以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0,0）,P（0，0，1），C（1，1,0）,B（0,2,0），M（0，1,）,所以=(1，1,0)，=（0，2，﹣1）,|｜=，||=，=2，cos（，）==，（2）=(1，﹣1，0），=（1，1，0）,=（0，1，）,设=（x,y，z）为平面的ACM的一个法向量，则，即,令x=1,则y=﹣1，z=2，所以=（1，﹣1,2）,则cos＜，＞===，设直线BC与平面ACM所成的角为α,则sinα=sin[﹣＜,＞]=cos＜,＞=．【点评】本小题考查空间中的异面直线所成的角、线面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．22．已知椭圆C1:+=1（a＞b＞0)和椭圆C2：=1,离心率相同，且点（，1)在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ)设P为椭圆C2上一点,过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C1的方程；(Ⅱ）分类讨论，AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立,再表示出△AOC的面积，代入化简，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ)由题知，且即a2=4，b2=2,∴椭圆C1的方程为;…（Ⅱ）当直线AC的斜率不存在时,必有，此时｜AC|=2,…当直线AC的斜率存在时,设其斜率为k、点P（x0，y0），则AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立，得,设A（x1，y1），C（x2，y2),则,即x0=﹣2ky0…又,∴…==综上，无论P怎样变化，△AOC的面积为常数．…【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定△AOC的面积,正确代入计算是难点．23．已知函数．（I)若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（II)当m=1，且1≥a＞b≥0时，证明:．【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）整理函数求出函数的定义域，对函数求导,根据定义域得到函数的导函数小于0不能恒成立，所以只能整理导函数大于0恒成立，分离参数得到结论．（II）当m=1时,构造新函数g（x），对新函数求导，得到新函数在［0，1]上递增，利用递增函数的定义，写出递增所满足的条件，在构造新函数h（x)，同理得到函数在［0，1]上递减，得到递减的条件,得到结论．【解答】解:（I)，∴．对，,故不存在实数m，使对恒成立，由对恒成立得，m≥对恒成立而＜0，故m≥0经检验，当m≥0时，对恒成立∴当m≥0时，f(x)为定义域上的单调递增函数．(II）证明:当m=1时，令，在［0，1]上总有g′（x）≥0，即g（x）在[0,1］上递增∴当1≥a＞b≥0时，g（a）＞g（b)，即．令，由（2）知它在［0，1］上递减，∴h（a）＜h（b）即综上所述，当m=1，且1≥a＞b≥0时，＜．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，考查根据需要构造新函数，考查递增函数的定义，考查函数的恒成立问题，考查解决问题的能力和分析问题的能力,是一个中档题．。

最全长郡理科实验班招生考试数学试卷（一）时量：60分钟满分：100分一选择题（每题5分，共30分）l.已知α为实数，则代数式27−12α＋2a2的最小值为（）A.0B.3C.33D.92.若n为整数，则能使n+1n−1也为整数的n的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个·3.已知α，b为实数，且αb=1，设M=a a+1+b b+1,N=1a+1+1b+1,则M、N的大小关系是A..M>NB.M=NC.M<N.D.无法确定4.一张圆桌旁有四个座位如图，A,B,C,D四人随机坐在四个座位上，则A与D相邻的概率是（）A.23B12C14 D.295.如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A.2πB.πC.23D.46.如图，平面中两条直线l1，和l2相交子点0，对于平面上任意一点M，若P,q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p1,q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是（0,1)的点有1个；②“距离坐标”是（5，的的点有4个；③“距离坐标”是（α，α），（α为非负实数）的点有4个．其中正确的有其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每题5分，共30分）7.已知α，b,C是实数，且α2+6b＝-17,b2+8c=-23,c2+2α＝14，则α＋b+c=.8.已知关于 的不等式（2α-b）＞b的解集是 棨−12，则a b b+-36a3=.9.对正实数α，b作定义a∗b=ab−a+b，若4*x=44，则x的值是.10.在△ABC中，AB=4C,∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E 两点，连结CD，如果AD=l，则tan∠BCD的值为.11.已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB的长为12.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的是基叫做中裆题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道．三、解答题（每题10分，共40分）13.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台．为丁配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台．(1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最卢大实惠，每台彩电应降价多少元？(2）每告彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？14.已知点M,N的坐标分别为（0,1),(0,-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP、NQ，求证：∠PNM=∠QNM.15、已知关于x的方程（m2−1）x2−33m−1+18=0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0，求：（1）m的值；（2）△ABC的面积；16.直线y=x−10与x轴交于A点，点B在第一象限，且AB=35，以cos∠OAB=25 (1）若点C是点B关于x轴的对称点，求过0、C、A三点的抛物线的表达式(2）在(1）中的抛物线上是否存在点P(P点在第一象限），使得以点P、0、C、A为顶点的囚边形是梯形？若存在，求出点O的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若将点O、A分别变换为点Q(-4m,0),R(6m,0）（m 0且为常数）），设过Q、R两点且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S∆QNM，△QNR的面积为S∆QNR，求S∆QNM:S∆QNR的数学试卷（一）参考答案一、选择题（每题5分，共30分）1.B2.D3.B4.A5.C6.B二、填空题（每题5分，共30分）7.-88.-39.3610.12 11.55312.20三、解答题（每题10分，共40分）13.解：设每台彩电降价x 元（0<x<400），商场销售这种彩电平均每天的利润为y 元，则有y =3000−2600−x 6+=350（x 2−−4000）……………………4分(1）因为要每天盈利3600元，则y=36002−300x −4000=3600所以x 2−300x +2000=0，解得x=100或俨200,又因为要使百姓得到最大实惠，则每台要降价200元．…………………………7分(2)∵y =350x 2−300x −4000=350（x −150）2+3750∴当x=150时，y 取得最大值为3750,所以每台彩电降价150元时，商场的利润最高为3750元．………………10分14.解：（1）设点P 的坐标为（x 0，14x 02），则PM===14x02+1；……………………4分（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H、R，由（1）知PH=PM,MN、QR都垂直于直线y=-1，所以PH//MH//QR，于是QM EN=MP NH,所以QR RN=PH HN,因此，Rt∆PHN∽Rt∆QNM.………………………………9分于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM。

数学试卷28时间：75分钟 满分：100分一、选择题（每小题4分，共32分）1、当3=x 时，代数式332)1()2(x x -+-的值是（ ） A 、3B 、321-C 、323-D 、132-2、已知一直角三角形的三边长为a 、b 、c 、∠B ＝90°，那么关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）A 、有两个相等的实根B 、有两个不相等的实根C 、没有实数根D 、无法确定3、两年期定期储蓄的年利率为2.25％，按国家规定，所得利息要缴纳20％的利息税，王大爷于2002年6月存入银行一笔钱，两年到期时，共得税后利息540元，则王大爷2002年6月的存款为（ ）A 、20000元B 、18000元C 、15000元D 、12800元4、如图，MN 是⊙O 的直径，若∠A ＝20°，∠PMQ ＝50°，以PM 为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（ ）A 、正七边形B 、正八边形C 、正六边形D 、正十边形5、如图，AB=AC ，EA=ED ，∠BAD ＝20°， ∠EDC ＝10°，则∠B 的度数为（ ）A 、45°B 、50°C 、55°D 、不能确定6、已知非零实数a 、b 满足0122=+-+++b a b ab a ，则ba 11+的值等于（ ） A 、－1 B 、0C 、1D 、27、若函数|)196100|196100(2122+-++-=x x x x y ，则自变量x 取1,2,3,4,…99,100这100个自然数时，函数值的和为（ ）AB DCE学校 姓名 性别 联系电话 考场号A 、540B 、390C 、194D 、978、设x 1、x 2是方程020*******=+-x x 的两个实根，实数a 、b 满足：2004,200320042200412003220031=+=+bx ax bx ax ，则2005220051bx ax +的值为（ ）A 、2005B 、2003C 、－2005D 、－2003二、填空题（每小题4分，共32分）9、已知实数a 满足a a-a||=+-20032002，则22002-a 的值为 。

2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a+1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）B．[﹣1，2]C．[﹣2，1]D．[2，+∞）2．（5分）设复数w＝（）2，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）“a＜0”是“函数f（x）＝|x（ax+1）|在区间（﹣∞，0）内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设函数f（x）＝e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）5．（5分）将函数y＝sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（）A．B．﹣C．D．6．（5分）已知点M（1，0），A，B是椭圆+y2＝1上的动点，且＝0，则•的取值是（）A．[，1]B．[1，9]C．[，9]D．[，3] 7．（5分）如图所示程序框图中，输出S＝（）A．45B．﹣55C．﹣66D．668．（5分）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（）A．1B．C．D．与M点的位置有关10．（5分）已知点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是（）A．B．C．D．11．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为11，则a+b的最小值为（）A．2B．4C．6D．812．（5分）设函数f（x）＝，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20B．20C．﹣15D．15二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则|a0|+|a1|+|a3|＝．14．（5分）给定双曲线C：x2﹣＝1，若直线l过C的中心，且与C交M，N两点，P为曲线C上任意一点，若直线PM，PN的斜率均存在且分别记为k PM、k PN，则k PM•k PN ＝．15．（5分）已知，点P（x，y）的坐标满足，则的取值范围为．16．（5分）在数列{a n}中，a1＝1，3n﹣1a n＝3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），S n是数列{}的前n项和，当不等式（m∈N*）恒成立时，m•n的所有可能取值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知函数f（x）＝sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．（1）求函数f（x）在区间[﹣，π]上的最大值和最小值；（2）已知a，b，c分别为锐角三角形ABC中角A，B，C的对边，且满足b＝2，f（A）＝﹣1，a＝2b sin A，求△ABC的面积．18．（12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015年的统计数据：（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y＝bx+a；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M的直线l与椭圆C相交于A、B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，问：k1+k2是否为定值？并证明你的结论．21．（12分）设f（x）＝（a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．（1）设关于x的方程log a＝g（x）在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；（2）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：g（k）＞；（3）当0＜a≤时，试比较|f（k）﹣n|与4的大小，并说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB＝FC；（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝3，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ＝，求直线被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x+|（a＞0）（I）当a＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：f（m）+．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由4﹣x2≥0，解得﹣2≤x≤2，∴A＝[﹣2，2]．∵A∪B＝A，∴，解得﹣2≤a≤1．故选：C．2．【解答】解：∵＝＝．a为实数，∴复数w＝（）2＝﹣+＝a+，∵w的实部为2，∴a＝2则w的虚部为＝﹣．故选：A．3．【解答】解：当a＜0时，f（x）＝|ax2+x|═|a（x+）2|，则函数f（x）的对称轴为x＝﹣＞0，又f（x）＝|ax2+x|＝0得两个根分别为x＝0或x＝＞0，∴函数f（x）＝|ax2+x|在区间（﹣∞，0）内单调递减．函数在上单调递减，∴“a＜0”是“函数f（x）＝|（ax+1）x|在区间（﹣∞，0）内单调递减”的充分不必要条件．故选：A．4．【解答】解：设g（x）＝e x（2x﹣1），y＝ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y＝ax﹣a的下方，∵g′（x）＝e x（2x﹣1）+2e x＝e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x＝﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x＝0时，g（0）＝﹣1，当x＝1时，g（1）＝e＞0，直线y＝ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）＝﹣1且g（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．5．【解答】解：∵y＝sin（x+）cos（x+）＝sin（2x+φ），将函数y的图象向右平移个单位后得到f（x﹣）＝sin（2x﹣+φ），∵f（x﹣）为偶函数，∴﹣+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝kπ+，k∈Z，故选：C．6．【解答】解：∵＝0，可得•＝•（﹣）＝，设A（2cosα，sinα），则＝（2cosα﹣1）2+sin2α＝3cos2α﹣4cosα+2＝3（cosα﹣）2+，∴cosα＝时，的最小值为；cosα＝﹣1时，的最大值为9，故选：C．7．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T＝（﹣1）2•12＝1，S＝0+1＝1，n＝1+1＝2；第二次运行T＝（﹣1）3•22＝﹣4，S＝1﹣4＝﹣3，n＝2+1＝3；第三次运行T＝（﹣1）4•32＝9，S＝1﹣4+9＝6，n＝3+1＝4；…直到n＝9+1＝10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T＝（﹣1）10•92，S＝1﹣4+9﹣16+…+92﹣102＝1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100＝×9﹣100＝﹣55．故选：B．8．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S＝2×＝1+＝1﹣ln＝1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P＝故选：C．9．【解答】解：如图所示，连接BC1，取＝，则PN∥D1C1，，PN＝1，∵D1C1⊥平面BCC1B1，∴PN⊥平面BCC1B1，即PN是三棱锥P﹣BCM的高．∴V三棱锥M﹣PBC＝V三棱锥P﹣BCM＝＝＝．故选：B．10．【解答】解：由题意，|MA|＝|OA|，∴A的纵坐标为5，∵△ABO为等边三角形，∴A的横坐标为，∵点A是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，∴∴p＝．故选：C．11．【解答】解：满足约束条件，的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即11＝2ab+3，∴ab＝4，∴a+b≥2＝4，在a＝b＝2时是等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：B．12．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]＝＝的展开式中，常数项为：＝﹣20．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：令x＝0，可得：a0＝1．对（2x﹣1）4＝（1﹣2x）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两边求导可得：4（2x﹣1）3×2＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3，令x＝0，可得：a1＝8．上式两边再两次求导可得：4×3×2（2x﹣1）×2×2×2＝3×2×1×a3+4×3×2a4x，令x＝0，可得a3＝﹣32．∴|a0|+|a1|+|a3|＝41．故答案为：41．14．【解答】设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（﹣x0，﹣y0）．设P（x P，y P），则，又∵x2﹣＝1，∴x2＝+1，则x02＝y02+1．同理x P2＝y P2+1，两式作差得x P2﹣x02＝（y P2﹣y02），即y P2﹣y02＝（x P2﹣x02），则＝，故答案为：15．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的平面区域，其中B（﹣2，0），C（1，）设A（，），P（x，y）为区域内一个动点，向量、的夹角为θ∵||＝，•＝x+y∴cosθ＝＝＝×∵当P运动到C点时，θ达到最小值；P运动到与x轴负半轴上一点重合时，θ达到最大值∴∠AOC＜θ≤∠AOB，由直线OA、OC的倾斜角分别为、，可得θ∈（，]由此可得：﹣≤cosθ＜，即﹣≤×＜∴﹣≤＜，即的取值范围为[﹣）故答案为：[﹣）16．【解答】解：∵3n﹣1a n＝3n﹣2a n﹣1﹣2•3n﹣2+2（n≥2），∴3n a n﹣3n﹣1a n﹣1＝6﹣2×3n﹣1．∴3n a n＝（3n a n﹣3n﹣1a n﹣1）++…+（32a2﹣3a1）+3a1＝（6﹣2×3n﹣1）+（6﹣2×3n﹣2）+…+（6﹣2×3）+3＝6（n﹣1）﹣2×+3＝6n﹣3n，∴a n＝（n＝1时也成立）．∴＝．∴数列{}的前n项和S n＝＝．不等式（m∈N*）化为：＜1（*），m＝1时，化为：2•3n﹣1＜3，n＝1时成立．此时mn＝1．m＝2时，化为：3n＜21，n＝1，2时成立．此时mn＝2，或4．m≥3时，3m+1＞3m，＝＞1，∴＞1，因此上式（*）不成立．综上可得：m•n的所有可能取值为1，2，4．故答案为：1，2，4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴当时，f（x）取最小值；当时，f（x）取最大值1；（2）由正弦定理：＝2R，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B，∵a＝2b sin A，sin A＝2sin B sin A，∴sin B＝，∵0＜B＜，∴B＝，由f（A）＝﹣1，即＝﹣1，解得：A＝由正弦定理得：，∴．△ABC的面积．18．【解答】解：（I）＝2013，＝＝260.2，＝（﹣2）×（﹣24.2）+（﹣1）×（﹣14.2）+0+1×15.8+2×25.8＝130．＝4+1+0+1+4＝10．∴b＝＝13，∴回归方程为y﹣260.2＝13（x﹣2013），即y＝13（x﹣2013）+260.2．（II）当x＝2020时，y＝13（2020﹣2013）+260.2＝351.2（万吨）．答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨．19．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，∴AB＝2，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°＝3，∴AB2＝AC2+BC2，∴BC⊥AC．∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE．又∵BC⊂平面FBC，∴平面ACFE⊥平面FBC．…（5分）（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM＝λ（0≤λ≤），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴＝（﹣，1，0），＝（λ，﹣1，1），设＝（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由，得取x＝1，则＝（1，，），∵＝（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cosθ＝cos＜＞＝＝，…（10分）∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，当λ＝时，cosθ有最大值．∴cosθ∈[]．…（12分）20．【解答】解：（1）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），以椭圆短轴为直径的圆经过点M（1，0），∴，解得，b＝1，∴椭圆C的方程为＝1．（2）k1+k2是定值．证明如下：设过M的直线：y＝k（x﹣1）＝kx﹣k或者x＝1①x＝1时，代入椭圆，y ＝±，∴令A（1，），B（1，﹣），k1＝，k2＝，∴k1+k2＝2．②y＝kx﹣k代入椭圆，（3k2+1）x2﹣6k2x+（3k2﹣3）＝0设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝﹣2k ＝，y1y2＝k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2＝﹣，k1＝，k2＝，∴k1+k2＝＝2．21．【解答】解：（1）由题意，得a x ＝＞0故g（x ）＝，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）由得t＝（x﹣1）2（7﹣x），x∈[2，6]则t′＝﹣3x2+18x﹣15＝﹣3（x﹣1）（x﹣5）列表如下：所以t最小值＝5，t最大值＝32所以t的取值范围为[5，32]（5分）（Ⅱ）＝ln（）＝﹣ln令u（z）＝﹣lnz2﹣＝﹣2lnz+z﹣，z＞0则u′（z）＝﹣＝（1﹣）2≥0所以u（z）在（0，+∞）上是增函数又因为＞1＞0，所以u（）＞u（1）＝0即ln＞0即（9分）（3）设a＝，则p≥1，1＜f（1）＝≤3，当n＝1时，|f（1）﹣1|＝≤2＜4，当n≥2时，设k≥2，k∈N*时，则f（k）＝，＝1+所以1＜f（k）≤1+，从而n﹣1＜≤n﹣1+＝n+1﹣＜n+1，所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，综上所述，总有|﹣n|＜4．[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC；∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC；…2′∵∠EAD＝∠F AB＝∠FCB∴∠FBC＝∠FCB∴FB＝FC． (5)（2）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACD＝90°∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝60°，∴∠D＝30°…7′在Rt△ACB中，∵BC＝3，∠BAC＝60°，∴AC＝3又在Rt△ACD中，∠D＝30°，AC＝3，∴AD＝6 …10′[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴由sin2α+cos2α＝1，得曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10，即x2+y2＝6x+2y，由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得曲线C的极坐标方程为ρ2＝6ρcosθ+2ρsinθ，即ρ＝6cosθ+2sinθ，它是以（3，1）为圆心，以为半径的圆．（2）∵直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ＝，∴ρsinθ﹣ρcosθ＝1，∴直线的直角坐标为x﹣y+1＝0，∵曲线C是以（3，1）为圆心，以r＝为半径的圆，圆心C（3，1）到直线x﹣y+1＝0的距离d＝＝，∴直线被曲线C截得的弦长|AB|＝2＝2＝．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】（I）解：当a＝2时，f（x）＝|x+2|+|x+|，不等式f（x）＞3等价于或或，∴x＜﹣或x＞，∴不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（Ⅱ）证明：f（m）+f（﹣）＝|m+a|+|m+|+|﹣+a|+|﹣+|≥2|m+|＝2（|m|+）≥4，当且仅当m＝±1，a＝1时等号成立，∴f（m）+．。

数学试题27时间：75分钟 满分：100分一． 填空题：（每小题4分，本题满分32分）1．化简：22193m m m -=-+ ;2．人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这９级台阶共有 种不同方法．3．在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为________________ 4．若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .5. 如图，直线PA PB ，是O e 的两条切线，A B ，分别为切点，120APB =︒∠，10OP = 厘米，则弦AB 的长为 厘米6.一青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为5，青蛙从点A 开始连续跳六次正好跳回到点A ，则所构成的封闭图形的面积的最大值是________。

7. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 所对弧的度数为120°.∠ABC 、∠ACB 的角平分线分别交于AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F.以下四个结论：①1cos 2BFE ∠=；②BC BD =；③EF FD =； ④2BF DF =.其中结论一定正确的序号数是8．在直角坐标系中，已知A （1，1），在x 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 个 二．选择题：（每小题4分，本题满分32分）9. 初三的几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元．在每位同学得到一张相片、共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数( )Ａ．至多６人 Ｂ．至少６人 Ｃ．至多５人 Ｄ．至少５人 10．已知点I 为△ABC 的内心，∠BIC=130°，则∠BAC 的度数是（ ）。

[20] 2016年长郡中学高中理实班招生拔尖试题（时间：90分钟 满分：120分）一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1．对于任意的有理数a ，方程()()2221340x a x a a b ++--+=的根总是有理数，则b 的值为（ ）． A ．1B ．-1C ．2D ．02．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，有以下几个结论： ①“距离坐标”是()0,1的点有1个； ②“距离坐标”是()5,6的点有4个；③“距离坐标”是(),a a （a 为非负实数）的点有4个．其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．一张等腰三角形纸片，底边长13 cm ，底边上的高为32.5 cm 现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为5 cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）．A ．第3张B ．第4张C ．第5张D ．第6张4．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，分别在BC ，CD 上，且CMN △的周长为2，则M A N△的面积的最小值为（ ）．A 1B ．2C ．D ．15．如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（ ）．A ．乙>丙>甲B ．丙>乙>甲C ．甲>丙>乙D ．无法判断6．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组3,22ax by x y +=⎧⎨+=⎩只有正数解的概率为（ ）． A ．112B ．29C ．518D ．1336二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7=_________．8．已知2x b a --=有四个不同的解，则a b b a a ba b b a a b+-++++-=_________． 9．若抛物线2241y x px p =-++中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为_________． 10．如图，半径为r 的圆O 沿折线ABCDE 作无滑动的滚动，如果2AB BC CD DE r π====，150ABC CDE ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒，那么，圆O 自点A 至点E 转动了_________周．11．二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值-4，则a 的值为_________．12．在平面直角坐标系中，已知1P 的坐标为()1,0，将其绕着原点按逆时针方向旋转30°得到2P ，延长2OP 到3P 使322OP OP =，再将3P 绕原点按逆时针方向旋转30°得到4P ，延长4OP 到5P ，使542OP OP =，如此继续下去，则点2010P 的坐标为_________．三、解答题（本大题共5小题，第13题10分，14~16题各12分，第17题14分，共60分） 13．已知m ，n 是方程2310x x ++=的两根．（1）求162102553m m m m m -⎛⎫+-⋅- ⎪--⎝⎭的值；（214．甲、乙两人从A 地到B 地，甲骑自行车，乙步行已知甲每小时比乙每小时多走8千米，甲、乙同时出发，甲比乙早到5小时，若甲到B 地后立即沿原路返回，则在距B 地15千米处与乙相遇，求A ，B 两地间的距离及甲、乙两人的速度．15．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，2AC AB =，点D ，P 分别是AC ，BC 的中点，ADE △是等腰三角形，90AED ∠=︒，连接BE ，EC ． （1）判断线段BE 和EC 的关系，并证明你的结论； （2）连接PA ，PE ，过点A 作AMPE ，过点E 作EM PA ，AM 和EM 相交于点M ，在图中先补充图形，再判断四边形PAME 的形状，并证明你的结论．16．如图，在□ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠，AC 的延长线与ABD△的外接圆交于点F ，证明：DFE AFB ∠=∠．17．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A ，B 的坐标分别是()5,0，()3,2，点D在线段OA 上，BD BA =，点Q 是线段BD 上一个动点，点P 的坐标是()0,3，设直线PQ 的解析式为y kx b =+． （1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时，若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ ，OA ，AB ，BC 围成的四边形内部，求a 的取值范围．。