初中数学相似三角形(1)PPT课件

16
解决实际问题举例
航海问题
在航海中，可以利用相似三角形来测量船只与陆地之间的距离。通过观测陆地 上的两个目标点，并测量它们与船只之间的夹角，可以构造相似三角形，进而 计算出船只与陆地之间的距离。
军事应用
在军事领域，相似三角形可以用于计算炮弹的射程和角度。通过观测目标点和 测量炮弹的初速度、角度等信息，可以构造相似三角形，从而计算出炮弹的落 点和命中目标的可能性。
18
2024/3/28
05
总结与回顾
19
知识点总结
• 相似三角形的定义：两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
2024/3/28
20
知识点总结
相似三角形的性质 对应角相等； 对应边成比例；
2024/3/28
21
知识点总结
2024/3/28
面积比等于相似比的平方。 相似三角形的判定 两角对应相等，则两个三角形相似；
对应角相等是相似三角形 的基本性质之一，也是判 断两个三角形是否相似的 重要依据。
在几何学中，对应角相等 通常用于证明两个三角形 相似或全等。
8
对应边成比例
当两个三角形相似时，它们的对应边成比例。
对应边成比例是相似三角形的另一个基本性质，它表明相似三角形的各边长度之间 的比例关系。
2024/3/28
1. 题目
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，则△ABC和△DEF一定相
似吗？为什么？
答案
是的，因为两个三角形中有两组对 应角相等，根据相似三角形的判定 条件，可以判定△ABC和△DEF相似。
2024/3/28
答案
已知△ABC和△DEF的相似比为2:3， 且△ABC的面积为16cm²，求△DEF 的面积。

《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
二、学习目标
会运用“两组对应边的比相等 且对应的夹角相等”判定两个 三角形相似.
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
知
三 角
识形
点相
一
似 的
判
定
方
法
2
三、研读课文
认下真面阅练读习课并本体第验知44识至点45探全的页讨等形的的成内S可AS否过容方用程，法类，完似能于成否判通定过三两角个形
____________________________
__ .
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
五、强化训练
1、在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D. 那么这两个三角形能否相似的结论是_相__似___，理由是 _两__组__对__应__边__的__比__相__等__且_ 相应的夹角相等 ．
《相似三角形》优秀课件1
第二十七章 相似 27.2 相似三角形 第五课时 相似三角形的判定（3）
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
一、新课引入
1、两个三角形全等有哪些判定方法？ SSS、SAS、ASA、AAS、HL
2、我们学习过哪些判定三角形相似的 方法？
1、通过定义（三边对应成比例，三角相等） 2、平行于三角形一边的直线 3、三边对应成比例
9
的长是_____5_______.
《相似三角形》优秀课件1
《相似三角形》优秀课件1
三、研读课文
2、如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
证明： AD AE, AB AC AD AE

∴DE=FC,∴

=


=

.

又∵∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.
=

.

探
究
与
应
用
2.如图23-3-4,D为BA延长线上一点,作DE∥BC交直线AC于
点E,则△ADE与△ABC是否相似?为什么?
解:相似.理由:在边AB上截取AM=AD,
在边AC上截取AN=AE,
与△ABC的相似比为 1∶2
,△BAC∽ △EAF .
图23-3-2
探
究
与
应
用
探究二 相似三角形的预备定理
[猜想证明]
1.如图23-3-3所示,在△ABC中,D为边AB上的任意一点(不同
于点A,B),作DE∥BC,交边AC于点E,用刻度尺和量角器量一
量,判断△ADE与△ABC是否相似?如
果相似,请加以证明.
AC=15, DE=7,求AE和BC的长.
解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴

=


=

.

又∵AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,
7
∴

=
8
8+12
=

35
,∴AE=6,BC= .
15
2
图23-3-5
探
究
与
应
用
建 模型
相似三角形判定的预备定理的基本图形
如图23-3-6,如果DE∥BC,那么△ADE∽△ABC.
图23-3-3
探
究
与
应
用
解:△ADE与△ABC相似.

3. 2
设△ABC的周长为x cm，
则△A1B1C1的周长为(60－x)cm.
x3
∴
60－ x
, 2
解得x＝36，60－x＝24.
∴△ABC的周长为36 cm，△A1B1C1的周长为24 cm.
新知小结
相似三角形周长的比等于相似比．在解题时，如 果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.
巩固新知
12
53
2 5.
新知小结
相似三角形周长和面积的比 一般地，我们有：
易对错应点 角：平忽分略线相的似比三都角等形于利性__质用__的__适相__用. 条似件.比求周长和面积时，先判定两个三角形
以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们
相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比 【中考·南宁】有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1： S2等于( )
相似三角形周长和面积的比
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，
所以 A D 1 . 如图，在△ABC中，DE与BC平行，S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，求AD∶DB.
A B 5 A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
形相邻两边的比为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝
所以 AD＝
∴矩形EFGH的周长为36 cm. 导引：由四边形EFGH为矩形，得EH∥BC，所以△AEH D．1：5
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
巩固新知
1 如图，△ABC 与△A′B′C′相似，AD，BE 是 △ABC 的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证 AD BE .
AD BE
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC， △A′B′C′的高， ∴ AD ＝ AB .

A
D
A′ B
D′
B′
C C′
（4）CC'DD' 等于多少？你是怎么做的？
CA C' A'

CD C'D'

3 4
相似三角形对应高的比等于相似比。
A′
D′
B′
AD
B
EC
E′ C′
议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相
似比为k。如果CD和C′D′分别是它们的对应角平
分线，那么 CD 等于多少？
CD
A′
D′
B′
A
D
B
C C′
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′
相似比为k。如果AD和A′D′分别是它们的对应中
线，那么 AD 等于多少？
AD
A′
A
B
D C
B′
D′ C′
相似三角形的性质
定理1：相似三角形对应高的比、对应 中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
练习
3.已知△ABC∽△A’B’C’，S△ABC∶S△A’B’C’=9:25， △ABC的周长是36，则△ABC的周长是 60。
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上， DE平行于BC，AD∶DB=3∶2，求四边形DBCE与 △ADE的面积比。
解：∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2 ∵AD∶DB=3∶2 ∴AD∶AB=3∶5 ∴S△ADE∶S△ABC=9∶25 ∴S△ADE∶S四边形DBCE=9∶16 所以四边形DBCE与△ADE的面积比为16∶9。

例2 如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AB=10,AC=8,E 是AC上一点，AE=5,ED⊥AB,垂足为D.求AD的长.
解：∵ ED⊥AB ∴∠EDB=90°. 又∠C=90°, ∠A= ∠A ∴△AED∽△ABC
AD AE AC AB AC AE 8 5 AD 4 AB 10
27.2.1相似三角形的判定（3）
相似三角形的判定：
方法1：通过定义 方法2：通过平行于三角形一边的直线 方法3：三边成比例 方法4：两边成比例且夹角相等
观察
观察两副三角尺如图，其中同样角度（30°与 60°,或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同 ，但它们看起来是相似的．一般地，如果两个三 角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
AB 2 AC 2 , B1C1
2 2
C

C1
A1 B1 A1C1
2
2
k 2 A1 B1 k 2 A1C1 BC AB 2 AC 2 k B1C1 k B1C1 B1C1 B1C1 B1C1 BC AB AC ∴ Rt△ABC ∽Rt△A1B1C1 B1C1 A1 B1 A1C1
相似三角形的判定3：
两角分别相等的两个三角形相似 .
A
A′
B
用数学符号表示： ∵ ∠A=∠A ′ ， ∠B=∠B ′ ∴ ΔABC ∽ ΔA ′ B ′ C ′
C B′
C′
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A’
B C
A
A
D A B
(1)
C B’ A’
C’
(2)
D
A
E
E C
B
(3)
C

如到果l3或图l42上7.，2-如1中图l12,7l.22两-2条（直1 线）l1相、交（，2）交，点所A刚得好的落对
应线段的比会相等吗？依据是什么？
你由 此又 能得 到什 么结 论呢？
如图:在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且DE‖BC,则△ADE
与△ABC相似吗?
(1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等?
1、 如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找出哪些角的关系？边呢？
A ∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AC
BC
=
AD AE
=
DE
D
E
DE ∥ BC
B
C
2、△ ABC中， DE ∥ BC且分别交边AB、AC 于D、E两点，那么△ ABC与 △ADE有什么
关系呢？
任意画两条直线l1 ,l2 ,再画三条与l1 、l2 相交的平行
(2)量一量这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?平行移动DE的
位置再试一试.
（3）你能用什么方法来判断呢？请你加以证明？
证明:在△ADE与△ABC中∠A= ∠A
A
∵ DE//BC
∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C 过E作EF//AB交BC于F
D
E
∵ DE//BC, EF//AB
∴ AD AE , BF AE
27.2 相似三角形的判定(1)
1、相似三角形的定义是什么？它具有什么性质呢？
在△ ABC和△ DEF中，如果∠A=∠D, ∠B=∠E,
∠C=∠F
A
AB AC BC DE DF EF
D B
E
那么 △ ABC∽ △DEF
F
C

通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。

课练习
的地方，把手臂向前伸直且让小尺竖直，看到尺上大约有24个分划恰好 遮住旗杆。已知此同学的臂长约为60cm，求旗杆的大致高度。
解：由已知得：BC=24cm=0.24m，CM=60cm=0.6m，
EN=30m，BC//DE，CM//EN，
堂
∴△ABC∽△ADE，△ACM∽△AEN BC AC ，CM AC ，
探 ∴ 100 CD 40 .
D
120 CD
究 答：点C到直线PQ的距离为240m.
1、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别
练习 为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边
课 为（ C ） A. 3cm B. 4cm C. 4.5cm
D. 5cm
DE AE EN AE
练 习
BC CM ， DE EN
0.24 0.6， DE 30
∴DE=12m. 答：旗杆大致高12m.
动脑筋
课 堂 通过本节课的学习，你有什么收获与体会？ 小 结
1、已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别为△ABC，△DEF的一条中线，
练习 且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. DN=3cm
作 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′.
探
又∵AT，A′T′分别平分∠BAC=∠B′A′C′，
∴∠BAT= 1∠BAC，∠B′A′C′= 1 ∠B′A′T′
2
2
∴∠BAT=∠B′A′T′，
究 ∴△ABT∽△A′B′T′， ∴ AT AB . A' T' A' B'
归纳 类似三角形对应角平分线的比等于类似比.

第三章 图形的类似
第7节 类似三角形的性质（一）
学习目标与重难点
1、经历探索类似三角形性质的过程，进一步体 会由特殊到一般的归纳思想和方法。 2、重难点：理解类似三角形的性质及应用。
回顾与反思
同学们:还记得类似三角形的定义吗?还记得类似多边形 的对应边、对应角有什么关系吗？
类似三角形的对应边成比例、对应角相等。
五：布置作业
课本： 习题 1、2、3、4
结束语
只要你能勇敢地不断地攀登，你就能更 接近于知识的顶峰,祝愿善于探索、善 于发现的你早日到达顶峰！
探究活动一： 探究类似三角形对应高的比.
(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ (4)据此，你可以发现类似三角形怎样的性质？
探究活动二： 类比探究类似三角形对应中线的比、对应角平分线的比
如图：已知△ABC ∽△A’B’C’ ，类似比为k，AD平分∠BAC，A’D’平
分∠B’A’C’；E、E’分别为BC、B’C’的中点。试探究AD与 A’D‘的比值关 系，AE与A’E’呢？
A A/
B
DE
C
B/
D/ E/
C/
类似三角形性质定理：
类似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比都等于 类似比。
∵△ABC ∽△A’B’C’ AB AC BC AF AD AE k A' B' A'C' B'C' A' F ' A' D' A' E'
A A/
B F DE
C
B/ F‘ D/ E/
探究活动一： 探究类似三角形对应高的比.
在生活中，我们经常利用类似的知识解决建筑类问题.如图，小王根据图纸上 的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。

相似三角形ppt初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何图形中应用•相似三角形在解决实际问题中应用•相似三角形证明方法探讨•典型例题解析与练习•课堂小结与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质01020304定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。

如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。

两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。

如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。

相似比与对应角关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。

相等角两个相似三角形的对应角相等。

补角两个相似三角形的非对应角互为补角。

两个相似三角形的对应边之间的比值相等。

对应边成比例两个相似三角形的对应高、中线、角平分线之间的比值也相等，且等于相似比。

对应高、中线、角平分线成比例两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方。

面积比等于相似比的平方两个相似三角形的周长之比等于相似比。

周长比等于相似比性质总结02相似三角形在几何图形中应用平行线间距离问题利用相似三角形性质求解平行线间距离通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解平行线间的距离。

平行线间距离与相似三角形关系平行线间距离与相似三角形的对应高成比例，因此可以通过相似三角形性质求解平行线间距离。

角度平分线问题利用相似三角形性质求解角度平分线问题通过构造相似三角形，利用对应角相等的性质，可以求解角度平分线问题。

角度平分线与相似三角形关系角度平分线将相邻两边按照相同比例分割，因此可以通过相似三角形性质求解角度平分线问题。

直角三角形中特殊应用利用相似三角形性质求解直角三角形中特殊应用在直角三角形中，通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解一些特殊问题，如勾股定理、射影定理等。

直角三角形中特殊应用与相似三角形关系在直角三角形中，一些特殊应用可以通过构造相似三角形进行求解，这些应用与相似三角形的性质密切相关。

1、已知A4纸的宽度为21cm，如图将其对折后，所得的矩形 都和原来的矩形相似，求A4纸的长度。
21cm
21cm
x A4
对折 0.5x
解：∵对折后矩形和原来的矩形相似
∴ 21 x 0.5x 21
解得：x 21 2
2、现有一长为30cm，宽为15cm的矩形奔马图，在其四周表上宽
为2cm的木质边框。那么内外边缘所成的矩形相似吗？
A
BC
A`
B`
C`
你看到过哈哈镜吗？哈哈镜中的形象与你本人相似吗？ 平面镜呢?
(A)
(B)
(C)
选一选
D 1、下列说法正确的是（
）
A 、小东上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片 相似.
B、商店新买来的一副三角板是相似的.
C 、 所有的课本都是相似的.
D 、国旗的五角星都是相似的.
2、下列哪两个图形是相似图形（ B ） A、（1）与（2） B、（1）与（3） C、（2）与（3） D、（3）与（4）
78° 83°
在四边形ABCD中
B
∠β =360°－(78°+83°+118°) =81° x
C H
又∵ AB AD EF EH
∴ 18 21 24 x
解得：x=28cm
E
24cm
118°
F
α G
应用相似多边形的性质解决问题：
,,,
1、如图，△ABC与△ A B C 相似，
则∠B,=
72° ；
正方形A,B,C, D,
问题：正方形ABCD与正方形A,B,C, D,相似，它们的对应角、对应边
有什么关系？
角：
∠A=∠

AE AC
DE
BC.
∴△ADE∽△ABC .
探究新知
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似.
符号语言： ∵ DE//BC,
“A”型
A
∴△ADE∽△ABC．D
E
“X”型
D
E
O
B （图1） C B
（图2） C
探究新知
【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证 明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行 线，那么你应该联想到什么？
BC 3
EF
3
想
若
AB 3 BC 4
，
那么
DE ? EF
3 4
l1
A
B
l2
D
l3
E l4
即 AB DE
BC EF
除此之外，
还有其他对应线
C
段成比例吗？
F l5
探究新知
事实上，当l3
//l4
//
l5时，都可以得到
AB BC
DE EF
，
BC
还可以得到AB
EF DE
AB
，AC
DE DF
BC
，AC
EF DF
人教版 数学 九年级 下册
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时
导入新知
1.相似多边形的特征是什么？
A
A1
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
B
C B1
C1
4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，
∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
AB A1B1

课时导入知识讲解随堂小测1.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）相似三角形的判定方法有哪些？（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（3）三边成比例的两个三角形相似.你能对它们进行证明吗？两角分别相等的两个三角形相似．数学表达：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.知识点1 证明相似三角形的判定定理1已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，∠B =∠B′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'.A BCA′B′C′D E证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，.AD AE AB AC （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）F过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，∠B =∠B′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'..AB AD CF CB =则（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.AE CFAC CB∴=∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形.∴DE ＝CF ..AE DE AC CB ∴=.AD AE DE AB AC BC∴==而∠ADE ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ，∠AED ＝∠C ∴△ADE ∽△ABC∵∠A ＝∠A′，∠ADE ＝∠B ＝∠B′，AD ＝A′B′.∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'A BCA′B′C′DEF两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．数学表达：在△ABC 与△A′B′C′中，∵ ，∠A ＝∠A′，∴△ABC ∽△A′B′C′.==''''AB ACk A B A C知识点2 证明相似三角形的判定定理2ABCA′B′C′D E证明 ：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠B ＝∠ADE ，∠C ＝∠AED ，已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'.AB ACA B A C =''''∴△ABC ∽△ADE.（两角分别相等的两个三角形相似）.AB AC AD AE∴=,,AB AC AD A B A B A C ''==''''.AB ACAD A C ∴=''.AC AC AE A C ∴=''AE A C ''∴=而∠A ＝∠A′，∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'知识点3 证明相似三角形的判定定理3三边成比例的两个三角形相似．数学表达：在△ABC 与△A′B′C′中，∵ ，∴△ABC ∽△A′B′C′.''===''''AB BC ACk A B B C ACA BCA′B′C′DE证明 ：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，AE ＝A′C′,连接DE .已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'=.AB BC ACA B B C A C ='''''',,,AB AC AD A B AE A C A B A C ''''==='''' .AB AC AD AE∴=而∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.AB BC AD DE ∴=,,AB BCAD AB A B BC ''==''''又.AB BC AD B C ∴=''.BC BCDE B C ∴=''.DE B C ''∴=∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'1.判断（1）所有的等边三角形都相似. ( )（2）所有的直角三角形都相似. ( )（3）所有的等腰三角形都相似. ( )（4）所有的等腰直角三角形都相似. ( )×√×√2. 如图4，AD ⊥BC 于点D ， CE ⊥AB 于点 E ，且交AD 于点F ， 你能从中找出几对相似三角形？BC A ED FB CA E D FBC ED FB AE DF B C A E DF D CF EA3.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ， AB =6，BC =4，AC =5，CD = ，求AD 的长. 172A B CD 解: ∵ AB =6，BC =4，AC =5，CD = ∴ 又∠B =∠ACD ,∴△ABC ∽△DCA ，∴ ∴AD =17.2.AB CD BC AC =.BC AC AC AD =.254定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.定理证明相似三角形判定定理的证明定理的运用1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。

（1）△ASR 与△ABC 类似吗？为什么？
A
解：∵ 四边形 PQRS 是正方形，
S
E
R
∴ RS∥BC.
∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.
∴△ASR∽△ABC.
B
P
D
图5
Q
C
典例精讲
例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上，
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（2）求正方形 PQRS 的边长.
A
解：∵ △ASR∽△ABC，∴
S
设正方形 PQRS 的边长为 x cm，
E
R
则 AE= (40–x) cm，
解得x = 24 .
答：正方形 PQRS 的边长为 24 cm.
B
P
D
图5
Q
C
当堂训练
两个类似三角形的一组对应角平分线的长分别是 2 cm 和 5
cm，求这两个三角形的类似比. 在这两个三角形的一组对应中
BC，B′C′ 的中点. 试探究 AD 与A′D′ 的比值关系，AE 与 A′E′ 呢？AF与
A′F′ 呢？
A
A′
B
D
E F
B′ D′ E′ F′
C
图2
C′
归纳小结
定理 类似三角形对应高的比，对应角平分线的比，
对应中线的比都等于类似比.
A
A′
B
F
D E
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
C
B′ F′ D′ E′
类似比是 1 : 2.
（2）由CD : C′D′ =1:2，得C′D′ = 2CD=3 cm，即模型房的房梁立柱高3 cm.

(1) 证明：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC．
(2) 解：∵△ACD∽△ABC， ∴AC＝AD，即 4 ＝3， AB AC AB 4 ∴A B ＝16. 3
第23章 图形的类似
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F. 求证：△DEH∽△BCA．
第23章 图形的类似
两角判定两个三角形类似
| 23.3.2 类似三角形的判定 第1课时 |
华师版(2012)九年级上册数学
回顾知识
类似多边形
第23章 图形的类似
性质
对应边成比例，对应角相等，类似比等于对应 边的比）
当类似比等于 1 时，类似图形即是全等图形， 全等是一种特殊的类似
定义
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的 延长线)相交，所构成的三角形与原三角形类似
第23章 图形的类似
2．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角 分别为60° ,80 ，则这两个三角形( C )
A．一定不类似
B．不一定类似
C．一定类似
D．全等
第23章 图形的类似
3．如图，在△ABC中，若D是AB上的一点，且∠ACD＝∠B． 求证：△ACD∽△ABC； 若AD＝3，AC＝4，求AB的长．
.
新知探究
活动一 1.视察学生与老师的直角三角板（30° 与 60°），会类似吗？测量 测量，得出你的猜想.
第23章 图形的类似
活动一 2.两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°，75° . ①分别量出两个三角形三边的长度； ②这两个三角形类似吗？
第23章 图形的类似
活动二 2.与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′，