下载文档原格式
抽样定理及应用
2.1课程设计的原理 2.1.1连续信号的采样定理
模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号
恢复原信号
必需满足两个条件：
(1)
必须是带限信号，其频谱函数在
＞
各处为零；（对信号的要求，
即只有带限信号才能适用采样定理。）
(2) 取样频率不能过低，必须 ＞2 （或
＞2）。（对取样频率的要
求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率
大于或等于
，即
（
为连续信号
的有限频谱），则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号
。一个频
谱在区间（- ，
）以外为零的频带有限信号，可唯一地由其在均匀
间隔
（
＜ ）上的样点值
所确定。根据时域与频域的对称性，
可以由时域采样定理直接推出频域采样定理。一个时间受限信号()t f ，它集中在（m m ωω+-,）的时间范围内，则该信号的频谱()ωj F 在频域中以间隔为1ω的冲激序列进行采样，采样后的频谱)(1ωj F 可以惟一表示原信号的条件为重复周期
m t T 21≥，或频域间隔m
t f 21
21≤
=
πω（其中112T πω=）。采样信号 的频谱是原
信号频谱 的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当s ω＞2
时，
不会出现混叠现象，
原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号中恢复原信号。
＞2的含义是：采样频率大于等于信号最高频率的2倍；这里的“不（注：
s
混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）
(a)
(b)
(c)
图* 抽样定理
a)等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
b)高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）
c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）
2.1.2信号采样
如图1所示，给出了信号采样原理图
信号采样原理图（a ）
由图1可见，)()()(t t f t f s T s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t s T δ的表达式为：
∑∞
-∞
=-=
n s
T nT t t s
)()(δδ
其傅立叶变换为∑∞
-∞
=-n s s n )(ωωδω，其中s
s T π
ω2
=
。设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得
∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=-=
-=n s
s n s s s n j F T n j F j F )]([1
)(*)(21)(ω
ωωωδωωπω
若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至 ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s T 1倍）。因此，当m s ωω2≥时，频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时，频谱发生混叠。
一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图2所示。
图2 信号的采样
用数学表达式描述上述调制过程，则有
)
()()(*t t e t e T δ=
理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为
∑∞
=-=0
)()(n T nT t t δδ
其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲。由于)(t e 的 数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设
00
)(<∀=t t e
所以)(*t e 又可表示为
*
()()()n e t e nT t nT δ∞
==-∑
2.1.3信号重构
设信号)(t f 被采样后形成的采样信号为)(t f s ，信号的重构是指由)(t f s 经过内插处理后，恢复出原来信号)(t f 的过程。又称为信号恢复。
若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω，经采样后的频谱为)(ωj F s 。设采样频率
m
s
ωω2≥，则由式（9）知)(ωj F s
是以s
ω为周期的谱线。现选取一个频率特性
⎪⎩⎪⎨
⎧><=c
c
s
T j H ω
ωωωω0
)(（其中截止频率c ω满足2
s
c m ω
ωω≤
≤）的理想低通滤波器
与)(ωj F s 相乘，得到的频谱即为原信号的频谱)(ωj F 。
显然，)()()(ωωωj H j F j F s =，与之对应的时域表达式为
)(*)()(t f t h t f s = （10）
而
∑∑∞
-∞
=∞-∞
=-=-=n s s n s s nT t nT f nT t t f t f )()()()()(δδ
)()]([)(1t Sa T j H F t h c
c
s
ωπ
ω
ω==- 将)(t h 及)(t f s 代入式（10）得
∑∞
-∞
=-==n s
c
s
c
s
c
c
s
s
nT t Sa nT f T t Sa T t f t f )]([)()(*)()(ωπ
ω
ωπω （11）
